14.3.2 第2课时 运用完全平方公式因式分解（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（人教版）

新知一览 整式的乘法 因式分解 整式的乘法与因式分解 乘法公式 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 整式的乘法 平方差公式 完全平方公式 提公因式法 *十字相乘法 公式法 14.3 因式分解 14.3.2 公式法 第2课时 运用完全平方公式因式分解 第十四章 整式的乘法与因式分解 人教版八年级（上） 2 旧知回顾 整式乘法 因式分解 ma + mb + mc m(a + b + c) 整式乘法 因式分解 (a + b)(a - b) a2 - b2 问题1：我们已经学过哪些因式分解的方法？ 提公因式法： 公式法： 探究新知 知识点：用完全平方公式因式分解 问题2：我们还学习过哪种整式的乘法公式？ 平方差公式. (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 问题3：完全平方公式能帮助简便运算因式分解吗？ 根据等式的性质和因式分解的定义可知： 完全平方公式： (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 等式左右两边互换 a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 即：可以用完全平方公式对符合条件的多项式 因式分解 定义总结 运用完全平方公式因式分解 运算法则： 文字说明： 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的___（或___）的平方. a2±2ab + b2 = (a±b)2 和 差 a2 + 2ab + b2 a2 - 2ab + b2 我们把 a² + 2ab + b² 和 a² - 2ab + b² 这样的式子叫做完全平方式. 观察这两个式子： （1）每个多项式有几项？ （3）中间项和首、尾项有什么关系？ （2）每个多项式的首项和尾项有什么特征？ 三项 这两项都是数或式的平方，并且是和的形式. 是首项和尾项底数的积的±2 倍. 方法总结 完全平方式的特点： 1. 必须是三项式(或可以看成三项的)； 2. 有两个数或式的平方和； 3. 有这两数或式之积的 ±2 倍. 下列各式是不是完全平方式？ （1）a2 - 4a + 4； （2）1 + 4a²； （3）4b2 + 4b - 1； （4）a2 + ab + b2； （5）x2 + x + 0.25. 是 （2）因为它只有两项. 不是 （3）4b² 与 -1 的符号不统一. 不是 分析： 不是 是 （4）因为 ab 不是 a 与 b 的积的 2 倍. 例1 若 x2 - 6x + N 是一个完全平方式，则 N = ( ) A . 11 B. 9 C. - 11 D. - 9 B 变式训练 如果 x2 - mx + 16 是一个完全平方式，那么常数 m 的值为_______. ±8 典例精析 解析：根据完全平方式的特征，中间项 -6x = -2×x×3，故可知 N = 32 = 9. 例2 分解因式： （1）16x2 + 24x + 9； （2）-x2 + 4xy - 4y2. 解析：(1) 中，16x2 = (4x)2， 9 = 3²，24x = 2×4x·3， 所以 16x2 + 24x + 9 = (4x)2 + 2×4x·3 + 32. 解：(1) 原式＝(4x)2 - 2×4x·3 + 32 a2 - 2ab + b2 ＝ (a - b)2 ＝(4x - 3)2 解析：首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为 -(x2 - 4xy+ 4y2)，然后再利用公式分解因式. （2）-x2 + 4xy - 4y2. 解：(2) 原式＝-(x2 - 4xy+ 4y2) ＝-(x - 2y)2 例3 分解因式： (1) 3ax2 + 6axy + 3ay2； (2) (a + b)2 - 12(a + b) + 36. 解：(1) 原式 = 3a(x2 + 2xy + y2) = 3a(x + y)2. (2) 原式 = (a + b)2 - 2(a + b)·6 + 62 解析：(1) 中有公因式 3a ，应先提出公因式，再进一步分解因式； (2) 中将 (a + b) 看成一个整体，也符合完全平方式的特征. = (a + b - 6)2. 练一练 1.因式分解：(1) -3a2x2 + 24a2x - 48a2； (2) (a2 + 4)2 - 16a2. ＝(a2 + 4 + 4a)(a2 + 4 - 4a) 解：(1) 原式＝-3a2(x2 - 8x + 16) ＝-3a2(x - 4)2. (2) 原式＝(a2 + 4)2 - (4a)2 ＝(a + 2)2(a - 2)2. 有公因式要先提公因式 典例精析 例4 简便计算： (1) 1002 - 2×100×99 + 99²； (2) 342 + 34×32 + 162. 解：(1) 原式 = (100 - 99)² (2) 原式 = (34 + 16)2 本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算 = 1. = 2500. 练一练 2.(阳山县期中)用简便方法计算： (1) 1252 - 50×125 + 25²； (2) 652×11 - 352×11. 解：(1) 原式 = (125 - 25)² (2) 原式 = (65 + 35)(65 - 35)×11 = 10000. = 33000. 课后小结 整式的乘法 相反 变形 因式分解 a2 + 2ab + b2 =_______. a2 - 2ab + b2 =_______. (a + b)2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab - b2 完全平方公式 (a - b)2 两个数的平方和，加上(或减去)这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的___(或___)的平方. 和 差 当堂练习 1. 下列四个多项式中，可以因式分解的是 ( ) A．a2＋1 B．a2－6a＋9 C．x2＋5y D．x2－5y 2. 把多项式 4x2y－4xy2－x3 分解因式的结果是 ( ) A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2 C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2) 3. 若 m ＝ 2n＋1，则 m2－4mn＋4n2 的值是_____． B B 1 4. 把下列多项式因式分解： (1) x2 - 12x + 36； (2) 4(2a + b)2 - 4(2a + b) + 1； (3) y2 + 2y + 1 - x2. 解：(1) 原式 = x2 - 2 · x · 6 + 62 = (x - 6)2. (3) 原式 = (y + 1)² - x² = (y + 1 + x)( y + 1 - x). (2) 原式 = [2(2a + b)]² - 2×2(2a + b) · 1 + 1² = (4a + 2b - 1)2. 见《学练优》或《新领程》对应课时练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $$