12.3 第2课时角平分线的判定（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（人教版）

新知一览 全等三角形 角平分线的性质 全等三角形 三角形全等的判定 “边边边” “斜边、直角边” “角边角”“角角边” “边角边” 角平分线的判定 角平分线的性质 第十二章 全等三角形 12.3 角的平分线的性质 第 2 课时 角平分线的判定 人教版八年级（上） 2 新课导入 如图，要在 S 区建一个风筝主题公园，使它到公路和铁路的距离相等，这个风筝主题公园应建于何处？ S 垂线段的长 实际问题 几何问题 A O B 在∠AOB 内是否存在点 P ，过点 P 作 OA、OB 的垂线并交 OA、OB 于点 D、E，使得 DP = EP ？ A O B 角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 猜想： 探究新知 知识点1：角平分线的判定 P D E 这个点是否就在角的平分线上呢？ DP = EP 证一证 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 证明： 作射线 OP. ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中， OP = OP (公共边)， PD = PE (已知)， B A D O P E ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO =∠PEO = 90°. ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO (HL). ∴∠AOP =∠BOP (全等三角形的对应角相等). 定义总结 判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 位置关系 数量关系 回顾导入 如图，要在 S 区建一个风筝主题公园，使它到公路和铁路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处距离为 500 m，这个风筝主题公园应建在何处？ D C S 解：作夹角的角平分线 OC， 在射线 OC 上截取 OD = 500 m，则点 D 即为所求. O 总结 定理的作用： 判断点是否在角的平分线上. 变式1：如图， S 区内有两条公路和一条铁路，它们两两相交，交点分别为点 A，B，C，如果要在△ABC 区域内建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等，这个风筝主题公园应建在何处？ A B C 分析：由上题可知到 AB，AC 距离相等的点在∠BAC 的角平分线上， 则到 BA，BC 距离相等的点在∠ABC 的角平分线上 ，它们交于一点 P. P 那么这一点 P 是否到三边的距离都想相等呢？ 证一证 已知：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. 证明：过点 P 作 PD，PE，PF 分别垂直于 AB，BC，CA，垂足分别为 D，E，F. ∵ BM 是△ABC 的角平分线， 点 P 在 BM 上， ∴ PD = PE. 同理，PE = PF. ∴ PD = PE = PF. 即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. D E F A B C P N M 想一想：点 P 在∠A 的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 点 P 在∠A 的平分线上. 总结 三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等 D F A B C P N M 变式2：如图， S 区内有两条公路和一条铁路，它们两两相交，交点分别为点 A，B，C，如果要在△ABC 区域内建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等，这个风筝主题公园应建在何处？ A B C P △ABC 的三条内角平分线交点处. 若将题目条件换成△ABC 区域外，那么风筝主题公园应建在何处？ 变式3：如果要在△ABC 区域外建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等， 这个风筝主题公园应建在 何处？(画出所有点) A B C P1 P2 P3 归纳总结 A B C P4 P2 P3 P1 到△ABC 三边所在的直线距离相等的点有____个. 4 典例精析 例1 如图，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线相交于点 D，连接 AD. 求证：AD 是∠BAC 的外角平分线. B A C D 分析： 求证：AD 是∠BAC 的外角平分线. 求证：D 到 BA，AC 的距离相等. 则根据题目条件，可过点 D 作 BA，AC，BC 边上的辅助线. 证明：作 DE⊥BA 交 BA 的延长线于点 E，DF⊥AC 于点 F，DG⊥BC 交 BC 的延长线于点 G， ∵ DB 平分∠ABC，DC 平分∠ACH， ∴ DE = DG，DF = DG. ∴ DE = DF. 又 ∵ DE⊥BA，DF⊥AC， ∴ AD 是∠BAC 的外角平分线. B A C D E F G 练一练 1. (西安阶段)如图，O 是△ABC 内一点，且点 O 到三边 AB，AC，BC 的距离相等，即 OF = OE = OD，若∠BAC = 100°，则∠BOC 的度数是 ( ) A. 140° B. 130° C. 120° D. 110° A 图形 已知 条件 结论 P C P C OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分∠AOB PD = PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E 角的平分线的判定 角的平分线的性质 练一练 当堂小结 角平分线 的判定定理 内容 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的_______上 作用 判断一个点是否在角的平分线上 相关结论 三角形的角平分线相交于内部一点，该点到三角形三边的距离_____ 平分线 相等 1. (西安期中)如图，若∠ABC 的平分线与△ABC 的外角∠ACD 的平分线相交于点 P，若∠BAC = 62°，∠PAC 等于_______°. 当堂练习 59 B A C D P 2. (泰州校考) 如图，电信部门要在 S 区修建一座发射塔 P. 按照设计要求，发射塔 P 到两个城镇 A、B 的距离必须相等，到两条高速公路 m 和 n 的距离也必须相等，发射塔 P 应建在什么位置? 在图上标出它的位置. (尺规作图：只保留作图痕迹，不写作图过程). B A O S P 解：如右图所示. 3. (河源校考) 如图，AD = BD，∠CAD + ∠CBD = 180°，求证：CD 平分∠ACB. 证明：∵ 过点 D 作 DE⊥CA 交 CA 的延长线于点 E， 作 DF⊥CB 于点 F，如图所示： ∴∠AED = ∠BFD = 90°. ∵ ∠CAD + ∠CBD = 180°， ∠CAD + ∠EAD = 180°， ∴ ∠CBD =∠EAD. 在△AED 与△BFD 中， ∠AED = ∠BFD， ∠EAD =∠FBD， AD = BD， ∴△AED≌△BFD (AAS). ∴ DE = DF. ∴ D 在∠BCE 的角平分线上， ∴ CD 平分∠ACB. 见《学练优》或《新领程》对应课时练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $$