3.1.1函数的概念（3知识点+6题型+质量检测）-2024年新高一数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019）

3.1.1 函数的概念 明确学习目标 课标要求 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念； 2.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域； 3.会判断两个函数是否为同一个函数． 4.能正确使用区间表示数集. 5.会求一些简单函数的定义域与函数值． 重点难点 1.会判断两个函数是否为同一个函数． 2.会求一些简单函数的定义域与函数值． 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 函数的概念 1.函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 2.函数的三要素 （1）定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的的取值范围； （2）对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，可以看作是对“”施加的某种运算或法则．如：，就是对自变量求平方． （3）值域：对应关系对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，表示“是的函数”，指的是为在对应关系下的对应值． 3.函数相等：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数． 4.判断是否为同一个函数的三个要点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形． 知识点2 区间的概念 1.区间的概念 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 区间 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤b} (－∞，b] {x|x<b} (－∞，b) 特别地：实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 2.理解 (1)区间只能表示连续的数集，开闭不能混淆． (2)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别． (3)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立． (4)“∞”是一个符号，而不是一个数． 3.用区间表示数集的注意点 (1)区间左端点值小于右端点值．(2)区间两端点之间用“，”隔开． (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号． (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． 知识点3 函数的定义域与值 1.具体函数定义域的求法 ①要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有： (ⅰ)分式的分母不为0； (ⅱ)偶次根式的被开方数非负数，奇次方根的被开方数为全体实数； (ⅲ)零次幂的底数不等于0，即y＝x0要求x≠0. ②不对解析式化简变形，以免定义域变化． ③当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． 2.抽象函数定义域的求法 (1)已知f(x)的定义域为[a，b]，求f(g(x))的定义域时，不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域． (2)已知f(g(x))的定义域为[c，d]，求f(x)的定义域时，求出g(x)在[c，d]上的范围(值域)即定义域． 3.函数求值的方法 ①已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值． ②已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 4.函数的值域的求法 (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到． (2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法． (3)图象法：利用已知一次函数、二次函数或反比例函数的图象写出函数的值域． (4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域． (5)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域． 2提升学科能力 题型一 函数关系的判断 例1．设，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   跟踪训练1 1．张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量为y千克，则（　　） A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系 C．y是x的函数 D．x是y的函数 2．下列等式中的变量不具有函数关系的是（　　） A． B． C． D． 3．判断下列对应是否为函数： (1)，，； (2)，这里，，； (3)当x为有理数时，；当x为无理数时，. 题型二 具体函数定义域 例2．函数的定义域为（　　） A． B． C．或 D．或 跟踪训练2 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 题型三 抽象函数的定义域 例3．若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练3 1．若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（1）函数的定义域是 ； （2）函数的定义域是 ； （3）若函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 题型四 判断函数是否相等 例4．下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 跟踪训练4 1．下列四个函数中，与表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列每组的两个函数中，是同一函数的为（    ） ①， ②， ③， ④， A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 3．下列各组函数表示同一函数的是（ ） A．， B．， C．， D．， 题型五 常见函数的值域 例5．函数的值域为（　　） A． B． C． D． 跟踪训练5 1．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．下表表示y是x的函数，则函数的值域是（　　） x y 2 3 4 5 A．[2，5] B．{2，3，4，5} C．(0，20] D．N＋ 题型六 复杂函数的值域 例6．求函数的值域. 跟踪训练6 1．函数，的值域为（    ）． A． B． C． D． 2．已知，则的最小值为 . 3．时，的值域为 . 3质量检测评价 一、单选题 1．如图图形，其中能表示函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的对应关系如下表，函数的图象为如图所示的曲线，其中，，，则（    ）． 1 2 3 2 3 0      A．3 B．2 C．1 D．0 4．下列各组中的两个函数为同一函数的是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D．（1，2） 6．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域和值域均为，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 9．有以下判断，其中是正确判断的有（    ） A．与表示同一函数 B．函数的图象与直线的交点最多有1个 C．函数的最小值为2 D．若，则 三、填空题 10．已知函数，则 ． 11．函数的值域为 12．已知的定义域是，则函数的定义域是 . 四、解答题 13．（1）已知的定义域为，求的定义域； （2）若函数的定义域为，求的定义域． 14．已知函数. (1)求的定义域； (2)若，求的值； (3)求证：. 15．求下列函数的值域： (1)； (2)． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.1 函数的概念 明确学习目标 课标要求 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念； 2.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域； 3.会判断两个函数是否为同一个函数． 4.能正确使用区间表示数集. 5.会求一些简单函数的定义域与函数值． 重点难点 1.会判断两个函数是否为同一个函数． 2.会求一些简单函数的定义域与函数值． 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 函数的概念 1.函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 2.函数的三要素 （1）定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的的取值范围； （2）对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，可以看作是对“”施加的某种运算或法则．如：，就是对自变量求平方． （3）值域：对应关系对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，表示“是的函数”，指的是为在对应关系下的对应值． 3.函数相等：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数． 4.判断是否为同一个函数的三个要点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形． 知识点2 区间的概念 1.区间的概念 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 区间 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤b} (－∞，b] {x|x<b} (－∞，b) 特别地：实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 2.理解 (1)区间只能表示连续的数集，开闭不能混淆． (2)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别． (3)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立． (4)“∞”是一个符号，而不是一个数． 3.用区间表示数集的注意点 (1)区间左端点值小于右端点值．(2)区间两端点之间用“，”隔开． (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号． (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． 知识点3 函数的定义域与值 1.具体函数定义域的求法 ①要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有： (ⅰ)分式的分母不为0； (ⅱ)偶次根式的被开方数非负数，奇次方根的被开方数为全体实数； (ⅲ)零次幂的底数不等于0，即y＝x0要求x≠0. ②不对解析式化简变形，以免定义域变化． ③当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． 2.抽象函数定义域的求法 (1)已知f(x)的定义域为[a，b]，求f(g(x))的定义域时，不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域． (2)已知f(g(x))的定义域为[c，d]，求f(x)的定义域时，求出g(x)在[c，d]上的范围(值域)即定义域． 3.函数求值的方法 ①已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值． ②已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 4.函数的值域的求法 (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到． (2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法． (3)图象法：利用已知一次函数、二次函数或反比例函数的图象写出函数的值域． (4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域． (5)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域． 2提升学科能力 题型一 函数关系的判断 例1．设，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】逐项分析定义域和值域的对应情况，由此判断出结果. 【详解】对于A：定义域为，定义域是的真子集，故错误； 对于B：定义域为，值域为，且图像也满足函数定义，故正确； 对于C：不满足“从定义域中任意取一个有唯一的与之对应”，故错误； 对于D：定义域为，定义域是的真子集，故错误； 故选：B. 跟踪训练1 1．张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量为y千克，则（　　） A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系 C．y是x的函数 D．x是y的函数 【答案】A 【分析】影响小麦产量的因素有种子、施肥量、水、日照时间等，可判断得答案. 【详解】解：小麦的总产量与种子、施肥量、水、日照时间等因素有相关关系，但不一定是函数关系. 故选：A. 2．下列等式中的变量不具有函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用函数的定义直接判断作答. 【详解】对于A，，对于每一个，按照，有唯一值与之对应，A是函数关系； 对于B，，对于每一个，按照，有唯一值与之对应，B是函数关系； 对于C，，对于每一个，按照，有唯一值与之对应，C是函数关系； 对于D，，当时，，当时，，变量不具有函数关系，D不是函数关系. 故选：D 3．判断下列对应是否为函数： (1)，，； (2)，这里，，； (3)当x为有理数时，；当x为无理数时，. 【答案】(1)是函数 (2)不是函数 (3)是函数 【分析】（1）根据函数定义这个函数可以表示为()进行判断； （2）利用函数定义及特殊值进行判断； （3）可以表示为，是一个函数. 【详解】（1）对于任意一个非零实数x，由x唯一确定，所以当时是函数，这个函数也可以表示为(). （2）考虑输入值为4，即当时输出值y由给出，得和.这里一个输入值与两个输出值对应，所以，（，，）不是函数. （3）由题意知，对于任意的有理数x，总有唯一的元素1与之对应；对于任意的无理数x，总有唯一的元素0与之对应，.因此，根据函数的定义，可知这个对应是函数，可以表示为. 所以（1）是函数；（2）不是函数；（3）是函数. 题型二 具体函数定义域 例2．函数的定义域为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由函数有意义的条件，求解函数定义域. 【详解】解析：要使函数有意义，则只需 解得或， 所以函数的定义域为或． 故选：D. 跟踪训练2 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由被开方数大于等于零求出定义域. 【详解】由已知可得， 所以定义域为. 故选：B 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求函数的定义域，注意偶次根式被开方数不能为负，分母不能为. 【详解】根据偶次根式被开方数不能为负，分母不能为有： ，，解得函数的定义域为：. 故选：D 3．求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意结合零次方底数不为0运算求解； （2）根据题意结合根式的意义分析求解； （3）根据题意结合分式的意义运算求解. 【详解】（1）要使函数有意义，需满足， 解得，所以的定义域为． （2）要使函数有意义，需满足解得． 所以函数的定义域为． （3）要使函数有意义，需满足，解得． 所以函数的定义域为． 题型三 抽象函数的定义域 例3．若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意求出的定义域为，再由可求得的定义域. 【详解】因为函数的定义域为，则，可得， 所以函数的定义域为， 对于函数，则，得， 所以的定义域为. 故选：C 跟踪训练3 1．若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求得函数的定义域为，然后结合抽象函数定义域与求解即可； 【详解】由题意可知，所以，要使函数有意义，则解得. 故选：D 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义域求出中的范围，结合分母不为，求出函数的定义域即可． 【详解】由题意得，解得， 又，解得， 故函数的定义域是 ． 故选：D． 3．（1）函数的定义域是 ； （2）函数的定义域是 ； （3）若函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】（1）根据根式以及0次方的性质即可由不等式求解， （2）根据根式的性质即可求解， （3）根据抽象函数的定义域性质即可求解. 【详解】（1）由得且，∴函数的定义域是． （2）由得，∴函数的定义域是． （3）∵的定义域是， ∴，∴，即的定义域是， ∴，∴， ∴函数的定义域是． 故答案为：；； 题型四 判断函数是否相等 例4．下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据两个函数的定义域以及对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，的定义域为,而的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，A错误， 对于B,与的定义域均为，且对应关系相同，故为相同函数，B正确， 对于C，的定义域为,而的定义域为，定义域不相同，故不是相同函数,C错误， 对于D，的定义域为，与的定义域为,定义域不相同，故不是相同函数,D错误， 故选：B 跟踪训练4 1．下列四个函数中，与表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两个函数的定义域及对应关系是否一样逐项判断即可. 【详解】对于A，和的对应关系不相同，不是同一个函数，故选项A不符合； 对于B，和的对应关系不相同，不是同一个函数，故选项B不符合； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同， 不是同一个函数，故选项C不符合； 对于D，函数的定义域和对应关系与都相同，是同一个函数，故选项D符合. 故选：D. 2．下列每组的两个函数中，是同一函数的为（    ） ①， ②， ③， ④， A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 【答案】C 【解析】根据各组函数的定义域和对应关系是否相同即可判断. 【详解】①与的定义域是，而，故这两个函数不是同一函数，故①错误； ②与的定义域都是，但，这两个函数的定义域相同，对应法则不同，故这两个函数不是同一函数，故②错误； ③与的定义域是，并且，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数，故③正确； ④与的定义域和对应关系都一致，是同一函数，故④正确． 故选：C. 【点睛】本题通过判断几组函数是否为同一函数,主要考查函数的定义域、值域以及对应法则，属于基础题. 3．下列各组函数表示同一函数的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据同一函数的判定方法，结合函数的定义域和对应关系，逐项判定，即可求解. 【详解】A中，函数的定义域为，函数的定义域为， 则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以A不正确； B中，函数的定义域为，函数的定义域为， 则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以B不正确； C中，函数和    ， 则两函数的定义域相同且对应关系也相同，所以两个函数不是同一函数，所以C正确； D中，函数的定义域为，函数的定义域为，则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以D不正确. 故选：C. 题型五 常见函数的值域 例5．函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出二次函数图象，截取的图象，观察函数值的取值范围. 【详解】   函数对称轴为，作出函数的图象，观察图象可知 ，， 所以函数的值域为 故选：B. 跟踪训练5 1．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得答案. 【详解】， ，， 从而可知函数的值域为. 故选：D. 2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数后，利用二次函数的性质求解最值，即可结合不等式的性质求解. 【详解】由可得， 由于函数，所以， 故， 故选：B 3．下表表示y是x的函数，则函数的值域是（　　） x y 2 3 4 5 A．[2，5] B．{2，3，4，5} C．(0，20] D．N＋ 【答案】B 【分析】由题意结合所给函数的列表确定函数的值域即可. 【详解】由题中列表表示的函数可知函数的值域为. 故选：B. 题型六 复杂函数的值域 例6．求函数的值域. 【答案】 【分析】令，，转化为求的值域即可. 【详解】令，， 则. ∵， ∴， ∵，∴， ∴函数的值域是. 跟踪训练6 1．函数，的值域为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得，再代入运算即可. 【详解】由，得， 所以． 故选：C. 2．已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 3．时，的值域为 . 【答案】 【分析】利用换元法，令，结合二次函数的性质分析求解. 【详解】因为，令，则， 则，， 可知开口向上，对称轴为，且， 所以在内的值域为， 即在内的值域为. 故答案为：. 3质量检测评价 一、单选题 1．如图图形，其中能表示函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数的定义即可得解. 【详解】由函数的定义可知，对定义域内的任何一个变量有唯一的一个变量与对应， 由图可知，ACD三个选项不符合函数的定义，B选项符合函数的定义. 故选：B. 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数定义域求法求解. 【详解】要使函数有意义，则有，解得且， 所以定义域为， 故选:B. 3．已知函数的对应关系如下表，函数的图象为如图所示的曲线，其中，，，则（    ）． 1 2 3 2 3 0      A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】根据图可知，继而根据表格可知. 【详解】由图可知，， 由表格可知， 故选：B. 4．下列各组中的两个函数为同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按函数相等的定义逐项判断即可. 【详解】A项：的定义域不包括，两个函数的定义域不同，所以是不同函数； B项：，即对应关系不同； C项：定义域都是实数集，对应关系都相同，是同一函数； D项：的定义域不包括，两个函数的定义域不同，所以是不同函数. 故选: C. 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D．（1，2） 【答案】C 【分析】根据抽象函数的定义域即可求解. 【详解】由于函数的定义域为，令，解得， 故函数的定义域为， 故选：C 6．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法以及直线斜率的几何意义、直线与圆的位置关系进行求解. 【详解】依题意且，所以函数的定义域为. 设，，则，，其几何含义表示点与的斜率，为圆弧上一动点， 如图，当为圆弧为右端点时，斜率最小，最小值为， 当与圆弧相切时，直线的斜率存在且最大，设，即， 则圆心到直线的距离，即，如图，显然，所以. 所以函数的值域为. 故选：C.    二、多选题 7．下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】AD选项利用求值域即可； B选项：利用反比例型函数的性质求值域； C选项：利用换元法和二次函数的性质求值域. 【详解】A选项：，则，，故A正确； B选项：，因为，所以，故B错； C选项：令，则，，因为，所以，即，故C正确； D选项：因为，所以，故D错. 故选：AC. 8．已知函数的定义域和值域均为，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 【答案】ABC 【分析】根据抽象函数的定义域列不等式求解判断AB；求出抽象函数的值域判断CD. 【详解】函数中的x需满足，解得， 故函数的定义域为，故A正确； 函数中的x需满足解得， 故函数的定义域为，故B正确； 函数和的值域都为，故C正确，D错误． 故选：ABC． 9．有以下判断，其中是正确判断的有（    ） A．与表示同一函数 B．函数的图象与直线的交点最多有1个 C．函数的最小值为2 D．若，则 【答案】BD 【分析】A选项，两函数定义域不同，不是同一函数；B选项，根据函数定义进行判断；C选项，利用基本不等式进行求解；D选项，先计算出，从而得到. 【详解】A选项，的定义域为， 而定义域为R，故两者不是同一函数，A错误； B选项，根据函数定义，可知的图象与直线可以无交点，也可以有1个交点， 故函数的图象与直线的交点最多有1个，B正确； C选项，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立，但无解，故等号取不到， 的最小值不为2，C错误； D选项，，则， 故，D正确. 故选：BD 三、填空题 10．已知函数，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合函数，即可求解. 【详解】由函数，可得当自变量，其函数值均为，所以. 故答案为：. 11．函数的值域为 【答案】 【分析】利用二次函数的单调性求出答案即可. 【详解】因为二次函数的对称轴为， 所以当时 因为当时，时，即， 所以值域为 故答案为： 12．已知的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【分析】由已知的定义域求出函数的定义域，从而求出函数的定义域． 【详解】解：因为的定义域是， 所以，所以． 函数应满足，解得． 函数的定义域为． 故答案为：． 四、解答题 13．（1）已知的定义域为，求的定义域； （2）若函数的定义域为，求的定义域． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由的定义域，要求的定义域，解不等式组即可； （2）由的定义域为，可得，则要求的定义域，解不等式组即可. 【详解】（1）∵的定义域为，∴要求的定义域， 即解不等式组，解得或， 故的定义域为． （2）∵的定义域为，∴， 则，即的定义域为， ∴要求的定义域，即解不等式组， 解得，故的定义域为． 14．已知函数. (1)求的定义域； (2)若，求的值； (3)求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据函数有意义求解即可； （2）将代入函数求解即可； （3）将代入函数表达式，化简验证即可求证. 【详解】（1）要使函数有意义，只需，解得， 所以函数的定义域为． （2）因为， 所以，解得. （3）因为， 所以， 而， 所以. 15．求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用换元法将函数表示成，需要注意确定参数的取值范围，再利用基本不等式求解范围； （2）利用换元法及配方法将函数表示成，利用二次函数的性质求值域即可． 【详解】（1）解：设，则， 因为，所以， 所以． 因为，所以， 故函数的值域为． （2）解：设，则，， 所以， 显然的最大值是4， 所以函数的值域为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$