14.3.2 第1课时 运用平方差公式因式分解（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（人教版）

新知一览 整式的乘法 因式分解 整式的乘法与因式分解 乘法公式 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 整式的乘法 平方差公式 完全平方公式 提公因式法 *十字相乘法 公式法 14.3 因式分解 14.3.2 公式法 第1课时 运用平方差公式因式分解 第十四章 整式的乘法与因式分解 人教版八年级（上） 2 新课导入 从前，有一位张大爷像地主租了一块“十字形” 土地(如图).为了便于种植，张大爷提出换一块同等面积的长方形土地耕种. a b b a b2 b2 b2 b2 由题意可得： 十字形土地面积＝a2－4b2， 长方形土地：长×宽＝a2－4b2 你能算出长方形土地的长和宽吗？ 探究 1：导入的问题，可以转化“如何将多项式 a2 - 4b2 分解因式”，则 a2 - 4b2 有什么特点？ 是 a，2b 两数的平方差的形式 a2 - 4b2 = a2 - 探究新知 知识点：用平方差公式因式分解 (2b)2， 思考一：形如两数的平方差的多项式，可以分解因式吗？ 探究 2：如图所示，阴影部分是一个边长为 a 的大正方形的右下角截去了一个边长为 b 的小正方形.截完后阴影部分的面积是多少？ a b a b 合作探究 a2 - b2 = (a + b)(a - b) 成立吗？ 几何论证： 问题 1：你能用含 a、b 的式子表示变形前后阴影部分的面积吗？你发现了什么规律？ 变形前阴影部分面积为： a2 - b2 变形后阴影部分面积为： (a + b)(a − b) a b a b a (a-b) b a2 - b2 = (a + b)(a - b) 规律 还有几何其他的方法吗？ a b a b a a-b b a a-b b a a b b a-b 其他方法： 算一算！ 定义总结 运用平方差公式因式分解 运算法则： 文字说明： 两个数的平方差，等于这两个数的___与这两个数的_____的乘积. a2 - b2 = (a + b)(a − b) 和 差 √ √ × × 下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？ √ √ 辨一辨 (1) x2 + y2 (2) x2 - y2 (3) -x2 - y2 (4) -x2 + y2 (5) x2 - 25y2 (6) 9m2 - 1 符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成 ( )2 - ( )2 的形式. 总结 -(x2 + y2) y2 - x2 x2 - (5y)2 (3m)2 - 12 张大爷这块“十字形”土地(如图).换成同等面积的长方形土地.那么这块长方形土地的长和宽可以是多少？ 想一想 a b b a b2 b2 b2 b2 解：十字形土地的面积为 S＝a2 - 4b2 ＝a2 - (2b)2 ＝(a + 2b)(a - 2b) 则长方形土地的长可为 (a + 2b)， 宽可为 (a - 2b). 典例精析 例1 分解因式：(1) 4x2－9； (2) (x＋p)2－(x＋q)2. 解：(1) 原式＝(2x)2－32 a2 － b2 ＝(a ＋ b)(a － b) ＝(2x＋3) (2x－3) (2) 原式＝[(x＋p)＋(x＋q)] [(x＋p)－(x＋q)] ＝(2x＋p＋q)(p－q) 练一练 1.分解因式：(1) (a＋b)2－4a2； (2) 9(m＋n)2－(m－n)2. ＝(4m＋2n)(2m＋4n) 解：(1) 原式＝(a＋b＋2a)(a＋b－2a) ＝(3a＋b)(b－a). (2) 原式＝(3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n) ＝4(2m＋n)(m＋2n). 结果中有公因式， 一定要再用提公因 式法继续分解 例2 分解因式： 解：(1) 原式＝( x2 )2 - ( y2 )2 ＝( x2 + y2 )( x2 - y2) 检查是否还有能 继续分解的因式， 若有，继续分解 ＝(x2 + y2)(x + y)(x - y). (2) 原式＝ab(a2 - 1) 先提公因式， 再套用公式分解 ＝ab(a + 1)(a - 1). (1) x4 - y4； (2) a3b - ab. 练一练 ＝ (a＋2b)(a－2b－1). ＝ 5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b). 解：(1) 原式 ＝ 5m2(a4－b4) ＝ 5m2(a2＋b2)(a2－b2) (2) 原式 ＝ (a2－4b2)－(a＋2b) ＝ (a＋2b)(a－2b)－(a＋2b) 2.分解因式：(1) 5m2a4 －5m2b4； (2) a2－4b2－a－2b. 方法总结 分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止． 典例精析 例3 计算下列各题： (1) 1012＋992； (2) 53.52×4－46.52×4. 解：(1) 原式＝(101＋99)×(101－99)＝400. (2) 原式＝4×(53.52－46.52) ＝4×(53.5＋46.5)×(53.5－46.5) ＝4×100×7＝2800. 课后小结 整式的乘法 相反 变形 因式分解 a2 - b2 =____________. (a + b)(a - b) (a + b)(a - b) = a2 - b2 平方差公式 两个数的平方差，等于这两个数的____与这两个数的____的积. 和 差 当堂练习 1. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是 (　　) A．a2 + (-b)2 B．5m2 - 20mn C．-x2 - y2 D．-x2 + 9 D 2. 分解因式 (2x + 3)2 - x2 的结果是 (　　) A．3(x2 + 4x + 3) B．3(x2 + 2x + 3) C．(3x + 3)(x + 3) D．3(x + 1)(x + 3) D 4. 若将 (2x)n - 81 分解成 (4x2 + 9)(2x + 3)(2x - 3)，则 n 的值是______. 4 3. 把下列各式分解因式： (1) 16a2 - 9b2 = _________________； (2) (a + b)2 - (a - b)2 = _______； (3) 9xy3 - 36x3y =_________________； (4) -a4 + 16 =__________________. (4a + 3b)(4a - 3b) 4ab 9xy(y + 2x)(y - 2x) (4 + a2)(2 + a)(2 - a) 见《学练优》或《新领程》对应课时练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $$