精品解析：江西省九江市六校2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题

【新结构】2023-2024学年江西省九江市六校高一下学期期末联考数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法正确的是（ ） A. 通过圆台侧面一点，有无数条母线 B. 棱柱的底面一定是平行四边形 C. 圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形 D. 用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台 2. sin 600°＋tan 240°的值等于（ ） A. － B. C. －＋ D. ＋ 3. 设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则 A. B. C. D. 4. 已知，，则（　　） A. 1 B. C. 2 D. 或2 5. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则 （ ） A. α∥β且∥α B. α⊥β且⊥β C. α与β相交，且交线垂直于 D. α与β相交，且交线平行于 6. 已知函数图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有点（ ） A. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C. 先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D. 先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 7. 已知，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上的最大值为，则实数的取值个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知集合，其中为虚数单位，则下列属于集合的元素是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，满足：对任意，恒有，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在棱长均相等的正四棱锥中，为底面正方形的中心，分别为侧棱的中点，下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. D. 直线与直线所成角的大小为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数的值为____________. 13. 如图，一个水平放置的正方形，它在直角坐标系中，点的坐标为，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点到轴的距离为______． 14. 已知函数的图象过点和且当时，恒成立，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，（其中为虚数单位）． （Ⅰ）求复数； （Ⅱ）若复数在复平面内所对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 16. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°． （1）证明：平面PAB⊥平面PAC； （2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积. 17. 平面内有向量，，，点为直线上的一个动点． （1）当取最小值时，求的坐标； （2）当点满足（1）的条件和结论时，求的值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点为单位圆与轴正半轴的交点，点为单位圆上的一点，且，点沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点. （1）当时，求的值； （2）设，求的取值范围. 19. 已知三棱锥的棱两两互相垂直，且. （1）若点分别在线段上，且，求二面角的余弦值； （2）若以顶点为球心，8为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交，试求交线长是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【新结构】2023-2024学年江西省九江市六校高一下学期期末联考数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法正确的是（ ） A. 通过圆台侧面一点，有无数条母线 B. 棱柱的底面一定是平行四边形 C. 圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形 D. 用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台 【答案】C 【解析】 【分析】 根据圆柱、圆锥、圆台以及棱柱的结构特征判断. 【详解】因为通过圆台侧面一点只有一条母线，所以A不正确； 因为棱柱的底面不一定是平行四边形，可以是任意多边形，所以B不正确； 因为由棱台的定义，要求上､下底面平行，所以D不正确； 因为圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形，三角形的两腰是其母线，所以C正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查几何体的结构特征，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 2. sin 600°＋tan 240°的值等于（ ） A. － B. C. －＋ D. ＋ 【答案】B 【解析】 【分析】分别利用诱导公式求得sin 600°和tan 240°的值，从而求得结果. 【详解】sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－， tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝， 则 sin 600°＋tan 240°＝. 故选：B. 【点睛】本题主要考查诱导公式，意在考查学生的数学运算的学科素养，属基础题. 3. 设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C． 【详解】则．故选C． 【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题． 4. 已知，，则（　　） A. 1 B. C. 2 D. 或2 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的运算律即可求解模长. 【详解】因为，所以， 故选：C. 5. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则 （ ） A. α∥β且∥α B. α⊥β且⊥β C. α与β相交，且交线垂直于 D. α与β相交，且交线平行于 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D． 考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论． 6. 已知函数图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有点（ ） A. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C. 先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D. 先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数平移伸缩变化求解即可. 【详解】先将函数图象上每点横坐标缩短到原来的， 纵坐标不变，得到的图象，再将得到的图象向右平移个单位长度， 得到函数的图象. 故选:C. 7. 已知，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求出向量在向量上的投影，再乘以向量方向的单位向量． 【详解】，，，，则向量在向量上的投影向量为， 故选：B 【点睛】本题考查向量的投影，共线向量，掌握向量投影的定义是解题关键． 8. 已知函数在区间上的最大值为，则实数的取值个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出，分和两种情况讨论，时转化为图像交点问题. 【详解】，则，显然，， ①若即时，在单调增，， 作函数的图象， 当时，与有两个交点，所以此时有两个满足要求； ②若即时，满足要求， 综上知满足条件的共有3个. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知集合，其中为虚数单位，则下列属于集合的元素是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先求得集合，然后结合复数运算对选项逐一计算，由此确定正确选项. 【详解】依题意， ，A错误， ，B正确， ，C正确， ，D错误. 故选：BC. 10. 已知，满足：对任意，恒有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量线性运算的几何意义分析可得，即为定点A到x轴上的动点的距离，进而分析可得，结合数量积运算求解. 【详解】不妨设， 则，即为定点A到x轴上的动点的距离， 显然当轴时，取到最小值， 若对任意，恒有， 则，可得，故B正确，D错误； ∵， 可得，故A错误，C正确； 故选：BC. 11. 如图，在棱长均相等的正四棱锥中，为底面正方形的中心，分别为侧棱的中点，下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. D. 直线与直线所成角的大小为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项:连接,为中点，为中点，可证∥根据线面平行的判定可以证明∥平面； B选项:；连接,同理证明∥平面,结合A选项可证明平面平面； C选项:由于正四棱锥的棱长均相等，且四边形为正方形，根据勾股定理可证,结合∥可证; D选项:先利用平移思想，根据平行关系找到异面直线与直线所成角的平面角，结合为正三角形，即可求出直线与直线所成角. 【详解】连接如图示： 为底面正方形的中心, 为中点，又为中点，∥又平面,平面，∥平面，故A选项正确； 连接，同理可证∥,又平面,平面，∥平面,又,∥平面平面,平面, 平面平面,故B选项正确； 由于正四棱锥的棱长均相等，且四边形为正方形，,又∥， ,故C选项正确; 分别为侧棱的中点，∥四边形为正方形, ∥,直线与直线所成的角即为直线与直线所成角 即为直线与直线所成角，又为正三角形，, 直线与直线所成角为.故D选项不正确. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数的值为____________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由复数的运算可知，是纯虚数，则其实部必为零，即，所以. 考点：复数的运算. 13. 如图，一个水平放置的正方形，它在直角坐标系中，点的坐标为，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点到轴的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】作出正方形的直观图，再结合斜二测画法的规则计算可得. 【详解】作出正方形的直观图如图所示： 因为，， 所以顶点到轴的距离为． 故答案为： 14. 已知函数的图象过点和且当时，恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的性质得到参数间的关系，进行消参，然后分类讨论参数范围，求解即可. 【详解】由知， ， 此时， 当时，， 只需，得，又； 当时， 成立，适合； 当时，，要使， 只需， 综上知， 故，则实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，（其中为虚数单位）． （Ⅰ）求复数； （Ⅱ）若复数在复平面内所对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用复数除法法则计算；（Ⅱ）首先化简复数，再根据复数在复平面内所对应的象限，列式求实数的取值范围． 【详解】（Ⅰ）； （Ⅱ）， 因为复数在复平面内所对应的点在第四象限， 所以，解得：. 16. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°． （1）证明：平面PAB⊥平面PAC； （2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积. 【答案】 （1）连接，为圆锥顶点，为底面圆心，平面， 在上，， 是圆内接正三角形，，≌， ，即， 平面平面，平面平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知可得，进而有≌，可得，即，从而证得平面，即可证得结论； （2）将已知条件转化为母线和底面半径的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形边长，在等腰直角三角形中求出，在中，求出，即可求出结论. 【详解】（1）略 （2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为， ，解得，， 在等腰直角三角形中，， 在中，， 三棱锥的体积为. 【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题. 17. 平面内有向量，，，点为直线上的一个动点． （1）当取最小值时，求的坐标； （2）当点满足（1）的条件和结论时，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）设，利用向量与共线可得，用坐标表示，结合二次函数性质，求最小值，可得； （2）利用向量的夹角公式求解即可 【详解】（1）设，∵在直线上， ∴向量与共线． ∵， ∴，∴，∴． 又∵，， ∴． 故当时，有最小值，此时． （2）由（1）知，，， ∴，， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点为单位圆与轴正半轴的交点，点为单位圆上的一点，且，点沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点. （1）当时，求的值； （2）设，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数定义得到，故，利用诱导公式，辅助角公式化简得到答案； （2）化简得到，由，整体法求解值域. 【小问1详解】 由三角函数的定义可得，， 当时，，即， . 【小问2详解】 ， ， ， ，则， ， 则， 即的取值范围为. 19. 已知三棱锥的棱两两互相垂直，且. （1）若点分别在线段上，且，求二面角的余弦值； （2）若以顶点为球心，8为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交，试求交线长是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作出二面角的平面角，在直角三角形求解即可； （2）根据数形结合和弧长公式求解即可. 【小问1详解】 两两垂直，， 平面，平面， ， 过点作于，连接，则 又平面，，又平面，， 所以平面，又平面，所以， 即为的平面角， 在中，， 所以二面角的余弦值. 【小问2详解】 ，， 所以以为球心，8为半径的球与三棱锥交于四段弧， ①平面与球面相交所成的弧是以为圆心， 为半径的圆弧； ②平面与球面相交，得到的弧是以为圆心，8为半径的弧， ，，又为锐角， 所以，所对圆心角，所以； ③由对称性可知，平面与球面相交所得到弧长与②情况相同，长度也为； ④， 所以为等边三角形，， 点到的距离等于， 所以平面与球面相交得到弧长， 交线长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $