12.2 第4课时 “斜边、直角边”（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（人教版）

新知一览 全等三角形 角平分线的性质 全等三角形 三角形全等的判定 “边边边” “斜边、直角边” “角边角”“角角边” “边角边” 角平分线的判定 角平分线的性质 第十二章 全等三角形 12.2 三角全等形的判定 第 4 课时 “斜边、直角边” 人教版八年级（上） 2 新课导入 如图所示是三角形风筝的架子，由五根竹条 AB，AC，BC，DE，AF 扎成，满足 AB = AC，AD = AE，AF⊥DE，垂足为 O. 再按照风筝架子的形状制作纸面，糊在架子上，绘制漂亮且对称的图案，三角形风筝就做好了. 这样的风筝架子可以确保左右两边的部分是完全重合( △ABF≌△ACF )的吗? AB = AC，AF = AF， ∠AFB = ∠AFC = 90°. △ABF≌△ACF 是否可以推出 数学问题： 知识点：直角三角形全等的判定(“斜边、直角边”定理) 探究新知 想一想 A B C A′ B′ C′ 对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？ A B C A′ B′ C′ 如图，已知∠ACB = ∠A′C′B′ = 90°，添加下列条件是否使这两个直角三角形全等？为什么？ 1. 斜边和一个锐角分别相等 2. 一条直角边和一锐角分别相等 3. 两直角边分别相等 想一想 4. 斜边和一条直角边分别相等 AAS 或 ASA (角度转化) ASA 或 AAS SAS 合作探究 任意画出一个 Rt△ABC，使∠C = 90°. 再画一个 Rt△A′B′C′ ，使∠C′ = 90°，B′C′ = BC，A′B′ = AB，把画好的 Rt△A′B′C′ 剪下来，放到 Rt△ABC 上，它们全等吗？ A B C 作法： (1) 画 ∠MC'N = 90°； (2) 在射线 C'M 上截取 B'C' = BC； (3) 以点 B' 为圆心，AB 长为半径画弧， 交射线 C'N 于点 A'. (4) 连接 A'B'. 想一想：从中你能发现什么规律？ M C′ N B′ A′ A B C 归纳总结 文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”). 几何语言： “斜边、直角边”判定方法 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL). AB = A′B′， BC = B′C′， A B C A′ B′ C′ 典例精析 例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C，D， AC = BD. 求证 BC = AD. A B D C 分析： 求证 BC = AD. 已知 AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD 求证 Rt△ABC≌Rt△BAD(HL). 证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C 与∠D 都是直角. AB = BA， AC = BD . 在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC = AD. A B D C 应用“HL”的前提条件是在直角三角形中 这是应用“HL”判定方法的书写格式 利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路 分析： 变式1 如图，AC、BD 交于点 P，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C、D，AD = BC. 求证：AC = BD. 连接 AB. AC ＝ BD Rt△BAC≌Rt△ABD HL 分析： 变式2 如图，AB⊥AD，CD⊥BC，AB = CD，判断 AD 和 BC 的位置关系. HL ∠ADB＝∠CBD Rt△ABD≌Rt△CDB AD∥BC 活动设计 梳理你所学的判定两个三角形全等的基本方法，并绘制成思维导图. 已知两边 找第三边“SSS” 找两边的夹角“SAS” 看是否是直角三角形，若是“HL” 已知两角 找两角的夹边“ASA” 找任意一角的对边“AAS” 已知一边 一角 找这条边的另外一个邻角“ASA” 找这个角的另外一边“SAS” 找这条边的对角“AAS” 一边和它的邻角 一边和它的对角 找另外任意一个角“AAS” 看这个角是否是直角，若是，找任意一条直角边“HL” 链接中考 1. (新余校考) 如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为 D、E，BE、CD 相交于点 O，如果 AB = AC，求证：AO 平分∠CAB. 证明：∵ CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠ADC＝∠AEB＝90°. 在△ACD 和△ABE 中， ∠ADC＝∠AEB， ∠DAC＝∠EAB， AC＝AB ， O ∴△ACD≌△ABE (AAS). ∴ AD＝AE. 在Rt△AOD 和Rt△AOE 中， OA＝OA， AD＝AE， Rt△AOD≌Rt△AOE(HL). ∴ ∠DAO＝∠EAO. ∴ AO 平分∠CAB. O 当堂小结 “斜边、直角边” 内容 __________________分别相等的两个直角三角形全等 前提条件 在______三角形中 使用方法 只须找除直角外的两个条件即可(两个条件中至少有一个是一对边相等) 斜边和一条直角边 直角 1. 如图，有垂直于地面的两个木箱，高度分别为 AB = 5，DC = 10. 两个木箱之间恰好可以放进一个等腰直角三角板( AE = DE，∠AED = 90°)，点 B，C，E 在水平地面上，点 A 和点 D 分别与木箱的顶端重合，两个木箱之间的距离等于_______. 当堂练习 15 基础练习 证明：∵ AD，AF 分别是钝角△ABC 和△ABE 的高， ∴∠D＝∠F＝90°. 在 Rt△ADC 和 Rt△AFE 中， AC＝AE， AD＝AF， ∴ Rt△ADC≌Rt△AFE (HL). ∴ CD＝EF. 在 Rt△ABD 和 Rt△ABF 中， 2. (集贤期中)如图，已知 AD，AF 分别是钝角△ACB 和△AEB 的高，如果 AD＝AF，AC＝AE，求证 BC＝BE. AB＝AB， AD＝AF， ∴ Rt△ABD≌Rt△ABF(HL). ∴ BD＝BF. ∴ BD－CD＝BF－EF，即 BC＝BE. 能力提升 3. 如图，有一直角三角形 ABC，∠C ＝ 90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，一条线段 PQ＝AB，P、Q 两点分别在 AC 上和过 A 点且垂直于 AC 的射线 AQ 上运动，问 P 点运动到 AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？ 解：①当 P 运动到 AP＝CB 时， ∵∠C＝∠QAP＝90°. 在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中， PQ＝AB， AP＝BC， ∴ Rt△ABC≌Rt△PQA (HL). ∴ AP＝BC＝5 cm； ②当 P 运动到与 C 点重合时，CA＝AP. 在 Rt△ABC 与 Rt△PQA 中， AB＝PQ， AC＝PA， ∴ Rt△ABC≌Rt△PQA (HL). ∴ AP＝AC＝10 cm. ∴ 当 AP＝5 cm 或 10 cm 时， △ABC 才能和△APQ 全等. 见《学练优》或《新领程》对应课时练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $$