数学（广东广州专用，人教版）-2024年新九年级开学摸底考试卷

新九年级开学摸底考试卷（广东广州用，人教版） 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试范围：八下全册和九上第1章 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．在中，所对的边分别为由下列条件不能判断它是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 5．杭州亚运会吉祥物“莲莲”寓意纯洁善良、活泼可爱、热情好客、美丽动人，某亚运会专卖店某周销售吉祥物“莲莲”的个数统计如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 个数 40 45 50 48 45 46 47 这一周该店销售“莲莲”的个数的中位数和众数分别是（    ） A．45，46 B．46，45 C．47，45 D．46.5，45 6．一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 7．在中，点是边上的点（与，两点不重合），过点作，，分别交，于，两点，下列说法正确的是（   ） A．若，则四边形是矩形 B．若垂直平分，则四边形是矩形 C．若，则四边形是菱形 D．若平分，则四边形是菱形 8．小亮在放学回家的路上，看到同学小明在前方，便加快速度追赶小明，在距离学校40米处追上了小明，如图反映了这一过程，其中（单位：米）表示与学校的距离，（单位：秒）表示时间．根据相关信息，以下说法错误的是（    ） A．开始时小明与小亮之间的距离是20米 B．15秒时小亮追上了小明 C．小亮走了40米追上小明 D．小亮追上小明时，小明走了40米 9．函数的图象如图所示，下列说法正确的是（     ）    A．当时， B． C．若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则 D．若点和点在直线上，则 10．如图，在矩形中，，，E，F是对角线上的两个点，且，M，N分别是边，边上的动点．下列四种说法： ①存在无数个平行四边形： ②存在无数个正方形； ③当时，存在唯一的矩形； ④当时，存在唯一的矩形．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11．若二次根式有意义，则x的取值范围为 ． 12．关于x的一元二次方程的一个根是0，则k的值是 ． 13．若点，都在一次函数的图象上，则 （填“”或“”）． 14．若实数 满足 ，且 ，则 的值为 ． 15．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度为 尺 16．如图，菱形的边长为4，，点，在对角线上，且点在点左侧，，连接，，若是等腰三角形，则的长为 ．    三、解答题（本大题共9小题，第17,18题各4分，第19题6分，第20，21题各8分，第22,23题各9分，第24,25题各12分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（1）计算：    （2）解方程：． 18．如图，已知一次函数的图象经过，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)若为轴上一点，且的面积为6，求点的坐． 19．如图，在矩形中，P，M分别是，的中点．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，找出的中点E； (2)在图2中，以为边作一个菱形． 20．如图，在中，． (1)直接写出的形状是_________； (2)若点P为线段上一点，连接，且，求的长． 21．定义：若两个二次根式，满足，且为有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)与是关于______的共轭二次根式； (2)若与是关于2的共轭二次根式，则______； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 22．为巩固脱贫攻坚成果，实行乡村振兴，某村村民利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件50元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价x（元／件） 55 60 70 销售数量y（件） 75 70 60 (1)求y与x之间的函数关系式 (2)销售期间，网络平台要求该商品每件商品售价不得高于100元，要使该商品每天的销售利润为700元，求此时商品售价； 23．为了解A，B两款扫地机器人在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A，B两款扫地机器人各10台，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为四组；不合格，合格，良好，优秀），下面给出了部分信息： 10台A款扫地机器人一次充满电运行最长时间分别是：112，90，96，101，99，98，101，105，101，97． 10台B款扫地机器人一次充满电运行最长时间良好的数据分别是：101，102，104，100，103，102． 两款扫地机器人运行最长时间统计表及B款扫地机器人运行最长时间扇形统计图 类别 平均数 中位数 众数 方差 A 100 100 a 30.2 B 100 b 102 32.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)求上述图表中a，b，m的值； (2)商场某月销售A，B两款机器人各100台，请你估计两款机器人运行时间属于优秀的共有多少台？ (3)根据题中的信息，你认为哪款扫地机器人性能更好？说明理由（写出一条理由即可）． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线，为常数且与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)点在直线上，使的面积为3，求出点的坐标； (3)若点在线段上，点在直线上，点在轴上，当四边形是正方形时，求点的坐标． 25．【问题情景】 如图1，在菱形中，，点为菱形外部一点，连接交对角线于点，且满足． 【初步探究】 （1）求证：； 【解决问题】 （2）如图2，连接，当，时， ①求线段的长； ②求的度数； 【类比探究】 （3）如图3，在菱形中，当时，交于点，连接，，并延长交于点．若，请直接写出线段的长____________． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新九年级开学摸底考试卷（广东广州专用，人教版） 数学·答案及评分标准 1、 选择题 1．D 2．D 3．D 4．D 5．B 6．A 7．D 8．D 9．A 10．B 二、填空题 11． 12．1 13． 14． 15．14.5 16．或或 三、解答题 17．（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，解一元二次方程： （1）先化简二次根式，再计算二次根式加减法即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴，，， ∴． ∴， ，． 18．(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组，的值．也考查了一次函数图象上点的坐标特征． （1）利用待定系数法求一次函数解析式； （2）设点坐标为，根据三角形面积公式得到，然后解方程求出，从而得到点坐标． 【详解】（1）设一次函数的解析式为， 把点，分别代入得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）设点坐标为， 的面积为6， ， 即 解得或， 或． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了基本作图，矩形、菱形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，熟悉以上知识点是解题的关键． （1）连接，交于点O，连接并延长交于点，点即为所求； （2）分别取、的中点、，连接、、，四边形即为所求． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点O，连接并延长交于点，即为所作． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∴， 故点是的中点； （2）解：如图，分别取、的中点、，连接、、，四边形即为所作． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵P，M分别是，的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 20．(1)直角三角形 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理： （1）根据勾股定理的逆定理，即可求解； （2）设，则，在中，根据勾股定理可得关于x的方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是直角三角形； 故答案为：直角三角形. （2）解：由（1）得：， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 21．(1)1； (2)； (3)． 【分析】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算． （1）根据共轭二次根式的定义，即可得解； （2）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可； （3）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可； 【详解】（1）解：， ∴ 与是关于1的共轭二次根式， 故答案为：1； （2）解：∵与是关于2的共轭二次根式， ∴ ∴， 故答案为：； （3）解：∵与是关于12的共轭二次根式， ∴ ∴， ∴． 22．(1) (2)售价为60元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解∶ 设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为， 将点、代入一次函数关系式得：， 解得， ∴， （2）解：根据题意，得， 解得， ∵售价不得高于100元， ∴， ∴售价为60元； 23．(1)，， (2)估计两款机器人运行时间属于优秀的共有2台； (3)见解析 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求出a和b，再用良好的人数除以总人数，求出良好所占的百分比，从而得出m的值： （2）利用样本估计总体即可； （3）从平均数和方差两个方面进行分析，即可得出答案（答案不唯一）． 【详解】（1）解：∵在10台A款扫地机器人一次充满电运行最长时间中，101出现了3次，出现的次数最多， ∴众数是101，即 良好所占的百分比是：，， 即， 不合格的人数有人 合格的人数有人 把良好的这些数从小到大排列为：100,101,102,102,103,104 则中位数是，即； （2）解：台 答：估计两款机器人运行时间属于优秀的共有2台； （3）答：A款扫地机器人运行性能更好，理由如下：虽然两款扫地机器人运行最长时间的平均数相同，但A款的方差小于B款的方差，所以A款扫地机器人运行性能更好（答案不唯一） 【点睛】本题考查扇形统计图、中位数、众数、方差以及用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 24．(1)； (2)点的坐标为或； (3)点的坐标为 【分析】本题综合考查一次函数的应用． （1）把点的坐标代入直线可得的值，进而把点的坐标和点的坐标代入直线可得和的值，即可求得所求的函数解析式； （2）设点的横坐标为，则的面积可用为底边，点的横坐标的绝对值为高表示，求得的值后进而求得点的纵坐标； （3）易得点和点的横坐标相同，根据点在直线上，点在直线上可得点和点的纵坐标，进而根据列出方程，求解后即可判断出点的横坐标，进而可得点的纵坐标． 【详解】（1）解：点在直线上， ． 即． 将点，代入中， 得：． 解得：． 直线的函数解析式为：； （2）解：设点的横坐标为，则点的纵坐标为． 点的坐标为， ． 则， 解得：或． 当时，； 当时，． 点的坐标为或； （3）解：如图，连接交于点， 四边形是正方形， ，，． 点在直线上， 设． 点在直线上， 设点的坐标为：． ，． ， ， 点的坐标为． 25．（1）见解析；（2）①，②；（3） 【分析】（1）方法一：连接，根据菱形的性质，证明，得到，，结合，，得到，证明，进而证明，利用等角对等边得到，由此得证；方法二：过点作交于点，连接，，证明四边形是平行四边形，结合四边形菱形，可证四边形为平行四边形，由此得证； （2）① 连接交于点，可得，根据勾股定理求得、，由此可得的长； ② 方法一：过点作于点，证明四边形为矩形，从而得到，即可得解；方法二：过点作交延长线于点，证明四边形为矩形，即可得解； （3）过点作，连接，连接交于点，由已知可证四边形是正方形，设，则，，利用勾股定理，可求得，进而求得，从而证明四边形为平行四边形，为中点，证明，，进而证得，设，在和中，利用勾股定理，求得，由此得解． 【详解】（1）方法一：证明：连接，如图， 四边形菱形， ，． ， ． ，． ， 又， ． ． ． ． ． ． 方法二：证明：过点作交于点，连接，． ， 又， ． ． ，， 四边形是平行四边形， ， 又 四边形菱形， ，， ，． 四边形为平行四边形． ． （2）解：①连接交于点， 四边形菱形， ，，． 由（1）得，， 为的中位线． 在中，． 在中，． ． ②方法一：过点作于点， ． 由（1）得，， ． ． 四边形为矩形． ，，． ． ． ． ． 方法二：过点作交延长线于点，如图所示， ， ， 由（1）得，， ， ， 四边形为矩形． ，，， ， ，又， ， ． （3）解：过点作，连接，连接交于点，如图， 四边形是菱形，， 四边形是正方形， ，，， 设，则，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 根据第（1）问，，又， 为中位线， ， ， ，又， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， 设， 在中，， 在中，， ， 解得， ， ． 数学 答案及评分标准 第1页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 新九年级开学摸底考试卷（广东广州专用，人教版） 数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] ) ( 第 Ⅱ 卷 （请在各试题的答题区内作答） ) ( 1 1． __________________ 1 2． ________________ 1 3． __________________ 1 4 ． __________________ 1 5 ． ________________ 1 6 ． __________________ 17. （ 4 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 4 分） 19 ．（ 6 分） 20. （ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 1 ．（ 8 分） 2 2 ．（ 9 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 ．（ 9 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 4 ．（12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 5 ．（12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页 第 2页 第 3页 学科网（北京）股份有限公司 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 新九年级开学摸底考试卷（广东广州专用，人教版） 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B铅笔填涂） 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 第Ⅱ卷（请在各试题的答题区内作答） 11．__________________ 12．________________ 13．__________________ 14．__________________ 15．________________ 16．__________________ 17.（4分） 18．（4分） 19．（6分） 20.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8分） 22．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第 4页 第 5页 第 6页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 新九年级开学摸底考试卷（广东广州用，人教版） 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试范围：八下全册和九上第1章 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的知识，最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A．中含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意． B．中含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意； C．中含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意； D．是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 2．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解．一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程，据此判断即可． 【详解】解：A．未知数项的最高次数是，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．方程未知数有4个，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．，分母含有未知数，不是整式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算法则，掌握二次根式加减乘除的运算法则是本题的关键．利用二次根式的运算法则，对每个选项进行计算即可找出正确答案． 【详解】解：A、，选项运算错误，不符合题意； B、，选项运算错误，不符合题意； C、，选项运算错误，不符合题意； D、，运算正确，符合题意； 故选：D． 4．在中，所对的边分别为由下列条件不能判断它是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能灵活运用定理进行计算和推理是解此题的关键．根据勾股定理的逆定理即可判断A、B、D；根据三角形的内角和定理即可判断C． 【详解】解：A、， ， 即是直角三角形， 故本选项不符合题意； B、， ， ， 即是直角三角形， 故本选项不符合题意； C、，， ， ， 即是直角三角形， 故本选项不符合题意； D、，，， ， 不是直角三角形， 故本选项符合题意； 故选：D 5．杭州亚运会吉祥物“莲莲”寓意纯洁善良、活泼可爱、热情好客、美丽动人，某亚运会专卖店某周销售吉祥物“莲莲”的个数统计如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 个数 40 45 50 48 45 46 47 这一周该店销售“莲莲”的个数的中位数和众数分别是（    ） A．45，46 B．46，45 C．47，45 D．46.5，45 【答案】B 【分析】本题主要考查众数与中位数的计算，掌握众数与中位数的定义并应用是解题的关键． 根据中位数、众数的定义即可求得． 【详解】观察数据可知，45出现二次，次数最多，故众数为45；将数据从小到大排列为：40，45，45，46，47，48，50，则中位数为46． 故选：B． 6．一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 7．在中，点是边上的点（与，两点不重合），过点作，，分别交，于，两点，下列说法正确的是（   ） A．若，则四边形是矩形 B．若垂直平分，则四边形是矩形 C．若，则四边形是菱形 D．若平分，则四边形是菱形 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键．由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论． 【详解】解：若，则四边形是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误； 若垂直平分，则四边形是菱形，不一定是矩形；选项B错误； 若，则四边形是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误； 若平分，则四边形是菱形；选项D正确； 故选：D． 8．小亮在放学回家的路上，看到同学小明在前方，便加快速度追赶小明，在距离学校40米处追上了小明，如图反映了这一过程，其中（单位：米）表示与学校的距离，（单位：秒）表示时间．根据相关信息，以下说法错误的是（    ） A．开始时小明与小亮之间的距离是20米 B．15秒时小亮追上了小明 C．小亮走了40米追上小明 D．小亮追上小明时，小明走了40米 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，观察横坐标、纵坐标是解题关键． 【详解】解：A、由纵坐标看出，一开始时小明与小亮之间的距离是米，故A不合题意； B、由横坐标看出，15秒时小亮追上了小明，故B不合题意； C、由纵坐标看出，小亮走了米追上小明，故C不合题意； D、由纵坐标看出，小亮追上小明时，小明走了米，故D符合题意． 故选D． 9．函数的图象如图所示，下列说法正确的是（     ）    A．当时， B． C．若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则 D．若点和点在直线上，则 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由图象可知：当时，，正确； B、由图象可知，，原选项错误； C、若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则，，原选项错误； D、由图象可知，随的增大而增大， ∵， ∴，原选项错误； 故选A． 10．如图，在矩形中，，，E，F是对角线上的两个点，且，M，N分别是边，边上的动点．下列四种说法： ①存在无数个平行四边形： ②存在无数个正方形； ③当时，存在唯一的矩形； ④当时，存在唯一的矩形．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，正方形的判定，平行四边形的判定，连接，且令，相交于点O，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得只要满足，那么四边形就是平行四边形，据此可判断①；只要，则四边形是正方形，据此可判断②；根据只要，则四边形是矩形，且，即可判断③④． 【详解】解：连接，且令，相交于点O， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴只要满足，那么四边形就是平行四边形， ∵点E，F是上的动点， ∴存在无数个平行四边形，故①正确； 只要，则四边形是正方形， 而符合要求的正方形只有一个，故②错误； 只要，则四边形是矩形， ∵， ∴当时，不存在矩形，故③错误； 当时，此时，即此时，故存在唯一的矩形，故④正确， 故选：B． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11．若二次根式有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， 故答案为：． 12．关于x的一元二次方程的一个根是0，则k的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的解一元二次方程的定义，将代入方程，结合一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：1． 13．若点，都在一次函数的图象上，则 （填“”或“”）． 【答案】 【分析】根据解析式中，可得y随x的增大而增大，即可求解． 本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是牢记当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 【详解】解：∵在中，， ∴y随x的增大而增大， ∵点，都在一次函数的图象上，， ∴， 故答案为：． 14．若实数 满足 ，且 ，则 的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是熟悉一元二次方程根与系数的关系式．根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，而， ∴是的两根， ∴，， ∴； 故答案为： 15．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度为 尺 【答案】14.5 【分析】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．设秋千绳索长为尺，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】设秋千绳索长为尺， 则尺， 在中，，即， 解得：， 故答案为：． 16．如图，菱形的边长为4，，点，在对角线上，且点在点左侧，，连接，，若是等腰三角形，则的长为 ．    【答案】或或 【分析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的特征、等腰三角形的性质，勾股定理等知识，过点C作，垂足为H，根据是等腰三角形，分三种情况讨论即可． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为H，    则， 菱形的边长为4，， ， ， 是等腰三角形，， ， 如图，当时， ， 点F与点H重合， ； 如图，当时，   ， 点E与点H重合， ； 如图，当时，   ， ， ； 综上，的长为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共9小题，第17,18题各4分，第19题6分，第20，21题各8分，第22,23题各9分，第24,25题各12分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（1）计算：    （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，解一元二次方程： （1）先化简二次根式，再计算二次根式加减法即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴，，， ∴． ∴， ，． 18．如图，已知一次函数的图象经过，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)若为轴上一点，且的面积为6，求点的坐． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组，的值．也考查了一次函数图象上点的坐标特征． （1）利用待定系数法求一次函数解析式； （2）设点坐标为，根据三角形面积公式得到，然后解方程求出，从而得到点坐标． 【详解】（1）设一次函数的解析式为， 把点，分别代入得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）设点坐标为， 的面积为6， ， 即 解得或， 或． 19．如图，在矩形中，P，M分别是，的中点．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，找出的中点E； (2)在图2中，以为边作一个菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了基本作图，矩形、菱形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，熟悉以上知识点是解题的关键． （1）连接，交于点O，连接并延长交于点，点即为所求； （2）分别取、的中点、，连接、、，四边形即为所求． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点O，连接并延长交于点，即为所作． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∴， 故点是的中点； （2）解：如图，分别取、的中点、，连接、、，四边形即为所作． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵P，M分别是，的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 20．如图，在中，． (1)直接写出的形状是_________； (2)若点P为线段上一点，连接，且，求的长． 【答案】(1)直角三角形 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理： （1）根据勾股定理的逆定理，即可求解； （2）设，则，在中，根据勾股定理可得关于x的方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是直角三角形； 故答案为：直角三角形. （2）解：由（1）得：， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 21．定义：若两个二次根式，满足，且为有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)与是关于______的共轭二次根式； (2)若与是关于2的共轭二次根式，则______； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 【答案】(1)1； (2)； (3)． 【分析】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算． （1）根据共轭二次根式的定义，即可得解； （2）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可； （3）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可； 【详解】（1）解：， ∴ 与是关于1的共轭二次根式， 故答案为：1； （2）解：∵与是关于2的共轭二次根式， ∴ ∴， 故答案为：； （3）解：∵与是关于12的共轭二次根式， ∴ ∴， ∴． 22．为巩固脱贫攻坚成果，实行乡村振兴，某村村民利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件50元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价x（元／件） 55 60 70 销售数量y（件） 75 70 60 (1)求y与x之间的函数关系式 (2)销售期间，网络平台要求该商品每件商品售价不得高于100元，要使该商品每天的销售利润为700元，求此时商品售价； 【答案】(1) (2)售价为60元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解∶ 设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为， 将点、代入一次函数关系式得：， 解得， ∴， （2）解：根据题意，得， 解得， ∵售价不得高于100元， ∴， ∴售价为60元； 23．为了解A，B两款扫地机器人在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A，B两款扫地机器人各10台，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为四组；不合格，合格，良好，优秀），下面给出了部分信息： 10台A款扫地机器人一次充满电运行最长时间分别是：112，90，96，101，99，98，101，105，101，97． 10台B款扫地机器人一次充满电运行最长时间良好的数据分别是：101，102，104，100，103，102． 两款扫地机器人运行最长时间统计表及B款扫地机器人运行最长时间扇形统计图 类别 平均数 中位数 众数 方差 A 100 100 a 30.2 B 100 b 102 32.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)求上述图表中a，b，m的值； (2)商场某月销售A，B两款机器人各100台，请你估计两款机器人运行时间属于优秀的共有多少台？ (3)根据题中的信息，你认为哪款扫地机器人性能更好？说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】(1)，， (2)估计两款机器人运行时间属于优秀的共有2台； (3)见解析 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求出a和b，再用良好的人数除以总人数，求出良好所占的百分比，从而得出m的值： （2）利用样本估计总体即可； （3）从平均数和方差两个方面进行分析，即可得出答案（答案不唯一）． 【详解】（1）解：∵在10台A款扫地机器人一次充满电运行最长时间中，101出现了3次，出现的次数最多， ∴众数是101，即 良好所占的百分比是：，， 即， 不合格的人数有人 合格的人数有人 把良好的这些数从小到大排列为：100,101,102,102,103,104 则中位数是，即； （2）解：台 答：估计两款机器人运行时间属于优秀的共有2台； （3）答：A款扫地机器人运行性能更好，理由如下：虽然两款扫地机器人运行最长时间的平均数相同，但A款的方差小于B款的方差，所以A款扫地机器人运行性能更好（答案不唯一） 【点睛】本题考查扇形统计图、中位数、众数、方差以及用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线，为常数且与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)点在直线上，使的面积为3，求出点的坐标； (3)若点在线段上，点在直线上，点在轴上，当四边形是正方形时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或； (3)点的坐标为 【分析】本题综合考查一次函数的应用． （1）把点的坐标代入直线可得的值，进而把点的坐标和点的坐标代入直线可得和的值，即可求得所求的函数解析式； （2）设点的横坐标为，则的面积可用为底边，点的横坐标的绝对值为高表示，求得的值后进而求得点的纵坐标； （3）易得点和点的横坐标相同，根据点在直线上，点在直线上可得点和点的纵坐标，进而根据列出方程，求解后即可判断出点的横坐标，进而可得点的纵坐标． 【详解】（1）解：点在直线上， ． 即． 将点，代入中， 得：． 解得：． 直线的函数解析式为：； （2）解：设点的横坐标为，则点的纵坐标为． 点的坐标为， ． 则， 解得：或． 当时，； 当时，． 点的坐标为或； （3）解：如图，连接交于点， 四边形是正方形， ，，． 点在直线上， 设． 点在直线上， 设点的坐标为：． ，． ， ， 点的坐标为． 25．【问题情景】 如图1，在菱形中，，点为菱形外部一点，连接交对角线于点，且满足． 【初步探究】 （1）求证：； 【解决问题】 （2）如图2，连接，当，时， ①求线段的长； ②求的度数； 【类比探究】 （3）如图3，在菱形中，当时，交于点，连接，，并延长交于点．若，请直接写出线段的长____________． 【答案】（1）见解析；（2）①，②；（3） 【分析】（1）方法一：连接，根据菱形的性质，证明，得到，，结合，，得到，证明，进而证明，利用等角对等边得到，由此得证；方法二：过点作交于点，连接，，证明四边形是平行四边形，结合四边形菱形，可证四边形为平行四边形，由此得证； （2）① 连接交于点，可得，根据勾股定理求得、，由此可得的长； ② 方法一：过点作于点，证明四边形为矩形，从而得到，即可得解；方法二：过点作交延长线于点，证明四边形为矩形，即可得解； （3）过点作，连接，连接交于点，由已知可证四边形是正方形，设，则，，利用勾股定理，可求得，进而求得，从而证明四边形为平行四边形，为中点，证明，，进而证得，设，在和中，利用勾股定理，求得，由此得解． 【详解】（1）方法一：证明：连接，如图， 四边形菱形， ，． ， ． ，． ， 又， ． ． ． ． ． ． 方法二：证明：过点作交于点，连接，． ， 又， ． ． ，， 四边形是平行四边形， ， 又 四边形菱形， ，， ，． 四边形为平行四边形． ． （2）解：①连接交于点， 四边形菱形， ，，． 由（1）得，， 为的中位线． 在中，． 在中，． ． ②方法一：过点作于点， ． 由（1）得，， ． ． 四边形为矩形． ，，． ． ． ． ． 方法二：过点作交延长线于点，如图所示， ， ， 由（1）得，， ， ， 四边形为矩形． ，，， ， ，又， ， ． （3）解：过点作，连接，连接交于点，如图， 四边形是菱形，， 四边形是正方形， ，，， 设，则，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 根据第（1）问，，又， 为中位线， ， ， ，又， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， 设， 在中，， 在中，， ， 解得， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 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