1.4 充分条件与必要条件题型总结讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4 充分条件与必要条件 【题型解析】 1．充分条件的判断 【解题方法点拨】 要判断一个条件是否为充分条件，可以通过验证当条件P成立时，条件Q是否也必然成立．通常可以通过具体实例或逻辑推理来验证．例如，假设P成立，通过推理或计算验证Q是否成立．如果可以找到反例，即P成立但Q不成立，则P不是Q的充分条件． 2．必要条件的判断 【解题方法点拨】 要判断一个条件是否为必要条件，可以通过假设条件Q成立，然后验证条件P是否也必然成立．可以使用反证法，即假设P不成立，看看Q是否也不成立．如果Q不成立，那么P是Q的必要条件．此外，可以通过逻辑推理和实例验证来进行判断． 3．既不充分也不必要条件的判断 【解题方法点拨】 要判断两个条件是否既不充分也不必要，可以分别验证P⇏Q和Q⇏P．找到P成立但Q不成立，以及Q成立但P不成立的反例． 通过举反例，可以证明两个条件之间的独立性．逻辑推理和具体实例是验证这种条件的有效方法． 4．充分条件的应用与判定定理 【解题方法点拨】 应用充分条件时，可以先寻找问题中的充分条件，然后利用这些条件简化解题过程．充分条件的判定定理可以直接套用，省去复杂的推理过程．例如，在三角形全等问题中，直接应用SAS判定定理，可以迅速得到结论．对于复杂问题，可以将其分解为多个充分条件，逐一验证． 5．必要条件的应用与性质定理 【解题方法点拨】 应用必要条件时，可以先寻找问题中的必要条件，然后利用这些条件判断问题的必然性．性质定理可以直接套用，简化解题过程． 6．充分不必要条件的应用 【解题方法点拨】 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． 若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； 7．必要不充分条件的应用 【解题方法点拨】 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． 若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； 8．充要条件的应用 【解题方法点拨】 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； 9．既不充分也不必要条件的应用 【解题方法点拨】 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． 若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件． 【题型目录】 一．充分条件与必要条件的判断 二．充分不必要条件的应用 三．必要不充分条件的应用 四．既不充分也不必要条件的应用 五．充要条件的应用 【典型例题】 题型1 充分条件与必要条件的判断 例（多选）1．给出下列四个条件：①xt2＞yt2；②xt＞yt；③x2＞y2；④．其中能成为x＞y的充分条件的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 例2．下列命题中，p是q的充分条件的是（　　） A．p：a是无理数，q：a2是无理数 B．p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等 C．p：x＞0，q：x≥1 D．p：a＞b，q：ac2＞bc2 例（多选）3．下列条件中是“a+b＞0”的充分条件的是（　　） A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＝3，b＝﹣2 D．a＞0，b＜0且|a|＞|b| 例（多选）4．下列是“x＞y”成立的充分条件的是（　　） A．a2x＞a2y（a∈R） B．x3＞y3 C．＞y D． 例（多选）5．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是（　　） A．若两个三角形全等，则这两个三角形相似 B．若x＞5，则x＞10 C．若ac＝bc，则a＝b D．若0＜x＜5，则|x﹣1|＜1 例（多选）6．p是q的必要条件的是（　　） A．p：3x+2＞5，q：﹣2x﹣3＞﹣5 B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有唯一解 例7．已知x≥2a﹣1是x≥3的充分条件，则实数a的取值范围是 　 　． 例8．已知集合A＝{x|2m﹣1≤x≤m+1}，． （1）若，求A∩（∁RB）； （2）若x∈B是x∈A的必要条件，求实数m的取值范围． 练习1．下列p是q的必要条件的是（　　） A．p：a＝1，q：|a|＝1 B．p：﹣1＜a＜1，q：a＜1 C．p：a＜b，q：a＜b+1 D．p：a＞b，q：a＞b+1 练习2．下列命题中q是p的必要条件的是（　　） A．p：A∩B＝A，q：A⊆B B．p：x2﹣2x﹣3＝0，q：x＝﹣1 C．p：|x|＜1，q：x＜0 D．p：x2＞2，q：x＞2 练习（多选）3．下列各选项中，p是q的必要条件的有（　　） A．p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形 B．对于实数x，p：﹣1≤x≤5，q：x≥9或x≤5 C．p：x＝﹣1，q：x2+2x+1＝0 D．p：△ABC是等腰三角形，q：△ABC是直角三角形 练习4．集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜m}，若x∈B的充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣1，2） B．[2，+∞） C．（﹣2，2] D．（2，+∞） 练习（多选）5．若不等式x﹣1＜a成立的必要条件是x＜1，则实数a的取值可以是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 练习6．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； （4）若x＝1，则x2＝1； （5）若ac＝bc，则a＝b； （6）若xy为无理数，则x，y为无理数． 练习7．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤1}，B＝{x|m﹣2≤x≤m+2}． （1）若m＝1，求A∩B和A∪B； （2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围． 题型2 充分不必要条件的应用 例1．已知p：“x＞2”，q：“x2﹣x﹣a＞0”，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（　　） A． B．（﹣∞，2] C． D．[2，+∞） 例2．若m﹣1≤x≤m+1是不等式x2﹣x﹣6≥0成立的充分不必要条件，则实数m的取值范围为（　　） 例3．已知p：﹣3≤x≤3，q：x＜a（a为实数）．若q的充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 　 　． 例4．设集合U＝R，A＝{x||x﹣3|≤2}，B＝{x|m﹣1≤x≤2m}． （1）若m＝3，求A∩（∁UB）； （2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求m的取值范围． 例5．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜7}，B＝{x|a≤x≤3a﹣2}． （1）若a＝4，求（∁RA）∪（∁RB）． （2）若B是A的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 练习（多选）1．若“x≥1”是“x＞a”的充分不必要条件，则实数a的值可以为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 练习2．已知条件p：﹣1≤x＜2，条件q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（　　） A．{a|a＞2} B．{a|a≥2} C．{a|a＜﹣1} D．{a|a≤﹣1} 练习3．设；q：a≤x≤a+1，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 练习4．若“x＞k”是“x2＞1”的充分不必要条件，则实数k的取值范围为 　 　． 练习5．设集合U＝R，A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|m≤x≤2m+1，m∈R}． （1）m＝2，求A∪B； （2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求m的取值范围． 题型3 必要不充分条件的应用 例1．若“x＞a”是“x＞1”的必要不充分条件，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞） 例2．已知关于x的不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的一个必要不充分条件是a＜x＜3，则a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，﹣1] C．（﹣1，3） D．[﹣1，3） 例3．若“x＞2”是“x＞m”的必要不充分条件，m∈Z，则m取值可以是 　 　．（填一个值即可） 例4．已知集合A＝{x|（x+2）（x﹣8）≤0}，B＝{x||x|＜3}． （1）求A∩B； （2）若集合C＝{x|m﹣6＜x＜4m}，且“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 练习1．若“x＞2a2﹣3”是“1≤x≤4”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C．（﹣1，1） D．[﹣1，1] 练习2．已知p：x2﹣2x﹣8＜0，q：2﹣a＜x＜a+1，且q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，3）∪（0，+∞） B．[4，+∞） C．[﹣3，0] D．（﹣3，0） 练习（多选）3．若“x＜k或x＞k+2”是“﹣4＜x＜1”的必要不充分条件，则实数k的值可以是（　　） A．﹣8 B．﹣5 C．﹣3 D．1 练习4．若“x2﹣5x+4＜0”是“a﹣1＜x＜a+1”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（　　） A．{a|2＜a＜3} B．{a|2≤a≤3} C．{a|﹣2＜a≤3} D．{a|﹣2≤a≤3} 练习5．已知集合A＝{x|（x+2）（5﹣x）≤0}，B＝{x|2a+1＜x＜3a+5}． （1）若a＝﹣2，求A∪B； （2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 练习6．已知集合A＝{x|x2﹣5x+4≤0}，B＝{x|2﹣m≤x≤2+m}． （1）若A∩B＝B，求实数m的取值范围； （2）设p：x∈A，q：x∈B，若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 题型4 既不充分也不必要条件的应用 例1．已知，若p是q的既不充分也不必要条件，则实数m的取值范围是　 　． 例2．已知命题p：1﹣c＜x＜1+c（c＞0），命题q：x＞7或x＜﹣1，并且p是q的既不充分又不必要条件，则c的取值范围是　 　． 例3．已知p：1﹣c＜x＜1+c（c＞0），q：x＞7或 x＜﹣1．若p是q的既不充分又不必要条件，求实数c的取值范围． 例4．已知p：x2+2x﹣8≤0，q：x2﹣（2m+1）x+m2+m≤0． （1）若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围； （2）若q是p的既不充分也不必要条件，求实数m的取值范围． 练习1．已知p：x＞3，q：x＞5，则p是q的 　 　．（选“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”之一填空） 练习2．a＜0是|a|＞0的 　 　条件（从“充分条件、必要条件、充要条件、既不充分又不必要条件”中选填）． 练习3．设x∈R，则“x＜2”是“x＜0”的 　 　条件．（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”） 练习4．已知命题p：1﹣c＜x＜1+c（c＞0），命题q：x＞7或x＜﹣1，且p是q的既不充分也不必要条件，求c的取值范围． 练习5．已知p：|x﹣1|＜c（c＞0），q：|x﹣3|＞4，且p是q的既不充分也不必要条件，求c的取值范围． 练习6．已知非空集合A＝{x|a﹣3＜x＜2a}，B＝{x|x2﹣2x﹣8＞0}． （1）若a＝0，求A∪（∁RB）． （2）若“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件，求a的取值范围． 题型5 充要条件的应用 例1．已知p：{x|﹣2≤x≤10}，q：{x|4﹣m≤x≤4+m，m＞0}，若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是（　　） A．{4} B．{5} C．{6} D．{7} 例2．若“x2+ax+b＝0”是“x＝1”的充要条件，则ab的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 例3．已知p：﹣7≤x≤9，q：1﹣m≤x≤1+m． （1）若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 　 　； （2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是 　 　． 例4．若﹣2＜x＜﹣1是不等式（a+x）（1+x）＜0成立的： （1）充要条件，则实数a＝　 　； （2）充分不必要条件，则实数a的取值范围为　 　． 例5．设集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|1﹣m＜x＜m+1，m＞0}，命题p：x∈A，命题q：x∈B （1）若p是q的充要条件，求正实数m的取值范围； （2）若p是q的充分不必要条件，求正实数m的取值范围． 例6．已知P＝{x|x2﹣8x﹣20≤0}，非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}． （1）若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围； （2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？请说明理由． 练习1．命题p：x＞4是命题q：x﹣4＞m的充要条件，则m的取值范围是（　　） A．m＞0 B．m＜0 C．m＝0 D．m≥0 练习2．已知P＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}． （1）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由； （2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由． 练习3．已知p：x2﹣12x+35＜0；q：|x﹣a|＜1． （1）若p是q的充要条件，求实数a的值； （2）若p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 练习4．已知p：|4x﹣3|≤1，q：x2﹣4ax+3a﹣1≤0． （1）是否存在实数a，使得p是q的充要条件？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． （2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 练习5．已知非空集合A＝{x|x2﹣（a2+a）x+a3＜0}，集合，命题p：x∈A．命题q：x∈B． （1）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围； （2）当实数a为何值时，p是q的充要条件． 练习6．已知P＝{x|1≤x≤4}，S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}． （1）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由； （2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 练习7．已知R＝{x|x2﹣3x+2≤0}，S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}． （1）是否存在实数m，使x∈R是x∈S的充要条件？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由； （2）是否存在实数m，使x∈R是x∈S的必要条件？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由． 练习8．已知非空集合A＝{x|（x﹣a）（x﹣a2）＜0}，集合B＝． （1）当实数a为何值时，“x∈A”是“x∈B”的充要条件； （2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 练习9．已知集合M＝{x|x＜﹣3或x＞5}，P＝{x|a≤x≤8}． （1）求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的充要条件； （2）求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的充分不必要条件； （3）求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的必要不充分条件． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4 充分条件与必要条件 【题型解析】 1．充分条件的判断 【解题方法点拨】 要判断一个条件是否为充分条件，可以通过验证当条件P成立时，条件Q是否也必然成立．通常可以通过具体实例或逻辑推理来验证．例如，假设P成立，通过推理或计算验证Q是否成立．如果可以找到反例，即P成立但Q不成立，则P不是Q的充分条件． 2．必要条件的判断 【解题方法点拨】 要判断一个条件是否为必要条件，可以通过假设条件Q成立，然后验证条件P是否也必然成立．可以使用反证法，即假设P不成立，看看Q是否也不成立．如果Q不成立，那么P是Q的必要条件．此外，可以通过逻辑推理和实例验证来进行判断． 3．既不充分也不必要条件的判断 【解题方法点拨】 要判断两个条件是否既不充分也不必要，可以分别验证P⇏Q和Q⇏P．找到P成立但Q不成立，以及Q成立但P不成立的反例． 通过举反例，可以证明两个条件之间的独立性．逻辑推理和具体实例是验证这种条件的有效方法． 4．充分条件的应用与判定定理 【解题方法点拨】 应用充分条件时，可以先寻找问题中的充分条件，然后利用这些条件简化解题过程．充分条件的判定定理可以直接套用，省去复杂的推理过程．例如，在三角形全等问题中，直接应用SAS判定定理，可以迅速得到结论．对于复杂问题，可以将其分解为多个充分条件，逐一验证． 5．必要条件的应用与性质定理 【解题方法点拨】 应用必要条件时，可以先寻找问题中的必要条件，然后利用这些条件判断问题的必然性．性质定理可以直接套用，简化解题过程． 6．充分不必要条件的应用 【解题方法点拨】 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． 若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； 7．必要不充分条件的应用 【解题方法点拨】 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． 若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； 8．充要条件的应用 【解题方法点拨】 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； 9．既不充分也不必要条件的应用 【解题方法点拨】 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． 若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件． 【题型目录】 一．充分条件与必要条件的判断 二．充分不必要条件的应用 三．必要不充分条件的应用 四．既不充分也不必要条件的应用 五．充要条件的应用 【典型例题】 题型1 充分条件与必要条件的判断 例（多选）1．给出下列四个条件：①xt2＞yt2；②xt＞yt；③x2＞y2；④．其中能成为x＞y的充分条件的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AD 【分析】首先分清条件与结论，条件是所选答案，结论是x＞y，充分性即为所选答案推出x＞y． 【解答】解：①．由xt2＞yt2可知，t2＞0，故x＞y．故①是． ②．由xt＞yt可知，t≠0，当t＜0时，有x＜y；当t＞0时，有x＞y．故②不是． ③由x2＞y2，则|x|＞|y|，推不出x＞y，故③不是； ④．由．由函数y＝在区间（0，+∞）上单调递减，可得x＞y＞0，故④是． 故选：AD． 【点评】本题考查了充分必要关系的判断，还考查了不等式的性质，属于基础题． 例2．下列命题中，p是q的充分条件的是（　　） A．p：a是无理数，q：a2是无理数 B．p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等 C．p：x＞0，q：x≥1 D．p：a＞b，q：ac2＞bc2 【答案】B 【分析】根据充分条件的定义，对四个选项逐一分析即可得解． 【解答】解：对A选项，∵由a是无理数不能得到a2是无理数， ∴p是q的不充分条件，∴A选项错误； 对B选项，∵四边形为等腰梯形能得到该四边形对角线相等， ∴p是q的充分条件，∴B选项正确； 对C选项，∵x＞0不能得到x≥1， ∴p是q的不充分条件，∴C选项错误； 对D选项，∵当c＝0时，由a＞b不能得到ac2＞bc2， ∴p是q的不充分条件，∴D选项错误． 故选：B． 【点评】本题考查充分条件的定义，属基础题． 例（多选）3．下列条件中是“a+b＞0”的充分条件的是（　　） A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＝3，b＝﹣2 D．a＞0，b＜0且|a|＞|b| 【答案】ACD 【分析】根据充要条件的定义即可判断． 【解答】解：由a＞0，b＞0，可推出a+b＞0，故“a＞0，b＞0”是“a+b＞0”的充分条件，故A正确； 由a＜0，b＜0，可推出a+b＜0，故“a＜0，b＜0”不是“a+b＞0”的充分条件，故B不正确； 由a＝3，b＝﹣2，可得a+b＝1，能够推出a+b＞0，故“a＝3，b＝﹣2”是“a+b＞0”的充分条件，故C正确； 由a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，可得a+b＝|a|﹣|b|＞0，故可推出a+b＞0，故“a＞0，b＜0且|a|＞|b|”是“a+b＞0”的充分条件，故D正确． 故选：ACD． 【点评】本题考查了充分必要条件的定义，属于基础题． 例（多选）4．下列是“x＞y”成立的充分条件的是（　　） A．a2x＞a2y（a∈R） B．x3＞y3 C．＞y D． 【答案】ABD 【分析】根据充分条件与必要条件的定义，结合不等式的性质逐项分析，即可得到答案． 【解答】解：对于A选项，a2x＞a2y（a∈R）， 因为a2＞0，所以x＞y，故“a2x＞a2y（a∈R）”是“x＞y”成立的充分条件，故选项A正确； 对于B选项，若x3＞y3，则x＞y，故“x3＞y3”是“x＞y”成立的充分条件，故选项B正确； 对于C选项，当x＝﹣2，y＝﹣1时，满足＞y，但不满足x＞y， 故“＞y”不是“x＞y”成立的充分条件，故选项C错误； 对于D选项，若，则x＞y＞0， 故“”是“x＞y”成立的充分条件，故选项D正确． 故选：ABD． 【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，考查了不等式基本性质的应用，属于基础题． 例（多选）5．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是（　　） A．若两个三角形全等，则这两个三角形相似 B．若x＞5，则x＞10 C．若ac＝bc，则a＝b D．若0＜x＜5，则|x﹣1|＜1 【答案】BCD 【分析】根据充分必要条件的意义即可判断出结论． 【解答】解：A．两个三角形全等⇒这两个三角形相似，反之，不成立，故p是q的充分条件； B．p：x＞5，q：x＞10，p推不出q，由q⇒p．故p是q的必要条件； C．p：ac＝bc，q：a＝b，p推不出q，由q⇒p．故p是q的必要条件； D．|x﹣1|＜1⇔0＜x＜2，p：0＜x＜5，q：0＜x＜2，p推不出q，由q⇒p．故p是q的必要条件； ∴只有B，C，D中p是q的必要条件． 故选：BCD． 【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 例（多选）6．p是q的必要条件的是（　　） A．p：3x+2＞5，q：﹣2x﹣3＞﹣5 B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有唯一解 【答案】CD 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可． 【解答】解：对于A，p：3x+2＞5⇒x＞1，q：﹣2x﹣3＞﹣5⇒x＜1，∴p推不出q，q推不出p，p是q既不充分也不必要条件； 对于B，p：a＞2，b＜2⇒q：a＞b；但q推不出p，故p是q的充分不必要条件； 对于C，若“两条对角线互相垂直平分”成立推不出“四边形是正方形”； 反之，若“四边形是正方形”成立⇒“两条对角线互相垂直平分”成立，故p是q的必要条件； 对于D，p：a≠0⇔q：关于x的方程ax＝1有唯一解，故p是q的充分必要条件； 故选：CD． 【点评】本题考查了充分必要条件的定义以及应用，属于基础题． 例7．已知x≥2a﹣1是x≥3的充分条件，则实数a的取值范围是 　{a|a≥2}　． 【答案】{a|a≥2}． 【分析】根据充分条件的定义得到x≥2a﹣1⇒x≥3，从而得到不等式，求出实数a的取值范围． 【解答】解：由题意得：x≥2a﹣1⇒x≥3，故2a﹣1≥3，解得：a≥2， 故实数a的取值范围是{a|a≥2}． 故答案为：{a|a≥2}． 【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题． 例8．已知集合A＝{x|2m﹣1≤x≤m+1}，． （1）若，求A∩（∁RB）； （2）若x∈B是x∈A的必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1）A∩（∁RB）＝； （2）[）∪（2，+∞）． 【分析】（1）利用集合交补运算求A∩（∁RB）即可； （2）由题意A⊆B，讨论A＝∅、A≠∅求参数范围． 【解答】解：（1）由，则∁RB＝或x≥2}， 若，则，所以A∩（∁RB）＝． （2）若x∈B是x∈A的必要条件，则A⊆B． 当2m﹣1＞m+1时，即m＞2时，A＝∅，符合题意； 当2m﹣1≤m+1时，即m≤2时，A≠∅， 要满足A⊆B，可得，解得； 综上，实数m的取值范围为[）∪（2，+∞）． 【点评】本题考查集合的运算，考查充分必要条件，属于基础题． 练习1．下列p是q的必要条件的是（　　） A．p：a＝1，q：|a|＝1 B．p：﹣1＜a＜1，q：a＜1 C．p：a＜b，q：a＜b+1 D．p：a＞b，q：a＞b+1 【答案】D 【分析】要满足p是q的必要条件，即q⇒p，再根据各个选项今天分析即可得解． 【解答】解：要满足p是q的必要条件，即q⇒p， 对A选项，∵q：|a|＝1，∴a＝±1， ∴q：|a|＝1不能得到p：a＝1，∴A选项错误； 对B选项，∵q：a＜1不能得到p：﹣1＜a＜1，∴B选项错误； 对C选项，∵q：a＜b+1不能得到p：a＜b，∴C选项错误； 对D选项，∵q：a＞b+1，∴a＞b+1＞b，∴a＞b， ∴q：a＞b+1能得到p：a＞b，∴D选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查充分与必要条件的概念，属基础题． 练习2．下列命题中q是p的必要条件的是（　　） A．p：A∩B＝A，q：A⊆B B．p：x2﹣2x﹣3＝0，q：x＝﹣1 C．p：|x|＜1，q：x＜0 D．p：x2＞2，q：x＞2 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【解答】解：p：A∩B＝A，q：A⊆B，由A∩B＝A，则A集合的元素均在B集合中，能得出A⊆B， 根据充分条件和必要条件的定义进行判断可得q是p的必要条件，其余选项都不符合要求． 故选：A． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键． 练习（多选）3．下列各选项中，p是q的必要条件的有（　　） A．p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形 B．对于实数x，p：﹣1≤x≤5，q：x≥9或x≤5 C．p：x＝﹣1，q：x2+2x+1＝0 D．p：△ABC是等腰三角形，q：△ABC是直角三角形 【答案】AC 【分析】选项A：根据矩形的性质即可判断；选项B：根据命题p，q对应的集合间的关系即可判断；选项C：求出方程的解，由此即可判断；选项D：根据三角形的性质即可判断． 【解答】解：选项A：因为矩形的对角线相等，所以q是p的充分条件，所以p是q的必要条件，故A正确， 选项B：因为{x|﹣1≤x≤5}⫋{x|x≥9或x≤5}，所以p是q的充分不必要条件，故B错误， 选项C：因为方程x2+2x+1＝0的两根为﹣1，故p是q的充要条件，故C正确， 选项D：因为等腰三角形中包含直角三角形，而直角三角形中也包含等腰三角形，故p是q的既不充分又不必要条件，故D错误， 故选：AC． 【点评】本题考查了必要条件的定义，涉及到多种数学问题，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题． 练习4．集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜m}，若x∈B的充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣1，2） B．[2，+∞） C．（﹣2，2] D．（2，+∞） 【答案】B 【分析】根据充分条件的定义求解． 【解答】解：由题意，x∈B的充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是[2，+∞）． 故选：B． 【点评】本题考查充分条件的应用，属于基础题． 练习（多选）5．若不等式x﹣1＜a成立的必要条件是x＜1，则实数a的取值可以是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【答案】ABC 【分析】x﹣1＜a化简得x＜a+1，由充分与必要条件判断a的取值范围即可． 【解答】解：由x﹣1＜a得x＜a+1，因为不等式x﹣1＜a成立的必要条件是x＜1，所以a+1≤1，解得a≤0，符合题意的选项有：A，B，C． 故选：ABC． 【点评】本题考查必要条件的应用，属于基础题． 练习6．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； （4）若x＝1，则x2＝1； （5）若ac＝bc，则a＝b； （6）若xy为无理数，则x，y为无理数． 【答案】（1），（2），（4）． 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等成立，∴q是p的必要条件， （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例成立，∴q是p的必要条件， （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形不成立，反之成立，∴q是p的充分不必要条件， （4）若x＝1，则x2＝1成立，∴q是p的必要条件， （5）当a＝1，b＝2，c＝0时，ac＝bc成立，但a≠b，反之成立，∴q是p的充分不必要条件， （6）若x＝1，y＝时，xy为无理数，但x不为无理数，反之，当x＝y＝时，xy＝3不为无理数，∴q是p的既不充分也不必要条件． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键． 练习7．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤1}，B＝{x|m﹣2≤x≤m+2}． （1）若m＝1，求A∩B和A∪B； （2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1）A∩B＝{x|﹣1≤x≤1}，A∪B＝{x|﹣2≤x≤3}； （2）[﹣1，0]． 【分析】（1）根据集合交集和并集的定义运算即可； （2）将“x∈A”是“x∈B”的充分条件，转化为A⊆B，列不等式求解即可． 【解答】解：（1）m＝1时，B＝{x|﹣1≤x≤3}， 则A∩B＝{x|﹣1≤x≤1}，A∪B＝{x|﹣2≤x≤3}； （2）“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，即，解得﹣1≤m≤0． 故实数m的取值范围为[﹣1，0]． 【点评】本题考查充分条件的应用，考查集合的交并运算，属于基础题． 题型2 充分不必要条件的应用 例1．已知p：“x＞2”，q：“x2﹣x﹣a＞0”，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（　　） A． B．（﹣∞，2] C． D．[2，+∞） 【答案】B 【分析】根据题意，由p可以推出q成立，且由q不能推出p，由此利用二次函数的性质与一元二次不等式的解法，建立关于a的不等式，解出实数a的取值范围． 【解答】解：若p是q的充分不必要条件，则当x＞2时，可推出x2﹣x﹣a＞0成立， 因为f（x）＝x2﹣x﹣a的图象是开口向上的抛物线，关于直线x＝对称， 所以f（x）在（，+∞）上是增函数，可知f（x）在（2，+∞）上的最小值大于f（2）＝2﹣a， 若x2﹣x﹣a＞0在（2，+∞）上成立，则22﹣2﹣a≥0，解得a≤2． 反之，若不等式x2﹣x﹣a＞0成立，则在a≤2时有如下三种情况： ①若﹣＜a≤2，不等式的解集为（﹣∞，x1）∪（x2，+∞），且x2＝≤2，此时（2，+∞）⊂（x2，+∞）； ②若a＝，不等式x2﹣x﹣a＞0即x2﹣x+＞0，解集为（﹣∞，）∪（，+∞），此时（2，+∞）⊂（，+∞）； ③若a＜，不等式x2﹣x﹣a＞0的解析为R，可知（2，+∞）也包含在解集当中． 综上所述，对任意a≤2，都可以使“x＞2”是“x2﹣x﹣a＞0”的充分不必要条件． 因此，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（﹣∞，2]． 故选：B． 【点评】本题主要考查充要条件的判断、二次函数的性质、一元二次不等式的解法及其应用等知识，考查了计算能力、分类讨论的数学思想，属于中档题． 例2．若m﹣1≤x≤m+1是不等式x2﹣x﹣6≥0成立的充分不必要条件，则实数m的取值范围为（　　） A．﹣3≤m≤4 B．﹣4≤m≤3 C．m≤﹣4或m≥3 D．m≤﹣3或m≥4 【答案】D 【分析】解不等式得到{x|m﹣1≤x≤m+1}⊆{x|x≤﹣2或x≥3}，得到m﹣1≥3或m+1≤﹣2，解得答案． 【解答】解：不等式x2﹣x﹣6≥0的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}， 故{x|m﹣1≤x≤m+1}⊆{x|x≤﹣2或x≥3}，故m﹣1≥3或m+1≤﹣2， 解得m≥4或m≤﹣3． 故选：D． 【点评】本题考查充分不必要条件的定义，属于基础题． 例3．已知p：﹣3≤x≤3，q：x＜a（a为实数）．若q的充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 　（3，+∞）　． 【答案】（3，+∞）． 【分析】根据充分不必要条件的定义求解． 【解答】解：由题意p是q的充分不必要条件， 所以a＞3． 故答案为：（3，+∞）． 【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是基础题． 例4．设集合U＝R，A＝{x||x﹣3|≤2}，B＝{x|m﹣1≤x≤2m}． （1）若m＝3，求A∩（∁UB）； （2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求m的取值范围． 【答案】（1）{x|1≤x＜2}； （2）{m|m＜﹣1或2≤m≤}． 【分析】（1）先求出集合A，B，再利用集合的基本运算求解； （2）由“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，可得B⫋A，再分B＝∅和B≠∅两种情况讨论，分别求出m的取值范围，最后取并集即可． 【解答】解：（1）由题意知A＝{x|1≤x≤5}， 当m＝3时，B＝{x|2≤x≤6}， 故∁UB＝{x|x＜2或x＞6}， ∴A∩（∁UB）＝{x|1≤x＜2}； （2）∵“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件， ∴B⫋A， ∴当B＝∅时，m﹣1＞2m，解得m＜﹣1，成立， 当B≠∅时，，且m﹣1≥1，2m≤5中等号不能同时取得， 解得， 综上，m的取值范围是{m|m＜﹣1或2≤m≤}． 【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题． 例5．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜7}，B＝{x|a≤x≤3a﹣2}． （1）若a＝4，求（∁RA）∪（∁RB）． （2）若B是A的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）（﹣∞，4）∪[7，+∞）； （2）（﹣∞，3）． 【分析】（1）根据集合间的运算直接计算； （2）根据充分必要性可得B⊆A，分情况列不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）由a＝4，得B＝{x|4≤x≤10}＝[4，10]， 则∁RB＝（﹣∞，4）∪（10，+∞）， 又A＝{x|﹣2＜x＜7}＝（﹣2，7）， 则∁RA＝（﹣∞，﹣2]∪[7，+∞）， 所以（∁RA）∪（∁RB）＝（﹣∞，4）∪[7，+∞）； （2）由B是A的充分不必要条件， 得B⊆A， 当B＝∅时，a＞3a﹣2，解得a＜1， 当B≠∅时，，解得1≤a＜3， 综上所述a＜3， 即a的取值范围为（﹣∞，3）． 【点评】本题考查充分不必要条件的应用，考查集合的运算，属于基础题． 练习（多选）1．若“x≥1”是“x＞a”的充分不必要条件，则实数a的值可以为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】AB 【分析】根据题意，集合{x|x≥1}是集合{x|x＞a}的真子集，由此判断即可得到本题的答案． 【解答】解：若“x≥1”是“x＞a”的充分不必要条件，则集合{x|x≥1}是集合{x|x＞a}的真子集， 因此可得a＜1，对照各个选项，可知A、B两项符合题意． 故选：AB． 【点评】本题主要考查集合的包含关系、充要条件的定义及其判断等知识，考查逻辑推理能力，属于基础题． 练习2．已知条件p：﹣1≤x＜2，条件q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（　　） A．{a|a＞2} B．{a|a≥2} C．{a|a＜﹣1} D．{a|a≤﹣1} 【答案】C 【分析】根据题意，可得由p可以推出q，但由q推不出p，从而列式算出实数a的取值范围． 【解答】解：因为p是q的充分不必要条件， 所以由“﹣1≤x＜2”可推出“x＞a”，且由“x＞a”不能推出“﹣1≤x＜2”， 所以[﹣1，2）⫋（a，+∞），可得a＜﹣1，C项符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查充要条件的判断、集合的包含关系等知识，考查了逻辑推理能力，属于基础题． 练习3．设；q：a≤x≤a+1，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件可确定两个集合的真包含关系，从而通过解不等式组即得． 【解答】解：若p是q的充分不必要条件，则“＝“不同时成立， 解得：，故a的取值范围是[0，]． 故选：A． 【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是基础题． 练习4．若“x＞k”是“x2＞1”的充分不必要条件，则实数k的取值范围为 　[1，+∞）　． 【答案】[1，+∞）． 【分析】根据题意，解不等式x2＞1得到x＜﹣1或x＞1，然后利用充分不必要条件的定义，算出k的取值范围． 【解答】解：根据题意，可得x2＞1即x＜﹣1或x＞1， 因为“x＞k”是“x2＞1”的充分不必要条件，所以（k，+∞）⫋{x|x＜﹣1或x＞1}， 可得k≥1，即实数k的取值范围为[1，+∞）． 【点评】本题主要考查不等式的解法、充要条件的判断及其应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题． 练习5．设集合U＝R，A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|m≤x≤2m+1，m∈R}． （1）m＝2，求A∪B； （2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求m的取值范围． 【答案】（1）A∪B＝{x|0≤x≤5}；（2）（﹣∞，﹣1）∪[0，1]． 【分析】（1）根据并集的定义求解； （2）将已知条件转为B是A的真子集，列不等式求解即可． 【解答】解：（1）m＝2时，B＝{x|2≤x≤5}，A∪B＝{x|0≤x≤5}． （2）由题意得，B是A的真子集， ①若B＝∅，则m＞2m+1，解得m＜﹣1； ②若B≠∅，则m≤2m+1，解得m≥﹣1； ∵B是A的真子集，∴（等号不能同时成立），∴0≤m≤1． 综合①②得：m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪[0，1]． 【点评】本题考查集合的运算，考查充分不必要条件的应用，属于基础题． 题型3 必要不充分条件的应用 例1．若“x＞a”是“x＞1”的必要不充分条件，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞） 【答案】A 【分析】由{x|x＞a}⫌{x|x＞1}，可得结果． 【解答】解：由“x＞a”是“x＞1”的必要不充分条件， 则{x|x＞a}⫌{x|x＞1}， 所以a＜1，即实数a的取值范围为（﹣∞，1）． 故选：A． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件，属于基础题． 例2．已知关于x的不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的一个必要不充分条件是a＜x＜3，则a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，﹣1] C．（﹣1，3） D．[﹣1，3） 【答案】A 【分析】由x2﹣2x﹣3＜0，得﹣1＜x＜3，由必要不充分条件可得a的取值范围． 【解答】解：由x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3， 由已知不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的一个必要不充分条件是a＜x＜3， 所以a＜﹣1，则a∈（﹣∞，﹣1）． 故选：A． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件，属于基础题． 例3．若“x＞2”是“x＞m”的必要不充分条件，m∈Z，则m取值可以是 　3（答案不唯一）　．（填一个值即可） 【答案】3（答案不唯一）． 【分析】根据不等式的性质，结合必要不充分条件的定义，算出整数m的取值范围，即可得到本题的答案． 【解答】解：若“x＞2”是“x＞m”的必要不充分条件， 则（m，+∞）⊂（2，+∞），可知m＞2，结合m∈Z，可知m是大于等于3的整数． 故答案为：3（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查逻辑推理能力，属于基础题． 例4．已知集合A＝{x|（x+2）（x﹣8）≤0}，B＝{x||x|＜3}． （1）求A∩B； （2）若集合C＝{x|m﹣6＜x＜4m}，且“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1）[﹣2，3）； （2）（2，4）． 【分析】（1）先解不等式确定出集合A、B的元素，再由交集的定义算出答案； （2）根据充要条件的定义，建立关于m的不等式组解之即可得到实数m的取值范围． 【解答】解：（1）不等式（x+2）（x﹣8）≤0即﹣2≤x≤8，所以A＝{x|（x+2）（x﹣8）≤0}＝[﹣2，8]， 而B＝{x||x|＜3}＝{x|﹣3＜x＜3}＝（﹣3，3），所以A∩B＝[﹣2，3）； （2）由“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件，可知集合A是集合C的真子集， 说明集合C＝{x|m﹣6＜x＜4m}是非空集合，可得4m＞m﹣6，即m＞2． 因为A＝[﹣2，8]，且A⫋C，所以，解得2＜m＜4， 所以实数m的取值范围是（2，4）． 【点评】本题主要考查集合的概念与运算、不等式的解法与充要条件的判断等知识，属于基础题． 练习1．若“x＞2a2﹣3”是“1≤x≤4”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C．（﹣1，1） D．[﹣1，1] 【答案】B 【分析】根据题意，可得[1，4]是（2a2﹣3，+∞）的真子集，从而建立关于a的不等式，解之即可得到本题的答案． 【解答】解：根据题意，可得由1≤x≤4可以推出x＞2a2﹣3，但由x＞2a2﹣3不能推出1≤x≤4． 所以[1，4]⫋（2a2﹣3，+∞），可得2a2﹣3＜1，解得，即a的取值范围是． 故选：B． 【点评】本题主要考查不等式的解法、充要条件的判断及其应用，属于基础题． 练习2．已知p：x2﹣2x﹣8＜0，q：2﹣a＜x＜a+1，且q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，3）∪（0，+∞） B．[4，+∞） C．[﹣3，0] D．（﹣3，0） 【答案】B 【分析】解出命题p所表示的不等式，再根据必要不充分条件列出不等式组，解出即可． 【解答】解：∵x2﹣2x﹣8＜0，∴﹣2＜x＜4，记P＝{x|﹣2＜x＜4}，Q＝{x|2﹣a＜x＜a+1}， 由q是p的必要不充分条件，可得P⊆Q且P≠Q， 故，且等号不同时成立，解得a∈[4，+∞）． 故选：B． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件，属于基础题． 练习（多选）3．若“x＜k或x＞k+2”是“﹣4＜x＜1”的必要不充分条件，则实数k的值可以是（　　） A．﹣8 B．﹣5 C．﹣3 D．1 【答案】AD 【分析】根据题意，分析可得集合{x|﹣4＜x＜1}是集合{x|x＜k或x＞k+2}的真子集，由此可得关于k的不等式，解可得答案． 【解答】解：根据题意，若“x＜k或x＞k+2”是“﹣4＜x＜1”的必要不充分条件， 则集合{x|﹣4＜x＜1}是集合{x|x＜k或x＞k+2}的真子集， 则有k+2≤﹣4或k≥1， 即k≤﹣6或k≥1， 分析选项：k＝8和k＝1符合． 故选：AD． 【点评】本题考查充分必要条件的判断，涉及充分必要条件与集合的关系，属于基础题． 练习4．若“x2﹣5x+4＜0”是“a﹣1＜x＜a+1”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（　　） A．{a|2＜a＜3} B．{a|2≤a≤3} C．{a|﹣2＜a≤3} D．{a|﹣2≤a≤3} 【答案】B 【分析】根据题意先解不等式x2﹣5x+4＜0，然后根据必要条件的定义，得到（a﹣1，a+1）是（1，4）的真子集，从而列不等式算出a的取值范围． 【解答】解：由x2﹣5x+4＜0，解得1＜x＜4， 因为“x2﹣5x+4＜0”是“a﹣1＜x＜a+1”的必要不充分条件， 所以（a﹣1，a+1）是（1，4）的真子集， 可得（等号不同时成立），解得2≤a≤3． 故选：B． 【点评】本题主要考查不等式的解法、充要条件的判断等知识，考查了逻辑推理能力，属于基础题． 练习5．已知集合A＝{x|（x+2）（5﹣x）≤0}，B＝{x|2a+1＜x＜3a+5}． （1）若a＝﹣2，求A∪B； （2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）A∪B＝{x|x＜﹣1或x≥5}． （2）a∈（﹣∞，﹣]∪[2a，+∞）． 【分析】（1）解不等式得出A，代入a＝﹣2得出B，进而根据并集的运算求解，即可得出答案； （2）根据已知可推得BA，分B＝∅以及B≠∅，根据集合的包含关系列出不等式组，求解即可得出答案． 【解答】解：（1）（x+2）（5﹣x）≤0，可得x≤﹣2或x≥5， 所以A＝{x|x≤﹣2或x≥5}． 当a＝﹣2时，B＝{x|﹣3＜x＜﹣1}， 所以A∪B＝{x|x＜﹣1或x≥5}． （2）由“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件， 又A＝{x|x≤﹣2或x≥5}，B＝{x|2a+1＜x＜3a+5}． 当B＝∅，有2a+1≥3a+5，即a≤﹣4，显然满足； 当B≠∅时，有2a+1＜3a+5，即a＞﹣4． 若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件， 则有或， 解得或a≥2． 综上所述，a∈（﹣∞，﹣]∪[2a，+∞）． 【点评】本题主要考查集合的运算，属于中档题． 练习6．已知集合A＝{x|x2﹣5x+4≤0}，B＝{x|2﹣m≤x≤2+m}． （1）若A∩B＝B，求实数m的取值范围； （2）设p：x∈A，q：x∈B，若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1）{m|m≤1}； （2）{m|m≥2}． 【分析】（1）由A∩B＝B 可得B⊆A，讨论B＝∅，B≠∅从而得到不等式组，求解参数m； （2）若p：x∈A，q：x∈B，q是p的必要不充分条件，知A真包含于B，即可求参数范围． 【解答】解：（1）由A＝{x|x2﹣5x+4≤0}，可得 A＝{x|1≤x≤4}， 由A∩B＝B 可得B⊆A， 当B＝∅，则2﹣m＞2+m，可得m＜0， 当B≠∅，则，可得0≤m≤1， 综上所述，m的取值范围为{m|m≤1}． （2）若p：x∈A，q：x∈B，q是p的必要不充分条件，集合A真包含于集合B， 则（不能同时取等号），解得m≥2， 故m的取值范围为{m|m≥2}． 【点评】本题考查集合间关系的应用，属于基础题． 题型4 既不充分也不必要条件的应用 例1．已知，若p是q的既不充分也不必要条件，则实数m的取值范围是　（0，2）　． 【答案】见试题解答内容 【分析】分别解出命题p和命题q的集合根据p是q的既不充分也不必要条件，说明两集合有交集，利用此信息求出m的取值范围； 【解答】解：∵已知， ∴命题p：{x|﹣m＜x＜2m}，命题q：{x|0＜x＜4}， ∵p是q的既不充分也不必要条件， 可知两集合有交集， ∴0＜2m＜4，解得0＜m＜2， 故答案为：（0，2）； 【点评】此题主要考查充要条件和必要条件的定义，本题p是q的既不充分也不必要条件，说明两个范围有交点，这是解题的关键； 例2．已知命题p：1﹣c＜x＜1+c（c＞0），命题q：x＞7或x＜﹣1，并且p是q的既不充分又不必要条件，则c的取值范围是　（0，+∞）　． 【答案】见试题解答内容 【分析】设命题p，q的x范围分别对应集合A，B．根据p是q的既不充分又不必要条件，则A∩B＝∅，或A不是B的子集，或B不是A的子集．可得，或，即可得出． 【解答】解：设命题p，q的x范围分别对应集合A，B． 由p是q的既不充分又不必要条件，则A∩B＝∅，或A不是B的子集，或B不是A的子集． ∴，或， 解得：c≤2或c≥﹣2． 又c＞0．∴c＞0． 故答案为：（0，+∞）． 【点评】本题考查了集合的运算性质、不等式的解法、充要条件的判断方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 例3．已知p：1﹣c＜x＜1+c（c＞0），q：x＞7或 x＜﹣1．若p是q的既不充分又不必要条件，求实数c的取值范围． 【答案】（0，+∞）． 【分析】设命题p，q的x范围分别对应集合A，B．根据p是q的既不充分又不必要条件，则A∩B＝∅，或A不是B的子集，或B不是A的子集，即可得出实数c的取值范围． 【解答】解：设命题p，q的x范围分别对应集合A，B． 由p是q的既不充分又不必要条件，则A∩B＝∅，或A不是B的子集，或B不是A的子集． ∴，或， 解得：c≤2或c≥﹣2，即c∈R． 又c＞0．∴c＞0． 故实数c的取值范围为（0，+∞）． 【点评】本题考查了集合的运算性质、不等式的解法、充要条件的判断方法，属于基础题． 例4．已知p：x2+2x﹣8≤0，q：x2﹣（2m+1）x+m2+m≤0． （1）若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围； （2）若q是p的既不充分也不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1）[﹣4，1]； （2）（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）． 【分析】先解两个不等式，得到p、q对应的x的取值范围，再根据充要条件的定义加以解答，即可得到本题的答案． 【解答】解：由x2+2x﹣8≤0，可得﹣4≤x≤2，则p：﹣4≤x≤2， 又由x2﹣（2m+1）x+m2+m≤0，整理（x﹣m）（x﹣m﹣1）≤0，解得m≤x≤m+1，则q：m≤x≤m+1． （1）若q是p的充分不必要条件，可得[m，m+1]⫋[﹣4，2]， 所以，等号不同时取得，解之得﹣4≤m≤1，即实数m的取值范围是[﹣4，1]； （2）若q是p的既不充分也不必要条件，则[m，m+1]与[﹣4，2]之间没有包含关系， 可得m+1＞2或m＜﹣4，所以m＞1或m＜﹣4，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）． 【点评】本题主要考查不等式的解法、充要条件的判断及其应用等知识，属于基础题． 练习1．已知p：x＞3，q：x＞5，则p是q的 　必要不充分条件　．（选“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”之一填空） 【答案】必要不充分条件． 【分析】根据题意利用充要条件的定义，结合不等式的性质对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案． 【解答】解：当x＞3时，不能推出x＞5，充分性不成立； 当x＞5时，可以得到x＞3，必要性成立． 故p是q的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分条件． 【点评】本题主要考查了不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查逻辑推理能力，属于基础题． 练习2．a＜0是|a|＞0的 　充分　条件（从“充分条件、必要条件、充要条件、既不充分又不必要条件”中选填）． 【答案】充分． 【分析】解出绝对值不等式，再根据充分条件的定义判定即可． 【解答】解：由|a|＞0，解得a＞0或a＜0， 则a＜0是|a|＞0的充分条件， 故答案为：充分． 【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是基础题． 练习3．设x∈R，则“x＜2”是“x＜0”的 　必要不充分　条件．（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”） 【答案】必要不充分． 【分析】根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义判断即可． 【解答】解：∵（﹣∞，0）⫋（﹣∞，2）， 故“x＜2”是“x＜0”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分． 【点评】本题考查了充分必要条件的定义，考查集合的包含关系，是基础题． 练习4．已知命题p：1﹣c＜x＜1+c（c＞0），命题q：x＞7或x＜﹣1，且p是q的既不充分也不必要条件，求c的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】分别解出命题p和命题q的集合根据p是q的既不充分也不必要条件，分类讨论即可求出c的范围． 【解答】解：命题p对应的集合A＝{x|1﹣c＜x＜1+c，c＞0}，命题q对应的集合B＝{x|x＞7或x＜﹣1}， ∵p是q的既不充分也不必要条件， ∴A∩B＝∅或A与B有交集但A不是B的子集且B不是A的子集， 或或或， 解得c≤2，或2＜c≤6或c＞6， ∵c＞0， ∴c＞0， 故c的取值范围为（0，+∞） 【点评】本题主要考查充要条件和必要条件的定义，本题p是q的既不充分也不必要条件，说明两个范围有交点，这是解题的关键； 练习5．已知p：|x﹣1|＜c（c＞0），q：|x﹣3|＞4，且p是q的既不充分也不必要条件，求c的取值范围． 【答案】（0，+∞）． 【分析】求出命题p，q的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可． 【解答】解：1+c＞﹣1且1﹣c＜7，且c＞0，解得c＞0， 故c的取值范围（0，+∞）． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键． 练习6．已知非空集合A＝{x|a﹣3＜x＜2a}，B＝{x|x2﹣2x﹣8＞0}． （1）若a＝0，求A∪（∁RB）． （2）若“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件，求a的取值范围． 【答案】（1）{x|﹣3＜x≤4}；（2）（﹣1，7）． 【分析】（1）先求出集合A，B，再利用集合的基本运算求解即可． （2）先得到A≠∅，再由x∈A是x∈B的既不充分也不必要条件，列出不等式组求解即可． 【解答】解：（1）当a＝0时，A＝{x|﹣3＜x＜0}， ∵B＝{x|x2﹣2x﹣8＞0}＝{x|x＜﹣2或x＞4}， ∴∁RB＝{x|﹣2≤x≤4}， ∴A∪（∁RB）＝{x|﹣3＜x≤4}， （2）由题意得A≠∅，∴a﹣3＜2a，即a＞﹣3， 由x∈A是x∈B的既不充分也不必要条件， 则，∴﹣1＜a＜7， ∴a的取值范围为（﹣1，7）． 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，集合的基本运算，充要条件的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 题型5 充要条件的应用 例1．已知p：{x|﹣2≤x≤10}，q：{x|4﹣m≤x≤4+m，m＞0}，若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是（　　） A．{4} B．{5} C．{6} D．{7} 【答案】C 【分析】根据p是q的充要条件，可得：，解得m即可得出． 【解答】解：∵p是q的充要条件， ∴，解得m＝6． 则实数m的取值范围是{6}， 故选：C． 【点评】本题考查了方程组的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 例2．若“x2+ax+b＝0”是“x＝1”的充要条件，则ab的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由充要条件的定义可得关于a，b的方程组，求解a，b可得ab． 【解答】解：由题意可得，解得a＝﹣2，b＝1， 所以ab＝﹣2， 故选：A． 【点评】本题考查了充要条件的定义的应用，属于基础题． 例3．已知p：﹣7≤x≤9，q：1﹣m≤x≤1+m． （1）若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 　（﹣∞，8）　； （2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是 　{8}　． 【答案】（1）（﹣∞，8）；（2）{8}． 【分析】（1）根据p是q的必要不充分条件，建立条件关系即可求m的取值范围；（2）p是q的充要条件，得p＝q，可求得m的取值范围． 【解答】解：（1）∵p是q的必要不充分条件， ∴q⇒p，p⇒q不成立，∴q⫋p， ∴， 解得m≤8． 又p⇒q不成立，∴m≠8， 故m∈（﹣∞，8）． （2）p是q的充要条件，得p＝q， ∴，解得m＝8， 故m的取值范围是{8}． 故答案为：（1）（﹣∞，8）；（2）{8}． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，注意区间端点值等号的取舍问题，属于基础题． 例4．若﹣2＜x＜﹣1是不等式（a+x）（1+x）＜0成立的： （1）充要条件，则实数a＝　2　； （2）充分不必要条件，则实数a的取值范围为　（2，+∞）　． 【答案】（1）a＝2； （2）a＞2． 【分析】（1）依题意得，﹣2＜x＜﹣1是不等式（a+x）（1+x）＜0的解； （2）依题意，解不等式（x+a）（x+1）＜0得其解集，进而结合充分、必要条件与集合间包含关系的对应关系可得不等式﹣a＜﹣2，解可得答案． 【解答】解：（1）若﹣2＜x＜﹣1是不等式（a+x）（1+x）＜0成立的充要条件，则﹣2＜x＜﹣1是不等式（a+x）（1+x）＜0的解； ∴﹣2，﹣1是方程（a+x）（1+x）＝0的两个实根∴﹣2＝﹣a，∴a＝2． （2）当a＝1时，不等式（x+a）（x+1）＜0解集为∅，不满足﹣2＜x＜﹣1是其充分不必要条件； 当a＜1时，不等式（x+a）（x+1）＜0解集为{x|﹣1＜x＜﹣a}，不满足﹣2＜x＜﹣1是其充分不必要条件； 当a＞1时，不等式（x+a）（x+1）＜0解集为{x|﹣a＜x＜﹣1}， 要使﹣2＜x＜﹣1是其充分不必要条件； 只需{x|﹣2＜x＜﹣1}⫋{x|﹣a＜x＜﹣1}， 所以﹣a＜﹣2 解得a＞2 故答案为：（1）a＝2；（2）a＞2． 【点评】本题考查充分、必要条件的判断及运用，注意与集合间关系的对应即可，对于本题应注意得到的不等式的等号不同时成立，需要验证分析． 例5．设集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|1﹣m＜x＜m+1，m＞0}，命题p：x∈A，命题q：x∈B （1）若p是q的充要条件，求正实数m的取值范围； （2）若p是q的充分不必要条件，求正实数m的取值范围． 【答案】（1）{2}； （2）（2，+∞）． 【分析】（1）根据p是q的充要条件转化为A＝B求解即可； （2）根据p是q的充分不必要条件，得A真包含于B，列出不等式求解即可． 【解答】解：（1）由条件A＝{﹣1＜x＜3}，p是q的充要条件， 得A＝B，即，解得m＝2， 所以实数m的取值范围是{2}． （2）由p是q的充分不必要条件，得A真包含于B， 所以，或，解得m＞2， 综上实数m的取值范围是（2，+∞）． 【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题． 例6．已知P＝{x|x2﹣8x﹣20≤0}，非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}． （1）若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围； （2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？请说明理由． 【答案】（1）[0，3]； （2）不存在，理由见解析． 【分析】（1）根据必要条件的定义，可知S⊆P，根据集合之间的关系求解，可得答案； （2）根据充要条件的定义，可知P＝S，然后根据集合之间的关系算出答案． 【解答】解：（1）由x2﹣8x﹣20≤0，解得﹣2≤x≤10，可得P＝{x|﹣2≤x≤10}， ∵x∈P是x∈S的必要条件，得S⊆P， ∴，解得0≤m≤3，实数m的取值范围是[0，3]； （2）由（1）知P＝{x|﹣2≤x≤10}，若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S， ∴，解得，故这样的m不存在． 【点评】本题主要考查了集合的包含关系、不等式的解法、充要条件的判断及其应用等知识，属于基础题． 练习1．命题p：x＞4是命题q：x﹣4＞m的充要条件，则m的取值范围是（　　） A．m＞0 B．m＜0 C．m＝0 D．m≥0 【答案】C 【分析】利用充要条件的意义即可得出． 【解答】解：∵命题p：x＞4是命题q：x﹣4＞m的充要条件， ∴4+m＝4， 解得m＝0． 故选：C． 【点评】本题考查了充要条件的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 练习2．已知P＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}． （1）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由； （2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2．（2）（﹣∞，2]． 【分析】（1）根据已知条件，求出P＝S，再结合集合相等的定义，即可求解． （2）由已知条件，推得S⊆P，再分S是否为空集讨论，即可求解． 【解答】解：（1）∵P＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}， 要使x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S， ∴，此方程组解得m＝2． （2）要使x∈P是x∈S的必要条件， 则S⊆P， 当S＝∅时，1﹣m＞1+m，解得m＜0， 当S≠∅时，1﹣m≤1+m，解得m≥0， 要使S⊆P，则有，解得0≤m≤2， 综上可得，当实数m的取值范围为（﹣∞，2]，x∈P是x∈S的必要条件． 【点评】本题主要考查充分条件与必要条件，属于基础题． 练习3．已知p：x2﹣12x+35＜0；q：|x﹣a|＜1． （1）若p是q的充要条件，求实数a的值； （2）若p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）6；（2）（﹣∞，4]∪[8，+∞）． 【分析】（1）分别求出命题p，q对应的不等式的解集，根据充要条件的定义建立方程即可求解；（2）求出命题￢q对应的x的范围，然后根据充分不必要条件的集合的关系建立不等式，由此即可求解． 【解答】解：（1）命题P：解不等式x2﹣12x+35＜0可得：5＜x＜7，则设A＝（5，7）， 命题q：解不等式|x﹣a|＜1可得：a﹣1＜x＜a+1，则设B＝（a﹣1，a+1）， 若p是q的充要条件，则A＝B， 所以，解得a＝6； （2）￢q：令C＝{x|x≥a+1或x≤a﹣1}， 因为p是￢q的充分不必要条件，则A⫋C， 所以a+1≤5或a﹣1≥7，解得a≤4或a≥8， 即实数a的范围为（﹣∞，4]∪[8，+∞）． 【点评】本题考查了充分，必要条件的应用以及集合的包含关系，考查了学生的运算能力，属于基础题． 练习4．已知p：|4x﹣3|≤1，q：x2﹣4ax+3a﹣1≤0． （1）是否存在实数a，使得p是q的充要条件？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． （2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）不存在a的值，使得p是q的充要条件，理由见解答；（2）． 【分析】（1）依题意，和1为x2﹣4ax+3a﹣1＝0的两根，根据方程组无解，即可得出结论； （2）设，命题q中不等式的解集为B，则集合A真包含于集合B，由此可得建立关于a的不等式组，解出后再验证即可． 【解答】解：（1）p：|4x﹣3|≤1，解得， 若p是q的充要条件，则和1为x2﹣4ax+3a﹣1＝0的两根， 所以，此时无解， 所以不存在a的值，使得p是q的充要条件； （2）设，命题q中不等式的解集为B， 若p是q的充分不必要条件，则集合A真包含于集合B， 则，解得， 当a＝0时，x2﹣4ax+3a﹣1≤0即为x2﹣1≤0，解得﹣1≤x≤1，即B＝[﹣1，1]，满足集合A真包含于集合B； 当时，x2﹣4ax+3a﹣1≤0即为，解得，即，满足集合A真包含于集合B； 综上，实数a的取值范围为． 【点评】本题考查了充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 练习5．已知非空集合A＝{x|x2﹣（a2+a）x+a3＜0}，集合，命题p：x∈A．命题q：x∈B． （1）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围； （2）当实数a为何值时，p是q的充要条件． 【答案】（1）（﹣1，0）∪（0，1）． （2）﹣1． 【分析】（1）求出集合A＝{x|（x﹣a）（x﹣a2）＜0}，集合B＝{x|﹣1＜x＜1}，由命题p：x∈A．命题q：x∈B．p是q的充分不必要条件，得到A⫋B，利用分类讨论思想能求出实数a的取值范围． （2）由p是q的充要条件，得到A＝B，由此能求出当实数a为﹣1时，p是q的充要条件． 【解答】解：（1）∵非空集合A＝{x|x2﹣（a2+a）x+a3＜0}＝{x|（x﹣a）（x﹣a2）＜0}， 集合＝{x|﹣1＜x＜1}， 命题p：x∈A．命题q：x∈B．p是q的充分不必要条件， ∴A⫋B， 当a＜a2，即a＞1或a＜0时， ，解得﹣1＜a＜0， 当a＞a2，即0＜a＜1时， ，解得0＜a＜1． 综上，实数a的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）． （2）∵p是q的充要条件，∴A＝B， ∴当a＜a2，即a＞1或a＜0时，（a，a2）＝（﹣1，1），解得a＝﹣1， 当a＞a2，即0＜a＜1时，（a2，a）＝（﹣1，1），无解． 当a＝a2时，a＝0或a＝1，由集合中元素的互异性得a＝0或a＝1均不成立． 综上，当实数a为﹣1时，p是q的充要条件． 【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断与应用，考查不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 练习6．已知P＝{x|1≤x≤4}，S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}． （1）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由； （2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件． （2）当实数m≤0时，x∈P是x∈S的必要条件． 【分析】（1）由题意可知P＝S，得，此方程组无解，所以不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件． （2）由题意可知S⊆P，分S＝∅和S≠∅两种情况讨论求解即可． 【解答】解：（1）要使x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S， 所以，即，此方程组无解， 则不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件． （2）要使x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P， ①当S＝∅时，1﹣m＞1+m，解得m＜0； ②当S≠∅时，则，解得m＝0， 综上可得，当实数m≤0时，x∈P是x∈S的必要条件． 【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，考查了集合间的包含关系，同时考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题． 练习7．已知R＝{x|x2﹣3x+2≤0}，S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}． （1）是否存在实数m，使x∈R是x∈S的充要条件？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由； （2）是否存在实数m，使x∈R是x∈S的必要条件？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）不存在实数m，使x∈R是x∈S的充要条件； （2）当实数m≤0时，x∈R是x∈S的必要条件． 【分析】求出R＝{x|1≤x≤2}， （1）要使x∈R是x∈S的充要条件，则R＝S，列方程能求出不存在实数m，使x∈R是x∈S的充要条件； （2）要使x∈R是x∈S的必要条件，则S⊆R，①当S＝∅时，1﹣m＞1+m，②当S≠∅时，1﹣m≤1+m，由此能求出当实数m≤0时，x∈R是x∈S的必要条件． 【解答】解：R＝{x|x2﹣3x+2≤}＝{x|1≤x≤2}，S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}． （1）要使x∈R是x∈S的充要条件， 则R＝S，即，此方程无解， ∴不存在实数m，使x∈R是x∈S的充要条件； （2）要使x∈R是x∈S的必要条件，则S⊆R， ①当S＝∅时，1﹣m＞1+m，解得m＜0， ②当S≠∅时，1﹣m≤1+m，解得m≥0， 要使S⊆R，则有，得m≤0，故m＝0， 综上，当实数m≤0时，x∈R是x∈S的必要条件． 【点评】本题考查充分条件、必要条件、充分条件的判断，考查集合、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 练习8．已知非空集合A＝{x|（x﹣a）（x﹣a2）＜0}，集合B＝． （1）当实数a为何值时，“x∈A”是“x∈B”的充要条件； （2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）a＝﹣1， （2）（﹣1，1）． 【分析】（1）求出集合B的等价条件，根据充要条件的定义建立方程进行求解即可． （2）求出集合的等价条件，根据充分不必要条件与不等式的关系进行转化求解即可． 【解答】解：（1）由＜1得﹣1＝0，即﹣1＜x＜1，即B＝（﹣1，1）， 若“x∈A”是“x∈B”的充要条件， 则A＝（﹣1，1），即﹣1，1是方程（x﹣a）（x﹣a2）＝0的两个根，则，得a＝﹣1． （2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件， 则A⫋B， 由a2＞a，得a＞1或a＜﹣1，此时A＝（a，a2）， 由a2＜a，得﹣1＜a＜1，此时A＝（a2，a）， 由a2＝a，得a＝0或a＝1，此时A＝∅不满足条件． 当a＞1或a＜﹣1，若A⫋B，则，得，得﹣1≤a≤1，此时a无解， 当﹣1＜a＜1时，若A⫋B，则，得﹣1＜a＜1， 综上实数a的取值范围是（﹣1，1）． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据充分条件和必要条件的定义转化为不等式关系进行求解是解决本题的关键，是基础题． 练习9．已知集合M＝{x|x＜﹣3或x＞5}，P＝{x|a≤x≤8}． （1）求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的充要条件； （2）求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的充分不必要条件； （3）求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的必要不充分条件． 【答案】（1）{a|﹣3≤a≤5}． （2）a＝0是所求的一个充分但不必要条件．（答案不唯一） （3）{a|a≤5}是所求的一个必要但不充分条件．（答案不唯一） 【分析】讨论a的取值范围，得到集合P的等价条件．根据充分条件和必要条件的定义分别进行求解即可． 【解答】解：（1）M∩P＝{x|5＜x≤8}的充要条件是﹣3≤a≤5，所以实数a的取值范围是{a|﹣3≤a≤5}． （2）由（1）知，M∩P＝{x|5＜x≤8}的充要条件是﹣3≤a≤5， 则当a∈[﹣3，5]时，是M∩P＝{x|5＜x≤8}，的一个充分但不必要条件； 比如a＝0是所求的一个充分但不必要条件．（答案不唯一） （3）求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的一个必要但不充分条件就是另求一个集合，故{a|﹣3≤a≤5}是它的一个真子集． 如果{a|a≤5}时，未必有M∩P＝{x|5＜x≤8}， 但是M∩P＝{x|5＜x≤8}时，必有a≤5， 故{a|a≤5}是所求的一个必要但不充分条件．（答案不唯一） 【点评】本题考查利用充分必要条件来求解参数的问题，正确区分充分条件与必要条件的定义，属于中档题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$