第15讲 图形的位似变换 （2个知识点+4种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第15讲 图形的位似变换 （2个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 【例1】（2022秋•定远县期中）如图，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，，．若，则点的坐标为　　 A． B． C．， D． 【变式1】（2023秋•长丰县期末）如图四个图中，均与△相似，且对应点交于一点，则与△成位似图形的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（2022秋•蚌埠期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上，若正方形的边长为6，则点的坐标为　　． 【变式3】（2022秋•滁州期中）如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是 　　． 【变式4】（2024•淮北校级二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点线段和格点（格点为网格线的交点）． （1）以点为位似中心，利用网格将线段放大2倍得到线段，画出线段； （2）以线段为边画格点平行四边形． 知识点2．作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 【例2】如图，矩形的两边在坐标轴上，点为平面直角坐标系的原点，以轴上的某一点为位似中心，作位似图形，且点，的坐标分别为，，则位似中心的坐标为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•富锦市校级期末）在平面直角坐标系中，，，现以原点为位似中心画出，使与相似比为，则的对应点的坐标为 　　． 【变式2】（2023•双桥区模拟）如图，在中，、两个顶点在轴上，点在轴的上方，以点为位似中心作的位似图形，其中点、、在轴上对应的数分别为、和3． （1）与的位似比为 　　； （2）若点的纵坐标为，则点的纵坐标为 　　． 【变式3】（2024•瑶海区一模）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的△； （2）以点为位似中心，在网格中画出△的位似图形△，使△与△的相似比为． 10．（2023秋•贵池区期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的就是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点的坐标为． （1）把向左平移8格后得到△，画出△的图形并写出点的坐标； （2）在如图的方格纸中把以点为位似中心放大，使放大前后的位似比为，画出△． 经典题型汇编 题型一、位似图形的识别 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图为用杭州亚运会吉祥物莲莲所作的图形改变，这种图形改变属于（    ）    A．平移 B．位似 C．旋转 D．轴对称 2．（20-21九年级上·安徽滁州·阶段练习）在如图所示的网格中，以点为位似中心，作四边形的位似图形，小明认为四边形的位似图形是四边形；小亮认为四边形的位似图形是四边形，你认为正确的是 ．（选填“小明”或“小亮”）． 3．（九年级·全国·课后作业）如图所示，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，那么□ABCD与四边形EFGH是否是位似图形？为什么？ 题型二、求两个位似图形的相似比 4．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）某零件长是，若该零件在设计图上的长为，则这幅设计图的比例尺为 ． 5．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为2，则的周长是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 6．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）已知，如图，五边形． (1)以点A为位似中心，作出五边形右边的位似图形五边形，使五边形与五边形的位似比为2；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若五边形的周长为，则五边形的周长为_____． 题型三、求位似图形的对应坐标 7．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，和是位似图形，点O是位似中心， ．若点A的坐标为，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 8．（22-23九年级上·安徽宣城·期末）如图，线段的两个端点坐标分别为，，以原点O为位似中心，将线段放大后得到线段，若，则端点C的坐标为 ． 9．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，的三个顶点坐标分别是，，． (1)以原点O为位似中心，在y轴左侧画出，使得与的位似比为； (2)若点在边上，直接写出点P位似后对应点的坐标______． 题型四、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 10．（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，以O为位似中心，与位似，若B点的对应点的坐标为，则A点的对应点坐标为(    ) A． B． C． D． 11．（22-23九年级上·安徽滁州·期中）如图，与位似，点O为位似中心，位似比为．若的周长为4，则的周长是 ． 12．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心点O； (2)求出与的位似比； (3)以点P为位似中心，在所给的网格图的右边再画一个，使它与的位似比等于2． 试题练习 一、单选题 1．（22-23九年级下·安徽合肥·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．两个多边形相似，则它们一定是位似图形 B．两个位似图形的位似中心可能不止一个 C．位似图形一定是相似图形 D．两个多边形相似，面积比一定是相似比 2．（九年级上·安徽阜阳·期末）如图，线段A1B1是线段AB以某个点为位似中心,放大2倍得到的，则这个点是（   ） A．C点 B．D点 C．E点 D．F点 3．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，和位似，原点是位似中心，位似比为．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点．若与是原点为位似中心的位似图形，且点的对应点为，则点的对应点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在由小正方形组成的网格中，以点O为位似中心，把缩小到原来的倍，则点A的对应点为（    ） A．点D B．点E C．点F D．点G 6．（21-22九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的位似比为1：2，△EDC的周长为8，则△ABC的周长是（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 7．（21-22九年级上·安徽阜阳·阶段练习）下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（九年级·安徽·课后作业）点A,B,C,D都在如图所示的由正方形组成的网格图中,且线段CD与线段AB成位似图形,则位似中心为(   ) A．点E B．点F C．点H D．点G 9．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的周长是25，则四边形的周长是（　　） A．4 B．10 C． D． 10．（19-20九年级上·安徽·期中）如图，△ABC的三个顶点A(1，2)、B(2，2)、C(2，1).以原点O为位似中心，将△ABC扩大得到△A1B1C1,且△ABC 与△A1B1C1的位似比为1 :3.则下列结论错误的是 (   ) A．△ABC∽△A1B1C1 B．△A1B1C1的周长为6+ C．△A1B1C1的面积为3 D．点B1的坐标可能是(6，6) 二、填空题 11．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点、的坐标分别为、．若线段和是位似图形，且位似中心在轴上，则位似中心的坐标为 ．    12．（九年级上·安徽·阶段练习）如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，对应边CD=2，C′D′=3，则AB：A′B′= ． 13．（23-24九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，，且点在反比例函数的图象上，以点为位似中心，在的上方将线段放大为原来的倍得到线段． （1）的值为 ； （2）若线段与反比例函数的图象总有交点，则的最大值为 ． 14．（19-20九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，方格纸中每个小格的边长均为，的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系． 点的坐标是 ，点的坐标是 ； 以原点为位似中心，将缩小，使变换后的到的与对应边的比为请在网格中画出，并写出的面积为 ． 三、解答题 15．（23-24九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知O是坐标原点，点A，B的坐标分别为，． (1)在y轴的左侧以O为位似中心将放大为原来的2倍得到，请在网格中画出； (2)在（1）的条件下，与的周长比为________，面积比为________． 16．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，正方形网格中，的顶点均在格点上．以格点为圆心作圆，格点，，，分别落在圆上． (1)将以为位似中心放大2倍，得到，画出． (2)如图，在圆上任取一点（点不是格点），用无刻度直尺在圆上找一点，使得，画出，并在图中保留确定点的痕迹． 17．（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，在网格中，点是格点，是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点是点以点为位似中心的对应点．    (1)画出以点为位似中心的位似图形； (2)与的面积比是_____________． 18．（2023·安徽淮北·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点线段和格点O（格点为网格线的交点）． (1)以点O为位似中心，利用网格将线段放大2倍得到线段，画出线段； (2)以线段为边画格点平行四边形． 19．（21-22九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC 与△A′B′C′是关于点О为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的格点上． （1）画出位似中心点O； （2）以点Р为位似中心，在所给网格图的右边再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于2． 20．（2024·安徽滁州·二模）如图，在平面直角坐标系中， 是格点三角形(顶点均在格点上)，且三个顶点的坐标分别为，请根据条件解决下列问题： (1)以点 B为位似中心，位似比为2将放大，请在网格图中画出放大后的 ，并写出点和点的坐标； (2)请仅用无刻度的直尺作出的一条中位线 (不写作法，保留作图痕迹)． 21．（22-23九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在10×10网格中，点O是格点，△ABC是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点A1是点A以点O为位似中心的对应点． (1)画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1； (2)△A1B1C1与△ABC的位似比是　　． 22．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）如图，的三个顶点坐标分别是，，． (1)以原点O为位似中心，在y轴左侧画出，使得与的位似比为，并写出点的坐标． (2)的内部一点M的坐标为，则点M在中的对应点的坐标是多少？ 23．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)与是位似图形，位似中心是点E，请在图中标出点E的位置，并写出点E的坐标； (2)以点为位似中心，将放大为原来的2倍得到（其中与A，与B，与C是对应点，并且每对对应点分别在点D的同侧）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 图形的位似变换 （2个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 【例1】（2022秋•定远县期中）如图，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，，．若，则点的坐标为　　 A． B． C．， D． 【分析】连接，根据题意以及位似图形的知识可知和是等腰直角三角形，结合相似比和点坐标，可知是的中点，根据等腰三角形中的三线合一的性质可得，据此只需求出和即可得到点的坐标；根据是等腰直角三角形和可得是等腰直角三角形，则，结合点的坐标即可解答本题． 【解答】解：连接． ，， 是等腰直角三角形， ． 与是位似图形，相似比为， ，是等腰直角三角形． ， 点为的中点， ． ， ， 是等腰直角三角形， ． ， 是等腰直角三角形， ， 点的坐标为． 故选：． 【点评】本题考查的是位似变换的性质、等腰直角三角形的性质，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形． 【变式1】（2023秋•长丰县期末）如图四个图中，均与△相似，且对应点交于一点，则与△成位似图形的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据位似图形的概念判断即可． 【解答】解：图1、图3、图4是位似图形， 图2的对应边不平行，不是位似图形， 故选：． 【点评】本题考查的是位似图形的概念，两个图形是相似形、对应点的连线都经过同一点、对应边平行，则两个图形是位似图形． 【变式2】（2022秋•蚌埠期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上，若正方形的边长为6，则点的坐标为　　． 【分析】根据位似图形的概念得到，，根据相似三角形的性质计算，分别求出、，得到答案． 【解答】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，相似比为， ，， ，， ，即， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握位似图形的对应边平行是解题的关键． 【变式3】（2022秋•滁州期中）如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是 　6　． 【分析】利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：与位似，点为位似中心，相似比为． 的周长：的周长， 的周长为4， 的周长， 故答案为：6． 【点评】本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式4】（2024•淮北校级二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点线段和格点（格点为网格线的交点）． （1）以点为位似中心，利用网格将线段放大2倍得到线段，画出线段； （2）以线段为边画格点平行四边形． 【分析】（1）根据位似图形的性质画图即可； （2）根据平行四边形的定义，结合网格图即可作答． 【解答】解：（1）如图1，即为所求； （2）如图2，平行四边形即为所求（答案不唯一）． 【点评】本题考查了画已知线段的位似图形以及平行四边形的定义等知识，掌握位似图形的性质是解答本题的关键． 知识点2．作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 【例2】如图，矩形的两边在坐标轴上，点为平面直角坐标系的原点，以轴上的某一点为位似中心，作位似图形，且点，的坐标分别为，，则位似中心的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】连接交轴于，根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，求出点的坐标． 【解答】解：如图，连接交轴于， 四边形和四边形是矩形，点，的坐标分别为，， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， ，， 点的坐标为， 故选：． 【点评】本题考查的是位似变换的概念、坐标与图形性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心是解题的关键． 【变式1】（2023秋•富锦市校级期末）在平面直角坐标系中，，，现以原点为位似中心画出，使与相似比为，则的对应点的坐标为 　或　． 【分析】利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点的的横纵坐标都乘以或得到的对应点的坐标． 【解答】解：以原点为位似中心画出，使与相似比为， 而， 的对应点的坐标为，或，， 即或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 【变式2】（2023•双桥区模拟）如图，在中，、两个顶点在轴上，点在轴的上方，以点为位似中心作的位似图形，其中点、、在轴上对应的数分别为、和3． （1）与的位似比为 　　； （2）若点的纵坐标为，则点的纵坐标为 　　． 【分析】（1）由题意可得，再结合相似三角形的性质可得答案． （2）由题意，作出，过点作轴于点，过点作轴于点，则可得，即，再根据点的位置可得答案． 【解答】解：（1）点、、在轴上对应的数分别为、和3， ，， ， 与的位似比为． 故答案为：． （2）根据题意，作出如图所示， 过点作轴于点，过点作轴于点， 由（1）可知，与的位似比为， ， 点的纵坐标为， ， ， 点在第四象限， 点的纵坐标为． 故答案为：． 【点评】本题考查作图相似变换、点的坐标，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键． 【变式3】（2024•瑶海区一模）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的△； （2）以点为位似中心，在网格中画出△的位似图形△，使△与△的相似比为． 【分析】（1）直接利用关于轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案． 【解答】解：（1）如图所示：△，即为所求； （2）如图所示：△，即为所求． 【点评】此题主要考查了位似变换以及轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键． 10．（2023秋•贵池区期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的就是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点的坐标为． （1）把向左平移8格后得到△，画出△的图形并写出点的坐标； （2）在如图的方格纸中把以点为位似中心放大，使放大前后的位似比为，画出△． 【分析】（1）的各点向左平移8格后得到新点，顺次连接得△； （2）根据以点为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为，即可画出放大后的△的图形． 【解答】解；（1）画出的△如图所示，点的坐标为； （2）画出的△的图形如图所示． 【点评】此题主要考查了图形的位似变换和平移变换的知识，根据基本作图方法得出图形是解题关键． 经典题型汇编 题型一、位似图形的识别 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图为用杭州亚运会吉祥物莲莲所作的图形改变，这种图形改变属于（    ）    A．平移 B．位似 C．旋转 D．轴对称 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换，理解图形的形状相同，大小不相同，属于位似变换，是解答本题的关键． 【详解】解：这种图形改变属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于位似变换． 故选B． 2．（20-21九年级上·安徽滁州·阶段练习）在如图所示的网格中，以点为位似中心，作四边形的位似图形，小明认为四边形的位似图形是四边形；小亮认为四边形的位似图形是四边形，你认为正确的是 ．（选填“小明”或“小亮”）． 【答案】小亮 【分析】根据位似图形的概念画出图形，得到答案． 【详解】解：延长、、、分别到、、、， 则四边形是四边形的位似图形， 所以小亮正确． 故答案为：小亮． 【点睛】本题考查的是位似图形的概念，掌握位似的两个图形对应点的连线都经过同一点是解题的关键． 3．（九年级·全国·课后作业）如图所示，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，那么□ABCD与四边形EFGH是否是位似图形？为什么？ 【答案】是，理由见解析． 【分析】根据三角形中位线定理得到EF=HG，FE∥HG，根据平行四边形的判定定理证明四边形EFGH是平行四边形，再根据平行线的性质定理、相似多边形的判定定理证明即可． 【详解】是，理由如下： ∵E、F分别是OA、OB的中点， ∴FE=AB，FE∥AB， G、H分别是OC、OD的中点， ∴HG=CD，HG∥CD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴EF=HG，FE∥HG， ∴四边形EFGH是平行四边形； ∵FE∥AB， ∴∠OEF=∠OAB， 同理∠OEH=∠OAD， ∴∠HEF=∠DAB， 同理，∠EFG=∠ABC，∠FGH=∠BCD，∠GHE=∠CDA，， ∴平行四边形EFGH∽平行四边形ABCD， ∵各组对边对应点的连线相交于点O， ∴平行四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，O为位似中心． 题型二、求两个位似图形的相似比 4．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）某零件长是，若该零件在设计图上的长为，则这幅设计图的比例尺为 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例尺的计算方法，先把转化为，再用图上距离实际距离即可求出比例尺，解题的关键是进行单位的换算． 【详解】解：∵， ∴， ∴这幅设计图的比例尺是， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为2，则的周长是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了位似的性质，根据位似图形的周长之比等于位似比，根据，得到，确定位似比计算即可． 【详解】∵与是位似图形，点O为位似中心，． ∴， 根据位似图形的周长之比等于位似比，的周长为2， ∴， 解得， 故选B． 6．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）已知，如图，五边形． (1)以点A为位似中心，作出五边形右边的位似图形五边形，使五边形与五边形的位似比为2；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若五边形的周长为，则五边形的周长为_____． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题考查的是画位似图形，位似图形的性质的应用，掌握位似图形的性质并应用于画图是解本题的关键； （1）在的延长线上截取，在的延长线上截取，连接，，同法得到，，再顺次连接，，，，即可； （2）直接利用位似图形的周长比等于位似比即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，五边形即为所求作的图形； ． （2）∵五边形与五边形的位似比为2； ∴五边形与五边形的周长比为2； ∵五边形的周长为， ∴五边形的周长为． 题型三、求位似图形的对应坐标 7．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，和是位似图形，点O是位似中心， ．若点A的坐标为，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求位似点的坐标，利用位似是特殊的相似，若两个图形和′以原点为位似中心，相似比是k，上一点的坐标是，则在中，它的对应点的坐标是或，进而求出即可． 【详解】∵和是位似图形，点O是位似中心， ． 点A的坐标为， ∴点C的坐标为， 故选C． 8．（22-23九年级上·安徽宣城·期末）如图，线段的两个端点坐标分别为，，以原点O为位似中心，将线段放大后得到线段，若，则端点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据点A、B的坐标，得到，根据，得到位似比为：，结合图形得出，则点A的对应点C的坐标是的坐标同时乘以2，因而得到的点C的坐标． 【详解】解：∵线段的两个端点坐标分别为，， ∴， ∵以原点O为位似中心，将线段放大后得到线段，， ∴两图形位似比为：， ∴点C的坐标为：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了图形的位似，熟练掌握以坐标原点为位似中心的位似图形的坐标特征是解题的关键． 9．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，的三个顶点坐标分别是，，． (1)以原点O为位似中心，在y轴左侧画出，使得与的位似比为； (2)若点在边上，直接写出点P位似后对应点的坐标______． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查坐标与位似．掌握位似图形的性质，是解题的关键． （1）根据位似图形的性质，画出即可； （2）根据坐标轴中以原点为位图中心的两个图形上的点的坐标关系进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）∵与的位似比为，两图形在原点的异侧， ∴点位似后对应点的坐标，即：； 故答案为：． 题型四、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 10．（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，以O为位似中心，与位似，若B点的对应点的坐标为，则A点的对应点坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知对应点的坐标的变化，可求出与的位似比为，进而可求出点坐标． 【详解】∵，， ∴，． ∵与位似，且O为位似中心， ∴． ∵， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查坐标与图形的变化—位似变换．根据题意求出位似比是解题关键． 11．（22-23九年级上·安徽滁州·期中）如图，与位似，点O为位似中心，位似比为．若的周长为4，则的周长是 ． 【答案】6 【分析】根据周长之比等于位似比计算即可． 【详解】设的周长是x， ∵ 与位似，相似比为，的周长为4， ∴， 解得：， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键． 12．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心点O； (2)求出与的位似比； (3)以点P为位似中心，在所给的网格图的右边再画一个，使它与的位似比等于2． 【答案】(1)见解析 (2)与的位似比为． (3)见解析 【分析】（1）本题考查位似作图和位似中心的特点，根据各对应点连线所在直线的交点即为位似中心，画出图形，即可解题． （2）本题考查位似比，由（1）中图形，得出，的长度，利用，即可求得与的位似比． （3）本题考查位似作图，根据点P为位似中心，与的位似比等于2，延长到，使，延长到，使，延长到，使，即找出顶点的对应点、、，依次连接对应点，就是所求作的三角形． 【详解】（1）解：如图所示：点O就是位似中心． （2）解：由（1）知，，， ， 与的位似比为． （3）解：如图所示：就是所求作的三角形． 试题练习 一、单选题 1．（22-23九年级下·安徽合肥·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．两个多边形相似，则它们一定是位似图形 B．两个位似图形的位似中心可能不止一个 C．位似图形一定是相似图形 D．两个多边形相似，面积比一定是相似比 【答案】C 【分析】根据位似图形的概念和相似多边形的性质判断即可． 【详解】A. 两个多边形相似，则它们不一定是位似图形，，故该选项说法错误； B. 两个位似图形的位似中心只有一个，故该选项说法错误； C. 位似图形一定是相似图形，故该选项说法正确； D. 两个多边形相似，面积比是相似比的平方，故该选项说法错误； 故选：C． 【点睛】本题考查的是位似图形的概念，相似多边形的性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键． 2．（九年级上·安徽阜阳·期末）如图，线段A1B1是线段AB以某个点为位似中心,放大2倍得到的，则这个点是（   ） A．C点 B．D点 C．E点 D．F点 【答案】B 【分析】连接AA1，BB1，则交点即为它们的位似中心． 【详解】如图，连接AA1，BB1，则交点即为它们的位似中心． ∴位似中心是点D. 故选B. 【点睛】本题考查了位似图形的性质，位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比.①位似图形对应线段的比等于相似比；②位似图形的对应角都相等；③位似图形对应点连线的交点是位似中心；④位似图形面积的比等于相似比的平方；⑤位似图形高、周长的比都等于相似比；⑥位似图形对应边互相平行或在同一直线上. 3．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，和位似，原点是位似中心，位似比为．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查位似图形的性质，注意位似比与坐标比的关系是解题的关键．根据位似图形的性质，若以原点为位似中心，且都在同一侧的两个位似图形，其坐标比等于相似比，相似比为，则对应的坐标比也为或，即可解得点的坐标． 【详解】∵和位似，原点是位似中心，位似比为，点的坐标为， ∴点的坐标为(，，即， 故选：A． 4．（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点．若与是原点为位似中心的位似图形，且点的对应点为，则点的对应点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换．根据点的对应点为得出点的坐标变化规律即纵、横坐标分别乘以可得出结论． 【详解】解：∵点的对应点为， ∴点的对应点坐标为，即， 故选：B． 5．如图，在由小正方形组成的网格中，以点O为位似中心，把缩小到原来的倍，则点A的对应点为（    ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】A 【分析】本题考查了作图—位似变换，解题的关键是根据位似中心和位似比确定对应点的位置．连接并延长到使得，则点是点A的对应点，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接并延长到使得，则点是点A的对应点，即点A的对应点为D点， 故选A． 6．（21-22九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的位似比为1：2，△EDC的周长为8，则△ABC的周长是（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据三角形的位似比等于相似比，和相似三角形的性质计算即可； 【详解】∵△ABC和△EDC的位似比为1：2， ∴△ABC和△EDC的相似比为1：2， 又∵△EDC的周长为8， ∴， ∴△ABC的周长为4． 故选B． 【点睛】本题主要考查了位似图形和相似三角形的性质应用，准确分析计算是解题的关键． 7．（21-22九年级上·安徽阜阳·阶段练习）下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似变换，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，对应线段相互平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似图形对应点所在直线的交点是位似中心，据此求解即可． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中不平行，即与不成位似图形， 故选；C． 8．（九年级·安徽·课后作业）点A,B,C,D都在如图所示的由正方形组成的网格图中,且线段CD与线段AB成位似图形,则位似中心为(   ) A．点E B．点F C．点H D．点G 【答案】B 【分析】根据位似图形对应点连线过位似中心判断即可． 【详解】 解：点A、B、C、D都在如图所示的由正方形组成的网格图中，且线段CD与线段AB成位似图形，则位似中心为点F， 故选B． 【点睛】此题考查位似变换，解题关键是弄清位似中心的定义． 9．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的周长是25，则四边形的周长是（　　） A．4 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换，相似图形的性质．先根据位似的性质得到，四边形与四边形相似，再利用比例的性质得，然后根据相似多边形的性质求解． 【详解】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心， ，四边形与四边形相似， ， ， ， 四边形的周长：四边形的周长， 四边形的周长． 故选：B． 10．（19-20九年级上·安徽·期中）如图，△ABC的三个顶点A(1，2)、B(2，2)、C(2，1).以原点O为位似中心，将△ABC扩大得到△A1B1C1,且△ABC 与△A1B1C1的位似比为1 :3.则下列结论错误的是 (   ) A．△ABC∽△A1B1C1 B．△A1B1C1的周长为6+ C．△A1B1C1的面积为3 D．点B1的坐标可能是(6，6) 【答案】C 【分析】根据位似图的性质可知，位似图形也是相似图形，周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方，对应边之比等于位似比，据此判断即可. 【详解】A. △ABC∽△A1B1C1，故A正确； B. 由图可知，AB=2-1=1，BC=2-1=1，AC=，所以△ABC的周长为2+，由周长比等于位似比可得△A1B1C1的周长为△ABC周长的3倍，即6+，故B正确； C. S△ABC=,由面积比等于位似比的平方，可得△A1B1C1的面积为△ABC周长的9倍，即，故C错误； D. 在第一象限内作△A1B1C1时，B1点的横纵坐标均为B的3倍，此时B1的坐标为（6,6），故D正确； 故选C. 【点睛】本题考查位似三角形的性质，熟练掌握位似的定义，以及位似三角形与相似三角形的关系是解题的关键. 二、填空题 11．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点、的坐标分别为、．若线段和是位似图形，且位似中心在轴上，则位似中心的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据题意，位似中心在轴上，如图所示，连接与轴交于点，则点是位似中心，运用待定系数法求出直线的解析式，令，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接与轴交于点，则点是位似中心，    ∵，， ∴设所在直线的解析式为， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴位似中心的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查位似与一次函数的综合，掌握位似的定义，待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 12．（九年级上·安徽·阶段练习）如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，对应边CD=2，C′D′=3，则AB：A′B′= ． 【答案】2：3． 【详解】试题分析：直接利用位似图形的对应边的比值相等，进而得出答案． 解：∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，对应边CD=2，C′D′=3， ∴AB：A′B′=2：3． 故答案为2：3． 考点：位似变换． 13．（23-24九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，，且点在反比例函数的图象上，以点为位似中心，在的上方将线段放大为原来的倍得到线段． （1）的值为 ； （2）若线段与反比例函数的图象总有交点，则的最大值为 ． 【答案】 12 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、位似变换的性质、反比例函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将点代入反比例函数解析式得到，计算即可得出答案； （2）根据位似变化的性质可得，当在反比例函数图象上时，的值最大，由此求解即可． 【详解】解：（1）点在反比例函数的图象上， ， ， 故答案为：； （2）以点为位似中心，在的上方将线段放大为原来的倍得到线段， ， 线段与反比例函数的图象总有交点， 当在反比例函数图象上时，的值最大， ， 解得：或（不符合题意，舍去） 的最大值为， 故答案为：． 14．（19-20九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，方格纸中每个小格的边长均为，的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系． 点的坐标是 ，点的坐标是 ； 以原点为位似中心，将缩小，使变换后的到的与对应边的比为请在网格中画出，并写出的面积为 ． 【答案】 【分析】（1）利用点的坐标的表示方法求解； （2）先根据以原点为位似中心的位似图形对应点的坐标的关系写出A1（1，4），B1（0，3），C1（3，3），再描点得到△A1B1C1，然后根据面积公式计算△A1B1C1的面积． 【详解】（1）A（2，8），C（6，6）； （2）∵以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后的到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为1：2， ∴A1（1，4），B1（0，3），C1（3，3）， 如图， S△A1B1C1＝×3×1＝． 故答案为（2，8），（6，6）；． 【点睛】本题考查了作图−位似变换：先确定位似中心，再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点，接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点，然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．记住以原点为位似中心的位似图形对应点的坐标的关系． 三、解答题 15．（23-24九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知O是坐标原点，点A，B的坐标分别为，． (1)在y轴的左侧以O为位似中心将放大为原来的2倍得到，请在网格中画出； (2)在（1）的条件下，与的周长比为________，面积比为________． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题主要考查了作位似图形，位似图形的性质，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质． （1）根据位似图象的特征进行作图即可； （2）根据位似图形的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：作出点的对应点，点B的对应点，顺次连接，则为所求作的三角形． （2）解：∵放大为原来的2倍得到， ∴， ∴， ． 故答案为：；． 16．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，正方形网格中，的顶点均在格点上．以格点为圆心作圆，格点，，，分别落在圆上． (1)将以为位似中心放大2倍，得到，画出． (2)如图，在圆上任取一点（点不是格点），用无刻度直尺在圆上找一点，使得，画出，并在图中保留确定点的痕迹． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查无刻度直尺画图，位似的定义，平行线定义，勾股定理． （1）根据题意利用位似定义即可画出； （2）根据题意利用平行线定义，平移即可． 【详解】（1）解：∵以为位似中心放大2倍，得到， ∴设格点为单位“1”，即，，， ∴，，，画图如下： ； （2）解：将线段沿着格点向右平移直到过点，画线交圆于点，即可得到，如下图所示： ． 17．（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，在网格中，点是格点，是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点是点以点为位似中心的对应点．    (1)画出以点为位似中心的位似图形； (2)与的面积比是_____________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意画出位似图形，即可求解； （2）根据面积比等于相似比的平方，相似比等于位似比，即可求解． 【详解】（1）如图所示，即为所求．    （2）与的面积比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查位似图形的画图和相似比的计算，掌握对应的方法是本题关键． 18．（2023·安徽淮北·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点线段和格点O（格点为网格线的交点）． (1)以点O为位似中心，利用网格将线段放大2倍得到线段，画出线段； (2)以线段为边画格点平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了画已知线段的位似图形以及平行四边形的定义等知识，掌握位似图形的性质是解答本题的关键． （1）根据位似图形的性质画图即可； （2）根据平行四边形的定义，结合网格图即可作答． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，平行四边形即为所求（本题答案不唯一）． 19．（21-22九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC 与△A′B′C′是关于点О为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的格点上． （1）画出位似中心点O； （2）以点Р为位似中心，在所给网格图的右边再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于2． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线AA′、BB′的交点就是位似中心O． （2）要画△A1B1C1，先确定点B1的位置，因为△A1B1C1与△ABC的位似比等于2，因此PB1=2PB，所以PB1=2．再过点B1画A1B1AB交P A于A1，过点B1画B1C1BC交PC′于C1． 【详解】解：（1）如图所示，点就是位似中心．                  （2）如图所示，就是所求作的三角形． 【点睛】本题考查了作图-位似变换，掌握根据条件画图是解题的关键． 20．（2024·安徽滁州·二模）如图，在平面直角坐标系中， 是格点三角形(顶点均在格点上)，且三个顶点的坐标分别为，请根据条件解决下列问题： (1)以点 B为位似中心，位似比为2将放大，请在网格图中画出放大后的 ，并写出点和点的坐标； (2)请仅用无刻度的直尺作出的一条中位线 (不写作法，保留作图痕迹)． 【答案】(1)见解析，； (2)见解析 【分析】（1）根据坐标系中位似作图的基本步骤，分类计算即可； （2）根据点的坐标特点，确定中点，根据中位线定理的意义，作图即可． 本题考查了位似作图，中位线作图，熟练掌握位似作图的基本步骤，中位线的意义是解题的关键． 【详解】（1）根据位似作图得基本步骤，且， 以点 B为位似中心，位似比为2将放大，位似作图如下： 故；． （2）根据坐标的特点，作图如下： 则中位线即为所求． 21．（22-23九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在10×10网格中，点O是格点，△ABC是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点A1是点A以点O为位似中心的对应点． (1)画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1； (2)△A1B1C1与△ABC的位似比是　　． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）画位似图形的一般步骤如下： 1）确定位似中心； 2）连接位似中心和能代表原图的关键点并延长； 3）根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点； 4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形． （2）要求位似比则需要把对应边的长度求解并做比值即可． 【详解】（1）（1）如图所示，△A1B1C1即为所求． （2）（2）△A1B1C1与△ABC的位似比3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查位似图形的画图和相似比的计算，掌握对应的方法是本题关键． 22．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）如图，的三个顶点坐标分别是，，． (1)以原点O为位似中心，在y轴左侧画出，使得与的位似比为，并写出点的坐标． (2)的内部一点M的坐标为，则点M在中的对应点的坐标是多少？ 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】本题考查了位似变换，能根据位似中心找到位似图形中对应点的位置是解题的关键． （1）依据位似中心及位似比的大小即可作出； （2）根据位似比和位似图形的位置即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）∵与的位似比为，在y轴左侧， ∴的内部一点M的坐标为，则点M在中的对应点的坐标是 23．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)与是位似图形，位似中心是点E，请在图中标出点E的位置，并写出点E的坐标； (2)以点为位似中心，将放大为原来的2倍得到（其中与A，与B，与C是对应点，并且每对对应点分别在点D的同侧）． 【答案】(1)图见解析，点E的坐标为． (2)见解析 【分析】本题考查根据位似图形找位似中心，位似作图，掌握位似图形的特征是解题的关键． （1）由位似中心是对应点连线的交点作图即可，再根据点的位置直接写出点的坐标即可解题； （2）根据位似比确定、、的位置，再连线即可得到． 【详解】（1）解：点E的位置如下图所示： 由图知，点E的坐标为． （2）解：得到如图所示： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$