第04讲 用空间向量研究直线、平面的平行和垂直（六大考点）-2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 第04讲 用空间向量研究直线、平面的平行和垂直 学习目标： 1．能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量. 2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行垂直关系. 3．能用向量方法证明有关直线、平面平行垂直关系的判定定理. 4．能用向量方法证明空间中直线平面的平行垂直关系. 重点难点： 重点：用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系 难点：用向量方法证明空间中直线、平面的平行、垂直关系 知识点一、空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间直线的向量表示 设A是直线上一点,是直线l的方向向量,在直线l上取,设P是直线l上任意一点, (1)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使. (2)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使 2．空间平面的向量表示 ①如图,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为和,P为平面α内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得 ②如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 知识点二、平面的法向量 1．平面法向量的定义 如图,直线,取直线l的方向向量,我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合 2．平面法向量的求法 平面法向量的确定通常有两种方法: (1)直接寻法:几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直即可. (2)待定系数法:当几何体中没有具体的直线可作为法向量时,根据已知平面内两条相交直线的方向向量,可以运用待定系数法求解平面的法向量(此时一般需要建立空间直角坐标系). 知识点三、空间平行关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线平行 使得 注：用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合 证明线线平行的两种思路： ①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过向量的线性运算,利用向量共线的充要条件证明; ②建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用向量平行的坐标表示． 线面平行 注：证明线面平行时,必须说明直线不在平面内； （1）证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直． （2）特别强调直线在平面外． 面面平行 使得 注:证明面面平行时,必须说明两个平面不重合 （1）利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行． （2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 知识点四、空间垂直关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线垂直 (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直,都可转化为两直线的方向向量相互垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直,坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 线面垂直 使得 （1）基向量法：选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （2）坐标法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标,证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （3）法向量法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论． 面面垂直 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直 考点01 平面的法向量的辨析及求法 1．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 2．直线的方向向量为，，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（    ） A．若∥，则 B．若∥β，则 C．若⊥，则 D．若∥β，则 3．（多选）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，则（    ）    A．平面的一个法向量为 B．平面的一个法向量为 C．点在x轴上的投影点坐标为 D．点关于平面对称点坐标为 4．在空间直角坐标系内，平面经过三点、、，向量是平面的一个法向量，则 ． 5．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1为正方体，    ①直线DD1的一个方向向量为； ②直线BC1的一个方向向量为； ③平面ABB1A1的一个法向量为； ④平面B1CD的一个法向量为； 则上述结论正确的是 （填序号） 考点02 利用空间向量证明线线平行、垂直 6．在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 7．（多选）点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，若正方体边长为，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 8．在直三棱柱中，四边形是边长为3的正方形，，，点分别是棱的中点． (1)求的值； (2)求证：． 9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1. 10．如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，上的动点，且，其中，以O为原点建立空间直角坐标系. (1)求证：； (2)若，求的值. 考点03 利用空间向量证明线面平行 11．若，且为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，则实数的值为 . 12．如图所示，正方体的棱长为2，E、F分别是棱BC、的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面AEF，则线段长度的最小值是 ． 13．如图，已知多面体是由正四棱锥P-ABCD与正方体组合而成的，且.    (1)求证：平面； (2)若，求四棱锥的体积. 14．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面. 15．如图，且，，且，且，平面ABCD，.若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：平面CDE； 16．如图所示，在直三棱柱中，，，，. (1)求证：； (2)在上是否存在点，使得平面，若存在，确定点位置并说明理由，若不存在，说明理由． 考点04 利用空间向量证明面面平行 17．已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是 . 18．如图，在棱长为1的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点. （1）计算棱台的体积； （2）求证：平面平面. 19．如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 20．如图，在正方体中，为底面的中心，是的中点．在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由． 考点05 利用空间向量证明线面垂直 21．已知直线是正方体体对角线所在直线，为其对应棱的中点，则下列正方体的图形中满足平面的是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（2）（4） 22．如图，在直三棱柱中，，，，.当时，求证：平面； 23．如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面. 24．如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，且，E为棱AD的中点，．求证：平面． 25．如图，底面为正方形的四棱锥中，平面为棱上一动点，.      (1)当为中点时，求证:平面; (2)当平面时，求的值. 26．如图1，在边长为2的菱形中，，将沿对角线折起到的位置，使平面平面，E是BD的中点，平面ABD，且，如图2． (1)求证：平面； (2)在线段AD上是否存在一点M，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 27．正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面，线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．已知正方体的棱长为1，在棱上运动，在线段上运动，直线与平面交于点．    (1)当为中点时，证明：平面； (2)若平面，求的最大值及此时的长． 考点06 利用空间向量证明面面垂直 29．如图，在四棱锥中，已知平面，直线与平面所成的角是，底面ABCD是菱形，，，点E，F分别为BC，PD的中点，Q是直线PC与平面AEF的交点．    (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥体积． 30．如图所示，在直三棱柱中，，，，E为的中点，证明：平面平面. 31．如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在的平面互相垂直，已知，. (1)求证：； (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 32．在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（    ） A． B． C． D．1 33．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论一定正确的是（    ）    A．平面平面 B．平面平面 C．直线平面 D．直线平面 34．平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．    (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 35．在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 基础试炼 一、单选题 1．已知平面α上的两个向量，，则平面α的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 2．已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C． D．4 3．如图，在正方体中，不能互相垂直的两条直线是（    ）    A．和 B．和 C．和 D．和 4．如图所示，在正方体中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且，若∥平面，则（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 5．已知分别为空间中两条不重合的直线的方向向量，分别为两个不重合的平面的法向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．如图正方体中，为正方形的中心，分别为的中点，下列结论正确的是（    ）    A．平面 B． C． D．平面 三、填空题 7．已知，平面的法向量，若，则 ． 8．如图所示，在正方体中，E是棱DD1的三等分点（靠近点），点F在棱C1D1上，且，若∥平面，则 . 四、解答题 9．如图，在长方体中，，点分别为棱的中点，求证：平面； 10．长方体中，，.点为中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 11．如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 12．如图，棱柱中，侧棱底面，，E，F分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)设，在平面上是否存在点P，使？若存在，指出P点的位置：若不存，请说明理由. 高阶突破 1．如图，在棱长为2的正方体中，、分别是棱，的中点，过点作平面，使得∥平面，且平面与交于点，则（    ）    A． B． C． D． 2．（多选）在正方体中，点为线段上的动点，直线为平面与平面的交线，则（    ） A．存在点，使得面 B．存在点，使得面 C．当点不是的中点时，都有面 D．当点不是的中点时，都有面 3．（多选）如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方体上底面上的动点，则（    ）    A．满足平面的点的轨迹长度为 B．满足的点的轨迹长度为 C．存在唯一的点满足 D．存在点满足 4．如图，棱长为2的正方体中，为的中点，点在底面上（包括边界）移动，且满足，则点在底面上运动形成的轨迹长度为 . 5．在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱的中点，直线与平面交于点． (1)求； (2)求； (3)若点在棱BC上，且平面，求的长． 6．如图，在三棱锥中，和都是正三角形，E是的中点，点F满足． (1)求证：平面平面； (2)若，且平面，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 第04讲 用空间向量研究直线、平面的平行和垂直 学习目标： 1．能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量. 2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行垂直关系. 3．能用向量方法证明有关直线、平面平行垂直关系的判定定理. 4．能用向量方法证明空间中直线平面的平行垂直关系. 重点难点： 重点：用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系 难点：用向量方法证明空间中直线、平面的平行、垂直关系 知识点一、空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间直线的向量表示 设A是直线上一点,是直线l的方向向量,在直线l上取,设P是直线l上任意一点, (1)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使. (2)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使 2．空间平面的向量表示 ①如图,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为和,P为平面α内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得 ②如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 知识点二、平面的法向量 1．平面法向量的定义 如图,直线,取直线l的方向向量,我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合 2．平面法向量的求法 平面法向量的确定通常有两种方法: (1)直接寻法:几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直即可. (2)待定系数法:当几何体中没有具体的直线可作为法向量时,根据已知平面内两条相交直线的方向向量,可以运用待定系数法求解平面的法向量(此时一般需要建立空间直角坐标系). 知识点三、空间平行关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线平行 使得 注：用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合 证明线线平行的两种思路： ①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过向量的线性运算,利用向量共线的充要条件证明; ②建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用向量平行的坐标表示． 线面平行 注：证明线面平行时,必须说明直线不在平面内； （1）证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直． （2）特别强调直线在平面外． 面面平行 使得 注:证明面面平行时,必须说明两个平面不重合 （1）利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行． （2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 知识点四、空间垂直关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线垂直 (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直,都可转化为两直线的方向向量相互垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直,坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 线面垂直 使得 （1）基向量法：选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （2）坐标法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标,证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （3）法向量法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论． 面面垂直 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直 考点01 平面的法向量的辨析及求法 1．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设平面内任意一点，则，平面的一个法向量为 所以，整理得， 而，，，， 所以对比选项可知只有在平面内. 故选：C. 2．直线的方向向量为，，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（    ） A．若∥，则 B．若∥β，则 C．若⊥，则 D．若∥β，则 【答案】B 【详解】由题意， 选项A，若共线，，A错误； 选项B，若垂直，则，B正确； 选项C，若共线，，C错误； 选项D，若共线，，D错误． 故选：B． 3．（多选）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，则（    ）    A．平面的一个法向量为 B．平面的一个法向量为 C．点在x轴上的投影点坐标为 D．点关于平面对称点坐标为 【答案】ACD 【详解】由题知，，，，，，， 对于A，因为正方体， 所以平面， 是平面的一个法向量，故A正确； 对于B，∵，且， ∴不是平面的法向量，故B错误； 对于C，点在x轴上的投影点为，故C正确； 对于D，点关于平面对称点坐标为， ∴点关于平面对称点坐标为，故D正确. 故选：ACD. 4．在空间直角坐标系内，平面经过三点、、，向量是平面的一个法向量，则 ． 【答案】7 【详解】因为、、， 所以， 因为向量是平面的一个法向量， 所以，解得， 所以. 故答案为：7 5．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1为正方体，    ①直线DD1的一个方向向量为； ②直线BC1的一个方向向量为； ③平面ABB1A1的一个法向量为； ④平面B1CD的一个法向量为； 则上述结论正确的是 （填序号） 【答案】①②③ 【详解】设正方体的棱长为1. 因为，且，所以①正确； 因为，，所以②正确； 因为平面，，所以③正确； 因为正方体中平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，而与相交，不平行，与平面不垂直， 故不是平面的法向量，所以④错误. 故答案为：①②③. 考点02 利用空间向量证明线线平行、垂直 6．在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】B 【详解】由，，，， 得，，则，即， 而，显然向量不共线，即点不在直线上， 所以直线与平行． 故选：B 7．（多选）点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，若正方体边长为，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则点、、，设点， ，， 因为，则，所以，， 所以，. 故选：BC. 8．在直三棱柱中，四边形是边长为3的正方形，，，点分别是棱的中点． (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）依题意可知两两相互垂直， 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 可得， . （2）因为， ， . 9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1. 【答案】证明见解析 【详解】证明：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)， ∴=(1，0，1)，=(-1，1，0)，设=(a，b，c)， 则即取=(1，1，-1). 易知， ∴， ∴， 即PQ∥BD1. 【点睛】本题主要考查了空间向量垂直关系的坐标运算，向量平行的坐标表示，属于中档题. 10．如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，上的动点，且，其中，以O为原点建立空间直角坐标系. (1)求证：； (2)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由已知可得，， 所以，，，， 则，， ， ，即. （2）当时，，，， 则，， 所以 . 故：. 考点03 利用空间向量证明线面平行 11．若，且为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，则实数的值为 . 【答案】-8 【详解】由题意，解得. 故答案为：-8. 12．如图所示，正方体的棱长为2，E、F分别是棱BC、的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面AEF，则线段长度的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，，设点，其中、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， ，因为平面，则， 所以，，即， 所以， ， 当且仅当时，的长度取最小值. 故答案为：. 13．如图，已知多面体是由正四棱锥P-ABCD与正方体组合而成的，且.    (1)求证：平面； (2)若，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)9． 【详解】（1）如图以点为原点，为 x 轴为 y 轴为 z 轴建立空间直角坐标系． 设 ,则 ,过 P 作平面 . 是正四棱锥点是正方形的中心, 因为，所以, 设平面法向量为, , , 则, 可得, 所以,,不在平面内，所以平面    （2）因为，所以, 因为平面,所以， 因为,平面,平面,所以平面, 14．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面. 【答案】证明见解析 【详解】如图所示，以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则， 若，则，， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面 平面的其中一个法向量为， 所以，即， 又因为平面， 所以平面. 15．如图，且，，且，且，平面ABCD，.若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：平面CDE； 【答案】证明见解析 【详解】因为，，平面ABCD， 而AD､平面ABCD，所以，， 因此以D为坐标原点，分别以､､的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系. 因为且，且，， 所以，，，，，，，，. 设为平面CDE的法向量，，， 则，不妨令，可得； 又，所以. 又∵直线平面CDE，∴平面CDE； 16．如图所示，在直三棱柱中，，，，. (1)求证：； (2)在上是否存在点，使得平面，若存在，确定点位置并说明理由，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)在上存在点使得平面，且为的中点． 【详解】（1）因为，，，所以， 如图所示，在直三棱柱中，以为坐标原点，直线、、分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 因为，， 所以，，即. （2）若存在点使平面，则，， ，，，， 因为平面，所以存在实数、，使成立， 则，解得， 故在上存在点使平面，此时点为中点. 考点04 利用空间向量证明面面平行 17．已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是 . 【答案】6 【详解】∵，∴的法向量与的法向量也互相平行. ∴，∴. 故答案为：6. 18．如图，在棱长为1的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点. （1）计算棱台的体积； （2）求证：平面平面. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【详解】（1）由题可知，，，. 根据棱台的体积公式，可得. （2）如图所示: 连接，则. 又平面， 平面 所以平面 连接，则. 所以四边形为平行四边形， 所以. 又平面，平面， 所以平面 因为， 所以平面平面. 【点睛】本题主要考查几何体的体积求法以及线面平行和面面平行的判定定理，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于中档题. 19．如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，P为线段的中点 【详解】（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点P使得平面，. 由（1）得，，平面的一个法向量为， 所以. 所以，解得. 所以当P为线段的中点时，平面. 20．如图，在正方体中，为底面的中心，是的中点．在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，为的中点. 【详解】当为的中点时，平面平面． 证明如下：设符合题意．连接，，． 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则，，，，， ∴，，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，∴平面的一个法向量为． 若平面平面，则也是平面的一个法向量． ∵， ∴，∴， 又， ∴当为的中点时，平面平面． 考点05 利用空间向量证明线面垂直 21．已知直线是正方体体对角线所在直线，为其对应棱的中点，则下列正方体的图形中满足平面的是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（2）（4） 【答案】B 【详解】设正方体的边长为2， 对于图（1），建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，直线的方向向量为， ，， 因为，， 所以，，，平面， 所以平面，故图（1）正确； 对于图（2），建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，直线的方向向量为， 则，因为，所以与不垂直， 所以与平面不垂直，故图（2）错误； 对于图（3），建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 直线的方向向量为，因为，， 所以，，，平面， 所以平面，故图（3）正确； 对于图（4），建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 直线的方向向量为，因为， 所以与不垂直，所以与平面不垂直，故图（4）正确. 综上，正确的有图（1）（3）. 故选：B. 22．如图，在直三棱柱中，，，，.当时，求证：平面； 【答案】证明见解析 【详解】证明：以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， ， 当时，，所以， 可得，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面. 23．如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）根据题意可知平面平面， 平面平面， 又是正方形，所以，平面，    所以平面，从而可得，，两两垂直； 以D为原点，分别以，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 又为的中点，所以， 则， 所以，故共面． 又平面，所以平面； （2） 易知，所以； 又，可得； 又，平面， 所以平面. 24．如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，且，E为棱AD的中点，．求证：平面． 【答案】证明见解析 【详解】过点E作底面ABCD的垂线交A1D1于F， 以E为坐标原点，EA、EB、EF所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ），D（00），B1（0）， 所以，（1），（1）， 因为，， 所以A1C1⊥DB1，A1B⊥DB1， 又A1B∩A1C1＝A1，A1B、A1C1⊂平面BA1C1， 所以DB1⊥平面BA1C1． 25．如图，底面为正方形的四棱锥中，平面为棱上一动点，.      (1)当为中点时，求证:平面; (2)当平面时，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【详解】（1）证明：连接 ，设，则为的中点， 连接 ，因为和分别为，的中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面 .    （2）解：以为原点，分别为和轴, 过做的平行线为轴，建立空间坐标系，如图所示，设， （3） （4）则， 所以， 设，可得，则， 由平面，所以，解得， 所以.    26．如图1，在边长为2的菱形中，，将沿对角线折起到的位置，使平面平面，E是BD的中点，平面ABD，且，如图2． (1)求证：平面； (2)在线段AD上是否存在一点M，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）∵，E为BD的中点， ∴⊥， 又平面⊥平面，且平面平面，平面， ∴⊥平面， ∵平面， ∴， 而平面，平面， ∴平面； （2）由（1）知，⊥平面，平面， 所以⊥，⊥，又⊥， 故以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，    设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 假设在线段AD上存在，使得平面， 设，则， ∴．则． 平面的法向量， 由，即，即，无解，不存在． ∴线段AD上不存点M，使得平面． 27．正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面，线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】结合题意：以分别为建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，可得. 设， 则， 因为平面，所以, 即，解得， 所以，所以， 所以， 因为，结合复合函数单调性可得在单调递增. 故. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于利用平面，找到，从而得到. 28．已知正方体的棱长为1，在棱上运动，在线段上运动，直线与平面交于点．    (1)当为中点时，证明：平面； (2)若平面，求的最大值及此时的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为， 【详解】（1）以为坐标原点，方向为轴，建立空间直角坐标系，    则， 设， 当E，F为中点时，，有， 所以，，，有，， 所以，又平面， 所以平面． （2）由（1）可得，，， 若平面，则，，所以， 设，则， 由平面ACE，所以， 当时，，有，当时，等号成立， 所以，即， 综上，的最大值为，． 考点06 利用空间向量证明面面垂直 29．如图，在四棱锥中，已知平面，直线与平面所成的角是，底面ABCD是菱形，，，点E，F分别为BC，PD的中点，Q是直线PC与平面AEF的交点．    (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 且为直线PC与平面所成的角，所以， 因为是菱形，，，故．所以， 因为点F分别为的中点，，所以． 因为点E为BC的中点，，所以， 又，所以，又平面， 所以平面，又平面，所以． 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）分别以所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，    则， 则，， 设， 则， 设平面AEQF的一个法向量为， 则，所以，取． 由，得， 解得，此时． 因此点Q到平面的距离等于点C到平面的距离的， 而点Q到平面的距离等于，又． 于是． 故所求三棱锥体积为． 30．如图所示，在直三棱柱中，，，，E为的中点，证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【详解】由题意得两两垂直，以B为原点，分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，所以， 设平面AEC1的一个法向量为， 则， 令，得，所以， 因为， 所以，所以平面平面. 31．如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在的平面互相垂直，已知，. (1)求证：； (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1） 证明：∵平面平面，平面， ，平面，∴平面. ∵平面，∴， 过A作于H， 则， ∴，∴，∴. ∵，平面， ∴平面. ∵平面，∴. （2） 存在.理由：由（1）知，两两垂直， 以A为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合， 设，则， 由，可求得. 设平面PAC的一个法向量为，则， 由， 可得， 即，令，则，所以为平面PAC的一个法向量. 又， 设平面BCEF的一个法向量为， 则，可得， 所以为平面BCEF的一个法向量. 当，即时，平面平面，故存在满足题意的P， 此时. 32．在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 设，平面的法向量为， 则， 解得，令得， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 故， 由题意得， 解得，故 故选：D 33．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论一定正确的是（    ）    A．平面平面 B．平面平面 C．直线平面 D．直线平面 【答案】A 【详解】如图建立空间直角坐标系，令，则，，，，，， 设，， 则，，，，， 设平面的法向量为，则，取， 同理可求平面的一个法向量为， ①当与重合即时设平面的一个法向量为， 此时，所以平面平面， 又平面的一个法向量为，满足，所以平面平面， 又，所以，显然直线与平面不平行，故C错误； 而直线平面，故D错误； ②当与不重合即时设平面的一个法向量为， 则，取， 此时，即平面平面， 又，所以平面与平面不垂直，故B错误； 综上可得若为线段上的点，均可满足平面平面，故A正确； 故选：A    34．平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．    (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）取中点，连接，如图，    又为的中点， ，由，则， 又为等腰直角三角形，，， ，又，平面， 平面，又平面， （2）平面平面，平面平面，，平面， 平面，平面，故， 故以为原点，为、、轴正方向的空间直角坐标系，设，   ， 则，，， 若存在使得平面平面，且，， 则，解得，， 则，， 设为平面的一个法向量，则， 令，即， 设是平面的一个法向量，则， 令，则， ，可得． 存在使得平面平面，此时 35．在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，点在直线（点在直线上且）上 【详解】（1）在中，点D、E分别为边AC、AB的中点， 且. 又平面平面，平面平面平面， 平面. 又平面. （2）由（1）知，. 以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. ， 设为平面的一个法向量， 则，取，则. 假设在平面内存在点，使得平面平面.连接. 若，则设.设平面的一个法向量为. 由，取，则. 平面的法向量.由知，此情况不成立. 若与不共线，设，连接.    设，则. 当，即时，. 又平面，即平面平面，也即平面平面. 所以在平面内存在点，当点在直线（点在直线上且）上时， 平面平面. 基础试炼 一、单选题 1．已知平面α上的两个向量，，则平面α的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】显然与不平行，设平面α的法向量为， 则，所以，令，得，. 所以． 故选：C. 2．已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】由，得，即，解得. 故选：C 3．如图，在正方体中，不能互相垂直的两条直线是（    ）    A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】在正方体中，以点为坐标原点， 、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    设该正方体的棱长为，则、、、、、 、、. 对于A选项，，，则，故； 对于B选项，，，故，B对； 对于C选项，，，故和不垂直，C错； 对于D选项，，，故，D对, 故选：C. 4．如图所示，在正方体中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且，若∥平面，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，以A为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，    则， 可得， 设是平面的法向量，则， 令，则，即， 由，且，可得， 又因为，则， 由∥平面，可得，解得. 故选：C. 二、多选题 5．已知分别为空间中两条不重合的直线的方向向量，分别为两个不重合的平面的法向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A中，由，可得，则，当时，，所以A错误； 对于B中，由，可得，则，所以B正确； 对于C中，因为分别为两个不重合的平面的法向量，若，可得，所以C正确； 对于D中，因为分别为两个不重合的平面的法向量，若，可得，所以D不正确. 故选：BC. 6．如图正方体中，为正方形的中心，分别为的中点，下列结论正确的是（    ）    A．平面 B． C． D．平面 【答案】AC 【详解】   如图建系，因为点E是棱的中点，点F是棱的中点，点G是面的中心，设正方体的边长为1， 可得， 设平面法向量， ， ，令，， ，，平面， 所以平面， A选项正确； ，与不平行，不与平面垂直，D选项错误； ，，故C选项正确； 可得 ，B选项错误. 故选：AC 三、填空题 7．已知，平面的法向量，若，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以与共线， 又，，则， 所以，. 故答案为：. 8．如图所示，在正方体中，E是棱DD1的三等分点（靠近点），点F在棱C1D1上，且，若∥平面，则 . 【答案】 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为3， ，设， 所以设平面的法向量为， 所以，取，则， ， 由于∥平面，所以，即， 故，所以 所以， 故答案为： 四、解答题 9．如图，在长方体中，，点分别为棱的中点，求证：平面； 【答案】证明见解析 【详解】方法一：因为是的中点， 所以和是等腰直角三角形， 所以， 所以， 因为平面平面，所以， 又平面，且， 所以平面； 方法二：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， ， 所以， 所以， 所以，， 又平面，且， 所以平面. 10．长方体中，，.点为中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【详解】（1）因为是长方体， 所以平面，而平面， 所以， 又因为， 所以侧面是正方形，因此， 因为平面， 所以平面； （2）建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， 则有， 因为， 所以有平面. 11．如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，当与重合时，使得∥平面. 【详解】（1）证明：连接交于点， 因为四边形为菱形，所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面； （2）解：取的中点，连接， 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形， 所以， 因为平面，平面，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系， 设，则， 所以， 假设存在点，使得∥平面， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 由，得， 此时与重合，平面， 所以存在点，当与重合时，使得∥平面. 12．如图，棱柱中，侧棱底面，，E，F分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)设，在平面上是否存在点P，使？若存在，指出P点的位置：若不存，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)当时，为棱的中点. 【详解】（1）由E，F分别为和的中点，得， 而平面，平面， 所以平面. （2）棱柱中，侧棱底面， 取AB中点O，中点M，连接， 则，平面，而平面，则有， 又，则，即直线两两垂直， 以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， 假设在平面上存在点P，使，设， ， ，即，显然， 由，得，因此，即，此时， 所以当时，存在唯一的点，即棱的中点，使. 高阶突破 1．如图，在棱长为2的正方体中，、分别是棱，的中点，过点作平面，使得∥平面，且平面与交于点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，    则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为∥平面，可知平面的法向量为， 设，可得， 可得，解得， 则，可得， 所以. 故选：C. 2．（多选）在正方体中，点为线段上的动点，直线为平面与平面的交线，则（    ） A．存在点，使得面 B．存在点，使得面 C．当点不是的中点时，都有面 D．当点不是的中点时，都有面 【答案】ACD 【详解】 当点与点重合时，由，而面，面，可知面，即A正确. 若面，注意到面，则， 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1， ， 所以，与矛盾，即B错误. 当不是的中点时，由，且面，面，可知面， 又直线为面与面的交线，则，又面，面，从而可得面，即C正确. 同上，有，又面，面，所以， 又面， 所以面，则面，即D正确. 故选：ACD. 3．（多选）如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方体上底面上的动点，则（    ）    A．满足平面的点的轨迹长度为 B．满足的点的轨迹长度为 C．存在唯一的点满足 D．存在点满足 【答案】ABC 【详解】对于A，取的中点，的中点，又点为的中点， 由正方体的性质知，平面，平面 所以平面，同理平面，，平面， 所以平面平面，又平面，平面， 故点的轨迹为线段，故A正确；    以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，设且，， ，，，    对于B，，即， 又，，则点的轨迹为线段， ，且，故B正确； 对于C，， 显然，只有，时，，即，故存在唯一的点满足，故C正确； 对于D，点关于平面的对称点的为，三点共线时线段和最短， 故，故不存在点满足，故D错误． 故选：ABC． 4．如图，棱长为2的正方体中，为的中点，点在底面上（包括边界）移动，且满足，则点在底面上运动形成的轨迹长度为 . 【答案】 【详解】由正方体棱长为2，以为坐标原点，分别以为轴建立如下图所示的空间直角坐标系； 设且， 易知，可得， 由可知，即， 即. 当时，，即图中的中点； 当时，，即图中点； 即可得点在底面上运动形成的轨迹为线段，易知. 故答案为： 5．在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱的中点，直线与平面交于点． (1)求； (2)求； (3)若点在棱BC上，且平面，求的长． 【答案】(1)2 (2) (3) 【详解】（1）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 所以； （2）设，则 设平面的法向量为， 则，令得， 依题意可得， 解得，所以； （3）设，则， 由（2）知，则， 因为， 所以， 所以是平面的一个法向量．因为平面， 所以，解得， 所以的长为. 6．如图，在三棱锥中，和都是正三角形，E是的中点，点F满足． (1)求证：平面平面； (2)若，且平面，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【详解】（1）如图，连接，因为，所以．所以A，E，D，F四点共面． 因为在三棱锥中，和都是正三角形，E是的中点， 所以，．因为平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）如图，记的中心为O，连接， 由（1）平面，而平面，故， 又平面，故平面平面， 而平面平面，平面，故平面， 过作直线，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为是正三角形，，所以，，． 所以，，，，． 所以，． 设平面的一个法向量为，则，即， 令，则，，所以． 因为，， 所以． 因为平面，所以， 即，解得， 此时．故DF的长为6． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$