12.2 第3课时 “角边角”“角角边”（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（人教版）

新知一览 全等三角形 角平分线的性质 全等三角形 三角形全等的判定 “边边边” “斜边、直角边” “角边角”“角角边” “边角边” 角平分线的判定 角平分线的性质 12.2 三角形全等的判定 第十二章 全等三角形 第 3 课时 “角边角”“角角边” 人教版八年级(上) 2 这个工具其中一边垂直于地面，但另一边可以转动，沿着另一边的孔看见沉船. 新课导入 有一次，在希腊爱琴海上发生了海难，急需救援，可是大家却因无法测得船遇难的具体位置而束手无策，于是求助“科学和哲学之祖”泰勒斯. 沙滩 怎么测量沉船的距离呢？ 沙滩 同学们能不能扮演小泰勒斯，想办法把这段距离转移到同一水平面的沙滩上来. 将工具固定在地面上的 D 点处，然后工具绕点 D 转动 180°(保证 B、C、D 在同一平面上)，指向沙滩， BD 即为所求长度. A B C D 知识点1：三角形全等的判定“角边角” 沙滩 A B C D 问题1 为什么测量 BD 就是船离岸的距离呢？ 猜测：△ABD≌△ACD 问题2 有哪些条件可以判断这两个三角形全等呢？ 探究新知 沙滩 A B C D ① 工具和地面垂直，∠ADB = ∠ADC = 90°； ② 工具的长度不变，AD = AD； ③ 工具张开的角度也没有变化，∠CAD = ∠BAD. 根据这三个条件(ASA)是否可以得到这两个三角形全等？ 根据上节课画图的方法,一起验证一下吧. 合作探究 先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使 A′B′ = AB，∠A′ =∠A，∠B′ =∠B (即两角和它们的夹边分别相等).把画好的△A′B′C′ 剪下，放到△ABC 上，它们全等吗？ A C B 作法： (1) 画线段 A'B' = AB； (2) 在 A'B' 的同旁画∠DA'B' =∠A，∠EB'A' =∠B， A'D，B'E 相交于点 C'. A′ B′ C′ E A C B 想一想：从中你能发现什么规律？ 归纳总结 文字语言：有两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”). 几何语言： ∠A =∠A′ (已知)， AB = A′B′ (已知)， ∠B =∠B′ (已知)， 在△ABC 和△A′B′C′ 中， ∴△ABC≌△A′B′C′ (ASA). A B C A′ B′ C′ “角边角”判定方法 典例精析 例1 如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，∠B =∠C，AB = AC， ∠B =∠C. 求证 AD = AE. A B C D E 分析： 求证 AD = AE. 求证 △ADC≌△AEB. AB = AC (已知) ∠B =∠C (已知) ∠A =∠A (公共角) 证明：在△ADC 和△AEB 中， ∠C =∠B (已知)， AC = AB(已知)， ∠A =∠A(公共角)， ∴ △ADC≌△AEB(ASA). ∴ AD = AE. A B C D E 练一练 1. (无锡期中) 如图，已知 ∠B＝∠E，AB＝AE，∠1＝∠2. (1) 求证：△ABC≌△AED； 证明：∵ ∠1＝∠2， ∴ ∠1 + ∠BAD＝∠2 + ∠BAD， 即 ∠CAB＝∠DAE. ∠B＝∠E， AB＝DE， ∠CAB＝∠DAE， ∴△ABC≌△AED (ASA). 在△ABC 和△AED 中， F (2) 解：如图，∵∠1＝40°， ∴ ∠1＝∠2＝40°. ∵ ∠AFD＝∠2 + ∠E， ∠AFD＝∠3 + ∠B， ∴ ∠3＝∠2＝40°. (2) 若∠1＝40°，求∠3 的度数. F 生活探究 1.如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢? 如果可以，带哪块去合适? 你能说明其中理由吗? 3 2 1 答：可以带 1 去，因为两角且夹边分别相等的两个三角形全等. 知识点2：用“角角边”判定三角形全等 合作探究 A C B 根据“角边角”的判别方法已知， 若∠C =∠F，BC = EF，∠B =∠E，则△ABC≌△DEF. 现将∠B =∠E 改为∠A =∠D，其他条件不变，那么这两个三角形还全等吗？ D F E 例2 在△ABC 和△DEF 中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF. 求证：△ABC≌△DEF. A C B D F E 分析： 求证 △ABC≌△DEF. ASA BC＝EF ∠B＝∠E ∠C＝∠F ∠C＝180°－∠A－∠B ∠F＝180°－∠D－∠E ∠B＝∠E， BC＝EF， ∠C＝∠F， 证明：在△ABC 中，∠A +∠B +∠C＝180°， ∴△ABC≌△DEF (ASA). ∴∠C＝180°－∠A－∠B. 同理，∠F＝180°－∠D－∠E. 又∵∠A＝∠D，∠B＝∠E， ∴∠C＝∠F. 在△ABC 和△DEF 中， A C B D F E 归纳总结 文字语言：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”). 几何语言： ∠A =∠A′ (已知)， ∠B =∠B′ (已知)， AC = A′C′ (已知)， 在△ABC 和△A′B′C′ 中， ∴△ABC≌△A′B′C′ (AAS). A B C A′ B′ C′ “角角边”判定方法 练一练 2. (南充统考) 如图，点 A、D、B、E 在同一直线上，AD = BE，∠C = ∠F， BC∥EF，求证：AC = DF. 证明：∵ AD＝BE， ∴ AD + BD＝BE + BD，即 AB＝DE. ∵ BC∥EF，∴∠ABC = ∠E. ∠C＝∠F， ∠ABC = ∠E， AB＝DE， ∴△ABC≌△DEF (AAS). 在△ABC 和△DEF 中， ∴ AC＝DF. 当堂小结 角边角 角角边 内容 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简写成 “_____”) 应用 为证明线段和角相等提供了新的依据 注意 注意“角角边”、“角边角”中两角与边的区别 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成 “______”) ASA AAS A B C D E F 1. 如图，∠ACB =∠DFE，BC = EF，那么应补充一个条件 ，才能使△ABC≌△DEF (写出一个即可). ∠B =∠E 或∠A =∠D (ASA) (AAS) AB = DE 可以吗？ × AB∥DE 或 AC = DF (SAS) D′ 当堂练习 基础练习 2.(宁波期中)如图，点 B，C 分别在射线 AM，AN 上，点 E，F 都在 ∠MAN 内部的射线 AD 上， 已知 AB＝AC，且∠BED＝∠CFD＝∠BAC.(1) 求证：△ABE≌△CAF；(2) 试判断 EF，BE，CF 之间的数量关系，并说明理由． (1) 证明：∵∠BED＝∠BAE＋∠ABE， ∠BAC＝∠BAE＋∠CAF，且∠BED＝∠BAC， ∴∠ABE＝∠CAF. 同理 ∠BAE＝∠ACF. 在△ABE 和△CAF 中， ∠ABE＝∠CAF， AB＝CA， ∠BAE＝∠ACF， ∴△ABE≌△CAF(ASA)． (2)解：EF＋CF＝BE. 理由如下： ∵ △ABE≌△CAF， ∴ AE＝CF，BE＝AF. ∵ AE＋EF＝AF， ∴ CF＋EF＝BE. 能力提升 3. 已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′ 分别是△ABC 和△A′B′C′ 的高.试说明 AD＝A′D′，并用一句话说出你的发现. A B C D A′ B′ C′ D′ 解：∵△ABC ≌△A′B′C′ ， ∴ AB = A'B' (全等三角形对应边相等)， ∠B =∠B' (全等三角形对应角相等). ∵AD⊥BC，A'D'⊥B'C'， ∴∠ADB =∠A'D'B'. 在△ABD 和△A'B'D' 中， ∠ADB =∠A'D'B' (已证)， ∠B =∠B' (已证)， AB = AB (已证)， ∴△ABD≌△A'B'D' (AAS). ∴ AD = A'D'. 全等三角形对应边上的高也相等. A B C D A′ B′ C′ D′ 见《学练优》或《新领程》对应课时练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $$