第01讲 全等三角形—2024-2025学年苏科版数学八年级上册同步培优

苏科版数学八年级上册培优精讲精练 学科网·数学梦工厂出品 第01讲 全等三角形 板块一、学习目标 1. 认识全等图形，理解全等图形的概念和特征，并会判断两个图形是不是全等图形； 2. 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应顶点、对应边、对应角，并会用符号表示两个三角形全等； 3. 掌握全等三角形的性质，并能进行简单的推理和计算； 4. 掌握三角形全等的条件（SAS、ASA、AAS、SSS），掌握直角三角形全等的条件（HL）,并能利用这些条件判定两个三角形全等； 5. 能综合应用全等三角形的判定方法和性质解决简单的数学问题和实际问题； 6. 了解三角形的稳定性原理及其在生活的应用； 7. 会利用尺规作图作角平分线和垂线。 板块二、思维导图 板块三、知识详解 知识点1：全等图形的概念 全等图形：指的是能完全重合的图形叫做全等图形。 名师点拨：全等图形概念的理解要把握以下两点： 1. 全等图形是几个图形之间的关系，所以，一个图形不能说时全等图形，至少两个！ 2. 全等图形与图形的位置是没有关系的，可以通过平移、旋转、翻折等方式看看两个图形能不能重合，只要能重合，一定是全等的。 知识点2：全等图形的性质 性质：几个图形如果是全等的，那么它们的形状和大小一定相同。 名师点拨： 全等图形的性质拓展：全等图形的形状和大小都相同，那么它们的周长和面积也相同。 知识点3：全等三角形的概念及表示方法、对应元素 1. 全等三角形的概念：能完全重合的三角形叫做全等三角形。 2. 全等三角形的表示方法： 3. 对应元素：是三对对应顶点；是三对对应角；是三对对应边。 名师点拨：如何找对应顶点、对应角、对应边？ 1. 公共边对应；公共角对应； 2. 最大边对应最大边；最小边对应最小边； 3. 最大角对应最大角；最小角对应最小角； 4. 对顶角一定是对应角。 知识点4：全等三角形的性质 全等三角形的性质：（下表图中AM,AM’为中线，AD,AD’为角平分线，AH,AH’为高） 文字语言 图形语言 符号语言 全等三角形的对应边相等，对应角相等； 全等三角形的周长相等， 面积相等； 全等三角形对应的中线、高线、角平分线都相等． 知识点5：全等三角形的判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 简记 有三边对应相等的两个三角形全等 SSS 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 SAS 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． ASA 有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等 AAS 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 HL 知识点6：常考的全等几何模型 1.以几何变换为背景的全等模型： （1）平移型： （2）翻折型： （3）旋转型： 2.一线三等角模型： 3.一线三垂直模型： 4.手拉手全等模型 如图，在任意△ABC中，以AB为边作等边△ADB，以AC为边作等边△ACE，连接DC、BE，则△ADC≌△ACE. 知识点7：三角形的稳定性 如果一个三角形的三边长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定。这个性质叫做三角形的稳定性。 名师点拨： 1． 三角形的稳定性的理论依据是“SSS”; 2． 三角形的稳定性在生活中有很多应用，比如人字梯、起重机、桥梁、房屋等等。 知识点8：与全等有关的几个尺规作图 1. 作已知角的平分线（理论依据：SSS） 2. 作已知直线的垂线（实质是作的平角的平分线） 板块四 典型例题 题型1 全等图形的识别 找出下列各组图中的全等图形（　　） A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦ 题型2 利用全等三角形的性质计算角和边 如图，若，则下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型3 添加条件判定三角形全等 如图，，添加下列条件，能使的是（    ） A． B． C． D．以上都可以 题型4 动点问题与全等三角形中的综合 如图，已知中，，，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由点B向C运动，同时，点Q在线段上由点C向A运动． (1)①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过几秒时？请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ (2)若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以的运动速度从B同时出发，都逆时针沿三边运动，则经过几秒后，点P与点Q第一次在上相遇？ 题型5 构造全等三角形解决问题 如图，中两边、上有两点M、N，D为外一点，且，，，． (1)猜想线段、、之间的数量关系并证明； (2)若，，求的周长． 题型6 利用全等三角形解决实际问题 如图，在河对岸的A处有一座亭子，小宇站在点B处，他想知道自己与亭子的距离（AB），于是他在点B同侧选择了一点C，测得，，然后在D处立了一根标杆，使得，，然后用皮尺测得．请你帮他求出他与亭子之间的距离（）． 题型7 与全等三角形有关的探究题 【问题背景】： 如图1，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系． （1）小王同学探究此问题的方法：延长到点G，使，连接．先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是________． 【探索延伸】： （2）如图2，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，且，判断上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【实际应用】： （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为．试求此时两舰艇之间的距离． 板块五 培优精练 一、选择题（本大题共8小题） 1．下列叙述中错误的是（    ） A．能够完全重合的两个图形称为全等图形 B．全等图形的形状和大小都相同 C．所有正方形都是全等图形 D．平移、翻折、旋转前后的图形全等 2．下列各组中的两个图形中，属于全等图形的是（    ） A．B． C． D． 3．如图，，与是对应角，与是对应边．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知，则以下结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．已知的三个内角三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和全等的图形是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 7．如图，在中，，垂足分别为D，E，与交于点F，已知，则的长是（    ） A． B．1 C． D．2 第7题 第8题 8．如图，请仔细观察用直尺和圆规作的三个步骤，第一步：以为圆心，任意长为半径画弧，分别交的两边于点和点．第二步：连接，以为圆心，为半径画弧，与第一步中的弧交于点，作射线，射线就是射线．第三步：连接，证明即可，则这两个三角形全等的依据是（    ） A．边角边 B．角边角 C．角角边 D．边边边 二、填空题（本大题共8小题） 9．如图，，，，则 ． 10．如图，在长方形中，，，点P从点A出发，以的速度沿边向点B运动，到达点B停止，同时，点Q从点B出发，以的速度沿边向点C运动，到达点C停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为 时，存在某一时刻，与全等． 第10题 第11题 11．如图，在中，，，于点E，于点D，，，则的长是 ． 12．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出的依据是 ． 第12题 第13题 13．如图，在与中，在边上，，，，若，则 ， ． 14．数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及的对应边或对应角添加一组等量条件（点，，分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①若第3轮甲添加，则甲获胜； ②若第3轮甲添加，则甲必胜； ③若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜； ④若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多4轮必分胜负． 15．如图，已知点B，E，F，C在同一条直线上，，，，若添加一个条件（不再添加新的字母）后，能判定与全等，则添加的条件可以是 （写出一个条件即可）． 第15题 第16题 16．如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共4小题） 17．如图，已知，，． (1)求证：； (2)猜想，，之间的数量关系，并证明． 18．已知为等腰三角形，，点为直线上一动点（点不与点、点重合）以为边作，且，连接，． (1)如图，当点在边上时，试说明： ① ②； (2)如图，当点在边的延长线上时，其他条件不变，探究线段、、之间存在的数量关系，并说明理由． 19．如图，A，B是两棵大树，两棵大树之间有一个废弃的圆形坑塘，为开发利用这个坑塘，需要测量A，B之间的距离，但坑塘附近地形复杂不容易直接测量．请你利用所学知识，设计一个测量A，B之间的距离的方案，并说明理由． 20．如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)请说明的理由； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，求当为何值时，的面积为． (3)在(2)的条件下，点是直线上的一点且．当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？请直接写出符合条件的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$苏科版数学八年级上册培优精讲精练 学科网·数学梦工厂出品 第01讲 全等三角形 板块一、学习目标 1. 认识全等图形，理解全等图形的概念和特征，并会判断两个图形是不是全等图形； 2. 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应顶点、对应边、对应角，并会用符号表示两个三角形全等； 3. 掌握全等三角形的性质，并能进行简单的推理和计算； 4. 掌握三角形全等的条件（SAS、ASA、AAS、SSS），掌握直角三角形全等的条件（HL）,并能利用这些条件判定两个三角形全等； 5. 能综合应用全等三角形的判定方法和性质解决简单的数学问题和实际问题； 6. 了解三角形的稳定性原理及其在生活的应用； 7. 会利用尺规作图作角平分线和垂线。 板块二、思维导图 板块三、知识详解 知识点1：全等图形的概念 全等图形：指的是能完全重合的图形叫做全等图形。 名师点拨：全等图形概念的理解要把握以下两点： 1. 全等图形是几个图形之间的关系，所以，一个图形不能说时全等图形，至少两个！ 2. 全等图形与图形的位置是没有关系的，可以通过平移、旋转、翻折等方式看看两个图形能不能重合，只要能重合，一定是全等的。 知识点2：全等图形的性质 性质：几个图形如果是全等的，那么它们的形状和大小一定相同。 名师点拨： 全等图形的性质拓展：全等图形的形状和大小都相同，那么它们的周长和面积也相同。 知识点3：全等三角形的概念及表示方法、对应元素 1. 全等三角形的概念：能完全重合的三角形叫做全等三角形。 2. 全等三角形的表示方法： 3. 对应元素：是三对对应顶点；是三对对应角；是三对对应边。 名师点拨：如何找对应顶点、对应角、对应边？ 1. 公共边对应；公共角对应； 2. 最大边对应最大边；最小边对应最小边； 3. 最大角对应最大角；最小角对应最小角； 4. 对顶角一定是对应角。 知识点4：全等三角形的性质 全等三角形的性质：（下表图中AM,AM’为中线，AD,AD’为角平分线，AH,AH’为高） 文字语言 图形语言 符号语言 全等三角形的对应边相等，对应角相等； 全等三角形的周长相等， 面积相等； 全等三角形对应的中线、高线、角平分线都相等． 知识点5：全等三角形的判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 简记 有三边对应相等的两个三角形全等 SSS 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 SAS 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． ASA 有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等 AAS 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 HL 知识点6：常考的全等几何模型 1.以几何变换为背景的全等模型： （1）平移型： （2）翻折型： （3）旋转型： 2.一线三等角模型： 3.一线三垂直模型： 4.手拉手全等模型 如图，在任意△ABC中，以AB为边作等边△ADB，以AC为边作等边△ACE，连接DC、BE，则△ADC≌△ACE. 知识点7：三角形的稳定性 如果一个三角形的三边长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定。这个性质叫做三角形的稳定性。 名师点拨： 1． 三角形的稳定性的理论依据是“SSS”; 2． 三角形的稳定性在生活中有很多应用，比如人字梯、起重机、桥梁、房屋等等。 知识点8：与全等有关的几个尺规作图 1. 作已知角的平分线（理论依据：SSS） 2. 作已知直线的垂线（实质是作的平角的平分线） 板块四 典型例题 题型1 全等图形的识别 找出下列各组图中的全等图形（　　） A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦ 【答案】C 【分析】本题考查了全等图形的定义，直接根据全等图形的定义判断即可． 【详解】解：∵图形②和图形⑥不能够完全重合， 故A选项不符合题意； ∵图形②和图形⑦不能够完全重合， 故B选项不符合题意； ∵图形③和图形④能够完全重合， 故C选项符合题意； ∵图形⑥和图形⑦不能够完全重合， 故D选项不符合题意； 故选：C． 题型2 利用全等三角形的性质计算角和边 如图，若，则下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质逐项判断即可，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】、∵， ∴，原选项成立，不符合题意； 、∵， ∴，原选项成立，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴，原选项成立，不符合题意； 、∵， ∴，原选项不一定成立，符合题意； 故选：． 题型3 添加条件判定三角形全等 如图，，添加下列条件，能使的是（    ） A． B． C． D．以上都可以 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定, 根据全等三角形的判定方法对各选项分别进行判断，熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 【详解】解：， 添加时，则可利用证明， ， ，， 即， ，故A正确； 添加时，可得，， ， ，故B正确； 添加时，如图，延长交于点， ， ， ， ， ， ， ， ，故C正确； 故选：D． 题型4 动点问题与全等三角形中的综合 如图，已知中，，，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由点B向C运动，同时，点Q在线段上由点C向A运动． (1)①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过几秒时？请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ (2)若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以的运动速度从B同时出发，都逆时针沿三边运动，则经过几秒后，点P与点Q第一次在上相遇？ 【答案】(1)①经过1秒时，理由见解析；② (2)经过24秒点P与点Q第一次在边上相遇 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，一元一交停放听应用，熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系． （1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中、和、边的长，根据判定两个三角形全等． ②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程速度时间公式，先求得点运动的时间，再求得点的运动速度； （2）根据题意结合图形分析发现：由于点的速度快，且在点的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点多走等腰三角形的两个边长． 【详解】（1）解：①经过1秒时，理由如下： 秒， ， ，点为的中点， ． 又，， ， ． 又， ， ∴； ②假设， ， ， 又∵，，则，， 点，点运动的时间秒， ； （2）解：设经过秒后点与点第一次相遇， 由题意，得， 解得， 点共运动了． ， 点、点在边上相遇， 经过24秒点与点第一次在边上相遇． 题型5 构造全等三角形解决问题 如图，中两边、上有两点M、N，D为外一点，且，，，． (1)猜想线段、、之间的数量关系并证明； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)；理由见解析(2)13 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，补角的性质，四边形内角和，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）延长，则的延长线上取，连接，证明，得出，，证明，得出，根据，即可得出答案； （2）根据，得出求出结果即可． 【详解】（1）解：；理由如下： 延长，则的延长线上取，连接，如图所示：    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴ ． 题型6 利用全等三角形解决实际问题 如图，在河对岸的A处有一座亭子，小宇站在点B处，他想知道自己与亭子的距离（AB），于是他在点B同侧选择了一点C，测得，，然后在D处立了一根标杆，使得，，然后用皮尺测得．请你帮他求出他与亭子之间的距离（）． 【答案】他与亭子之间的距离（）为 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．由题意证明，得到，即可得到答案． 【详解】解：在和中， ，，， ， ． m， m， 他与亭子之间的距离（）为． 题型7 与全等三角形有关的探究题 【问题背景】： 如图1，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系． （1）小王同学探究此问题的方法：延长到点G，使，连接．先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是________． 【探索延伸】： （2）如图2，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，且，判断上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【实际应用】： （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为．试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】（1）；（2）仍然成立，理由见解析；（3）此时两舰艇之间的距离是210海里 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形全等； 问题背景：延长到点，使，连接，证明，在证明，得出，得到答案； 探索延伸：连接，延长相交于点，利用全等三角形的性质证明． 实际应用：如图3，连接，延长相交于点，首先证明，，利用结论求解即可． 【详解】解：（1）由题意： ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， 故答案为：． （2）仍然成立． 理由：如图1，延长到点G，使，连接． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 图1 （3）如图2，连接，延长，相交于点C． ∵，， ∴． ∵，， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论成立， 即（海里）， 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 板块五 培优精练 一、选择题（本大题共8小题） 1．下列叙述中错误的是（    ） A．能够完全重合的两个图形称为全等图形 B．全等图形的形状和大小都相同 C．所有正方形都是全等图形 D．平移、翻折、旋转前后的图形全等 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，全等形的性质，由全等图形的性质和平移，折叠，旋转的性质依次判断可求解． 【详解】解：A、能够完全重合的两个图形称为全等形，故A选项不符合题意； B、全等形的形状和大小都相同，故B选项不符合题意； C、所有正方形不一定是全等形，故D选项符合题意； D、平移、翻折、旋转前后的图形全等，故D选项不符合题意； 故选：C． 2．下列各组中的两个图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等图形的定义，根据能够完全重合的两个图形称为全等图形进行逐项判断即可． 【详解】解：A中两个图形不是全等图形，故不符合题意； B中两个图形不是全等图形，故不符合题意； C中两个图形是全等图形，故符合题意； D中两个图形不是全等图形，故不符合题意； 故选：C． 3．如图，，与是对应角，与是对应边．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C 4．如图，已知，则以下结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：， ，，，， ，即， 选项A、B、D正确，不符合题意；选项C错误，符合题意， 故选：C． 5．如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质，能熟记全等三角形的对应角相等是解此题的关键． 根据全等三角形的性质得出，，求出，根据平行线的性质得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 6．已知的三个内角三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和全等的图形是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定方法，掌握三角形判定方法是解题的关键． 根据三角形判定方法判断即可解答． 【详解】解：甲与不符合两边对应相等，且夹角相等， ∴甲和已知三角形不全等； 乙与符合两边对应相等，且夹角相等， ∴根据可判定乙和与全等； 丙与符合两角对应相等，且其中一角的对边相等， ∴根据可判定丙和与全等． 故选：B． 7．如图，在中，，垂足分别为D，E，与交于点F，已知，则的长是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先利用等角的余角相等得到，则可根据证明，则，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8．如图，请仔细观察用直尺和圆规作的三个步骤，第一步：以为圆心，任意长为半径画弧，分别交的两边于点和点．第二步：连接，以为圆心，为半径画弧，与第一步中的弧交于点，作射线，射线就是射线．第三步：连接，证明即可，则这两个三角形全等的依据是（    ）    A．边角边 B．角边角 C．角角边 D．边边边 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，作角平分线，根据作图，连接、，则，根据，即可根据“边边边”证明，即可求解． 【详解】解：连接、，    根据作图可得，， ∴， ∴，即 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题） 9．如图，，，，则 ． 【答案】/10度 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质求出，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可计算． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 故答案为：10度． 10．如图，在长方形中，，，点P从点A出发，以的速度沿边向点B运动，到达点B停止，同时，点Q从点B出发，以的速度沿边向点C运动，到达点C停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为 时，存在某一时刻，与全等． 【答案】1或 【分析】主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程的几何应用，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．可分两种情况：①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值． 【详解】解：①当，时，， ， ， ， ， ，解得：， ， ， ②当，时，， ， ，解得：， ， ， 解得：， 综上所述，当或时，存在某一时刻，与全等， 故答案为：1或 11．如图，在中，，，于点E，于点D，，，则的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，得到，再根据线段的和差关系计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：6． 12．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出的依据是 ． 【答案】 【分析】 本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是正确解答本题的关键． 由作法易得，依据定理得到，由全等三角形的对应角相等得到． 【详解】 解：由作法易得， 在与中， ， ∴（）， ∴（全等三角形的对应角相等）． 故答案为． 13．如图，在与中，在边上，，，，若，则 ， ． 【答案】 【分析】证明，得出，，进而可得，根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图， 在与中， ， ， ，， ， ， ，， ． 故答案为：，． 14．数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及的对应边或对应角添加一组等量条件（点，，分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①若第3轮甲添加，则甲获胜； ②若第3轮甲添加，则甲必胜； ③若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜； ④若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多4轮必分胜负． 【答案】②③④ 【分析】根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：①若第3轮甲添加，可根据角角边判定与全等，则乙获胜，故本说法错误； ②若第3轮甲添加， 如图，当，时，以为圆心，为半径画弧，与射线相交于点， ， 此时交点C是唯一的， 故甲添加时，与全等， 故甲获胜，故本说法正确； ③若第2轮乙添加条件修改为， 若第3轮甲添加一边相等，可根据边角边或斜边直角边判定与全等，则乙获胜， 若第3轮甲添加一角相等，可根据角角边或角边角判定与全等，则乙获胜， 故乙必胜，故本说法正确； ④若第2轮乙添加条件修改为， 第3轮甲若添加一组边相等，满足边边边，能判定与全等，则乙获胜； 甲若添加一组角相等，满足边边角，不能判定与全等， 第4轮乙若添加一组边相等，满足边边边，能判定与全等，则乙获胜； 乙若添加一组角相等，满足角角边（或角边角），能判定与全等，则甲获胜， 此时此游戏4轮能分胜负，故本说法正确． 故答案为：②③④ 15．如图，已知点B，E，F，C在同一条直线上，，，，若添加一个条件（不再添加新的字母）后，能判定与全等，则添加的条件可以是 （写出一个条件即可）． 【答案】或或 【分析】根据全等三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：， ， 即， 又∵，， ， ∴当时，在和中， ， ∴； 当时，在和中， ， ∴； 当时，在和中， ， ∴． 故答案为：或或． 16．如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ．    【答案】或 【分析】先找出点D的位置，再画出符合的所有情况即可． 【详解】解：过B作于D，    ∵点B到射线的距离为d， ∴， ①如图，    当C点和D点重合时，，此时是一个直角三角形； ②如图，    当时，此时C点的位置有两个，即有两个； ③如图，    当时，此时是一个三角形； 所以x的范围是或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共4小题） 17．如图，已知，，． (1)求证：； (2)猜想，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（）首先利用证明，根据性质可得，再由角度和差即可求证； （）根据全等三角形对应角相等求出，由三角形外角的性质可得； 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角性质的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（）得：， ∴， ∵， ∴． 18．已知为等腰三角形，，点为直线上一动点（点不与点、点重合）以为边作，且，连接，． (1)如图，当点在边上时，试说明： ① ②； (2)如图，当点在边的延长线上时，其他条件不变，探究线段、、之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，见解析 【分析】主要考查了全等三角形的判定和性质． （1）①先判断出，进而用判断出，即可得出结论；②利用全等三角形的性质可得，等量代换即可求解． 同（1）的方法即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ； 由知，， ， ； （2）， ， ， 在和中， ， ∴ ， 19．如图，A，B是两棵大树，两棵大树之间有一个废弃的圆形坑塘，为开发利用这个坑塘，需要测量A，B之间的距离，但坑塘附近地形复杂不容易直接测量．请你利用所学知识，设计一个测量A，B之间的距离的方案，并说明理由．    【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是构造全等三角形，利用全等三角形的性质寻找所求线段与已知线段之间的等量关系． 方案为：①如图，过点B画一条射线，在射线上选取O、D两点，使；②连接，并延长至点C，使；③连接，则的长即为的长．根据证明，由全等三角形的性质即可得． 【详解】方案为：①如图，过点B画一条射线，在射线上选取O、D两点，使； ②连接，并延长至点C，使； ③连接，则的长即为的长．    理由如下：在和中， ∵ ， ∴， ∴． 20．如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)请说明的理由； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，求当为何值时，的面积为． (3)在(2)的条件下，点是直线上的一点且．当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？请直接写出符合条件的值． 【答案】(1)见解析 (2)当为或时，的面积为 (3)或时，与全等 【分析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识， （1）首先推导出，通过即可证明； （2）分两种情形讨论求解即可①当点在线段上时，②当点在射线上时，时；依据三角形面积计算公式解答即可； （3）分两种情形求解即可①如图中，当时，．②如图中，当时，． 【详解】（1）如图1中， 是高， ， 是高， ， ，， ， 在和中， ， ， （2）解：由（1）知， ， ， ， 由题意 ①当点在线段上时， ， 解得：； ②当点在延长线上时，， ， 解得：， 综上，当为或时，的面积为； （3）存在． ①如图2中，当时， ，， ． ， ， 解得， ②如图中，当时， ，， ． ， ， 解得． 综上所述，或时，与全等． 学科网（北京）股份有限公司 $$