第03讲 空间向量及其运算的坐标表示（七大考点）-2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 第03讲 空间向量及其运算的坐标表示 学习目标： 1．在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性. 2．会用空间直角坐标系刻画点的位置.，掌握空间向量的坐标表示. 3．掌握空间向量的线性运算和数量积的坐标表示. 4．借助空间向量运算的坐标表示,探索并得出空间两点间的距离公式. 重点难点： 重点：理解空间向量的坐标表示及其运算； 难点：运用空间向量的坐标运算解决简单的立体几何问题 知识点一、空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 （1）在空间选定一点O和一个单位正交基底,以O为原点,分别以的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. （2）相关概念： O叫做原点,都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面,它们把空间分成八个部分． 画空间直角坐标系Oxyz时,一般使(或45°),. 2．空间向量的坐标表示 （1）空间点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中,为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标． （2）空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作． 知识点二、空间向量的运算及坐标的关系 设向量,那么 向量运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 共线 垂直 向量长度 向量夹角公式 知识点三、向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中,设． （1）； （2）； （3）若则 考点01 空间向量的坐标表示 1．已知，则向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）已知空间直角坐标系中，点A的坐标为，坐标原点为O，且与方向相反，则（    ） A．x+y+z=0 B．x=3y C．x+z=0 D．4y+z=0 3．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是 4．若､，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是 . 5．已知点，，，则点的坐标为 ． 考点02 空间向量的直角坐标运算 6．若向量，向量，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，则以下结论正确的有（    ） A． B． C． D． 9．如图，在长方体中，，分别为，的中点，是线段上一点，满足，若，则 ． 10．已知三点点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标 ． 考点03 空间向量的共线与共面 11．已知向量，，，若向量与向量，共面，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 12．定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 13．（多选）已知向量，则与共线的单位向量（    ） A． B． C． D． 14．已知，，，，若，，，四点共面，则 ． 考点04 空间向量模长坐标表示 15．若向量，则（　　） A． B．4 C．1 D．3 16．已知点为坐标原点，且，则（    ） A．36 B． C．6 D． 17．向量，，若，，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 18．已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为 ． 19．已知是坐标原点，空间向量，，，若线段的中点为，则 . 20．在棱长为2的正方体中，E为的中点，点P在底面上移动，且满足，则线段的长度的最大值为(    ) A．2 B．3 C． D． 21．点的坐标满足，点，则的最小值是 ，的最大值是 . 考点05 空间向量平行坐标表示 22．，，若，则 . 23．若三点共线，则 ． 24．已知，，若，则实数λ与μ的值可以是（    ） A．2， B．， C．，2 D．2，2 25．已知为原点，，，，点在直线上运动，则取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 考点06 空间向量垂直坐标表示 26．下列四对向量中，垂直的是（    ） A．， B．， C．， D．， 27．已知点，则的面积为 . 28．已知，，其中，，若，则的最小值为 ． 29．已知向量，O为坐标原点，点． (1)求； (2)若点E在直线AB上，且，求点E的坐标． 30．如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则（    ） A． B． C． D． 考点07 空间向量夹角坐标表示 31．已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 32．设空间两个不同的单位向量、与向量的夹角都是，则的值为（    ） A． B． C． D． 33．已知，则 . 34．已知向量，，若与夹角为，则的值为 ． 35．如图，为正方体，动点在对角线上，记．当为钝角时，的取值范围为 ．    36．若空间两个单位向量、与的夹角都等于θ，则当θ取最小值时， ． 基础试炼 一、单选题 1．在空间直角坐标系中，已知三点，若点C在平面内，则点C的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 2．已知空间向量,若,则（    ） A．6 B． C．36 D．5 3．已知空间向量，，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 4．若与的夹角为钝角，则的取值不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知直线和平面，且，的方向向量为，平面的一个法向量为，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 二、多选题 6．在空间直角坐标系中，已知某平行四边形三个顶点的坐标分别为 ，，，则第四个顶点的坐标可能为（  ） A． B． C． D． 7．已知向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则向量在向量上的投影向量 三、填空题 8．如图，在长方体中，，，，以直线DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，在中，给出以下结论：①点的坐标为；②点关于点B对称的点为；③点A关于直线对称的点为；④点C关于平面对称的点为.其中所有正确结论的序号是 . 9．定义.若向量，向量为单位向量，则的取值范围是 . 10．已知空间三点在直线OA上有一点H满足，则点H的坐标为 . 四、解答题 11．已知空间三点，，，设，． (1)若与互相垂直，求实数的值； (2)若，，求． 12．如图，在直三棱柱中，线段，，的中点分别为，，.已知，，.    (1)证明：； (2)求. 高阶突破 1．设，都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，点，分别是线段，上的动点，且，与交于G，在与之间滑动，但与和均不重合．现将四边形沿直线折起，使平面平面，在从滑动到的过程中，的大小（    ）    A．先变小后变大 B．先变大后变小 C．不发生变化 D．由小变大 3．已知正四棱柱的底面边长为，高为，则集合中元素的个数为（    ） A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系Oxyz中，，，若直线AB与平面xOy交于点，点P的轨迹方程为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 5．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 6．在棱长为1的正方体中，若点P是棱上一点，则满足的点P的个数为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 第03讲 空间向量及其运算的坐标表示 学习目标： 1．在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性. 2．会用空间直角坐标系刻画点的位置.，掌握空间向量的坐标表示. 3．掌握空间向量的线性运算和数量积的坐标表示. 4．借助空间向量运算的坐标表示,探索并得出空间两点间的距离公式. 重点难点： 重点：理解空间向量的坐标表示及其运算； 难点：运用空间向量的坐标运算解决简单的立体几何问题 知识点一、空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 （1）在空间选定一点O和一个单位正交基底,以O为原点,分别以的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. （2）相关概念： O叫做原点,都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面,它们把空间分成八个部分． 画空间直角坐标系Oxyz时,一般使(或45°),. 2．空间向量的坐标表示 （1）空间点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中,为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标． （2）空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作． 知识点二、空间向量的运算及坐标的关系 设向量,那么 向量运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 共线 垂直 向量长度 向量夹角公式 知识点三、向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中,设． （1）； （2）； （3）若则 考点01 空间向量的坐标表示 1．已知，则向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 故选：B 2．（多选）已知空间直角坐标系中，点A的坐标为，坐标原点为O，且与方向相反，则（    ） A．x+y+z=0 B．x=3y C．x+z=0 D．4y+z=0 【答案】ABD 【详解】由题意，得：， 且， 其中，则，，， 则：，即选项A正确； ，即选项B正确； ，即选项C错误； ，即选项D正确. 故选：ABD. 3．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是 【答案】 【详解】因为，为坐标原点，所以， 又因为为正方体，所以 所以. 故答案为： 4．若､，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是 . 【答案】 【详解】解：点､，为线段上一点，且， 所以， 设点的坐标为，则， 则，即， 解得，即； 故答案为：． 5．已知点，，，则点的坐标为 ． 【答案】/ 【详解】点，，则 设点，则 由，则 ，即， 所以点的坐标为 故答案为： 考点02 空间向量的直角坐标运算 6．若向量，向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为向量，向量， 所以. 故选：C 7．（多选）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为， 则，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误； 故选：AC 8．（多选）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，则以下结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】依题意可知，四棱锥是正四棱锥，设， 连接，则平面， 由于平面，所以， 由于，所以两两相互垂直， 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 四边形是正方形，， ，， 所以， ， ， ，A选项错误. ，B选项错误. ，C选项正确. ，所以D选项正确. 故选：CD 9．如图，在长方体中，，分别为，的中点，是线段上一点，满足，若，则 ． 【答案】/. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设， 因为，分别为，的中点，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，， 所以，所以，解得，所以， 故答案为：##. 10．已知三点点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标 ． 【答案】 【详解】设，∵， 则由点在直线OP上可得存在实数λ使得 ， 所以，则， 所以，， 所以， 根据二次函数的性质可得当时，取得最小值，此时点的坐标为：. 故答案为： 考点03 空间向量的共线与共面 11．已知向量，，，若向量与向量，共面，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】向量与向量，共面，不共线，则， 即，故，解得. 故选：C. 12．定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误； 对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故B错误； 对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底， 则由能推出， 对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面， 则当无法推出，故D错误. 故选：C． 13．（多选）已知向量，则与共线的单位向量（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】依题意，， 即或. 故选：AC 14．已知，，，，若，，，四点共面，则 ． 【答案】2 【详解】设，且， ∴， ∴． 故答案为：2 考点04 空间向量模长坐标表示 15．若向量，则（　　） A． B．4 C．1 D．3 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A． 16．已知点为坐标原点，且，则（    ） A．36 B． C．6 D． 【答案】C 【详解】因为， 所以． 又，解得， 所以， 则， 所以． 故选：. 17．向量，，若，，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【详解】因为，则，即， 又，则，即，所以， 则. 故选：D 18．已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为 ． 【答案】 【详解】由题意，向量在方向上的投影为：，， 则与同向的单位向量为， 所以向量在方向上的投影向量为：. 故答案为： 19．已知是坐标原点，空间向量，，，若线段的中点为，则 . 【答案】3 【详解】由题意，，， 因为线段的中点为， 所以， 从而，. 故答案为：3. 20．在棱长为2的正方体中，E为的中点，点P在底面上移动，且满足，则线段的长度的最大值为(    ) A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】以为原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，设，，， 则，， ，， ，则易求， ， 由二次函数的性质可知，当时，可取到最大值9， 线段的长度的最大值为3． 故选：B． 21．点的坐标满足，点，则的最小值是 ，的最大值是 . 【答案】 3 5 【详解】因为在空间中表示以坐标原点O为球心、1为半径的球面， ， 所以， 故答案为：3；5 考点05 空间向量平行坐标表示 22．，，若，则 . 【答案】8 【详解】由，则， 即，得，解得， 所以. 故答案为：8 23．若三点共线，则 ． 【答案】 【详解】，且三点共线， 存在实数，使得． 即， 解得 故答案为：. 24．已知，，若，则实数λ与μ的值可以是（    ） A．2， B．， C．，2 D．2，2 【答案】A 【详解】若，则存在实数，使得， 则，解得，且或， 故选：A. 25．已知为原点，，，，点在直线上运动，则取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因点在直线上运动，则，设，于是有， 因为，，所以，， 因此，， 于是得 ， 则当时，，此时点， 所以当取得最小值时，点的坐标为. 故选：C 考点06 空间向量垂直坐标表示 26．下列四对向量中，垂直的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】对A，因为，故两向量不垂直，故A错误； 对B，因为，故两向量垂直，故B正确； 对C，因为，故两向量不垂直，故C错误； 对D，因为，故两向量不垂直，故D错误； 故选：B. 27．已知点，则的面积为 . 【答案】/ 【详解】由题意可知，显然， 故的面积为. 故答案为： 28．已知，，其中，，若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，故即， 故， 当且仅当时等号成立，故的最小值为， 故答案为：. 29．已知向量，O为坐标原点，点． (1)求； (2)若点E在直线AB上，且，求点E的坐标． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）， 则， 故. （2）点E在直线AB上，， 则可设， ∵， ∴，即，解得， 故点E的坐标为． 30．如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】建立空间直角坐标系如图， 则，，，，， 设，由，得， 所以，，， 所有，， 因为，， 所以，得. 故选：C. 考点07 空间向量夹角坐标表示 31．已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为空间三点、、，则，， 所以，，，， 所以，， 因为，则， 所以，以、为邻边的平行四边形的面积为. 故选：D. 32．设空间两个不同的单位向量、与向量的夹角都是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知、为单位向量，设 故，， 又它们与向量的夹角都是， 故， 即， 故选：D 33．已知，则 . 【答案】 【详解】向量， , ， ∴， 与的夹角为. 故答案为： 34．已知向量，，若与夹角为，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为，，且与夹角为， 则，，， 所以， 由题可知，解得. 故答案为：. 35．如图，为正方体，动点在对角线上，记．当为钝角时，的取值范围为 ．    【答案】 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，    则； ，， 因为，所以，， 设，则， 即，解得，所以， 则，， ， 与是异面直线，显然不是平角， 则为钝角，有，解得． 所以的取值范围为． 故答案为：. 36．若空间两个单位向量、与的夹角都等于θ，则当θ取最小值时， ． 【答案】/0.5 【详解】由题意可得，则， 由， 故，当且仅当或时等号成立， 故，由于，故当时，此时θ取最小值时， 故， 故答案为： 基础试炼 一、单选题 1．在空间直角坐标系中，已知三点，若点C在平面内，则点C的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，， 显然，不共线， 根据向量基本定理可得， 故C点坐标为， 经验算只有B选项符合条件， 此时， 故选：B 2．已知空间向量,若,则（    ） A．6 B． C．36 D．5 【答案】A 【详解】因为，所以，所以，所以. 故选：A 3．已知空间向量，，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【详解】由题意可得， 因为，所以， 解得. 故选：D. 4．若与的夹角为钝角，则的取值不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】设与的夹角为，则为钝角， 所以，即， 又因为，， 所以，解得：， 若与共线，则，此方程组无解，所以与不共线， 所以，结合选项可知：的取值不可能为， 故选：D. 5．已知直线和平面，且，的方向向量为，平面的一个法向量为，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】由得：， 所以 因为，所以， 所以，当且仅当等号成立， 故选：A. 二、多选题 6．在空间直角坐标系中，已知某平行四边形三个顶点的坐标分别为 ，，，则第四个顶点的坐标可能为（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】设第四个顶点的坐标为， ①，与，的中点重合， 则，解得， ②，与，的中点重合， 则，解得， ②，与，的中点重合， 则，解得， 所以第四个顶点的坐标为或或. 故选：ABD. 7．已知向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则向量在向量上的投影向量 【答案】ACD 【详解】向量 若，则，，所以，A选项正确； 若，，，不满足则，B选项错误； 若，，则，C选项正确； 若，，则向量在向量上的投影向量: ，D选项正确. 故选：ACD 三、填空题 8．如图，在长方体中，，，，以直线DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，在中，给出以下结论：①点的坐标为；②点关于点B对称的点为；③点A关于直线对称的点为；④点C关于平面对称的点为.其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【详解】因为在长方体中，，，， 所以点的坐标为，故①正确. 设点关于点B对称的点为则 解得：则点关于点B对称的点为；故②错误. 由立体几何的特征知：点A关于直线对称的点为故③正确. 由立体几何的特征知：点C关于平面对称的点为,故④正确. 故答案为：①③④. 9．定义.若向量，向量为单位向量，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意知，． 设，则． 又，则，故． 故答案为： 10．已知空间三点在直线OA上有一点H满足，则点H的坐标为 . 【答案】 【详解】设，， 因为，所以，即， 因为直线OA上有一点H， 所以，即，显然， 所以，代入中， 得，所以点H的坐标为， 故答案为： 四、解答题 11．已知空间三点，，，设，． (1)若与互相垂直，求实数的值； (2)若，，求． 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）， 故， ， 因为互相垂直，所以， 解得或； （2）， 设，则且， 解得或， 故或； 12．如图，在直三棱柱中，线段，，的中点分别为，，.已知，，.    (1)证明：； (2)求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 由题意易知，，两两相互垂直，以A为坐标原点，，，分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.    则，，，，. 因为，， 所以，因此. （2） 因为，， 则，， 可得， 所以. 高阶突破 1．设，都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：令，则， ，则.判断错误； 选项B：令，则，， ，则.判断错误； 选项C：令，则，， ，则.判断错误； 选项D：由，得，所以， ， 则成立.判断正确. 故选：D. 2．如图，在正方形中，点，分别是线段，上的动点，且，与交于G，在与之间滑动，但与和均不重合．现将四边形沿直线折起，使平面平面，在从滑动到的过程中，的大小（    ）    A．先变小后变大 B．先变大后变小 C．不发生变化 D．由小变大 【答案】C 【详解】设正方形的边长为，， ，，，，， ，， ， 由面面垂直关系可知，即角度不会发生变化，所以C正确； 故选：C.    3．已知正四棱柱的底面边长为，高为，则集合中元素的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示： 则、、、、、、、， 因为 则对任意，， 均有， 所以集合，只有一个元素. 故选：A. 4．在空间直角坐标系Oxyz中，，，若直线AB与平面xOy交于点，点P的轨迹方程为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】依题意，，显然，则，解得， 又，即， 所以. 故选：B 【点睛】关键点睛：利用空间向量共线的坐标表示求得是解题之关键. 5．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【详解】作，以A为原点建立如图所示空间直角坐标系， ， ，， ，即 ，即C正确, 故选：C. 6．在棱长为1的正方体中，若点P是棱上一点，则满足的点P的个数为 ． 【答案】 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、， ①若点在棱上，可设，其中， 则， 即棱上不存在点使得， ②当点在棱上时，设点，其中， ， 解得，此时点为的中点， 同理可知，当点分别为棱、的中点时，， 由对称性可知，当点分别为、、的中点时，； 同理可知棱、、、、、上均不在点，使得. 因此，满足条件的点的个数为. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$