11.2.2 三角形的外角（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（人教版）

新知一览 与三角形有关的线段 与三角形有关的角 三角形 三角形的高、中线与角平分线 三角形的边 三角形内角和 三角形的外角 多边形与内角和 多边形 多边形的内角和 直角三角形的判定和性质 三角形的稳定性 第十一章 三角形 人教版八年级(上) 11.2.2 三角形的外角 两只小猫在如图的 A 处发现有一只老鼠在 O 处觅食，小猫打算用迂回的方式，由一只先从 A 前进到 C 处，然后再折回至 B 处，截住老鼠返回墙洞的去路 ，另一只则直接从 A 处扑向老鼠，已知∠BAC = 40°，∠ABC = 70°，问，小猫从 C 处要逆时针转多少度才能直达 B 处? 题目所求的是哪个角度？ 导入新课 知识点1：三角形外角的定义 探究新知 合作探究 探究一 (1) 任意画两条直线，使它们相交，会出现四个角，这些角有什么关系呢？分别说一说. 图 1 对顶角、邻补角. 图 2 (2) 分别在图 1 中再画一条直线，使得三条直线两两相交，得到图 2，使其出现更多的角，这些角有什么关系呢？分别说一说. 图 1 合作探究 (3) 三角形同一顶点处的角有四个，仔细观察并连线. 图 2.3 ∠1 ∠3 ∠2 ∠4 ∠1 的对顶角 三角形的内角 一边与另一边边的延长线组成的角 三角形外角： 三角形的一边与另一边的延长线组成的角. 例如：∠ACD. 定义总结 1.下列各图中，∠1 是△ABC 的外角的是 ( ) D A B C D 练一练 知识点2：三角形外角的性质 合作探究 探究二 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角. (1) 说说图中角的关系. 例如：∠A + ∠B + ∠ACB = 180°， ∠ACD + ∠ACB = 180° 等. (2) 如果∠A = 70°，∠B = 60°，求∠ACD 的度数，并说说 ∠ACD 与∠A、∠B 的关系； ∠ACD = 130°. ∠ACD = ∠A + ∠B， ∠ACD > ∠A 等. (3) 改变∠A、∠B 的度数，∠ACD 与∠A、∠B 还有(1)中你发现的关系吗 ? 如果有，请说明理由并试着用语言归纳一下你发现的结论. ∠A ∠B ∠ACD 30° 60° 51.95° 53.04° 118°12′ 21°24′ 104.99° 90° 139°36′ ∠ACD = ∠A + ∠B 想一想，如何证明这个结论呢？ 证明 已知：△ABC 如图，求证：∠ACD =∠A +∠B. 分析：利用角的转移. D 证明：过 C 作 CE∥AB， A B C 1 2 则∠1 = ∠B (两直线平行，同位角相等)， ∠2 = ∠A (两直线平行，内错角相等). ∴∠ACD =∠2 +∠1 =∠A +∠B. E 动手实践 三角形内角和定理推论： 三角形的外角_____与它不相邻的两个内角的___. 等于 和 几何语言： ∵∠ACD 是△ABC 的一个外角， ∴∠ACD =∠A +∠B. 知识总结 例1 如图，∠A = 42°，∠ABD = 28°，∠ACE = 18°，求∠BFC 的度数. 解：∵∠BEC 是△AEC 的一个外角， ∴∠BEC = ∠A + ∠ACE. ∵∠A = 42° ，∠ACE = 18°， ∴∠BEC = 60°. ∵∠BFC 是△BEF 的一个外角， ∴∠BFC = ∠ABD + ∠BEF. ∵∠ABD = 28°，∠BEF = 60°， ∴∠BFC = 88°. F A C D E B 典例精析 例2 (一题多解) 如图，∠A = 51°，∠B = 20°，∠C = 30°，求∠BDC 的度数. A B C D ( ( ( 51° 20° 30° 分析：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题. 解法一：连接 AD 并延长到点 E. 在 △ABD 中，∠1 +∠B = ∠3， 在 △ACD 中，∠2 +∠C = ∠4. ∵∠BDC = ∠3 +∠4， ∠BAC = ∠1 +∠2， ∴∠BDC = ∠BAC +∠B +∠C = 51° + 20° + 30° = 101°. A B C D ( ( 20° 30° E ) ) 1 2 ) 3 ) 4 你发现了什么结论？ 解法二：延长 BD 交 AC 于点 E. 在△ABE 中，∠1 = ∠B + ∠A， 在△ECD 中，∠BDC =∠1 +∠C. ∴∠BDC =∠A +∠B +∠C = 51° + 20° + 30° = 101°. A B C D ( ( ( 51° 20° 30° E ) 1 解法三：连接 CD 并延长交 AB 于 F (解题过程同解法二). ) 2 F 通过前面的例题 ，你能画出这些题型的基本图形吗？ ∠BDC＝∠A + ∠B + ∠C 飞镖形 方法总结 2. 两只小猫在如图的 A 处发现有一只老鼠在 O 处觅食，小猫打算用迂回的方式，由一只先从 A 前进到 C 处，然后再折回至 B 处，截住老鼠返回墙洞的去路 ，另一只则直接从 A 处扑向老鼠，已知∠BAC = 40°，∠ABC = 70°，问，小猫从 C 处要逆时针转多少度才能直达 B 处? 解：∵∠BAC = 40°，∠ABC = 70°， ∴∠A = 70°. ∴小猫需要转动的角度为： ∠ECB = ∠A+∠ABC = 40°+70° = 110°. 练一练 知识点3：三角形的外角和 合作探究 探究三 对于任意三角形 ABC，请探索其外角和是多少. 例3 如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？ 分析：利用三角形内角和及其推论、平角的定义等将这些角整体计算. 证法一：利用三角形内角和及其推论. 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE = ∠2 + ∠3， ∠CBF = ∠1 + ∠3， ∠ACD = ∠1 + ∠2. 又知∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°， 所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 2(∠1 + ∠2 + ∠3) = 360°. 证法二：利用三角形内角和及平角的定义. 解法二：如图，∠BAE +∠1 = 180° ① ， ∠CBF +∠2 = 180° ②， ∠ACD +∠3 = 180° ③， 又知∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°， ① + ② + ③ 得 ∠BAE + ∠CBF + ∠ACD + (∠1 + ∠2 + ∠3) = 540°， 所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 540° - 180° = 360°. 你还有其他解法吗？ 三角形外角和： 三角形的外角和等于_____. 例如：∠FAE + ∠ECD + ∠DBF = 360°. 360° 知识总结 性质 三角形的外角 三角形的一个外角等于与它______的两个内角的和 定义 三角形的一边与另外一边的______所组成的角 延长线 三角形外角和 三角形的外角和等于_____ 360° 不相邻 课后小结 基础练习 1. 如图，AB∥CD，∠A＝37°， ∠C＝63°，那么∠F 等于 ( ) A. 26° B. 63° C. 37° D. 60° A 当堂练习 解：∵∠1 是△FBE 的外角， ∴∠1 = ∠B + ∠E， 同理∠2 = ∠A + ∠D. 在△CFG 中， ∠C +∠1 +∠2 = 180°， ∴∠A + ∠B +∠C + ∠ D +∠E = 180°. 2. 如图，求∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E 的度数. F G 3. 如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F = . 360° 更多练习见专题课件. 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $$