14.3.1 提公因式法（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（人教版）

新知一览 整式的乘法 因式分解 整式的乘法与因式分解 乘法公式 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 整式的乘法 平方差公式 完全平方公式 提公因式法 *十字相乘法 公式法 14.3 因式分解 14.3.1 提公因式法 第十四章 整式的乘法与因式分解 人教版八年级（上） 2 问题导入 问题1：5×993 + 4×993 + 993 能否被 10 整除？ 提取公因数，原式＝ 993×(5 + 4 + 1)＝ 993×10， 问题2：结合问题1，a3b + a2b + ab 能否被 b 整除？ 所以能被 10 整除. a3b + a2b + ab = b(a3 + a2 + a)， 所以能被 b 整除. 探究新知 知识点1：因式分解 合作探究 1. 运用整式乘法法则或公式填空： (1) (x + 1)(x - 1) = ； (2) x(x - 1) = . x2 - 1 x2 - x 2. 根据等式的性质填空： (1) x2 - 1 = ( )( )； (2) x2 - x = ( )( ). 结合问题 1，这些式子有什么共同点？ x + 1 x - 1 x - 1 x 观察等式两边，你能发现这些等式有什么共同点？ 等式左边 等式右边 a3b + a2b + ab b(a3 + a2 + a) x2 - 1 ( x + 1 )( x - 1 ) x2 - x x( x - 1 ) 多项式 整式的积 都是多项式化成了几个整式的积的形式. 定义总结 因式分解 定义： 把一个多项式化成了几个整式的___的形式， 像这样的式子变形叫做这个多项式的________，也 叫做把这个多项式________. 积 因式分解 分解因式 因式分解等式的特征： 想一想 x2 - 1 (x + 1)(x - 1) 因式分解 整式乘法 x2 - 1 = (x + 1)(x - 1) 整式乘法与因式分解有什么关系？ 是方向相反的变形，即 左边是多项式， 右边是几个整式的乘积. 典例精析 例1 下列从左到右的变形中是因式分解的有 (　　) ① x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；② x3＋x＝x(x2＋1)；③ (x－y)2＝x2－2xy＋y2；④ x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y). A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 B 分析：因式分解的结果是两个或多个整式的积的形式，所以可以排除①、③． 1.在下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的有 ；不是因式分解的，请说明为什么. 练一练 x2 + x = x2(1 + ) ① ② ③ ④ ⑤ ③ am + bm + c = m(a + b) + c 24x2y = 3x · 8xy x2－4 = (x + 2)(x－2) (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1 最后不是积的形式 等式左边不是多项式 是整式乘法 每个因式必须是整式 是因式分解 知识点 2：提公因式法 合作探究 问题1 观察下列多项式，它们有什么共同特点？ a3b + a2b + ab 公共的因式 b x2 ＋ x 公共的因式 x 如果多项式的各项都有一个____的因式，我们就把这个公共因式叫做这个多项式各项的_______. 公共 公因式 定义总结 提公因式法 一般地，如果多项式的各项有_______，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做__________. 公因式 提公因式法 pa + pb + pc = p( ) a + b + c 因式分解 问题2 如何确定一个多项式的公因式？ 系数 字母 相同字母的指数 例如：找 3x2 – 6xy 的公因式. 3 6 x2 xy 2 1 找最大公约数___ 3 找相同的字母___ x 找相同的字母的最低次数___ 1 所以公因式是 3x 归纳总结 3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一 个，即字母的最低次数. 1. 定系数：公因式的系数是多项式各项系数的 最大公约数； 2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同 的字母； 找出多项式的公因式的一般步骤： 3 a a2 3mn -2xy (1) 3x + 6y (2) ab - 2ac (3) a2 - a3 (4) 9m2n - 6mn (5) - 6x2y - 8xy2 练一练 2.下列各多项式的公因式是什么？ 典例精析 例2 把 8a3b2 + 12ab3c 分解因式： 解：8a3b2 + 12ab3c = 4ab2 · 2a2 + 4ab2 · 3bc = 4ab2(2a2 + 3bc). 找出公因式 提取公因式 例3 把 2a(b + c) - 3(b + c) 分解因式： 解：2a(b + c) - 3(b + c) = (2a - 3) (b + c) 如何检查 因式分解是 否正确？ 解析：b + c 是这两个式子的公因式，可以直接提出. 练一练 3. (丰润区模拟) 如图，边长为 a、b 的长方形周长为 12 ，面积为 5 ，则 a3b + ab3 的值为（　　） b a A．60 B．120 C．130 D．140 C 课后小结 整式的乘法 相反 变形 因式分解 p(a + b + c) = ap + bp + pc ap + bp + cp =____________. p(a + b + c) 把一个多项式化成了几个整式的___的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的________. 积 因式分解 一般地，如果多项式的各项有公因式， 可以把这个公因式提取出来，将多项式 写成公因式与另一个因式的____的形式， 这种分解因式的方法叫做__________. 乘积 提公因式法 当堂练习 1. (镇江期中) 下面各式从左到右变形，属于因式分解的是（　　） A．x(x - 1)＝x2 - x； B．x2 - 1＝(x - 1)2 C．x2 - x - 1＝x(x - 1) - 1 D．x2 - x＝x(x - 1) 2. 把多项式 (x + 2)(x - 2) + (x - 2) 提取公因式 (x - 2)后，余下的部分是（　　） A．x + 1 B．2x C．x + 2 D．x + 3 D D 3. 把下列各式分解因式： (1) x2(3a－2)＋x(2－3a)； (2) 8xy2－4x2y． 解：(1)原式＝x · [x(3a－2)＋(2－3a)] ＝x · [x(3a－2)－(3a－2)] ＝x(x－1)(3a－2). (2)原式＝4xy · 2y－4xy · x ＝4xy(2y－x). 4. 简便计算： (1) 1.992 + 1.99×0.01； (2) 20222 + 2022 - 20232. (2) 原式 = 2022×(2022 + 1) - 20232 解：(1) 原式 = 1.99×(1.99 + 0.01) = 3.98. = 2022×2023 - 20232 = 2023×(2022 - 2023) = -2023． 见《学练优》或《新领程》对应课时练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $$