第5章 二次函数复习 导学案 2023-2024学年苏科版九年级数学下册

2024年秋九年级数学下册导学案(5-12) 主备人：张二平 班级 学生姓名： 课题：第5章二次函数复习 学习目标： 1、 了解二次函数关系式的三种表示方式。 2、 抛物线开口方向、顶点坐标、对称轴以及抛物线与对称的交点坐标。 3、 一元二次方程与抛物线的结合和应用；利用二次函数解决实际问题。 学习重点：掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图像与系数符号之间的关系；各类形式二次函数解析式的求解方法和思想。 学习难点：已知二次函数的解析式说出二次输出函数的性质；运用数形结合的思想，选用适当的 数学关系式解决问题。 1、 基础训练： 1、二次函数y＝（2x＋1）2－3的图像的顶点坐标为 （　　 ） A、（－1，3）　　B、（1，－3）　　　C、（－，－3）　　D、（，3） 2、若一次函数y＝ax＋b的图像经过第二、三、四像限，则二次函数y＝ax2＋bx的图像可能是（　　） 3、已知4a－2b＋c＝0，9a＋3b＋c＝0，则二次函数y＝ax2＋bx＋c图像的顶点可能在（　 ） 　A、第一或第四像限　 B、第三或第四像限 C、第一或第二像限　 D、第二或第三像限 4、若函数的图像与坐标轴有三个公共点，则b的取值范围是 （ ） 　A、b＜1且b≠0　 B、b＞1 C、0＜b＜1　 D、b＜1　 5、一个二次函数的图像如图所示，则它所有对应的函数表达式为 （ ） A、　 B、 C、 D、 6、已知二次函数的图像如图所示，对称轴为直线x=2，若x1，x2 是一元二次方程的两个根，且x1＜x2，--1＜x1＜0，则下列判断正确的是（ ） A、　 B、 C、 D、 7、二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表： x … －3 －2 0 1 3 5 … y … 7 0 －8 －9 －5 7 … 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像的对称轴为x＝ ，x＝2对应的函数值y＝ 。 8、 如图，已知抛物线与直线交于A（-1，p），B（3，q）两点，则关于x的 不等式的解集为 。 9、已知抛物线经过点A（2，2），B（4，2），顶点到x轴的距离为1，则该抛物线上的点C（0，c） 的纵坐标c的值是 。 10、如图，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，且∠BAC=90°，则经过ABC三点的抛物线的函数表达式为 。 2、 知识梳理： 1、形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数)的函数，当a 时是二次函数；当a ，b 时是一次函数． 2、二次函数抛物线y＝a（x＋h）2＋k的对称轴为 ，顶点坐标为 。 （1）当a＞0时，开口向 ；若x＞－h时，y随x的增大而 ， 　若x＜－h时，y随x的增大而 ，若x＝－h时，y有最 值是 。 （2） a＜0时，开口向 ，若x＞－h时，y随x的增大而 ， 　若x＜－h时，y随x的增大而 ，若x＝－h时，y有最 值是 。 3、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像是对称轴平行于y轴(或重合)的一条 ； 对称轴是直线x＝ ，顶点纵坐标是 ． 4、当a＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）开口向上，当x＝－时，函数的最小值为 ； 在对称轴左侧，y随x的增大 ，在对称轴右侧，y随x的增大而 ． 当a＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）开口向下，当x＝ 时，函数的最大值为 ； 在对称轴左侧，y随x的增大而 ，在对称轴右侧，y随x的增大而 。 5、用待定系数法求二次函数的解析式 一般式：（a≠0）；顶点式：（a≠0）； 交点式：（a≠0）。 已知图像的顶点坐标，对称轴和最值，通常选择顶点式．确定二次函数的表达式时， 应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达方式． 6、抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况决定： （1）当b2－4ac＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个 的实数根， 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点；（如图1） （2）当b2－4ac＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个 的实数根， 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有1个交点；（如图2） （3）当b2－4ac＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 实数根， 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有交点．（如图3） 7、利用二次函数求一元二次方程的近似解一般步骤： 构造适当的二次函数；作出二次函数的图像；找出交点，利用逼近法求近似解. 8、利用二次函数解决实际问题中的最值问题，步骤如下： ①建立两个自变量的函数关系式；②根据二次函数的性质求条件最值； 9、二次函数最值的求法：①配方法；②直接用顶点坐标公式求最值。 10、抛物线型的拱桥类问题解决方案为： （1）建立适当的直角坐标系，将抛物线形拱桥数学化； （2）根据直角坐标系中图像的特征探索抛物线的函数关系式； （3）根据图像上点的位置变化，确定点的坐标的数量变化。 三、问题研讨： 例1、选一选： （1）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到的 抛物线的对应的函数表达式为 （ ） A、　 B、 C、 D、 （2）已知抛物线经过点A（2，0），B（-1,0），与y轴交于点C，且OC=2， 则该抛物线的函数表达式为 （ ） A、　 B、 C、 D、 （3）已知抛物线与X轴有两个交点A（-1，0），B（3，0），抛物线 与X轴一个交点是（4，0），则m的值是（ ） A、5　 B、－1 C、5或1 D、-5或-1 （4）如图，某校的围墙上上端由若干个相同凹曲拱形栅栏组成， 其拱状图形为抛物线的一部分。栅栏的跨径AB之间按相同的 间距0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.36米， 则立柱EF的长为（ ） A、0.2m　 B、0.16m C、0.24m D、0.4m 例2、 如图，已知抛物线的顶点为M，该抛物线与y轴交于点N，且OM=ON=4， 矩形ABCD的顶点A、B在该抛物线上，顶点C、D在x轴上。 （1） 求该抛物线的函数表达式； （2） 设点A的横坐标为t（t＞4），矩形ABCD的周长为l， 求l与t之间的函数表达式。 例3、 如图。已知直线AB：与抛物线交于A、B两点。 （1） 直线AB总经过一个定点C，请直接写出点C的坐标； （2） 当时，在直线AB下方的抛物线上求一点P，使△ABP的面积等于5。 例4、 如图，已知点A（-4,8）和点B（2，t）在抛物线上 。 （1） 求的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找1一点Q，使得AQ+QB的值最小， 求出点Q的坐标。 （2） 平移抛物线，记平移后的点A的对称对应点为A´，点B的对应点为B´，C（-2,0） 和D（-4,0）是X轴上的两个定点。 ①当抛物线向左平移到某个位置时，A´C+CB´的值最小，求此时抛物线的函数表达式； ②当抛物线向左和向右平移时，是否存在某个位置是四边形A´B´CD的周长最小？若存在， 求出此时抛物线的函数表达式，若不存在，请说明理由。 例5、如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长是4。边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上。 把正方形OABC的内部及边上的横、纵坐标均为整数的点称为好点。P为抛物线的顶点， （1）当m=0时，求该抛物线下方(包括边界)的好点个数； （2）当m=3时，求该抛物线上好点的坐标； （3）当点P在正方形OABC的内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围。 例5、 一条隧道的截面由抛物线和矩形构成。矩形的长是8m，宽为2m，隧道的最高点P位于AB的中央 且距地面6m，建立如图所示的平面直角坐标系。； （1）求该抛物线的函数表达式； （2）一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？ （3）如果隧道内设双行道，那么（2）中的这辆货车能否通过，为什么？ 4、 拓展提高： 例6、 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线 经过B、C （1） 求该抛物线函数表达式； （2） 已知点D（1,0），P为抛物线对称轴上的一个动点，Q为抛物线上一动点，连接BP、CP ①若∠CPB=90°，求点P的坐标； ②若以C，D，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。 5、 强化训练： 1、 关于函数的图像，下列说法不正确的是 （ ） A、 开口向下 B、对称轴是直线x=m C、函数的最大值为0 D、与y轴不相交。 2、函数图像在同一平面直角坐标系可能的是 （ ） 2、 二次函数的图像如图所示，对称轴为直线X=2， 下列结论不正确的是（ ）。 A、 B、当x=－1时，b＞－5 C、当b=－4时，顶点的坐标为（2，－8） D、当X>3时，y随x的增大而增大 4、把一个足球垂直与水平地面向上踢，该足球距离地面的高度h(m)与所经过的时间t(s) 之间的函数关系式为若存在两个不同的t值，使足球离地面的 高度均为am，则a的取值范围是（ ） A、　 B、 C、 D、 5、若对于任意非零实数，抛物线总不经过点P， 则点P的坐标为 。 6、 已知抛物线与x轴的交点坐标为（m,0），若2<m<3， 则的取值范围是 。 7、 已知P是抛物线对称轴上的一个动点直线X=T分别与直线x=t，y=x 抛物线交于点A，B，若△ABP是以A或者B为直角顶点的等腰直角三角形， 则t= 。 8、 如图，顶点为M的抛物线与x轴交于A（3，0）， B（-1 ，0）两点， 与y轴交于点C。 （1） 求该抛物线的函数表达式； （2） 在y轴上是否存在一点p，使得△PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标， 若不存在，请说明理由； （3） 在第一象限抛物线下方有一动点D，满足DA=OA，过点D做DG⊥X轴于点G， 设△ADG的内心为I，求CI长的最小值。 学科网（北京）股份有限公司 $$