3.1.2 函数的表示（3知识点+8题型+质量检测）-2024年新高一数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019）

3.1.2函数的表示法 明确学习目标 课标要求 1.了解函数的三种表示方法及各自的优缺点． 2.能用图象法表示函数并能通过函数图象得到函数的值域． 3.会用解析法及图象法表示分段函数． 4.给出分段函数，能研究有关性质． 重点难点 1.了解函数的三种表示方法及各自的优缺点． 2.能用图象法表示函数并能通过函数图象得到函数的值域． 3.会用解析法及图象法表示分段函数． 4.给出分段函数，能研究有关性质． 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 函数的表示法 1.函数的表示法 (1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． (2)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． (3)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 2.三种表示方法的区别与联系 (1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念． (2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数． (3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主． 3.描点法作函数图象 (1)列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与这些值相对应的函数值，用表格的形式表示； (2)描点：从表中得到一些列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点； (3)连线：用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来． 知识点2 函数解析式的求法 1.待定系数法：已知函数的类型（如一次函数、二次函数等）． (1)设元：设已知函数的一般解析式； (2)列式：根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； (3)消元化简：解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决． 2.换元法：主要用于解决已知复合函数的解析式，求函数的解析式的问题． (1)设元：先令，注意分析的取值范围； (2)换元：反解出x，即用含的代数式表示x； (3)代入消元：将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得． 3.配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)，便得的解析式． 4.方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式． 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件， 可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出． 知识点3 分段函数 1.分段函数的相关概念 (1)定义：像y＝这样的函数称为分段函数． (2)本质：函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系． 2.理解 分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集． (1)分段函数求值的方法 ①先确定要求值的自变量属于哪一段区间． ②然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． (2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． (3)若分段函数的自变量含参数，要考虑自变量整体的取值属于哪个范围，从而根据对应的解析式整体代入，转化为方程或不等式问题． 3.分段函数的图象及应用 分段函数图象的画法 (1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． (2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． 2提升学科能力 题型一 解析式表示函数 例1．已知， (1)用分段函数表示的解析式，并作出其图象； (2)指出函数的定义域与值域； (3)解不等式. 跟踪训练1 1．等腰三角形周长为20， （1）若底边长为，腰长是，将表示成的函数 ； （2）若腰长为，底边长是，将表示成的函数 ． 2．函数的图象如图所示，则其解析式为 ． 3．某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间（分钟）与相应话费（元）之间的函数图像如图所示，则与之间的函数关系式为 ． 题型二 图像法表示函数 例2．已知函数，若且，则它的图象可能是（　　） A．B．C．D． 跟踪训练2 1．函数的图象是（    ）． A． B． C． D． 2．下图的四个图象中，与下述三件事均不吻合的是（    ） （1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（2）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进. A．  B．  C．    D．   3．下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（    ） A．   B．   C．  D   题型三 列表法表示函数 例3．某企业去年第一季度生产某种型号机器的数量y（单位：万台）与月份x的函数关系如下表所示： x（月份） 1 2 3 y（万台） 3 5 7 则该函数的定义域为 ． 跟踪训练3 1．已知函数的对应关系如下表，函数的图象为如图所示的曲线，其中，，，则（    ）． 1 2 3 2 3 0      A．3 B．2 C．1 D．0 2．已知函数由下表给出，则 ． 1 2 3 4 2 3 4 1 3．下列表示函数，则 ． x y 2 3 4 5 题型四 求函数的解析式 例4．（1）已知是一次函数，且，求的表达式； （2）已知，求的表达式； （3）已知，求的表达式； （4）已知，求的表达式． 跟踪训练4 1．已知是一次函数，若，则的解析式为 . 2．已知是二次函数，且，，则 ． 3．（1）已知是二次函数，且满足，，求的表达式； （2）已知，求的表达式； （3）已知，求的表达式． 题型五 分段函数相关概念 例5．已知函数，关于函数f(x)的结论正确的是（   ） A．f(x)的定义域是R B．f(x)的值域是 C．若 f(x)=3，则x的值为 D．f(x)图象与y=2有两个交点 跟踪训练5 1．函数y＝的定义域为 ，值域为 . 2．分别作出下列分段函数的图象，并写出定义域及值域. （1）y= （2）y= 3．已知 （1）画出的图像； （2）求的定义域和值域. 题型六 分段函数的求值 例6．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练6 1．设函数，则（    ） A． B． C．10 D． 2．已知函数，则等于 . 3．已知则 ． 题型七 分段函数求参数 例7．已知函数，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 跟踪训练7 1．已知，函数若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知函数，若，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．函数，若，则实数的值为 . 题型八 函数图像的实际应用 例8．某天0时，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常（正常体温为37 ℃），但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了.下面能大致反映出小鹏这一天（0时至24时）体温变化情况的图像是（　　） A．  B．  C．  D．   跟踪训练8 1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用s1，s2分别表示乌龟和兔子经过的路程，t为时间，则与故事情节相吻合的是（　  ） A．B．C． D． 2．如图，点P在边长为1的正方形边上运动，设M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数的图像大致是（　　） A．B．C． D． 3．如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下列对应的图象表示该容器中水面的高度h与时间t之间的关系，其中正确的（    ） A．B．C． D． 3质量检测评价 一、单选题 1．如图，可以表示函数的图象的是（    ） A．B．C． D． 2．若函数与分别由下表给出，则 =（　　） 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 4 3 A．1 B．2 C．3 D．4 3．设函数，则（    ） A．10 B．9 C．7 D．6 4．下列函数中，对任意，不满足的是（    ） A． B． C． D． 5．一个等腰三角形的周长为20，底边长是一腰长的函数，则（    ） A． B． C． D． 6．一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的图象大致是 （    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．(多选)设函数，若，则（    ） A． B．3 C． D．1 9．已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C． D．若，则x的值是 三、填空题 10．下列表示函数，则 ． 2 3 4 5 11．设，，则 ． 12．若函数，若，则 ． 四、解答题 13．已知函数 (1)求，，的值； (2)若，求实数a的值． 14．已知（，且），． (1)求，的值； (2)求，的值； (3)求和的值域． 15．已知二次函数满足条件，且. (1)求函数的解析式； (2)在区间上，的图象恒在的图象上方，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.2函数的表示法 明确学习目标 课标要求 1.了解函数的三种表示方法及各自的优缺点． 2.能用图象法表示函数并能通过函数图象得到函数的值域． 3.会用解析法及图象法表示分段函数． 4.给出分段函数，能研究有关性质． 重点难点 1.了解函数的三种表示方法及各自的优缺点． 2.能用图象法表示函数并能通过函数图象得到函数的值域． 3.会用解析法及图象法表示分段函数． 4.给出分段函数，能研究有关性质． 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 函数的表示法 1.函数的表示法 (1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． (2)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． (3)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 2.三种表示方法的区别与联系 (1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念． (2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数． (3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主． 3.描点法作函数图象 (1)列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与这些值相对应的函数值，用表格的形式表示； (2)描点：从表中得到一些列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点； (3)连线：用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来． 知识点2 函数解析式的求法 1.待定系数法：已知函数的类型（如一次函数、二次函数等）． (1)设元：设已知函数的一般解析式； (2)列式：根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； (3)消元化简：解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决． 2.换元法：主要用于解决已知复合函数的解析式，求函数的解析式的问题． (1)设元：先令，注意分析的取值范围； (2)换元：反解出x，即用含的代数式表示x； (3)代入消元：将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得． 3.配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)，便得的解析式． 4.方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式． 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件， 可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出． 知识点3 分段函数 1.分段函数的相关概念 (1)定义：像y＝这样的函数称为分段函数． (2)本质：函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系． 2.理解 分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集． (1)分段函数求值的方法 ①先确定要求值的自变量属于哪一段区间． ②然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． (2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． (3)若分段函数的自变量含参数，要考虑自变量整体的取值属于哪个范围，从而根据对应的解析式整体代入，转化为方程或不等式问题． 3.分段函数的图象及应用 分段函数图象的画法 (1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． (2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． 2提升学科能力 题型一 解析式表示函数 例1．已知， (1)用分段函数表示的解析式，并作出其图象； (2)指出函数的定义域与值域； (3)解不等式. 【答案】(1)，作图见解析 (2)函数的定义域为，值域为 (3) 【分析】（1）将函数的解析式表示为分段函数的形式，然后作出函数的图象； （2）根据（1）中的图象可得出函数的定义域和值域； （3）分、、三种情况解不等式，综合可得出不等式的解集. 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 所以，，作出函数的图象如下图所示： （2）解：由（1）中的图可知，函数的定义域为，值域为. （3）解：当时，由可得，此时，， 当时，由可得，此时，， 当时，由可得，此时，. 综上所述，不等式的解集为. 跟踪训练1 1．等腰三角形周长为20， （1）若底边长为，腰长是，将表示成的函数 ； （2）若腰长为，底边长是，将表示成的函数 ． 【答案】 【分析】（1）依题意，根据三角形三边的关系得出，再整理即可； （2）依题意，根据三角形三边的关系得出，再整理即可． 【详解】（1）依题意，且，故， ； （2）依题意，且，故， 所以． 故答案为：；． 2．函数的图象如图所示，则其解析式为 ． 【答案】 【分析】分，与三种情况，求出解析式，得到答案. 【详解】当时，设，又图象过点，故， ∴； 当时，；当时，. 综上，. 故答案为： 3．某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间（分钟）与相应话费（元）之间的函数图像如图所示，则与之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】根据函数图象利用待定系数法求解即可. 【详解】由图知，当时，设函数为，则 ，得，所以， 当时，设函数为，则 ，解得， 所以， 综上与之间的函数关系式为. 故答案为： 题型二 图像法表示函数 例2．已知函数，若且，则它的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件确定，从而抛物线开口向上，，通过排除法得出选项. 【详解】由且，得， 所以函数是二次函数，图象开口向上，排除A，C； 又，所以排除B；只有D符合. 故选：D. 跟踪训练2 1．函数的图象是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数表达式化简成分段函数形式即可判断. 【详解】，对比选项可知，只有C符合题意. 故选：C. 2．下图的四个图象中，与下述三件事均不吻合的是（    ） （1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（2）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进. A．   B．   C．     D．   【答案】D 【分析】根据题意，结合条件对图像逐一分析，即可得到结果. 【详解】（1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，此时对应的图像为直线递增图像，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，此时离家距离为常数，然后为递增图像，对应图像A； （2）我离开家不久，此时离家距离为递增图像，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学，此时离开家的距离递减到0，然后再递增，对应图像C； （3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进，此时图像为递增图像，对应图像B； 故选：D 3．下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】C 【分析】根据函数的定义以及定义域和值域的概念分析即可. 【详解】选项A：定义域为，但是值域不是故错误； 选项B：定义域不是，值域为，故错误； 选项C：定义域和值域均为，故正确； 选项D：不满足函数的定义，故错误； 故选：C. 题型三 列表法表示函数 例3．某企业去年第一季度生产某种型号机器的数量y（单位：万台）与月份x的函数关系如下表所示： x（月份） 1 2 3 y（万台） 3 5 7 则该函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由函数的表示方法、定义域的概念即可得解. 【详解】由表格可知，所求函数的定义域为. 故答案为：. 跟踪训练3 1．已知函数的对应关系如下表，函数的图象为如图所示的曲线，其中，，，则（    ）． 1 2 3 2 3 0      A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】根据图可知，继而根据表格可知. 【详解】由图可知，， 由表格可知， 故选：B. 2．已知函数由下表给出，则 ． 1 2 3 4 2 3 4 1 【答案】3 【分析】直接由函数的表格表示方法即可得解. 【详解】由图表可知，. 故答案为：3. 3．下列表示函数，则 ． x y 2 3 4 5 【答案】4 【分析】由分段函数的表格表示法，观察表格即可求解. 【详解】由表可知． 故答案为：4. 题型四 求函数的解析式 例4．（1）已知是一次函数，且，求的表达式； （2）已知，求的表达式； （3）已知，求的表达式； （4）已知，求的表达式． 【答案】（1）或；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）利用待定系数法即可得到答案； （2）（3）利用换元法即可求解. （4）利用方程组法即可得到答案； 【详解】（1）设． ∵， ，解得或， ∴或． （2）令则． ∵， ∴． （3）令，，则，即． ∵， ∴， ∴． （4）∵，① ∴．② 得， ∴． 跟踪训练4 1．已知是一次函数，若，则的解析式为 . 【答案】或 【分析】设出函数的解析式，利用待定系数法求解即得. 【详解】依题意，设，于是， 而，因此，解得或， 所以的解析式为或. 故答案为：或 2．已知是二次函数，且，，则 ． 【答案】 【分析】由题意设，通过待定系数法得出关于的方程组即可求解. 【详解】因为，是二次函数，所以设， 又因为， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 3．（1）已知是二次函数，且满足，，求的表达式； （2）已知，求的表达式； （3）已知，求的表达式． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）设的表达式为，由已知可得，解之即可； （2）利用换元法可求解析式； （3）在原式中用替换，得，与原式联立方程组，求解即可. 【详解】（1）设，∵，∴． 又∵，∴． 整理得． 由恒等式的性质知上式中对应项系数相等， ∴，解得 ∴所求函数的表达式为． （2）令，则．∴， ∴所求函数的表达式为． （3）在原式中用替换，得， 于是有， 消去，得． ∴所求函数的表达式为． 题型五 分段函数相关概念 例5．已知函数，关于函数f(x)的结论正确的是（   ） A．f(x)的定义域是R B．f(x)的值域是 C．若 f(x)=3，则x的值为 D．f(x)图象与y=2有两个交点 【答案】BC 【解析】利用分段函数的解析式求得定义域、值域即判断选项AB的正误，利用函数值求自变量即判断CD的正误. 【详解】由函数知，定义域为，即，A错误； 时，，时，，故，故值域为，B正确； 由分段的取值可知时，即，解得或（舍去），故C正确； 由分段的取值可知时，即，解得或（舍去），故f(x)图象与y=2有1个交点，故D错误. 故选：BC. 跟踪训练5 1．函数y＝的定义域为 ，值域为 . 【答案】 （－∞，0）∪（0，＋∞） {－2}∪（0，＋∞） 【分析】由分段函数的定义域为各段的并集，值域为各段的并集进行求解 【详解】定义域为各段的并集，即（－∞，0）∪（0，＋∞）. 因为x>0，所以x2>0，由于值域为各段的并集， 所以函数的值域为{－2}∪（0，＋∞）. 故答案为：（－∞，0）∪（0，＋∞）；{－2}∪（0，＋∞） 2．分别作出下列分段函数的图象，并写出定义域及值域. （1）y= （2）y= 【答案】（1）图象见解析，定义域是(0，+∞)，值域是[1，+∞)；（2）图象见解析，定义域是(-∞，+∞)，值域是(-6，6]. 【分析】（1）分段作出函数的图象，再合在一起可得图象，根据图象写出定义域和值域； （2）分段作出函数的图象，再合在一起可得图象，根据图象写出定义域和值域. 【详解】（1）y=的图象如图： 定义域是(0，+∞)，值域是[1，+∞). （2）y=的图象如图： 定义域是(-∞，+∞)，值域是(-6，6]. 【点睛】本题考查了分段函数的图象，考查了分段函数的定义域和值域，属于基础题. 3．已知 （1）画出的图像； （2）求的定义域和值域. 【答案】（1）答案见解析；（2）定义域为R，值域为[0，1]. 【分析】（1）结合二次函数与常数函数的图象直接作图； （2）由原函数解析式可得函数定义域，由图象得值域． 【详解】解：（1）画出分段函数的图象如图， （2）函数的定义域为；值域为． 【点睛】本题考查分段函数的图象及定义域和值域的求法，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题． 题型六 分段函数的求值 例6．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解析式求函数值即可. 【详解】，所以. 故选：C. 跟踪训练6 1．设函数，则（    ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】代入分段函数的解析式，即可求解. 【详解】函数，因为，所以. 故选：A 2．已知函数，则等于 . 【答案】6 【分析】根据分段函数的性质代入计算函数值即可. 【详解】由题意可知. 故答案为：6 3．已知则 ． 【答案】 【分析】根据分段函数的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 故答案为：. 题型七 分段函数求参数 例7．已知函数，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】首先对进行分类讨论，然后分别将其代入对应的解析式中即可求解的值 【详解】当时，得：，不符合题意，故舍去； 当时，得：，解得：，不符合范围条件，故舍去； 当时，得：，解得：或， 由于，故得：. 故选：C 跟踪训练7 1．已知，函数若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据函数的解析式，求得，结合列出方程，即可求解. 【详解】由题意可得， 则，解得， 故选：B. 2．已知函数，若，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数和嵌套函数的性质分类讨论即可. 【详解】若，则有， ∴； 若，则， ∴，此时若，则有． 故选：D． 3．函数，若，则实数的值为 . 【答案】1 【分析】直接按分段函数的定义代入列方程即可求解. 【详解】由题意，解得，即实数的值为1. 故答案为：1. 题型八 函数图像的实际应用 例8．某天0时，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常（正常体温为37 ℃），但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了.下面能大致反映出小鹏这一天（0时至24时）体温变化情况的图像是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据体温变化过程结合图像可得答案. 【详解】选项A反映，体温逐渐降低，不符合题意 ；选项B不能反映下午体温又开始上升的过程；选项D不能反映下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫这一过程. 故选：C 跟踪训练8 1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用s1，s2分别表示乌龟和兔子经过的路程，t为时间，则与故事情节相吻合的是（　  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】关键是根据题意判断关于的函数的性质以及其图象. 【详解】由题意可得始终是匀速增长,开始时, 的增长比较快,但中间有一段时间停止增长， 在最后一段时间里, 的增长又较快,但的值没有超过的值,结合所给的图象可知，B选项正确; 故选：B. 2．如图，点P在边长为1的正方形边上运动，设M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论点P处于不同位置时的面积y与x之间的关系，得出解析式，继而可得其大致图象. 【详解】根据题意可得，当时（如图1所示），S△APM＝=x； 当时（如图2所示），S△APM＝S梯形ABCM－S△ABP－S△PCM ＝； 当时（如图3所示），S△APM＝， ∴ 根据函数解析式，结合图形，可知选项A符合， 故选A． 3．如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下列对应的图象表示该容器中水面的高度h与时间t之间的关系，其中正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】结合几何体的结构和题意知，容器的底面积越大水的高度变化慢，反之变化的快，再由图象越平缓就变化越慢，图象陡就变化快来判断. 【详解】对于A，易知水面高度的增加是均匀的，所以A不正确； 对于B，h 随t的增大而增大，且增大的速度越来越慢，所以B正确； 对于C，h 随t的增大而增大，增大的速度先越来越慢，后越来越快，所以C正确； 对于D，h 随t的增大而增大，增大的速度先越来越快，后越来越慢，所以D正确. 故选：BCD. 3质量检测评价 一、单选题 1．如图，可以表示函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的概念判断 【详解】根据函数的定义，对于一个，只能有唯一的与之对应，只有D满足要求 故选：D 2．若函数与分别由下表给出，则 =（　　） 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 4 3 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用函数中图表的对应关系，求出，则，再根据函数中图表的对应关系即可求出结果. 【详解】由题知，因此， 故选：B. 3．设函数，则（    ） A．10 B．9 C．7 D．6 【答案】C 【分析】 依据分段函数的解析式，将9代入计算函数值. 【详解】 ． 故选：C. 4．下列函数中，对任意，不满足的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合各选项的解析式计算、判断是否与相同即可. 【详解】对于A：，则，故A正确； 对于B：，则，故B正确； 对于C：，则，故C正确； 对于D：，则，， 所以，故D错误； 故选：D 5．一个等腰三角形的周长为20，底边长是一腰长的函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合等腰三角形性质可得，变形得关于表达式，再结合三角形三边性质确定自变量范围即可. 【详解】∵，∴. 由题意得解得. ∴. 故选：D. 6．一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的图象大致是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】水深越大，水的体积就越大，故函数是个增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的． 【详解】解：由图得水深越大，水的体积就越大，故函数是个增函数． 据四个选项提供的信息， 当，，我们可将水“流出”设想成“流入”， 这样每当增加一个单位增量△时， 根据鱼缸形状可知，函数的变化，开始其增量越来越大，但经过中截面后则增量越来越小， 故关于的函数图象是先凹后凸的，曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大，后又逐渐变小， 故选：D． 【点睛】本题考查了函数图象的变化特征，函数的单调性的实际应用，体现了数形结合的数学思想和逆向思维，属于中档题． 二、多选题 7．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据已知代入特殊值可得的值，可判断A，B；再根据换元法求解解析式即可得，从而判断C，D. 【详解】因为，所以时，可得，故A正确； 所以时，可得，故B正确； 令，则，所以，则，故C正确，D不正确. 故选：ABC. 8．(多选)设函数，若，则（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】CD 【分析】根据分段函数解析式，对进行分类讨论计算即可求得结果. 【详解】因为，又 所以； (1)当时，，解得. (2)当时，，所以； 综上可知或. 故选：CD 9．已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C． D．若，则x的值是 【答案】BD 【分析】根据分段函数的解析式结合二次函数的性质，逐一判断即可. 【详解】对于A，因为， 所以的定义域为，所以A错误； 对于B，当时，，当时，， 所以的值域为，所以B正确； 对于C，因为，所以，所以C错误； 对于D，当时，由，得，解得（舍去）， 当时，由，得，解得或（舍去）， 综上，，所以D正确. 故选：BD. 三、填空题 10．下列表示函数，则 ． 2 3 4 5 【答案】4 【分析】根据自变量的范围即可代入求解. 【详解】由于，所以， 故答案为：4 11．设，，则 ． 【答案】 【分析】直接由的定义即可代入得解. 【详解】由题意. 故答案为：. 12．若函数，若，则 ． 【答案】或 【分析】分与讨论，代入解析求解即可. 【详解】时，，解得； 时，，解得或（舍）. 综上可得或. 故答案为:或. 四、解答题 13．已知函数 (1)求，，的值； (2)若，求实数a的值． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】（1）根据自变量的范围，代入相应的解析式，求函数值； （2）分类讨论，解方程即可. 【详解】（1）因为，，， 所以，， 因为， 所以， （2）由于， 当时，， 解得，又，所以不合题意，舍去． 当时，， 即化为， 解得或， 又，所以符合题意， 当时，，即符合题意． 综上可得，当时，或． 14．已知（，且），． (1)求，的值； (2)求，的值； (3)求和的值域． 【答案】(1)； (2)； (3)值域：且；值域：． 【分析】对于（1）（2）将括号里面的值直接代入逐层求解即可； （3）求值域可借助初中反比例函数值域问题来解，对于的值域可以借助初中二次函数值域问题来解即可. 【详解】（1）∵，∴． 又∵，∴． （2）． ． （3）∵的定义域为，且，∴的值域为且． ∵，显然该式的最小值为2，∴的值域为． 15．已知二次函数满足条件，且. (1)求函数的解析式； (2)在区间上，的图象恒在的图象上方，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出二次函数，利用题目条件列式求解即可； （2）由题意在上恒成立，构造函数，利用单调性求解最值即可求解范围. 【详解】（1）由题意设，，因为，所以， 又因为，所以， 即，所以，解得，所以. （2）由（1）得，，因为的图象恒在的图象上方， 所以在上恒成立，所以在上恒成立， 令，则.又因为在上单调递减， 所以，即，所以实数的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$