14.2.1 平方差公式（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（人教版）

新知一览 整式的乘法 因式分解 整式的乘法与因式分解 乘法公式 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 整式的乘法 平方差公式 完全平方公式 提公因式法 *十字相乘法 公式法 14.2 乘法公式 14.2.1 平方差公式 第十四章 整式的乘法与因式分解 人教版八年级（上） 2 (a + 4)(a − 4) 新课导入 绘画课上，灵灵向新新借了一张边长为 a cm 的正方形彩纸.几天后还了一张宽为 (a - 4) cm， 长为 (a + 4) cm 的长方形彩纸. 两张彩纸面积相等吗？ (a + 4) (a - 4) 还的彩纸面积： = a2 − 4a + 4a − 42 = a2 − 42 答：不相等. 4 解：原正方形彩纸面积 a2 有什么特点？ ＜a2 探究新知 知识点：平方差公式 合作探究 ① ( x＋1) ( x－1)； ② (m＋2) (m－2)； ③ (2x＋1)(2x－1)； 探究：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ x2－12 m2－22 (2x)2－12 两数的___ 两数的___ 和 差 两数____的差 平方 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 猜想 (a + b)(a − b) = = a2 − b2. 验证：对于任意数字，探究上述结果是否仍成立？ a2 − ab + ab − b2 对于任意数字 a、b 都有 猜想证明 两个数的___与这两个数的___的积，等于 这两个数的平方差. 定义总结 平方差公式 运算法则： 文字说明： 和 差 (a + b)(a − b) = a2 − b2. (a - b) b b (a + b) 如何利用几何的形式解释平方差公式？ 想一想 (a + b)(a − b) = a2 − b2 典例精析 例1 计算：(1) (3x＋2)(3x－2)； (2) (－x＋2y)(－x－2y). 解：(1) (3x＋2)(3x－2) ＝ (3x)2－ (a ＋ b) (a － b) ＝ a2 － b2 ＝ 9x2－4. 22 (2) (－x＋2y)(－x－2y). 解：(2) (－x＋2y)(－x－2y) ＝ (－x)2－ ＝ x2－4y2. (2y)2 相同看作 a 相反看作 b 归纳总结 (1) 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2) 右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式． 应用平方差公式计算时，应注意： (2) 符号相同看作 a ，符号相反看作 b，套用公式. 中的各项，除符号外是否完全相同)； (1) 观察该运算是否符合平方差公式 (两个多项式 填一填 a b a2－b2 1 x －3 a 12－x2 (－3)2－a2 a 1 a2－12 a + b 1 (a + b)2－12 (a + b)(a - b) (1 + x)(1 - x) (-3 + a)(-3 - a) (a + b - 1)(a + b + 1) (1 + a)(-1 + a) 练一练 1.利用平方差公式计算： (1) (3x－5)(3x＋5)； (2) (－2a－b)(b－2a)； (3) (－7m＋8n)(－8n－7m)． 解：(1) 原式＝(3x)2－52＝9x2－25. (2) 原式＝(－2a)2－b2＝4a2－b2. (3) 原式＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2. 例2 利用平方差公式计算： (3x＋y－2)(3x＋2－y)－12＝0，求 3x＋y. 解：原式＝(3x＋y)2－22＝12， (3x＋y)2＝16， (3x＋y)＝±4. 分析： (3x＋y－2)(3x＋y＋2)－12＝0 相同 相反 典例精析 例3 计算： (1) (y + 2)(y – 2) – (y – 1)(y + 5) ； (2) 102×98. 解：(1) (y + 2)(y – 2) – (y – 1)(y + 5) = y2 – 22 – (y2 + 4y – 5) = y2 – 4 – y2 – 4y + 5 = – 4y + 1. 不符合公式条件的乘法，仍按乘法法则进行运算. (2) 102×98 = 1002－22 = 10000－4 = (100＋2)(100－2) = 9996. 不符合公式条件，观察能否适当变形 练一练 2. (莲湖区期中) 简便运算：1102－109×111 解：原式 = 1102 - (110－1)(110＋1) = 1 = 1102 - (1102－1) 课后小结 平方差公式 内容 注意 两数的___与这两数的___的积，等于这两个数的平方差 字母表示：(a + b)(a－b) = a2－b2 (1) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式 (2)符号相同为 a，符号相反为 b 和 差 当堂练习 1. 下列运算中，可用平方差公式计算的是 (　　) A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y) C 2. 两个正方形的边长之和为 5，边长之差为 2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是______． 10 3. 计算： 20222－2021×2023. 解： 20222－2021×2023 = 20222－(2022－1)(2022 + 1) = 20222 －(20222－12 ) = 20222－20222 + 12 = 1. 4. 从前，古希腊的一位庄园主人把一块边长为 a m (a＞8)的正方形土地租给租户约翰．第二年，他对约翰说：“我把这块地一边增加 8 m，另外一边减少 8 m，变成矩形土地，继续原价租给你，你看如何？”若是这样，你认为约翰吃亏了吗？通过计算说明你的结论. 解：约翰吃亏了．理由如下： 原正方形的面积 (单位：m2) 为 a2， 改变边长后面积 (单位：m2) 为 (a＋8)(a－8)＝a2－64. ∵ a2－64＜a2，∴ 约翰吃亏了． 见《学练优》或《新领程》对应课时练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $$