1.3 集合的基本运算题型总结讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.3 集合的基本运算 【题型解析】 1．集合的包含关系判断及应用 【解题方法点拨】 1．按照子集包含元素个数从少到多排列． 2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素． 3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系． 4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法． 2．子集与真子集 【解题方法点拨】 注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A⊆B，并且B⊆A时，有A＝B，但是A⊂B，并且B⊂A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的． 3．并集及其运算 【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复． 4．交集及其运算 【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图． 5．补集及其运算 【解题方法点拨】 常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法． 6．交、并、补集的混合运算 【知识点的认识】 集合交换律 　A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A． 集合结合律 　（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）． 集合分配律 　A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）． 集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB． 集合吸收律 　A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A． 集合求补律 　A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅． 【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答． 7．Venn图表示集合运算 【解题方法点拨】在解题时，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，结合题目应很好地使用Venn图表达集合的关系及运算，利用直观图示帮助我们理解抽象概念．Venn图解题，就必须能正确理解题目中的集合之间的运算及关系并用图形准确表示出来． 【题型目录】 一．并集及其运算 二．交集及其运算 三．补集及其运算 四．交、并、补集的混合运算 五．Venn图表示集合运算 六．集合运算中求参数 【典型例题】 题型1 并集及其运算 例1．集合A＝{0，1}，B＝{1，2，3}，则A∪B＝（　　） A．{1} B．{1，2，3} C．{0，2，3} D．{0，1，2，3} 例2．已知集合A＝{x|﹣5＜x≤1}，B＝{x|x2≤9}，则A∪B＝（　　） A．[﹣3，1） B．[﹣3，1] C．（﹣5，3] D．[﹣3，3] 例3．已知集合A＝{x|﹣1＜x≤1}，B＝{x|x（x﹣3）≤0}，则A∪B＝　 　． 例4．已知集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，B＝{x|﹣1＜x＜a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围为 　 　． 例5．已知集合A＝{x|x2+5x＜0}，B＝{x|2m﹣1＜x＜m+1}． （1）若m＝﹣1，求A∩B； （2）若A∪B＝A，求m的取值集合． 练习1．若集合，N＝{y|y＝3x2+1}，则M∪N＝（　　） A．[0，+∞） B．[0，1] C．[4，+∞） D．[1，+∞） 练习2．已知集合A＝{x|x2﹣2x⩽0}，集合B＝{x|x＜1}，则A∪B＝（　　） A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（﹣∞，2] D．（0，2] 练习3．集合A＝{x|x≤﹣2或x≥1}，B＝{x|x≤m}，若A∪B＝R，则实数m的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣1） B．[1，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣2，1） 练习4．已知集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax+2＝0}，若A∪B＝A，则实数a的取值所组成的集合是（　　） A．{﹣1，2} B．{﹣1，1} C．{﹣2，0，1} D．{﹣1，0，2} 练习5．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|1＜2x＜16}． （1）求A∪B； （2）设非空集合D＝{x|a＜x＜3﹣2a，a∈R}，若D⊆（A∪B），求实数a的取值范围． 题型2 交集及其运算 例1．已知集合P＝{﹣2，﹣1，0，1}，，则P∩Q＝（　　） A．{﹣2，﹣1} B．{1} C．{0，1} D．{﹣1，0，1} 例2．已知集合M＝{x|x＞﹣}，N＝{x|x∈Z，﹣4＜x≤3}，则M∩N中元素的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 例3．已知集合A＝{x|x2＜1}，B＝{x|x＞a}（a∈R），若A∩B＝∅，则a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，1] B．（1，+∞） C．（﹣∞，1） D．[1，+∞） 例4．已知集合A＝{（x，y）|2x+y＝5}，B＝{（x，y）|x+3y﹣8＝0}，C＝{（x，y）|y＝x2﹣3x+3}． （1）求A∩B； （2）求A∩C，并写出A∩C的所有子集． 练习1．设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|3x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3 练习2．设集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（　　） A．（0，2） B．（1，3） C．（2，4） D．（1，2） 练习3．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}，若P∩M＝M，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，1] C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） 练习4．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是 　 　． 练习5．已知集合A＝{x|x2≤1}，B＝{y|y≥﹣1}，则A∩B＝　 　． 练习6．已知A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|2a＜x＜a+4}． （1）当a＝1时，求A∩B和A∪B； （2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围． 题型3 补集及其运算 例1．已知全集U＝{x∈N|0≤x≤5}，∁UA＝{0，1，4}，则A＝（　　） A．{2，3，5} B．{2，5} C．{3，5} D．{2，3} 例2．已知U为整数集，A＝{x∈Z|x2≥4}，则∁UA＝（　　） A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2} 例3．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{3，4，5}，B＝{2，3，4}，则∁U（A∩B）＝　 　． 例4．已知A＝{x||x﹣1|＜3}，B＝{x|﹣x2﹣4x+5＞0}． （1）求A∩B，A∪B； （2）求（∁RA）∩B． 例5．已知集合A＝{x||x﹣1|＜3}，B＝{x|m＜x＜2m+3} （1）求集合A中的所有整数； （2）若（∁RA）∩B＝∅，求实数m的取值范围． 练习1．已知全集U＝{x||x﹣1|＜3}，M＝{x{0＜x＜1}，则∁UM＝（　　） A．（﹣2，0]∪[1，4） B．（﹣2，0）∪（1，4） C．（﹣2，0] D．（1，4） 练习2．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，B＝{2，3，5}，则（∁UB）∪A＝（　　） A．{3} B．{1} C．{1，4} D．{1，3，4} 练习3．设全集为，则∁RB＝（　　） A．{x|﹣1＜x＜0} B．{x|﹣1≤x＜0} C．{x|﹣1＜x≤0} D．{x|﹣1≤x≤0} 练习4．设全集U＝{1，3，m2+m﹣9}，集合A＝{1，m}，∁UA＝{3}，则实数m＝　 　． 练习5．集合A＝{x|3＜x＜10}，B＝{x|2＜x＜7}． （1）求A∩B，A∪B； （2）求（∁RA）∩B． 题型4 交、并、补集的混合运算 例1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，4，6}，B＝{4，5}，则A∩（∁UB）＝（　　） A．{3，6} B．{1，3，6} C．{3，4，6} D．{1，3，4，6} 例2．已知集合A＝{x|﹣3＜x＜4}，B＝{x|3＜x＜5}，则{x|4≤x＜5}＝（　　） A．A∩（∁RB） B．∁R（A∩B） C．（∁RA）∪B D．（∁RA）∩B 例3．已知全集U＝R，集合，集合B＝{x||x|＞2}，则A∩（∁UB）＝　 　． 例4．已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣2，0，a}，（∁RA）∩B＝{﹣2，0}，则实数a的取值范围是 　 　． 例5．设集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{x|2m＜x＜3}， （1）若m＝1，求A∪B，（∁RA）∩B； （2）若B∩（∁RA）中只有一个整数，求实数m的取值范围． 练习1．集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∪（∁RB）＝（　　） A．{x|x＞1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x≤2} 练习2．设全集U＝{x∈N|x≤7}，集合M、N满足M＝{3，7}，（∁UM）∩N＝{4，5}，则{0，1，2，6}＝（　　） A．M∪（∁UN） B．（∁UM）∪（∁UN） C．M∩（∁UN） D．（∁UM）∩（∁UN） 练习3．已知全集U＝R，集合A，B满足A⊆（A∩B），则下列关系一定正确的是（　　） A．A＝B B．B⊆A C．A∩（∁UB）＝∅ D．（∁UA）∩B＝∅ 练习4．已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{1，2，4}，则（∁UB）∪A的子集个数为 　 　． 练习5．已知集合A＝{x|3≤x≤a+5}，B＝{x|2＜x＜10}． （1）当a＝2时，求∁R（A∪B），（∁RA）∩B； （2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围． 题型5 Venn图表示集合运算 例1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}，B＝{x|x＞3}，则右图中阴影部分表示的集合为（　　） A．（3，5） B．（﹣2，+∞） C．（﹣2，5） D．（5，+∞） 例2．已知集合A＝{x||x|＜3，x∈N}，集合B＝{﹣1，0，1，2}，则图中阴影部分所表示的集合为（　　） A．{1，2} B．{0，1，2} C．{﹣1，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 例3．已知U＝{x|﹣3≤x＜3}，A＝{x|﹣1≤x＜3}，则图中阴影部分表示的集合是（　　） A．{x|﹣3≤x≤﹣1} B．{x|x＜﹣3或x≥3} C．{x|x≤0} D．{x|﹣3≤x＜﹣1} 例4．建党百年之际，影片《1921》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止2021年10月底，《长津湖》票房收入已超56亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了若干人进行调查，得知其中观看了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有60人，观看了《革命者》的有50人，数据如图，则图中a＝　 　；c＝　 　． 例5．已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣x2+4x﹣3≥0}，B＝{x|2＜x＜4}． （1）求图中阴影部分表示的集合C； （2）若非空集合D＝{x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），求实数a的取值范围． 练习1．已知全集U为整数集，集合P＝{﹣2，﹣1，1，2}，集合Q＝{1，2}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{﹣1，﹣2} B．{1，2} C．{﹣2，1} D．{﹣1，2} 练习2．设全集U＝R，集合A＝{x|2x≥1}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|0≤x＜1} C．{x|x＞﹣1} D．{x|x≥0} 练习3．已知集合A＝{x∈N|1≤x≤6}，B＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，则如图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{0，1，2} B．{1，2，3} C．{﹣3，0，1，2} D．{﹣2，0，1，2，3} 练习4．学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．那么只参加游泳一项比赛的有 　 　人． 练习5．已知集合U＝R，A＝{x|3＜x＜10}，B＝{x|≤1}，C＝{x|x＜a}． （1）求图中阴影部分M； （2）若B∩C≠∅，求a的取值范围． 题型6 集合运算中求参数 例1．已知集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜3}，B＝{x|3x﹣a＜0}，且A∩（∁RB）＝{1，2}，则a的取值范围为（　　） A．（0，4） B．（0，4] C．（0，3] D．（0，3） 例2．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，A∪∁RB＝R，则a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣1，2] C．[﹣1，2） D．[2，+∞） 例3．设集合M＝{x|﹣1≤x＜2}，N＝{x|x﹣k≤0}，若M∩N＝∅，则k的取值范围是　 　． 例4．设集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{x|2＜x＜3m}． （1）若A∪B＝A，求实数m的取值范围； （2）若（∁RA）∩B 中只有一个整数，求实数m的取值范围． 例5．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣18≤0}，B＝{x|2m﹣3≤x≤m+2}． （1）当m＝0时，求A∩（∁RB）； （2）若B∩（∁RA）＝∅，求实数m的取值范围． 练习1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x＞a}，A∩（∁RB）＝A，则实数a的取值范围是（　　） A．a≥1 B．a≤1 C．a≥3 D．a≤3 练习2．设集合A＝{x|x＜2或x≥4}，B＝{x|a≤x≤a+1}，若（∁RA）∩B＝∅，则a的取值范围是（　　） A．a≤1或a＞4 B．a＜1或a≥4 C．a＜1 D．a＞4 练习3．设集合A＝{x|x＜2或x≥4}，集合B＝{x|x＜a}，若（∁RA）∩B≠∅，则a的取值范围是（　　） A．a＜2 B．a＞2 C．a≤2 D．a≥2 练习4．设U＝R，已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}． （Ⅰ）当m＝4时，求∁U（A∪B）； （Ⅱ）若B≠∅，且B⊆A，求实数m的取值范围． 练习5．已知集合A＝{x∈R|（x+a）（x﹣3）＜0}，集合． （Ⅰ）若a＝1，求A∩B； （Ⅱ）若A∩B＝∅，求a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 集合的基本运算 【题型解析】 1．集合的包含关系判断及应用 【解题方法点拨】 1．按照子集包含元素个数从少到多排列． 2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素． 3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系． 4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法． 2．子集与真子集 【解题方法点拨】 注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A⊆B，并且B⊆A时，有A＝B，但是A⊂B，并且B⊂A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的． 3．并集及其运算 【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复． 4．交集及其运算 【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图． 5．补集及其运算 【解题方法点拨】 常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法． 6．交、并、补集的混合运算 【知识点的认识】 集合交换律 　A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A． 集合结合律 　（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）． 集合分配律 　A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）． 集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB． 集合吸收律 　A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A． 集合求补律 　A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅． 【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答． 7．Venn图表示集合运算 【解题方法点拨】在解题时，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，结合题目应很好地使用Venn图表达集合的关系及运算，利用直观图示帮助我们理解抽象概念．Venn图解题，就必须能正确理解题目中的集合之间的运算及关系并用图形准确表示出来． 【题型目录】 一．并集及其运算 二．交集及其运算 三．补集及其运算 四．交、并、补集的混合运算 五．Venn图表示集合运算 六．集合运算中求参数 【典型例题】 题型1 并集及其运算 例1．集合A＝{0，1}，B＝{1，2，3}，则A∪B＝（　　） A．{1} B．{1，2，3} C．{0，2，3} D．{0，1，2，3} 【答案】D 【分析】由A与B，求出两集合的并集即可． 【解答】解：∵A＝{0，1}，B＝{1，2，3}， ∴A∪B＝{0，1，2，3}， 故选：D． 【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键． 例2．已知集合A＝{x|﹣5＜x≤1}，B＝{x|x2≤9}，则A∪B＝（　　） A．[﹣3，1） B．[﹣3，1] C．（﹣5，3] D．[﹣3，3] 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合并集的定义，即可求解． 【解答】解：集合A＝{x|﹣5＜x≤1}，B＝{x|x2≤9}＝{x|﹣3≤x≤3}， 故A∪B＝（﹣5，3]． 故选：C． 【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题． 例3．已知集合A＝{x|﹣1＜x≤1}，B＝{x|x（x﹣3）≤0}，则A∪B＝　{x|﹣1＜x≤3}　． 【答案】{x|﹣1＜x≤3}． 【分析】先求出集合B，再结合并集的定义，即可求解． 【解答】解：A＝{x|﹣1＜x≤1}，B＝{x|x（x﹣3）≤0}＝{x|0≤x≤3}， 故A∪B＝{x|﹣1＜x≤3}． 故答案为：{x|﹣1＜x≤3}． 【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题． 例4．已知集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，B＝{x|﹣1＜x＜a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围为 　（2，+∞）　． 【答案】（2，+∞）． 【分析】求出集合A，然后根据A∪B＝R即可得出a的取值范围． 【解答】解：∵A＝{x|x＜0或x＞2}，B＝{x|﹣1＜x＜a}，且A∪B＝R， ∴a＞2， ∴实数a的取值范围为（2，+∞）． 故答案为：（2，+∞）． 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，并集的定义及运算，是基础题． 例5．已知集合A＝{x|x2+5x＜0}，B＝{x|2m﹣1＜x＜m+1}． （1）若m＝﹣1，求A∩B； （2）若A∪B＝A，求m的取值集合． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先求出集合A，B，然后利用交集的定义求解即可； （2）利用并集的定义得到B⊆A，分B＝∅和B≠∅两种情况，由子集的定义求解即可． 【解答】解：（1）集合A＝{x|x2+5x＜0}＝{x|﹣5＜x＜0}， 当m＝﹣1时，B＝{x|﹣3＜x＜0}， 所以A∩B＝{x|﹣3＜x＜0}； （2）因为A∪B＝A，所以B⊆A， ①当B＝∅时，则2m﹣1≥m+1，解得m≥2； ②当B≠∅时，则，解得﹣2≤m≤﹣1． 综上所述，实数m的取值集合为{m|﹣2≤m≤﹣1或m≥2}． 【点评】本题考查了集合的运算，集合子集、交集、并集、空集定义的理解与应用，考查了运算能力，属于基础题． 练习1．若集合，N＝{y|y＝3x2+1}，则M∪N＝（　　） A．[0，+∞） B．[0，1] C．[4，+∞） D．[1，+∞） 【答案】D 【分析】先求得集合M，N，再求其并集即可． 【解答】解：由x﹣4≥0，得x≥4，故M＝[4，+∞）， 由y＝3x2+1，得y≥1，故N＝[1，+∞）， 故M∪N＝[1，+∞）． 故选：D． 【点评】本题主要考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键，属于基础题． 练习2．已知集合A＝{x|x2﹣2x⩽0}，集合B＝{x|x＜1}，则A∪B＝（　　） A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（﹣∞，2] D．（0，2] 【答案】C 【分析】求出集合A，利用并集定义、不等式性质能求出结果． 【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x⩽0}＝{x|0⩽x⩽2}，集合B＝{x|x＜1}， ∴A∪B＝（﹣∞，2]． 故选：C． 【点评】本题考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 练习3．集合A＝{x|x≤﹣2或x≥1}，B＝{x|x≤m}，若A∪B＝R，则实数m的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣1） B．[1，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣2，1） 【答案】B 【分析】根据集合并集的运算性质进行求解即可． 【解答】解：因为A∪B＝R， 所以有m≥1， 即实数m的取值范围是[1，+∞）． 故选：B． 【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题． 练习4．已知集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax+2＝0}，若A∪B＝A，则实数a的取值所组成的集合是（　　） A．{﹣1，2} B．{﹣1，1} C．{﹣2，0，1} D．{﹣1，0，2} 【答案】D 【分析】根据A∪B＝A可得出B⊆A，然后可讨论a是否为0：a＝0时，显然满足题意；a≠0时，可得出﹣a+2＝0或2a+2＝0，然后解出a的值，从而可得出实数a的值所组成的集合． 【解答】解：∵A∪B＝A，∴B⊆A， 当a＝0时，B＝∅，满足条件； 当a≠0时，﹣a+2＝0或2a+2＝0，解得a＝2或a＝﹣1； 综上可得，实数a的取值所组成的集合是：{0，2，﹣1}． 故选：D． 【点评】本题考查集合的并集的运算以及集合之间的关系，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题． 练习5．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|1＜2x＜16}． （1）求A∪B； （2）设非空集合D＝{x|a＜x＜3﹣2a，a∈R}，若D⊆（A∪B），求实数a的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）求出集合A，B，利用并集定义能求出A∪B． （2）由非空集合D＝{x|a＜x＜3﹣2a，a∈R}，D⊆（A∪B），列出不等式组，能求出实数a的取值范围． 【解答】解：（1）∵全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}， B＝{x|1＜2x＜16}＝{x|0＜x＜4}， ∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜4}． （2）非空集合D＝{x|a＜x＜3﹣2a，a∈R}，D⊆（A∪B）， ∴，解得﹣， ∴实数a的取值范围是[﹣，1）． 【点评】本题考查集合的运算，考查并集、子集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 题型2 交集及其运算 例1．已知集合P＝{﹣2，﹣1，0，1}，，则P∩Q＝（　　） A．{﹣2，﹣1} B．{1} C．{0，1} D．{﹣1，0，1} 【答案】C 【分析】先求出集合Q，再由集合交集的定义求解即可． 【解答】解：因为集合P＝{﹣2，﹣1，0，1}，＝{y|y≥0}， 则P∩Q＝{0，1}． 故选：C． 【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题． 例2．已知集合M＝{x|x＞﹣}，N＝{x|x∈Z，﹣4＜x≤3}，则M∩N中元素的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解． 【解答】解：集合M＝{x|x＞﹣}，N＝{x|x∈Z，﹣4＜x≤3}＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}， 则M∩N＝{0，1，2，3}，元素个数为4个． 故选：A． 【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题． 例3．已知集合A＝{x|x2＜1}，B＝{x|x＞a}（a∈R），若A∩B＝∅，则a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，1] B．（1，+∞） C．（﹣∞，1） D．[1，+∞） 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解． 【解答】解：集合A＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}， 又B＝{x|x＞a}（a∈R）且A∩B＝∅， 故a≥1，即a的取值范围为[1，+∞）． 故选：D． 【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题． 例4．已知集合A＝{（x，y）|2x+y＝5}，B＝{（x，y）|x+3y﹣8＝0}，C＝{（x，y）|y＝x2﹣3x+3}． （1）求A∩B； （2）求A∩C，并写出A∩C的所有子集． 【答案】（1）；（2）∅，{（﹣1，7）}，{（2，1）}，{（﹣1，7），（2，1）}． 【分析】联立组成方程组即可逐项求解． 【解答】解：（1）由得所以； （2）由解得或所以A∩C＝{（﹣1，7），（2，1）}． 所以A∩C的所有子集为，∅，{（﹣1，7）}，{（2，1）}，{（﹣1，7），（2，1）}． 【点评】本题考查集合的性质，属于基础题． 练习1．设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|3x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3 【答案】B 【分析】求出集合A，B，即可根据交集结果求出a． 【解答】解：∵A＝{x|x2﹣4≤0}＝{x|﹣2≤x≤2}，， A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}， ∴，∴a＝﹣3． 故选：B． 【点评】本题考查集合的交集运算，考查转化思想和运算能力，属于基础题． 练习2．设集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（　　） A．（0，2） B．（1，3） C．（2，4） D．（1，2） 【答案】D 【分析】求出集合B，利用交集定义能求出A∩B． 【解答】解：集合A＝{x|1＜x＜4}， B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}， 则A∩B＝{x|1＜x＜2}． 故选：D． 【点评】本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 练习3．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}，若P∩M＝M，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，1] C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） 【答案】B 【分析】利用交集定义、不等式性质直接求解． 【解答】解：集合P＝{x|x2≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，M＝{a}，P∩M＝M， ∴M⊆P，∴﹣1≤a≤1， 则实数a的取值范围是[﹣1，1]． 故选：B． 【点评】本题考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 练习4．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是 　[1，+∞）　． 【答案】见试题解答内容 【分析】题中条件：“A∩B≠∅，”表示两个集合的交集的结果不是空集，即可求解实数a的取值范围． 【解答】解：集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤a}， 因为A∩B≠∅， 所以a≥1 故答案为：[1，+∞） 【点评】本题考查集合的关系、一元二次不等式的解法，考查运算能力，是基础题． 练习5．已知集合A＝{x|x2≤1}，B＝{y|y≥﹣1}，则A∩B＝　[﹣1，1]　． 【答案】[﹣1，1]． 【分析】求解不等式化简A与B，再由交集定义得答案． 【解答】解：∵A＝{x|x2≤1}＝[﹣1，1]，B＝{y|y≥﹣1}＝[﹣1，+∞）， ∴A∩B＝[﹣1，1]∩[﹣1，+∞）＝[﹣1，1]． 故答案为：[﹣1，1]． 【点评】本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题． 练习6．已知A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|2a＜x＜a+4}． （1）当a＝1时，求A∩B和A∪B； （2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）a＝1时，A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|2＜x＜5}，由此能求出A∩B，A∪B． （2）当B＝∅时，2a≥a+4；当B≠∅时，2a＜a+4，则a＜4，由A∩B＝∅，得或．由此能求出a的取值范围． 【解答】解：（1）a＝1时，A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|2＜x＜5}， 故A∩B＝{x|3≤x＜5}，A∪B＝{x|2＜x≤7}． （2）∵A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|2a＜x＜a+4}．A∩B＝∅， ∴当B＝∅时，2a≥a+4，则a≥4； 当B≠∅时，2a＜a+4，则a＜4，由A∩B＝∅， 得或解得a≤﹣1或， 综上可知，a的取值范围是． 【点评】本题考查交集、并集的求法，考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用． 题型3 补集及其运算 例1．已知全集U＝{x∈N|0≤x≤5}，∁UA＝{0，1，4}，则A＝（　　） A．{2，3，5} B．{2，5} C．{3，5} D．{2，3} 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合补集的定义，即可求解． 【解答】解：全集U＝{x∈N|0≤x≤5}＝{0，1，2，3，4，5}，∁UA＝{0，1，4}， 则A＝{2，3，5}． 故选：A． 【点评】本题主要考查补集及其运算，属于基础题． 例2．已知U为整数集，A＝{x∈Z|x2≥4}，则∁UA＝（　　） A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2} 【答案】A 【分析】解不等式求出集合A，由补集定义能求出∁UA． 【解答】解：U为整数集，A＝{x∈Z|x2≥4}＝{x∈Z|x≤﹣2或x≥2}， 则∁UA＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}＝{﹣1，0，1}． 故选：A． 【点评】本题考查集合的运算，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 例3．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{3，4，5}，B＝{2，3，4}，则∁U（A∩B）＝　{1，2，5}　． 【答案】{1，2，5}． 【分析】根据集合的交集和补集运算求解． 【解答】解：全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{3，4，5}，B＝{2，3，4}， 由题意可知：A∩B＝{3，4}， 所以∁U（A∩B）＝{1，2，5}． 故答案为：{1，2，5}． 【点评】本题考查集合的运算，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 例4．已知A＝{x||x﹣1|＜3}，B＝{x|﹣x2﹣4x+5＞0}． （1）求A∩B，A∪B； （2）求（∁RA）∩B． 【答案】（1）A∩B＝（﹣2，1），A∪B＝（﹣5，4）； （2）（∁RA）∩B＝（﹣5，﹣2]． 【分析】（1）将集合A，B化简，结合集合的运算，即可得到结果； （2）根据题意，由集合的运算，即可得到结果． 【解答】解：（1）A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|﹣5＜x＜1}， ∴A∩B＝（﹣2，1），A∪B＝（﹣5，4）． （2）∁RA＝（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞），（∁RA）∩B＝（﹣5，﹣2]． 【点评】本题考查了绝对值不等式和一元二次不等式的解法，交集、并集和补集的运算，是基础题． 例5．已知集合A＝{x||x﹣1|＜3}，B＝{x|m＜x＜2m+3} （1）求集合A中的所有整数； （2）若（∁RA）∩B＝∅，求实数m的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由题意化简集合A，从而写出集合A中的所有整数； （2）由题意得B⊆A，再分类讨论求实数m的取值范围． 【解答】解：（1）解不等式|x﹣1|＜3，得﹣3＜x﹣1＜3，即﹣2＜x＜4，所以集合A＝{x|﹣2＜x＜4}； 所以集合A中的所有整数为﹣1，0，1，2，3； （2）因为（∁RA）∩B＝∅，适用于B⊆A， ①当B＝∅时，m≥2m+3，解得m≤﹣3，B⊆A成立； ②当B≠∅时，由B⊆A，有﹣2≤m＜2m+3≤4，解得； 所以实数m的取值范围是． 【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题． 练习1．已知全集U＝{x||x﹣1|＜3}，M＝{x{0＜x＜1}，则∁UM＝（　　） A．（﹣2，0]∪[1，4） B．（﹣2，0）∪（1，4） C．（﹣2，0] D．（1，4） 【答案】A 【分析】利用交集定义、不等式性质求解． 【解答】解：因为U＝{x||x﹣1|＜3}＝{x|﹣2＜x＜4}， M＝{x{0＜x＜1}， 所以∁UM＝（﹣2，0]∪[1，4）． 故选：A． 【点评】本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 练习2．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，B＝{2，3，5}，则（∁UB）∪A＝（　　） A．{3} B．{1} C．{1，4} D．{1，3，4} 【答案】D 【分析】先根据题意求∁UB，再结合并集的概念求答案． 【解答】解：因为全集U＝{1，2，3，4，5}，集合B＝{2，3，5}， 所以∁UB＝{1，4}， 又因为集合A＝{1，3}，所以（∁UB）∪A＝{1，3，4}． 故选：D． 【点评】本题考查交集、并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 练习3．设全集为，则∁RB＝（　　） A．{x|﹣1＜x＜0} B．{x|﹣1≤x＜0} C．{x|﹣1＜x≤0} D．{x|﹣1≤x≤0} 【答案】C 【分析】解分式不等式求出集合B，然后结合基本补集运算可求． 【解答】解：因为全集为＝{x|x＞0或x≤﹣1}， 则∁RB＝{x|﹣1＜x≤0}． 故选：C． 【点评】本题主要考查了集合补集运算，属于基础题． 练习4．设全集U＝{1，3，m2+m﹣9}，集合A＝{1，m}，∁UA＝{3}，则实数m＝　﹣3　． 【答案】﹣3． 【分析】利用补集定义直接求解． 【解答】解：∵全集U＝{1，3，m2+m﹣9}，集合A＝{1，m}，∁UA＝{3}， ∴， 解得实数m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查补集定义等基础知识，考查运算求能力，是基础题． 练习5．集合A＝{x|3＜x＜10}，B＝{x|2＜x＜7}． （1）求A∩B，A∪B； （2）求（∁RA）∩B． 【答案】（1）A∩B＝{x|3＜x＜7}，A∪B＝{x|2＜x＜10}； （2）（∁RA）∩B＝{x|2＜x≤3}． 【分析】（1）根据交集与并集的概念直接运算即可； （2）根据补集与交集的概念运算即可． 【解答】解：（1）因为A＝{x|3＜x＜10}，B＝{x|2＜x＜7}， 所以A∩B＝{x|3＜x＜7}，A∪B＝{x|2＜x＜10}； （2）因为∁RA＝{x|x≤3或x≥10}， 所以（∁RA）∩B＝{x|2＜x≤3}． 【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题． 题型4 交、并、补集的混合运算 例1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，4，6}，B＝{4，5}，则A∩（∁UB）＝（　　） A．{3，6} B．{1，3，6} C．{3，4，6} D．{1，3，4，6} 【答案】B 【分析】由已知利用补集概念求解∁UB，再由交集运算的定义得答案． 【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{4，5}， ∴∁UB＝{1，2，3，6}， 又A＝{1，3，4，6}， ∴A∩（∁UB）＝{1，3，6}． 故选：B． 【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题． 例2．已知集合A＝{x|﹣3＜x＜4}，B＝{x|3＜x＜5}，则{x|4≤x＜5}＝（　　） A．A∩（∁RB） B．∁R（A∩B） C．（∁RA）∪B D．（∁RA）∩B 【答案】D 【分析】由已知结合集合的元素特征及集合的基本运算即可求解． 【解答】解：A＝{x|﹣3＜x＜4}，B＝{x|3＜x＜5}， 所以∁RA＝{x|x≥4或x≤﹣3}， 则{x|4≤x＜5}＝（∁RA）∩B． 故选：D． 【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题． 例3．已知全集U＝R，集合，集合B＝{x||x|＞2}，则A∩（∁UB）＝　{x|﹣2≤x≤}　． 【答案】{x|﹣2≤x≤}． 【分析】求出集合A，B，进而求出∁UB，由此能求出A∩（∁UB）． 【解答】解：全集U＝R，集合＝{x|﹣5＜x≤}， 集合B＝{x||x|＞2}＝{x|x＞2或x＜﹣2}， ∴∁UB＝{x|﹣2≤x≤2}， 则A∩（∁UB）＝{x|﹣2≤x≤}． 故答案为：{x|﹣2≤x≤}． 【点评】本题考查集合的运算，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 例4．已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣2，0，a}，（∁RA）∩B＝{﹣2，0}，则实数a的取值范围是 　（0，+∞）　． 【答案】（0，+∞）． 【分析】利用补集、交集、不等式性质能求出结果． 【解答】解：∵集合A＝{x|x＞0}， ∴∁RA＝{x|x≤0}， ∵B＝{﹣2，0，a}，（∁RA）∩B＝{﹣2，0}， ∴a＞0， 则实数a的取值范围是（0，+∞）． 故答案为：（0，+∞）． 【点评】本题考查集合的运算，考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 例5．设集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{x|2m＜x＜3}， （1）若m＝1，求A∪B，（∁RA）∩B； （2）若B∩（∁RA）中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【答案】（1）A∪B＝{x|﹣1＜x＜3}，（∁RA）∩B＝{x|2＜x＜3}． （2）{m|﹣1≤m＜}． 【分析】（1）先求出集合B，然后结合集合的并集，补集及交集运算即可求； （2）结合集合的补集及并集运算即可求． 【解答】解：（1）∵m＝1，A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{x|2m＜x＜3}＝{x|2＜x＜3}， 则∁RA＝{x|x≤﹣1或x＞2}， ∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜3}，（∁RA）∩B＝{x|2＜x＜3}． （2）∵B∩（∁RA）中只有一个整数，所以B≠∅， 即2m＜3且﹣2≤2m＜﹣1， 解得﹣1≤m＜， ∴实数m的取值范围是{m|﹣1≤m＜}． 【点评】本题主要考查了集合的交集，并集及补集运算，属于基础题． 练习1．集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∪（∁RB）＝（　　） A．{x|x＞1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x≤2} 【答案】B 【分析】根据集合的定义计算即可． 【解答】解：由A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}， 所以∁RB＝{x|x≥1}， 所以A∪（∁RB）＝{x|x≥﹣1}． 故选：B． 【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题． 练习2．设全集U＝{x∈N|x≤7}，集合M、N满足M＝{3，7}，（∁UM）∩N＝{4，5}，则{0，1，2，6}＝（　　） A．M∪（∁UN） B．（∁UM）∪（∁UN） C．M∩（∁UN） D．（∁UM）∩（∁UN） 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合交集、补集的定义，即可求解． 【解答】解：全集U＝{x∈N|x≤7}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}，M＝{3，7}，‘ 则∁UM＝{0，1，2，4，5，6}， （∁UM）∩N＝{4，5}， 则{0，1，2，6}＝（∁UM）∩（∁UN）． 故选：D． 【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题． 练习3．已知全集U＝R，集合A，B满足A⊆（A∩B），则下列关系一定正确的是（　　） A．A＝B B．B⊆A C．A∩（∁UB）＝∅ D．（∁UA）∩B＝∅ 【答案】C 【分析】根据已知条件，求得A⊆B，再进行选择即可． 【解答】解：因为集合A，B满足A⊆（A∩B），故可得A⊆B， 对A：当A为B的真子集时，不成立； 对B：当A为B的真子集时，也不成立； 对C：A∩（∁UB）＝∅，恒成立； 对D：当A为B的真子集时，不成立； 故选：C． 【点评】本题考查集合的运算，属于基础题． 练习4．已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{1，2，4}，则（∁UB）∪A的子集个数为 　8　． 【答案】8． 【分析】根据题意，结合补集、并集的定义求得（∁UB）∪A，从而得出它的元素个数，进而即可求解． 【解答】解：由题意得∁UB＝{3，5}，则（∁UB）∪A＝{1，3，5}，共有3个元素， 所以（∁UB）∪A的子集个数为23＝8个． 故答案为：8． 【点评】本题考查补集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 练习5．已知集合A＝{x|3≤x≤a+5}，B＝{x|2＜x＜10}． （1）当a＝2时，求∁R（A∪B），（∁RA）∩B； （2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围． 【答案】（1）∁R（A∪B）＝（﹣∞，2]∪[10，∞），（∁RA）∩B＝（2，3）∪（7，10） （2）{a|a＜5}． 【分析】（1）确定A＝{x|3≤x≤7}，A∪B＝{x|2＜x＜10}，再计算补集得到答案； （2）确定A⊆B，考虑A＝∅和A≠∅两种情况，解得答案． 【解答】解：（1）当a＝2时，A＝{x|3≤x≤7}，所以A∪B＝{x|2＜x＜10}， ∁RA＝（﹣∞，3）∪（7，+∞）， 所以∁R（A∪B）＝（﹣∞，2]∪[10，∞），（∁RA）∩B＝（2，3）∪（7，10）； （2）若A∩B＝A，则A⊆B， 当A＝∅时，3＞a+5，解得a＜﹣2； 当A≠∅时，，解得﹣2≤a＜5； 综上所述：a的取值范围为{a|a＜5}． 【点评】本题主要考查了集合的交集，并集及补集运算，还考查了集合的包含关系的应用，属于基础题． 题型5 Venn图表示集合运算 例1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}，B＝{x|x＞3}，则右图中阴影部分表示的集合为（　　） A．（3，5） B．（﹣2，+∞） C．（﹣2，5） D．（5，+∞） 【答案】B 【分析】先求出集合A，观察图形可知，图中阴影部分所表示的集合是A∪B，最后根据集合交集的定义求出A∩B即可． 【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}， ∴A＝{x|﹣2＜x＜5}， 观察图形可知，图中阴影部分所表示的集合是A∪B ∴A∪B＝{x|﹣2＜x} 故选：B． 【点评】本题主要考查了Venn图表达集合的关系，以及集合交集的运算，属于基础题． 例2．已知集合A＝{x||x|＜3，x∈N}，集合B＝{﹣1，0，1，2}，则图中阴影部分所表示的集合为（　　） A．{1，2} B．{0，1，2} C．{﹣1，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 【答案】B 【分析】先求出集合A，由此能求出阴影部分表示的集合A∩B． 【解答】解：A＝{x||x|＜3，x∈N}＝{x|﹣3＜x＜3，x∈N}＝{0，1，2}， 易知图中阴影部分对应的集合为A∩B，A∩B＝{0，1，2}， 故选：B． 【点评】本题考查集合的求法，考查交集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 例3．已知U＝{x|﹣3≤x＜3}，A＝{x|﹣1≤x＜3}，则图中阴影部分表示的集合是（　　） A．{x|﹣3≤x≤﹣1} B．{x|x＜﹣3或x≥3} C．{x|x≤0} D．{x|﹣3≤x＜﹣1} 【答案】D 【分析】由图可得，所求为集合A关于全集U的补集，后由补集定义可得答案． 【解答】解：由图可得，所求为集合A关于全集U的补集∁UA，则∁UA＝{x|﹣3≤x＜﹣1}． 故选：D． 【点评】本题考查了韦恩图的应用，属于基础题． 例4．建党百年之际，影片《1921》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止2021年10月底，《长津湖》票房收入已超56亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了若干人进行调查，得知其中观看了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有60人，观看了《革命者》的有50人，数据如图，则图中a＝　9　；c＝　10　． 【答案】9；10． 【分析】根据韦恩图可得出关于a，b，c的方程组，解出这三个未知数的值即可． 【解答】解：由韦恩图可得，， 解得， 即a＝9，c＝10． 故答案为：9；10． 【点评】本题主要考查了韦恩图的应用，属于基础题． 例5．已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣x2+4x﹣3≥0}，B＝{x|2＜x＜4}． （1）求图中阴影部分表示的集合C； （2）若非空集合D＝{x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），求实数a的取值范围． 【答案】（1）C＝{x|1≤x≤2}； （2）{a|2＜a≤3}． 【分析】（1）由韦恩图分析得C＝A∩（∁UB），再化简集合A，从而利用集合的交并补运算即可得解； （2）先求得A∪B，利用集合的包含关系得到关于a的不等式组，解之即可得解． 【解答】解：（1）根据题意，得C＝A∩（∁UB）， 而A＝{x|﹣x2+4x﹣3≥0}＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}， 则∁UB＝{x|x≤2或x≥4}， 所以C＝A∩（∁UB）＝{x|1≤x≤2}； （2）因为A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝{x|1≤x＜4}， 若非空集合D＝{x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B）， 则有，解得2＜a≤3， 所以实数a的取值范围是{a|2＜a≤3}． 【点评】本题主要考查了集合的基本运算，还考查了集合包含关系的应用，属于基础题． 练习1．已知全集U为整数集，集合P＝{﹣2，﹣1，1，2}，集合Q＝{1，2}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{﹣1，﹣2} B．{1，2} C．{﹣2，1} D．{﹣1，2} 【答案】A 【分析】先求出∁UQ＝{x∈Z|x≠1且x≠2}，图中阴影部分表示的集合为：P∩（∁UQ），由此能求出结果． 【解答】解：∵全集U为整数集，集合P＝{﹣2，﹣1，1，2}， 集合Q＝{1，2}， ∴∁UQ＝{x∈Z|x≠1且x≠2}， ∴图中阴影部分表示的集合为： P∩（∁UQ）＝{﹣2，﹣1}． 故选：A． 【点评】本题考查集合的求法，考查交集、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 练习2．设全集U＝R，集合A＝{x|2x≥1}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|0≤x＜1} C．{x|x＞﹣1} D．{x|x≥0} 【答案】C 【分析】根据题意，图中阴影部分表示的区域为属于A或属于B，即A∪B，对其求并集可得答案． 【解答】解：根据题意，图中阴影部分表示的区域为A∪B， A＝{x|2x≥1}＝{x|x≥0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}， 则A∪B＝{x|x＞﹣1}， 故选：C． 【点评】本题考查集合的Venn表示法，关键是分析出阴影部分表示的集合． 练习3．已知集合A＝{x∈N|1≤x≤6}，B＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，则如图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{0，1，2} B．{1，2，3} C．{﹣3，0，1，2} D．{﹣2，0，1，2，3} 【答案】B 【分析】求出集合A，B，由图中阴影部分表示的集合为A∩B，利用交集定义能求出结果． 【解答】解：集合A＝{x∈N|1≤x≤6}＝{1，2，3，4，5，6}， B＝{x|x2﹣x﹣6≤0}＝{x|﹣2≤x≤3}， 则如图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{1，2，3}． 故选：B． 【点评】本题考查集合的运算，考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 练习4．学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．那么只参加游泳一项比赛的有 　9　人． 【答案】9． 【分析】根据韦恩图计算得到答案． 【解答】解：只参加游泳一项比赛的有：15﹣3﹣3＝9． 故答案为：9． 【点评】本题主要考查集合之间的元素关系，注意每两种比赛的公共部分，属于基础题． 练习5．已知集合U＝R，A＝{x|3＜x＜10}，B＝{x|≤1}，C＝{x|x＜a}． （1）求图中阴影部分M； （2）若B∩C≠∅，求a的取值范围． 【答案】（1）M＝{x|﹣6≤x≤3}； （2）{a|a＞﹣6}． 【分析】（1）根据题意先求出B＝{x|﹣6≤x＜7}，根据韦恩图和集合的运算即可求解； （2）先求出B∩C＝∅时，实数a的取值范围，然后取其补集即可求解． 【解答】解：（1）因为， 由A＝{x|3＜x＜10}，可得：∁UA＝{x|x≥10或x≤3}， 由图可知：图中阴影部分M＝（∁UA）∩B＝{x|﹣6≤x≤3}． （2）由（1）知：B＝{x|﹣6≤x＜7}，又C＝{x|x＜a}， 当B∩C＝∅时，则a≤﹣6， 故B∩C≠∅时，实数a的取值范围为{a|a＞﹣6}． 【点评】本题考查Venn图表达集合的关系及运算，集合的交集和补集运算，考查运算求解能力，属于基础题． 题型6 集合运算中求参数 例1．已知集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜3}，B＝{x|3x﹣a＜0}，且A∩（∁RB）＝{1，2}，则a的取值范围为（　　） A．（0，4） B．（0，4] C．（0，3] D．（0，3） 【答案】C 【分析】先求得A＝{0，1，2}，，得到，结合题意得到不等式，即可求解． 【解答】解：由集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜3}＝{0，1，2}， ， 可得， 因为A∩（∁RB）＝{1，2}， 所以，解得0＜a≤3， 即实数a的取值范围为（0，3]． 故选：C． 【点评】本题考查集合的运算，根据集合关系求参数范围，属于基础题． 例2．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，A∪∁RB＝R，则a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣1，2] C．[﹣1，2） D．[2，+∞） 【答案】D 【分析】利用补集定义先求出∁RB，再由A∪∁RB＝R，能求出a的取值范围． 【解答】解：集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|﹣1＜x＜2}， ∁RB＝{x|x≤﹣1或x≥2}， ∵A∪∁RB＝R， ∴a≥2， 则a的取值范围为[2，+∞）． 故选：D． 【点评】本题考查并集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 例3．设集合M＝{x|﹣1≤x＜2}，N＝{x|x﹣k≤0}，若M∩N＝∅，则k的取值范围是　k＜﹣1　． 【答案】见试题解答内容 【分析】将集合N＝{x|x﹣k≤0}化简为（﹣∞，k]，根据M∩N＝∅，说明两个集合没有公共的元素，再结合数轴就能得到正确答案． 【解答】解：化简得M＝{x|﹣1≤x＜2}＝[﹣1，2）， N＝{x|x﹣k≤0}＝（﹣∞，k]， ∵M∩N＝∅ ∴结合数轴得，k＜﹣1 故答案为k＜﹣1 【点评】本题考查了集合关系中的参数取值问题，属于基础题．数形结合是解决此类问题的常用方法，本题利用了数轴，使问题变得一目了然． 例4．设集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{x|2＜x＜3m}． （1）若A∪B＝A，求实数m的取值范围； （2）若（∁RA）∩B 中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【答案】（1）（﹣∞，1]；（2）（，]． 【分析】（1）由二次不等式的解法化简集合A，由集合的并集的性质和集合的包含关系，解不等式可得所求取值范围； （2）求得∁RA，由题意可得（∁RA）∩B 中只有一个整数4，可得4＜3m≤5，解不等式可得所求取值范围． 【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}＝{x|﹣2≤x≤3}， 若A∪B＝A，则B⊆A， 由B＝{x|2＜x＜3m}， 若B＝∅，可得3m≤2，即m≤； 若B≠∅，则m＞，且3m≤3，解得＜m≤1， 则m的取值范围是（﹣∞，1]； （2）∁RA＝{x|x＞3或x＜﹣2}， 由（∁RA）∩B 中只有一个整数4，B＝{x|2＜x＜3m}， 可得4＜3m≤5，解得＜m≤， 即m的取值范围是（，]． 【点评】本题考查集合的运算和性质，考查转化思想和运算能力，属于基础题． 例5．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣18≤0}，B＝{x|2m﹣3≤x≤m+2}． （1）当m＝0时，求A∩（∁RB）； （2）若B∩（∁RA）＝∅，求实数m的取值范围． 【答案】（1）{x|2＜x≤6}；（2）{m|0≤m≤4或m＞5}． 【分析】（1）可求出集合A，B，然后进行交集和补集的运算即可； （2）可求出∁RA＝{x|x＜﹣3或x＞6}，根据B∩（∁RA）＝∅即可讨论B是否为空集：B＝∅时，2m﹣3＞m+2；B≠∅时，，然后解出m的范围即可． 【解答】解：（1）A＝{x|﹣3≤x≤6}，m＝0时，B＝{x|﹣3≤x≤2}， ∴∁RB＝{x|x＜﹣3或x＞2}，A∩（∁RB）＝{x|2＜x≤6}； （2）∁RA＝{x|x＜﹣3或x＞6}，且B∩（∁RA）＝∅， ∴①B＝∅时，2m﹣3＞m+2，解得m＞5； ②B≠∅时，，解得0≤m≤4， 综上得，实数m的取值范围为{m|0≤m≤4或m＞5}． 【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集和补集的定义及运算，空集的定义，考查了计算能力，属于基础题． 练习1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x＞a}，A∩（∁RB）＝A，则实数a的取值范围是（　　） A．a≥1 B．a≤1 C．a≥3 D．a≤3 【答案】C 【分析】由A∩（∁RB）＝A可知A⊆∁RB，进而列出不等式，求出a的取值范围即可． 【解答】解：由已知A∩（∁RB）＝A，所以A⊆∁RB， 又因为∁RB＝{x|x≤a}， 所以a≥3， 即实数a的取值范围是{a|a≥3}． 故选：C． 【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题． 练习2．设集合A＝{x|x＜2或x≥4}，B＝{x|a≤x≤a+1}，若（∁RA）∩B＝∅，则a的取值范围是（　　） A．a≤1或a＞4 B．a＜1或a≥4 C．a＜1 D．a＞4 【答案】B 【分析】先求出∁RA，根据（∁RA）∩B＝∅，可求得结果． 【解答】解：由集合A＝{x|x＜2或x≥4}，得∁RA＝{x|2≤x＜4}， 又集合B＝{x|a≤x≤a+1}且（∁RA）∩B＝∅， 则a+1＜2或a≥4，即a＜1或a≥4． 故选：B． 【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题． 练习3．设集合A＝{x|x＜2或x≥4}，集合B＝{x|x＜a}，若（∁RA）∩B≠∅，则a的取值范围是（　　） A．a＜2 B．a＞2 C．a≤2 D．a≥2 【答案】B 【分析】由已知利用补集运算求得∁RA，结合（∁RA）∩B≠∅，即可求得a的取值范围． 【解答】解：由A＝{x|x＜2或x≥4}，得∁RA＝{x|2≤x＜4}， 又集合B＝{x|x＜a}且（∁RA）∩B≠∅， 所以a＞2，所以a的取值范围为（2，+∞）． 故选：B． 【点评】本题考查交、补集的混合运算，是基础题． 练习4．设U＝R，已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}． （Ⅰ）当m＝4时，求∁U（A∪B）； （Ⅱ）若B≠∅，且B⊆A，求实数m的取值范围． 【答案】（Ⅰ）∁U（A∪B）＝（﹣∞，﹣2）∪（7，+∞）；（Ⅱ）[2，3]． 【分析】（Ⅰ）根据m的值求出集合B，再求出集合A，B的并集，进而可以求解； （Ⅱ）根据已知建立不等式关系，求解即可． 【解答】解（I）当m＝4时，集合B＝[5，7]， 所以A∪B＝[﹣2，7]， 所以∁U（A∪B）＝（﹣∞，﹣2）∪（7，+∞）； （Ⅱ）因为B≠∅，且B⊆A， 所以一定有，解得2≤m≤3， 所以实数m的取值范围为[2，3]． 【点评】本题考查了集合的运算关系以及集合间的包含关系，考查了学生的运算求解能力，属于基础题． 练习5．已知集合A＝{x∈R|（x+a）（x﹣3）＜0}，集合． （Ⅰ）若a＝1，求A∩B； （Ⅱ）若A∩B＝∅，求a的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】（Ⅰ）根据题意，求出集合B，当a＝1时，求出集合A，由交集的定义计算可得答案； （Ⅱ）根据题意，按a的取值范围分情况讨论，求出集合A，由交集的定义分析a的取值范围，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，集合＝（1，2）， （I）若a＝1，集合A＝{x∈R|（x+1）（x﹣3）＜0}＝（﹣1，3）， 则A∩B＝（1，2）； （II）集合A＝{x∈R|（x+a）（x﹣3）＜0}， 若a＝﹣3，则A＝∅，满足题意； 若a＜﹣3，则A＝（3，﹣a），显然A∩B＝∅； 若a＞﹣3，则A＝（﹣a，3），所以﹣a≥2，所以﹣3＜a≤﹣2； 综上所述：a≤﹣2． 【点评】本题考查集合交集的计算，（2）中注意讨论a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$