第十五讲 整式的加减 2024年暑假人教版新七年级数学预习课讲义

人教版新七年级暑假预习课讲义 第15讲 整式的加减 2、 知识点梳理 知识点一、同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项． 注意： (1)判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可． (2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关． (3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项． 例1-1 . 下列两项是同类项的是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 总结：(1)判断几个单项式是否是同类项的条件：所含字母相同；相同字母的指数分别相同．(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．(3)常数项都是同类项． 例1-2 .下列各组整式中，不是同类项的是　　 A．与 B．与 C．与 D．与 知识点二、合并同类项 1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变． 注意： 合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意： (1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有． (2) 合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算. 3.升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列． 如:多项式2x3y2-xy3+x2y4-5x4-6是六次五项式,按x的降幂排列为 -5x4+2x3y2+x2y4-xy3-6,在这里只考虑x的指数,而不考虑其它字母;按y的升幂排列为-6-5x4+2x3y2-xy3+x2y4． 注意 ①重新排列多项式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动； ②含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列． 例2-1 .下列各式计算正确的是(    ) A． B． C． D． 总结：合并同类项的时候，为了不漏项，可用不同的符号(如直线、曲线、圆圈)标记不同的同类项。 例2-2.化简 (1)； (2)； 例2-3 .化简求值：2a2b－2ab＋3－3a2b＋4ab，其中a＝－2，b＝. 总结：对多项式化简求值时，一般先化简，即先合并同类项，再代入值计算结果，在算式中代入负数时，要注意添加负号． 例2-4 .若多项式（m为常数）不含项，则______． 总结：对于多项式中不含某项问题，先合并同类项，由不含某项的系数和为0，得方程求解。 知识点三、去括号 去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 注意： (1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘． （2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号． (3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号． （4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形。 例3-1 .下列去括号正确的是　　 A． B． C． D． 总结：本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“＋”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“－”，去括号后，括号里的各项都改变符号． 例3-2.下列添括正确是（ ） A． B． C． D． 知识点四、整式的加减 1. 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 2. 整式化简求值，一般先化简，再求值 注意： （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来． (3)整式加减的最后结果的要求：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数． 例4-1 .化简：3(2x2－y2)－2(3y2－2x2)． 总结：去括号时应注意：①不要漏乘；②括号前面是“－”，去括号后括号里面的各项都要变号． 例4-2 .）若，，则（    ） A． B． C． D． 总结：解决本题是要注意去括号时符号的变化，并且不要漏乘．有多个括号时要注意去各个括号时的顺序． 例4-3 .先化简，再求值：，其中，． 例4-4 .已知：，．则比较A与B的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 例4-5 .一道求值题不小心弄污损了，嘉嘉隐约辨识：化简，其中．系数“”看不清楚了． (1)如果嘉嘉把“”中的数值看成2，求上述代数式的值； (2)若无论m取任意的一个数，这个代数式的值都是，请通过计算帮助嘉嘉确定“”中的数值． 知识点五、整式的加减的实际应用 (1) 列出代数式；(2)去括号；(3)合并同类项. 例5-1 .如图是长为30，宽为20的长方形纸片，将长方形纸片四个角分别剪去一个边长为x的小正方形，用剩余部分围成一个无盖的长方体纸盒，则长方体纸盒底面周长为（    ）    A．100 B．50 C． D． 例5-2 .已知三角形的第一条边的长是，第二条边长是第一条边长的2倍少3，第三条边比第二条边短5． （1）用含、的式子表示这个三角形的周长； （2）当，时，求这个三角形的周长； （3）当，三角形的周长为39时，求各边长． 3、 易错点点拨 易错点1.判断同类项时出现错误 易因两个单项式字母的排列顺序不同而误认为这两个单项式不是同类项 例1.下列各组中两项属于同类项的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 错解：A 易错点2.合并同类项时,对合并同类项的法则理解不透导致错误 在合并同类项时为避免错误的发生要注意两点 (1)明确只有同类项才可以合并,不是同类项的不能合并; (2)明确合并同类项中的“合并”是指同类项的系数相加,把所得的结果作为新的系数,字母和字母的指数不变 例2 .下列各算式中，合并同类项正确的是（　　） A． B． C． D． 错解：A、B 易错点3.去括号时出现错误 去括号时,括号前面是“_”号时,常忘记改变括号内每一项的符号,出现错误;或者括号前有数字因数,去括号时没把数字因数与括号内的每一项相乘出现漏乘现象,只有严格按照去括号法则运算,才可能避免上述错误 例3 .下列去括号与添括号变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 错解：A、B 易错点4.进行整式加减时忽略括号的作用 在多项式加法运算中，整式可以不加括号,在多项式减法运算中,被减式可以不加括号，但减式必须加上括号 例4 .下列计算正确的是（    ）． A． B． C． D． 错解：B、D 4、 针对训练 1.同类项 1.在下列单项式中：①；②； ③； ④； ⑤；⑥，说法正确的是（　　　） A．②③⑤是同类项 B．②与③是同类项 C．②与⑤是同类项 D．①④⑥是同类项 2.如果与是同类项，那么的值是（ ） A． B． C．1 D．3 2.合并同类项 1. 合并同类项： （1）； （2）． 2 .计算：． 3 .已知． （1）化简； （2）当，，时，求的值． 3.去括号法则 1．下列去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 2．在多项式中，对任意相邻几项（至少两项）直接添加一个括号（每次只加一个括号），同时改变括起的部分最后一项的符号，然后按去括号法则进行去括号运算，称此为“加括操作”．例如：，，…． ①有2种“加括操作”的运算结果与原多项式相等； ②若，则运算结果为0的共有两种“加括操作”； ③所有的“加括操作”共有4种不同运算结果． 其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4.整式的加减 1．已知：，且． (1)求A等于多少？ (2)若，求A的值． 2．某位同学做一道题：已知两个多项式、，若，求的值．他误将看成，求得结果为． (1)求多项式的表达式； (2)求的正确答案． ． 3．化简：． 4．已知，，．若，试比较m，q的大小关系． 5．已知，求的值． 5.整式加减的实际应用 1 .如图，正方形和正方形的边长分别为a和6，点C，D，E在一条直线上，点B、C、G在一条直线上，将依次连接D、E、F、B所围成的阴影部分的面积记为． (1)试用含a的代数式表示； (2)当时，比较与面积的大小． 2..如图是小刚家的楼梯示意图，其水平距离(即的长度)为，一只蚂蚁从点A出发沿着楼梯爬到点C，共爬了．小刚家楼梯的竖直高度(即的长度)为(     ) A．m B．m C．m D．m 3 .如图，为了方便学生停放自行车，学校建了一块长边靠墙的长方形停车场，其他三面用护栏围起，其中停车场的长为米，宽比长少米． （1）用含、的代数式表示护栏的总长度； （2）若，，每米护栏造价80元，求建此停车场所需护栏的费用． 5、 能力提升 提升1.同类项 1.如果，则下列式子正确的是（ ） A． B． C． D． 2 .已知与是同类项，则　　 A．2 B． C．1 D．3 提升2.合并同类项 1.一个五次三项式，加一个五次三项式，可能是（    ） A．十次六项式 B．十次三项式 C．六次二项式 D．四次二项式 2 .先化简，再求值：，其中，． 3 .先化简，再求代数式的值： （1），其中； （2），其中； 提升3.去括号法则 1．去括号合并同类项 (1) (2) 2．我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简和求值中有着广泛的应用．请根据上面的提示和范例，解决下面的问题： (1)把看成一个整体，则将 合并的结果为 　　． (2)已知，求的值． (3)已知，求的值． 提升4.整式的加减 1.先合并同类项，再求值． (1)，其中； (2)，其中． 2．已知整式． (1)当，求整式的值； (2)若整式比整式大，求整式． ． 3．已知： ，． (1)化简：； (2)若的值与a的取值无关，求b的值． 4．小吕做一道题：“已知两个多项式A、B，计算”，小黄误将看成，结果得，若，请你帮助小黄求出的正确答案． 5．阅读下面材料： ①在数轴上，有理数5与对应两点间的距离为； ②在数轴上，有理数与3对应两点之间的距离为； ③在数轴上，有理数与对应两点之间的距离为； ④在数轴上点A、B分别表示数a，b，则A、B两点之间的距离； 回答下列问题： (1)①在数轴上表示与两点间的距离是 　 　， ②在数轴上表示x与3两点间的距离是 　 　； ③在数轴上表示x与________两点之间的距离为． (2)下面对式子进行探究： ①当表示数x的点在与3之间移动时，的值总是一个固定的值为：___________． ②要使，数轴上表示的数___________________． (3)的最小值：__________________________________． 提升5.整式加减的实际应用 1..图1是2022年1月份的日历，用图2所示的“九方格”在图1中框住9个日期，并把其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为． (1)直接填空： ________；(填“>”、“<”或“=”) (2) ________， ________， ________(用含a的代数式分别表示)； (3)当图2在图1的不同位置时，代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值，若不是，请说明理由． 2 .我们定义：对于数对，若，则称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”． （1）下列数对中，是“和积等数对”的是　 　　；（填序号） ①； ②，； ③，． （2）若是“和积等数对”，求的值； （3）若是“和积等数对”，求代数式的值． 3 .如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”的周长为52，则正方形的边长为（    ） A．3 B．13 C．6 D．8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版新七年级暑假预习课讲义 第15讲 整式的加减（解析版） 2、 知识点梳理 知识点一、同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项． 注意： (1)判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可． (2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关． (3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项． 例1-1 . 下列两项是同类项的是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，解题的关键是掌握同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，即可． 【详解】A、与不是同类项； B、与不是同类项，不符合题意； C、与是同类项，符合题意； D、与不是同类项，不符合题意． 故选：C． 总结：(1)判断几个单项式是否是同类项的条件：所含字母相同；相同字母的指数分别相同．(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．(3)常数项都是同类项． 例1-2 .下列各组整式中，不是同类项的是　　 A．与 B．与 C．与 D．与 【分析】根据所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，分别判断即可． 【解答】解：．与，是同类项，故此选项不合题意； ．与，是同类项，故此选项不合题意； ．与，是同类项，故此选项不合题意； ．与，相同字母的指数不同，不是同类项，故此选项符合题意． 故选：． 【点评】此题主要考查了同类项，正确掌握同类项的定义是解题关键． 知识点二、合并同类项 1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变． 注意： 合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意： (1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有． (2) 合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算. 3.升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列． 如:多项式2x3y2-xy3+x2y4-5x4-6是六次五项式,按x的降幂排列为 -5x4+2x3y2+x2y4-xy3-6,在这里只考虑x的指数,而不考虑其它字母;按y的升幂排列为-6-5x4+2x3y2-xy3+x2y4． 注意 ①重新排列多项式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动； ②含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列． 例2-1 .下列各式计算正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查了合并同类项．根据合并同类项法则判断即可． 【详解】 解：A、，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：A． 总结：合并同类项的时候，为了不漏项，可用不同的符号(如直线、曲线、圆圈)标记不同的同类项。 例2-2.化简 (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】 根据合并同类项，去括号得运算法则，即可求解， 本题考查了整式的加减，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【详解】(1)解： ， (2)解： ， 例2-3 .化简求值：2a2b－2ab＋3－3a2b＋4ab，其中a＝－2，b＝. 解析：原式合并同类项得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值． 解：2a2b－2ab＋3－3a2b＋4ab＝(2－3)a2b＋(－2＋4)ab＋3＝－a2b＋2ab＋3.将a＝－2，b＝代入得原式＝－(－2)2×＋2×(－2)×＋3＝－1. 总结：对多项式化简求值时，一般先化简，即先合并同类项，再代入值计算结果，在算式中代入负数时，要注意添加负号． 例2-4 .若多项式（m为常数）不含项，则______． 【答案】6 【分析】先将多项式合并同类项，然后令系数为零得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵为常数不含项， ∴，解得：．故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了整式加减的无关性问题，掌握不含哪项、则哪项的系数为零是解题关键． 总结：对于多项式中不含某项问题，先合并同类项，由不含某项的系数和为0，得方程求解。 知识点三、去括号 去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 注意： (1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘． （2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号． (3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号． （4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形。 例3-1 .下列去括号正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】应用去括号法则逐个计算得结论． 【解答】解：，故选项错误； ，故选项正确； ，故选项错误； ，故选项错误． 故选：． 【点评】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号．顺序为先大后小． 总结：本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“＋”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“－”，去括号后，括号里的各项都改变符号． 例3-2.下列添括正确是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号可得答案． 【详解】解：A、7x3-2x2-8x+6=7x3-（2x2+8x-6），故此选项错误； B、a-b+c-d=（a-d）-（b-c），故此选项错误；C、a-2b+7c=a-（2b-7c），故此选项正确； D、5a2-6ab-2a-3b=-（5a2+6ab+2a）-3b，故此选项错误．故选：C． 【点睛】此题主要考查了整式的加减，添括号，关键是掌握添括号法则，注意符号的变化． 知识点四、整式的加减 1. 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 2. 整式化简求值，一般先化简，再求值 注意： （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来． (3)整式加减的最后结果的要求：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数． 例4-1 .化简：3(2x2－y2)－2(3y2－2x2)． 解析：先运用去括号法则去括号，然后合并同类项．注意去括号时，如果括号前是负号，那么括号中的每一项都要变号；合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数不变． 解：3(2x2－y2)－2(3y2－2x2)＝6x2－3y2－6y2＋4x2＝10x2－9y2. 总结：去括号时应注意：①不要漏乘；②括号前面是“－”，去括号后括号里面的各项都要变号． 例4-2 .）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】去括号，合并同类项即可得出结果． 【详解】解：，故选：B． 【点睛】本题考查整式的加减运算．熟练掌握去括号，合并同类项法则，是解题的关键 总结：解决本题是要注意去括号时符号的变化，并且不要漏乘．有多个括号时要注意去各个括号时的顺序． 例4-3 .先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，正确计算是解题的关键． 例4-4 .已知：，．则比较A与B的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据整式的加减计算法计算出，由此即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，∴， ∵，∴，∴，故选A． 【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，正确计算是解题的关键． 例4-5 .一道求值题不小心弄污损了，嘉嘉隐约辨识：化简，其中．系数“”看不清楚了． (1)如果嘉嘉把“”中的数值看成2，求上述代数式的值； (2)若无论m取任意的一个数，这个代数式的值都是，请通过计算帮助嘉嘉确定“”中的数值． 【答案】(1)，(2)4 【分析】（1）化简式子，再代入数值计算即可；（2）设中的数值为，则原式．根据题意可得方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）原式． 当时，原式； （2）设中的数值为，则原式． 无论取任意的一个数，这个代数式的值都是， ．．答：“”中的数是4． 【点睛】此题考查的是整式的加减，掌握运算法则是解决此题关键． 知识点五、整式的加减的实际应用 (1) 列出代数式；(2)去括号；(3)合并同类项. 例5-1 .如图是长为30，宽为20的长方形纸片，将长方形纸片四个角分别剪去一个边长为x的小正方形，用剩余部分围成一个无盖的长方体纸盒，则长方体纸盒底面周长为（    ）    A．100 B．50 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得：长方体纸盒底面长为，底面宽为，结合长方形的周长公式即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得：长方体纸盒底面长为，底面宽为， ∴长方体纸盒底面周长为，故选：C． 【点睛】本题考查了列代数式，整数的加减，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出代数式，并计算． 例5-2 .已知三角形的第一条边的长是，第二条边长是第一条边长的2倍少3，第三条边比第二条边短5． （1）用含、的式子表示这个三角形的周长； （2）当，时，求这个三角形的周长； （3）当，三角形的周长为39时，求各边长． 【分析】（1）根据题意表示出三角形的周长即可； （2）把与的值代入计算即可求出值； （3）根据周长求出各边长即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）当，时，原式； （3）当时，，， 则第一条边为10，第二条边为17，第三条边为12． 【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3、 易错点点拨 易错点1.判断同类项时出现错误 易因两个单项式字母的排列顺序不同而误认为这两个单项式不是同类项 例1.下列各组中两项属于同类项的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 错解：A 正解： 【分析】根据同类项的定义逐个判断即可． 【解答】解：．和，相同字母的指数分别不相等，不是同类项，故本选项不符合题意； ．和的字母不相同，不是同类项，故本选项不符合题意； ．和的字母相同，相同字母的指数也分别相等，是同类项，故本选项符合题意； ．和的字母不完全相同，不是同类项，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了同类项的定义，能熟记同类项的定义是解此题的关键，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫同类项，常数项是同类项． 易错点2.合并同类项时,对合并同类项的法则理解不透导致错误 在合并同类项时为避免错误的发生要注意两点 (1)明确只有同类项才可以合并,不是同类项的不能合并; (2)明确合并同类项中的“合并”是指同类项的系数相加,把所得的结果作为新的系数,字母和字母的指数不变 例2 .下列各算式中，合并同类项正确的是（　　） A． B． C． D． 错解：A、B 正解 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类型的法则：合并同类项时，把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变．根据合并同类型的法则把系数相加即可得出正确结果． 【详解】解：A、，故A错误； 、，故错误； C、，故C正确； 故选：C． 易错点3.去括号时出现错误 去括号时,括号前面是“_”号时,常忘记改变括号内每一项的符号,出现错误;或者括号前有数字因数,去括号时没把数字因数与括号内的每一项相乘出现漏乘现象,只有严格按照去括号法则运算,才可能避免上述错误 例3 .下列去括号与添括号变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 错解：A、B 正解 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的去括号及添括号，熟练掌握去括号及添括号的法则是关键．根据去括号与添括号法则逐一判断即可． 【详解】解：A、2，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项正确； D、，故本选项错误． 故选：C． 易错点4.进行整式加减时忽略括号的作用 在多项式加法运算中，整式可以不加括号,在多项式减法运算中,被减式可以不加括号，但减式必须加上括号 例4 .下列计算正确的是（    ）． A． B． C． D． 错解：B、D 正解 【答案】C 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项，去括号法则以及整式的加减法则逐项分析即可． 【详解】A．，故不正确，不符合题意； B．与不是同类项，不能合并，故不正确，不符合题意； C．，正确，符合题意； D．，故不正确，不符合题意； 故选C． 4、 针对训练 1.同类项 1.在下列单项式中：①；②； ③； ④； ⑤；⑥，说法正确的是（　　　） A．②③⑤是同类项 B．②与③是同类项 C．②与⑤是同类项 D．①④⑥是同类项 【答案】B 【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），即可判断． 【详解】解：A、②③是同类项，⑤与②③不是同类项，故不符合题意；B、②与③是同类项，故符合题意；C、②和⑤所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故不符合题意； D、①④⑥所含字母不同，不是同类项．故不符合题意；故选：B． 【点睛】本题考查了同类项的判定，掌握同类项的定义，所含字母相同，且相同字母的指数相等，是判断同类项的关键． 2.如果与是同类项，那么的值是（ ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据同类项的概念，求得的值，再代入代数式中求解即可 【详解】与是同类项解得：故选B 【点睛】本题考查了同类项的概念，代数式求值，理解同类项的概念是解题的关键． 2.合并同类项 1. 合并同类项： （1）； （2）． 【分析】（1）原式合并同类项即可得到结果； （2）原式合并同类项即可得到结果． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】此题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解本题的关键． 2 .计算：． 【分析】根据合并同类项“系数相加，字母及指数不变”，可得答案． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了合并同类项，利用合并同类项“系数相加，字母及指数不变”是解题关键． 3 .已知． （1）化简； （2）当，，时，求的值． 【分析】（1）根据合并同类项的法则进行解答即可； （2）把、的值代入进行计算，即可得出答案． 【解答】解：（1）； （2）把，代入上式得： ． 【点评】本题考查整式的加减，熟练掌握化简整式的方法是本题的关键． 3.去括号法则 1．下列去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号．顺序为先大后小．应用去括号法则逐个计算即可得到结论． 【详解】解：A．，故此选项正确，符合题意； B．，故此选项错误，不符合题意； C．，故此选项错误，不符合题意； D．，故此选项错误，不符合题意． 故选：A． 2．在多项式中，对任意相邻几项（至少两项）直接添加一个括号（每次只加一个括号），同时改变括起的部分最后一项的符号，然后按去括号法则进行去括号运算，称此为“加括操作”．例如：，，…． ①有2种“加括操作”的运算结果与原多项式相等； ②若，则运算结果为0的共有两种“加括操作”； ③所有的“加括操作”共有4种不同运算结果． 其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算，解题关键理解已知条件中的“加括操作”的含义，列出所有“加括操作”的算式．逐一判断即可． 【详解】解：根据题意，所有可能的“加括操作”有： 第一种：； 第二种：； 第三种：； 第四种：； 第五种：； 第六种：； ∴共有6种不同运算结果，故③的说法错误； 其中，有2种“加括操作”的运算结果与原多项式相等，故①说法正确； 若， 第一种：； 第二种：； 第三种：； 第四种：； 第五种：； 第六种：； 则运算结果为0的共有两种“加括操作”， 故②说法正确； ∴正确的有2个； 故选：C． 4.整式的加减 1．已知：，且． (1)求A等于多少？ (2)若，求A的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，绝对值和平方的非负性，求代数式的值， （1）根据等式的性质可得，再将代入，然后去括号合并同类项即可得出答案； （2）利用非负数的性质求出与的值，再代入计算即可求出值； 掌握整式加减的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）∵， ∴，， 解得：，， ∴ ． 2．某位同学做一道题：已知两个多项式、，若，求的值．他误将看成，求得结果为． (1)求多项式的表达式； (2)求的正确答案． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法． （1）根据题意，可以计算出的值； （2）根据（1）中的值和题意，可以计算出的正确答案． 【详解】（1）解：由题意可得， ，， ； （2），， ． 3．化简：． 【答案】 【分析】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．直接去括号，再合并同类项，进而得出答案． 【详解】解：原式 4．已知，，．若，试比较m，q的大小关系． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则； 把p、m、q代入中，去括号合并得到最简结果，根据即可做出判断． 【详解】由题意得： ∵ ∴ ∴ 5．已知，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了去括号和合并同类项，将表示的多项式代入，然后去括号，合并同类项即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 5.整式加减的实际应用 1 .如图，正方形和正方形的边长分别为a和6，点C，D，E在一条直线上，点B、C、G在一条直线上，将依次连接D、E、F、B所围成的阴影部分的面积记为． (1)试用含a的代数式表示； (2)当时，比较与面积的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，代数式求值： (1)根据列式求解即可； (2)根据，结合(1)所求分别计算出与面积即可得到答案． 【详解】(1)解：由题意得 ； (2)解：当时，， ， ∴． 2..如图是小刚家的楼梯示意图，其水平距离(即的长度)为，一只蚂蚁从点A出发沿着楼梯爬到点C，共爬了．小刚家楼梯的竖直高度(即的长度)为(     ) A．m B．m C．m D．m 【答案】A 【分析】考查了整式的加减，整式的加减实质上就是合并同类项．从A点沿着楼梯爬到C点长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，依此用减去，即可求得小明家楼梯的竖直高度． 【详解】解：， 故选：A． 3 .如图，为了方便学生停放自行车，学校建了一块长边靠墙的长方形停车场，其他三面用护栏围起，其中停车场的长为米，宽比长少米． （1）用含、的代数式表示护栏的总长度； （2）若，，每米护栏造价80元，求建此停车场所需护栏的费用． 【分析】（1）先求出停车场的宽，然后再求出护栏的长度即可； （2）把，代入求值即可． 【解答】解：（1）停车场的宽为：米， 护栏的长度为：米． （2）当，时， （元， 故建此停车场所需护栏的费用是19600元． 【点评】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号法则，合并同类项法则 5、 能力提升 提升1.同类项 1.如果，则下列式子正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知等式可得和是同类项，从而可得m和n值． 【详解】解：∵，∴n=2，m-1=2，解得：m=3，故选D． 【点睛】本题考查了同类项的定义，解题的关键是判断出和是同类项． 2 .已知与是同类项，则　　 A．2 B． C．1 D．3 【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）即可求得、的值，再相减即可． 【解答】解：与是同类项， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是一道基础题，比较容易解答． 提升2.合并同类项 1.一个五次三项式，加一个五次三项式，可能是（    ） A．十次六项式 B．十次三项式 C．六次二项式 D．四次二项式 【答案】D 【分析】根据整式的加减和多项式的定义解答即可． 【详解】解：∵合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变， ∴一个五次三项式，加一个五次三项式，所得整式的次数不可能高于五次，故A，B，C不正确，D正确， 如：．故选D． 【点睛】本题考查了整式的加减和多项式的定义，熟练掌握整式的加减法法则是解答本题的关键． 2 .先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是先根据整式加减运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 把，代入得：原式． 3 .先化简，再求代数式的值： （1），其中； （2），其中； 【答案】（1）化简结果，代入数值计算结果是； （2） 化简结果，代入数值计算结果是； 提升3.去括号法则 1．去括号合并同类项 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式混合运算中的去括号以及合并同类项． （1）根据合并同类项得法则直接合并同类项即可， 合并同类项得法则：把同类项的系数相加减，字母及字母的指数不变， （2）根据括号前是正号去括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号，可去掉括号，再根据合并同类项法则合并同类项，可得答案； 【详解】（1）解： （2） 2．我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简和求值中有着广泛的应用．请根据上面的提示和范例，解决下面的问题： (1)把看成一个整体，则将 合并的结果为 　　． (2)已知，求的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)56 (3) 【分析】本题主要考查了合并同类项，代数式求值，去括号和添括号： （1）仿照题意把看作一个整体，根据合并同类项的计算法则求解即可； （2）根据，利用整体代入法求解即可； （3）把所求式子去括号，变形为，利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴ ． 提升4.整式的加减 1.先合并同类项，再求值． (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的运算，熟悉掌握合并同类项法则是解题的关键． （1）合并同类项后代入运算即可； （2）合并同类项后代入，，运算即可． 【详解】（1）解：， 当时，原式； （2） ， 当，时，原式 2．已知整式． (1)当，求整式的值； (2)若整式比整式大，求整式． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了求代数式的值，整式的加减运算． （1）将，代入计算即可求解； （2）根据题意得，计算即可求解． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：由题意得． 3．已知： ，． (1)化简：； (2)若的值与a的取值无关，求b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减，整式加减的无关型问题，这里与的取值无关即含的项的系数为0，据此来求解； （1）根据整式的加减计算法则求解即可； （2）先求出，根据的值与的取值无关，求出的式子中含的项的系数为0，据此求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 根据题意可得： 4．小吕做一道题：“已知两个多项式A、B，计算”，小黄误将看成，结果得，若，请你帮助小黄求出的正确答案． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．将B代入中计算，根据结果为，求出A，列出正确的算式，去括号合并即可得到正确结果． 【详解】解：根据题意：， ， ， ． 5．阅读下面材料： ①在数轴上，有理数5与对应两点间的距离为； ②在数轴上，有理数与3对应两点之间的距离为； ③在数轴上，有理数与对应两点之间的距离为； ④在数轴上点A、B分别表示数a，b，则A、B两点之间的距离； 回答下列问题： (1)①在数轴上表示与两点间的距离是 　 　， ②在数轴上表示x与3两点间的距离是 　 　； ③在数轴上表示x与________两点之间的距离为． (2)下面对式子进行探究： ①当表示数x的点在与3之间移动时，的值总是一个固定的值为：___________． ②要使，数轴上表示的数___________________． (3)的最小值：__________________________________． 【答案】(1)①3；②；③ (2)①4；②5或 (3)8 【分析】（1）直接根据题干中两点之间的距离公式计算即可； （2）①分析出的意义，再结合数轴可得；②分析出的意义，再根据两点之间的距离为8列式计算即可； （3）分种情况去绝对值符号，计算各种不同情况的值，最后讨论得出最小值． 【详解】（1）解：①在数轴上表示与两点间的距离是， ②在数轴上表示x与3两点间的距离是； ③， 则在数轴上表示x与两点之间的距离为； （2）①当表示数x的点在与3之间移动时， 表示数轴上x与的距离和与3的距离之和， 则此时； ②表示数轴上x与的距离和与3的距离之和为8， 则x的值为或； （3）表示数轴上x分别与3，2，，的距离之和， 时，原式，此时的最小值是10； 时，原式，此时的最小值是8； 时，原式， 时，原式，此时的最小值是8； 时，原式，此时的最小值是10， 综上：的最小值为8． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义是数轴上两点之间的距离，理解绝对值的几何意义是解题的关键． 提升5.整式加减的实际应用 1..图1是2022年1月份的日历，用图2所示的“九方格”在图1中框住9个日期，并把其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为． (1)直接填空： ________；(填“>”、“<”或“=”) (2) ________， ________， ________(用含a的代数式分别表示)； (3)当图2在图1的不同位置时，代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)= (2)，， (3)是，定值为 【分析】此题考查列代数式及整式加减的应用，解题的关键是理解题意，弄清楚数字的排列规律． (1)分别用含n的式子表示，列出代数式，化简后比较即可得出结论； (2)根据(1)的结论，分别用含a的式子表示，列出代数式，化简后比较即可得出结论； (3)分别把代入，再化简，即可解决问题． 【详解】(1)解：设为正整数)，则，，， 则：，， ∴， 故答案为：； (2)解：根据(1)得：，，； 故答案为：，，； (3)解：代数式的值为定值， ． 2 .我们定义：对于数对，若，则称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”． （1）下列数对中，是“和积等数对”的是　 　　；（填序号） ①； ②，； ③，． （2）若是“和积等数对”，求的值； （3）若是“和积等数对”，求代数式的值． 【分析】（1）根据“和积等数对”的定义即可得到结论； （2）根据“和积等数对”的定义列方程即可得到结论； （3）将原式去括号，合并同类项进行化简，然后根据新定义内容列出等式并化简，最后代入求值． 【解答】解：（1）， 数对是“和积等数对”， ， ，不是“和积等数对”， ， 数对，是“和积等数对”， 故答案为：①③； （2）是“和积等数对”， ， 解得：； （3） ， 是“和积等数对” ， 原式 ． 【点评】本题属于新定义内容，考查解一元一次方程，整式的加减—化简求值，理解“积差等数对”的定义，掌握解一元一次方程的步骤以及合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键． 3 .如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”的周长为52，则正方形的边长为（    ） A．3 B．13 C．6 D．8 【答案】C 【分析】设正方形的边长为，分别求得，，由“优美矩形”的周长得，列式计算即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为， “优美矩形”的周长为52，， ，，， ，，，正方形的边长为6，故选：C． 【点睛】本题考查整式加减的应用，认真观察图形，根据长方形的周长公式推导出所求的答案是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$