精品解析：山东省临沂市2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题

临沂市2022级普通高中学科素养水平监测试卷 数学 2024.7 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若命题“，”是真命题，则可能等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知函数是定义在上的奇函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 随机变量，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲、乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在正中间，不同的安排方法数有（ ） A. 24 B. 36 C. 40 D. 48 7. 已知函数的值域为，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 将一组数据的每一个数据减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同 B. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强 C. 设随机变量，，则 D. 在残差散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 10. 已知（，，），且，则（ ） A. B. C. 存在，使得 D. 11. 已知函数，则（ ） A. 存在实数使得 B. 当时，有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 若曲线有两条过点的切线，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式的常数项为______. 13. 某校举行乒乓球比赛，决赛采用5局3胜制，甲、乙两名同学争夺冠亚军，如果每局比赛甲获胜的概率为，那么在甲获胜的条件下，第1局甲输的概率为_________． 14. 已知，，，则y的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，且． （1）求的定义域； （2）求不等式解集． 16. 某手机App（应用程序）公司对一大型小区居民开展5个月的调查活动，了解使用这款App的居民的满意度，统计数据如下： 月份 1 2 3 4 5 不满意人数 110 95 90 85 70 （1）求不满意人数与月份之间的经验回归方程，并预测该小区8月份对这款App不满意的人数； （2）公司为了调查对这款App是否满意与性别的关系，工作人员从使用这款App的居民中随机调查60人，得到下表： 性别 满意度 满意 不满意 男性 15 15 女性 21 9 根据小概率值的独立性检验，能否认为对这款App是否满意与性别有关联？ 附： ，． ，． 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 17. 袋中有大小、形状完全相同的4个红球，2个白球，采用有放回摸球，从袋中随机摸出1个球，定义变换为：若摸出的球是白球，则把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）；若摸出的是红球，则将图象上所有的点向上平移1个单位，函数经过1次变换后的函数记为，经过2次变换后的函数记为，…，经过次变换后的函数记为．现对函数进行连续的变换． （1）若第一次摸出的是白球，第二次摸出的是红球，求； （2）记，求随机变量的分布列及数学期望． 18. 刻画曲线弯曲程度是几何研究的重要内容．曲线的曲率是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲线的曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．若记，则函数在点处的曲率． （1）求函数在点处的曲率； （2）已知函数存在两个不同的点，，使得在，处的曲率为0， （i）求的取值范围； （ii）当时，证明． 19. 设集合，为的非空子集，随机变量，分别表示取到子集中的最大元素和最小元素的数值． （1）若，求； （2）若， （i）求且的概率； （ii）已知，求随机变量的均值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临沂市2022级普通高中学科素养水平监测试卷 数学 2024.7 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，再利用交集含义即可. 【详解】因为，， 则，则. 故选：D. 2. 若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】正向举反例，反向根据指数函数单调性即可判断. 【详解】当，举例，此时，故充分性不成立； 当，根据指数函数单调性得，则，故必要性成立， 则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 若命题“，”是真命题，则可能等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据转化为求的最小值，再利用基本不等式即可得到答案. 【详解】由题意得， 因为当，，当且仅当时等号成立，则D选项符合题意. 故选：D. 4. 已知函数是定义在上的奇函数，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用，求出，再验证此时为奇函数，最后代入计算即可. 【详解】由题意得，则， 此时，定义域为，， 则为奇函数，满足题意， . 故选：A. 5. 随机变量，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布的期望和方差公式可求，进而根据二项分布的概率公式即可求解. 【详解】因为，所以， 解得，所以. 故选：B. 6. 某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲、乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在正中间，不同的安排方法数有（ ） A. 24 B. 36 C. 40 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】设最后两人为丁和戊，然后分甲、乙在丁、戊之间和丁、戊在甲、乙一侧时讨论即可. 【详解】设剩下的两人分别为丁和戊， ①甲、乙在丁、戊之间，将甲、乙捆绑成一个元素， 丁、戊两人有种排法，甲、乙内部有种排法，丙有4个位置可站， 则共有种； ②丁、戊在甲、乙一侧时，丁、戊可选择甲、乙左侧或右侧，则有种排法， 丁、戊排列有种排法， 甲、乙之间排列也有种排法， 丙有3个位置可站， 则该种情况共有种， 则总共有种不同安排方法. 故选：C. 7. 已知函数的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分段求出函数值域，再根据函数值域为，求参数的取值范围. 【详解】当时，， 所以在上恒成立， 所以函数在上单调递增，所以，. 当时，， 若即，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，. 又函数的值域为，所以，（）； 若即，函数在上单调递增，所以，. 又函数的值域为，所以（）. 综上可知：或. 故选：C 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据对数运算性质得，再利用对数函数单调性得，再作差换底变形比较大小即可. 【详解】，， 因为在上单调递增，则， 则，显然， 则， 则，即，结合知. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是比较的大小关系，利用作差法结合对数运算性质和换底公式得，最后根据对数函数单调性即可比较两者大小关系. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 将一组数据的每一个数据减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同 B. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强 C. 设随机变量，，则 D. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助方差的性质即可判断A；根据线性相关系数的性质即可判断B；利用正态分布的对称性即可判断C；利用残差的性质逐项判断即可得. 【详解】对A：由方差的性质可知，将一组数据的每一个数减去同一个数后， 新数据的方差与原数据方差相同，故A正确； 对B：线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，，故B错误； 对C：根据正态分布的对称性知，故C正确； 对D：在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄， 其模型的拟合效果越好，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知（，，），且，则（ ） A. B. C. 存在，使得 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，据已知条件即可证明；对于B，使用基本不等式即可证明；对于C，据已知条件即可否定；对于D，将条件变形为，再利用即可证明结论. 【详解】对于A，，，所以，故A正确； 对于B，，，所以，可得，同理可得， 又因，所以，故，，故B正确； 对于C，，，由B知，，又，存在，使得可知，代入可得与已知相矛盾，故C错误； 对于D，将条件变形为，，由A知，由B知，所以，即，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，则（ ） A. 存在实数使得 B. 当时，有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 若曲线有两条过点的切线，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，求出的导函数，使其和相等，解方程看是否有实数根，即可求得； 对B，根据的导函数确定单调区间以及极值点，看与轴交点即可判断； 对C，根据中心对称公式即可判断； 对D，设过的切线的切点为，由条件可得有两个根，结合导数研究方程的根即可. 【详解】对A，根据已知的导函数，令 则，令， ，当时， 根据函数零点存在定理存在实数使得，故A正确； 对B，根据题意知，令得到， 在和上，所以在和单调递增， 在上，所以在单调递减， 是的极大值，且的极大值大于极小值， ， ， 所以在定义域内有且只有一个零点，故B错误； 对C，令，该函数定义域为R， 且， 所以为奇函数，是的对称中心， 将向下移动两个单位得到的图像， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 对D，过的切线的切点为，切线斜率为， 则切线方程为， 把点代入可得，化简可得， 令， 则，令可得或， 在和上大于零，所以在和上单调递增， 在上小于零，所以在单调递减， 要使有两个解，一个极值一定， 若函数在极值点时的函数值为，可得， 所以 若函数在极值点时的函数值为，可得， 所以，故D不正确. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式的常数项为______. 【答案】60 【解析】 【分析】根据二项式展开式通项特征即可求解. 【详解】的常数项为, 故答案为： 13. 某校举行乒乓球比赛，决赛采用5局3胜制，甲、乙两名同学争夺冠亚军，如果每局比赛甲获胜的概率为，那么在甲获胜的条件下，第1局甲输的概率为_________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据最终比赛所进行局数进行讨论得到甲获胜的概率，和第一局甲输的概率，再根据条件概率公式即可得解. 【详解】甲获胜记为事件A，甲第一局输后获胜记为事件B， 甲获胜可以三局获胜概率为，四局获胜概率为，五局获胜概率为， 所以甲获胜概率为， 第一局甲输的概率是可以分为两种情况，最终甲四局获胜概率为，最终甲五局获胜概率为， 故第一局甲输最终甲获胜的概率， 则所求概率为. 故答案为： 14. 已知，，，则y的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，构建函数，利用导数研究其值域，可得答案. 【详解】由，则，令，， 令，解得，可得下表： 极大值 当时，；当时，. 由题意可知：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，且． （1）求的定义域； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求出，再根据真数大于0得到不等式组，解出即可； （2）首先知，再根据复合函数单调性得到的单调性，将不等式变为，最后得到不等式组，解出即可. 【小问1详解】 ， ，解得， ， 由解得， 故的定义域为. 【小问2详解】 由（1）知，， 在上单调递增，且其恒大于0，则函数在上单调递减， 在上单调递减， 又，不等式可化为， ，即， 不等式的解集为. 16. 某手机App（应用程序）公司对一大型小区居民开展5个月的调查活动，了解使用这款App的居民的满意度，统计数据如下： 月份 1 2 3 4 5 不满意人数 110 95 90 85 70 （1）求不满意人数与月份之间的经验回归方程，并预测该小区8月份对这款App不满意的人数； （2）公司为了调查对这款App是否满意与性别的关系，工作人员从使用这款App的居民中随机调查60人，得到下表： 性别 满意度 满意 不满意 男性 15 15 女性 21 9 根据小概率值的独立性检验，能否认为对这款App是否满意与性别有关联？ 附： ，． ，． 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）；45人. （2）无关联 【解析】 【分析】（1）求出平均数，再利用公式求出，则得到回归直线方程，再代入数据即可； （2）零假设，再计算卡方值与临界值比较即可. 【小问1详解】 由表中的数据可知，， ， ， 所求回归直线方程为. 当时，， 该小区8月份对这款App不满意人数估计为45人. 【小问2详解】 零假设为:对这款App是否满意与性别无关联. 由表中的数据可得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 即可以认为成立，即对这款App是否满意与性别无关联. 17. 袋中有大小、形状完全相同的4个红球，2个白球，采用有放回摸球，从袋中随机摸出1个球，定义变换为：若摸出的球是白球，则把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）；若摸出的是红球，则将图象上所有的点向上平移1个单位，函数经过1次变换后的函数记为，经过2次变换后的函数记为，…，经过次变换后的函数记为．现对函数进行连续的变换． （1）若第一次摸出的是白球，第二次摸出的是红球，求； （2）记，求随机变量的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析，期望为 【解析】 【分析】（1）第一次摸白球，通过变换得，则第二次摸红球； （2）分析出有4种情况，再得到的可能取值为，按步骤写出分布列，计算期望即可. 【小问1详解】 第一次从袋中摸出的是白球，把函数变换为， 第二次从袋中摸出的是红球，把函数变换为， 所以. 【小问2详解】 经过3次变换后，有4种情况: 若摸出的3个球都是白球，则； 若摸出的3个球为2个白球、1个红球，则； 若摸出的3个球为1个白球、2个红球，则； 若摸出的3个球都是红球，则； 所以随机变量的可能取值为. 因为从袋中随机摸出1个球，是白球的概率为，是红球的概率为， 故， ， ， . 所以所求随机变量的分布列为 所以，. 18. 刻画曲线的弯曲程度是几何研究的重要内容．曲线的曲率是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲线的曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．若记，则函数在点处的曲率． （1）求函数在点处的曲率； （2）已知函数存在两个不同的点，，使得在，处的曲率为0， （i）求的取值范围； （ii）当时，证明． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过一阶求导和二阶求导，再计算出，再利用曲率公式即可； （2）（i）转化为有两个不同的解，然后分离参数，再设新函数求导即可求出范围； （ii）由方程组得，再利用比值换元法，设函数求导即可证明. 【小问1详解】 ， ， 在点处的曲率为. 【小问2详解】 (i)， ， 存在两个不同的点，使得的曲率为0， 即有两个不同的解， 即有两个不同的解， ， 令，得，令，得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， ， 又当时，恒成立，且时，， . (ii)由得， 要证明:，只要证， 而， 令，则，欲证， 只要证:， 即即可. 令， ， 在时单调递增， 则， ，即， . 【点睛】关键点点睛：本题第二问第一小问的关键是采用分离参数法，第二小问的关键是利用比值换元法，再将原不等式等价转化为证明，最后作差结合导数即可证明. 19. 设集合，为的非空子集，随机变量，分别表示取到子集中的最大元素和最小元素的数值． （1）若，求； （2）若， （i）求且的概率； （ii）已知，求随机变量的均值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）10 【解析】 【分析】（1）根据古典概型公式，计算出总数和满足题意的情况数即可； （2）（i）计算出集合中有7个元素总情况数，再计算出时，集合的非空子集个数，再利用古典概型公式即可； （ii）通过分析得，，再利用均值公式结合等比数列求和公式即可得到答案. 【小问1详解】 当时，集合的非空子集的个数为， 其中这些子集中最大元素为4的集合个数为， . 【小问2详解】 （i）当集合中的最大元素和最小元素分别为8，2， 元素个数最少时， 元素个数最多时为7元素集， 集合可能情况有个； 当时，集合的非空子集个数为个； 且. （ii）当时，集合的非空子集个数为511个， 其中，最大值的子集可视为的子集与集合的并集共有个， 最大值的子集可视为的子集与集合的并集共有个， 最大值的子集可视为的子集与集合的并集共有个， . 最小值的子集可视为的子集与集合的并集共有个， 最小值子集可视为的子集与集合的并集共有个， ， . 【点睛】关键点点睛；本题第二问第二小问的关键是根据集合的知识得到，最后再代入均值公式计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $