12.3 第1课时 角平分线的性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（人教版）

新知一览 全等三角形 角平分线的性质 全等三角形 三角形全等的判定 “边边边” “斜边、直角边” “角边角”“角角边” “边角边” 角平分线的判定 角平分线的性质 第十二章 全等三角形 12.3 角的平分线的性质 第 1 课时 角平分线的性质 人教版九年级（上） 2 新课导入 简易风筝制作过程(点击视频观看) 新课导入 将视频中的风筝转化为如图所示的几何模型. 探究1： 假如 BD 未能平分∠ABC，风筝在飞行过程中会出现哪些情况？在实际制作中如何做到 BD 平分∠ABC ？ 探究2： 若支架 PE、PF 不相等，则风筝在飞行过程中又会出现哪些情况？在实际制作中如何做到 PE、PF 相等？ 图1 图2 知识点1：角平分线的作法 探究新知 活动探究 拿出一个小三角形纸，按照如图所示的步骤，动手折叠. 探究1：折痕 BD 平分∠ABC 吗？为什么呢？ B D A C M ② B A M ① 【思考】如果不能折叠，我们用数学作图工具，能做出角的平分线吗？ 合作探究 想一想：在如图所示的折叠过程中，按照先后顺序保证了哪些条件相等，使得折痕平分∠ABC ？ 那么可否按照折叠中先后顺序的相等条件作图？动手画一画！ 先 AB = AC，后 AD = DC. B D A C M 作法：(1) 以点 O 为圆心， 适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N； (2) 分别以点 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C； (3) 画射线 OC. 则射线 OC 即为所求. A B M N C O 已知：∠AOB. 求作：∠AOB 的平分线. 仔细观察作图步骤 画一画 已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB 的平分线. A B O C 画一画 总结 作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法. 知识点2：角平分线的性质 活动探究 在刚才折叠的基础上(在折叠状态，未展开)将BC 自身重合对折(点 B 与点 C 重合)观察折叠后的展开图，你发现了什么? B D A C M ② B D A C M P ③ 纸上又多了两条折痕，设为 PE 和 PF (如图)，两条折痕相交于点 P，并且点 P 在角平分线 BD上； 观察折痕与边的关系得到： B D A C M P E F PE⊥BC，PF⊥AB，PE = PF. 对于任意角的平分线是否都有这样的结论？ 测量探究 PD PE 第一次 第二次 第三次 在刚作出的∠AOB 的平分线 OC 上任取一点 P，过点画出 OA，OB 的垂线，分别记垂足为 D，E，测量 PD，PE 并作比较，你得到什么结论？在 OC 上多取几点试试. 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 通过以上测量，你发现了角平分线的什么性质？ 怎样验证猜想呢？ 1. 问题：写出上述命题的题设(已知)和结论(求证). 题设：角的平分线上有一点 结论：这一点到角的两边的距离相等 已知： 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 2. 画出图形，几何语言描述 P A O B C D E ∠AOC =∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB 求证： PD = PE 证一证 已知：如图，∠AOC =∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证：PD = PE. P A O B C D E 证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO = ∠PEO = 90°. 在 △PDO 和 △PEO 中， ∠PDO = ∠PEO， ∠DOP = ∠EOP， OP = OP， ∴△PDO≌△PEO (AAS). ∴ PD = PE. 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. B A D O P E C 应用格式： ∵ OP 是∠AOB 的平分线， ∴ PD = PE. PD⊥OA，PE⊥OB， 推理的条件有三个，必须写完全，不能少 定义总结 点在角的平分线上 垂线段的长 典例精析 例1 (贵阳期中) 如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC. A B C D E F 分析： AD 是它的角平分线，DE⊥AB， DF⊥AC DE = DF，∠DEB =∠DFC = 90°. BD = CD， Rt△BDE≌Rt△CDF (HL) A B C D E F 证明：∵AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB， DF⊥AC， ∴ DE = DF，∠DEB =∠DFC = 90°. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF 中， DE = DF， BD = CD， ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL). ∴ EB = FC. 总结 定理的作用： 证明线段相等. 练一练 1. (荆州期末)如图，已知点 O 为△ABC 的两条角平分线的交点，过点 O 作 OD⊥BC 于点 D，且 OD = 3. 若△ABC 的周长是 14，则△ABC 的面积为_______. 解析：作 OE⊥AB， OF⊥AC，垂足分别为 E，F，连接 OA. 总结 利用角平分线的性质作辅助线可构造三角形的高. E F ∵ OB，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB，OD⊥BC， ∴ OD = OE = OF. ∴ S△ABC = S△OBC + S△OAC + S△OAB 探究2： 若支架 PE、PF 不相等，则风筝在飞行过程中又会出现哪些情况？在实际制作中如何做到 PE、PF 相等. 方法一 方法二 方法三 BE = BF 当堂小结 角平分线 性质定理 一个点：________________； 二距离：________________； 两相等：____________________ 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线 尺规作图 属于基本作图，必须熟练掌握 角平分线上的点 点到角两边的距离 两条垂线段(距离)相等 当堂练习 1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E，F，DE = DF，∠FDB = 60°，则∠EBF = °，BE = . 60 BF E B D F A C G 2. △ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，且 BC = 8，BD = 5，则点 D 到 AB 的距离是 . A B C D 3 E 解：过点 P 作 MN⊥AD 于点 M，交 BC 于点 N. 3. 如图，已知 AD∥BC，P 是∠BAD 与∠ABC 的平分线的交点，PE⊥AB 于 E，且 PE = 3. 求 AD 与 BC 间的距离. A D C B E P M N ∵ AD∥BC， ∴ MN⊥BC，MN 为 AD 与 BC 间的距离. ∵ AP 平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB， ∴ PM = PE. 同理，PN = PE. ∴ PM = PN = PE =3. ∴ MN = 6， 即 AD 与 BC 之间的距离为 6. 见《学练优》或《新领程》对应课时练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $$null