第02章 对称图形—圆 章节练习（22个知识点+44题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第02章 对称图形——圆 章节练习（22个知识点+44题练习） 知识点合集 知识点1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点2．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点3．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 知识点4．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 知识点5．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点6．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点7．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点8．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点9．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 知识点10．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点11．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识点12．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 知识点13．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 知识点14．弦切角定理 （1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． （2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半． 　如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）． 知识点15．切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 知识点16．切割线定理 （1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 几何语言： ∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT的平方＝PA•PB（切割线定理） （2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 几何语言： ∵PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD•PC＝PA•PB（切割线定理推论）（割线定理） 由上可知：PT2＝PA•PB＝PC•PD． 知识点17．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 知识点18．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 知识点19．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点20．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 知识点21．圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 知识点22．圆柱的计算 （1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长． （2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高 （3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积 （4）圆柱的体积＝底面积×高． 试题练习 一．圆的认识 1．（2022秋•沭阳县月考）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2022秋•东台市校级月考）已知中最长的弦为12厘米，则此圆半径为 　　厘米． 二．垂径定理 3．（2023•盐都区一模）如图，的半径为5，弦，于点，则的长为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2023秋•金坛区校级月考）如图，在中，，为弦，为直径，于，于，与相交于． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 三．垂径定理的应用 5．（2024•溧阳市一模）如图，是城市雨水排水管道的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度是　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•高新区校级期中）如图是一个圆柱形的玻璃保温水杯，将其横放，截面是个半径为的圆，杯内水面，则水的最大深度是 　　． 四．圆心角、弧、弦的关系 7．（2023秋•新北区校级月考）若的半径为，一条弦分为部分，这条弦所对的圆心角的度数为 　　，这条弦的长度为 　　． 8．（2023秋•亭湖区校级期中）如图，在给定的圆上依次取点，，，．连结，，．设，交于点． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 五．圆周角定理 9．（2024•南京模拟）正方形内接于，是的中点，连接、，则　　． 10．（2024•宜兴市二模）已知：如图，在中，，以为直径的交于点，为的中点． （1）求证：； （2）延长、交于点，若，，求的长． 六．圆内接四边形的性质 11．（2024•新吴区一模）如图，点、、、、在上，且，则的度数为　　 A． B． C． D． 12．（2024春•丹徒区校级月考）如图，四边形内接于，若，，则　． 七．点与圆的位置关系 13．（2024•宜兴市二模）已知的半径为，为线段的中点，当时，点与的位置关系是 　　． 14．（2022秋•如皋市校级月考）如图，在中，，，的中点为．求证：，，，四点在以为圆心的圆上． 八．确定圆的条件 15．（2023秋•扬州校级月考）下列说法，错误的是　　 A．直径是弦 B．等弧所对的圆心角相等 C．弦的垂直平分线一定经过圆心 D．过三点可以确定一个圆 16．（2023秋•滨海县月考）如图所示，在中，，分别是，边上的高，求证：，，，四点在同一个圆上． 九．三角形的外接圆与外心 17．（2024•鼓楼区校级模拟）有下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）等弧所对的圆心角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．（2024•建邺区二模）如图，在中，，点是的中点，经过，，三点的交于点，的直径． （1）求证：， （2）当时，求的半径． 一十．直线与圆的位置关系 19．（2023秋•梁溪区校级期末）在平面直角坐标系中，以点为圆心，3为半径的圆　　 A．与轴相离，与轴相切 B．与轴相离，与轴相交 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相离 20．（2023秋•淮安期末）如图，四边形内接于，是的直径，平分， 于点． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求直径的长． 一十一．切线的性质 21．（2024•泗阳县模拟）如图，，分别与相切于点，，的切线分别交，于点，，切点在弧上，若长为8，则的周长是 　　． 22．（2024•秦淮区二模）如图，内接于，．是上一点，．过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，则的半径长为 　　． 一十二．切线的判定 23．（2023秋•高港区期末）已知的直径为4，点到圆心的距离为2，则　　 A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．过点的直线是的切线 24．（2023秋•江阴市期中）已知，点，点，直线经过点且垂直于轴，点是直线上一个动点，的角平分线与直线交于点，则的形状一定是 　　；当点运动至某一位置时，的外接圆与一条坐标轴相切，则所有符合情况的点的坐标为 　　． 一十三．切线的判定与性质 25．（2023秋•盐都区期中）如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且位于点左侧的距离处．如果以的速度沿由向的方向移动，那么　　秒钟后与直线相切． A．3 B．7 C．3或7 D．6或14 26．（2024•梁溪区校级二模）如图，已知的圆心在的边上，与相交于、两点，且与边相切于点，连结． （1）若，求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 一十四．弦切角定理 27．（2022•江阴市校级一模）如图，是的直径，、分别切于点、，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 28．（宝应县一模）如图，已知半径为1的经过直角坐标系的原点，且与轴、轴分别交于点、，点的坐标为，，的切线与直线交于点．则　　度． 一十五．切线长定理 29．（2022秋•亭湖区校级期中）如图，为圆外一点，，分别切圆于，两点，若，则　　 A．2 B．3 C．4 D．5 30．（2023秋•江阴市校级月考）如图，四边形是的外切四边形，且，，则四边形的周长为 　　． 一十六．切割线定理 31．（2020秋•溧阳市期末）已知：如图，半径为5，切于点，交于点，，那么的长等于　　 A．6 B． C． D． 32．（新吴区期中）如图，已知与的斜边交于，两点，、恰好是的三等分点，若的半径等于5，则的长为　　． 一十七．三角形的内切圆与内心 33．（2024•泗洪县一模）如图，内切于正方形，边、分别与切于点、，点、分别在线段、上，且与相切．若的面积为6，则的半径为　　 A． B． C． D． 34．（2024•鼓楼区校级二模）如图，内接于，的平分线交于点，过作分别交，的延长线于点，． （1）求证：是的切线； （2）已知，，点为的内心，求的长． 一十八．正多边形和圆 35．（2024•姑苏区校级二模）边长为3的正六边形的面积为 　　． 36．（2023秋•亭湖区校级月考）如图，正方形内接于，，求证：． 一十九．弧长的计算 37．（2024•海安市一模）如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了，此时砝码被提起了 　　．（结果保留 38．（2024•海门区二模）如图，的半径为5，弦，互相垂直，垂足为点．点在上，且．连接，，． （1）求的度数； （2）求的长． 二十．扇形面积的计算 39．（2024•邗江区二模）若扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的面积是　　（结果保留． 40．（2023•靖江市模拟）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．（画图过程用虚线，画图结果用实线）． （1）仅用无刻度的直尺，在上找三点、、（逆时针方向），使得四边形为菱形； （2）设每个小正方形的边长为1，直接写出扇形的面积． 二十一．圆锥的计算 41．（2024•建湖县校级二模）已知圆锥的底面半径是，母线长为，则圆锥的侧面积是　　 A． B． C． D． 42．（2023秋•宿迁期末）如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角的扇形． （1）求阴影部分面积； （2）用所裁剪的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径． 二十二．圆柱的计算 43．（2024•秦淮区校级模拟）已知圆柱的底面半径为，母线长为，则圆柱的侧面积是 　　． 44．枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，七周而达到其顶，如图所示，问葛藤之长几何？丈尺，1尺米） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02章 对称图形——圆 章节练习（22个知识点+44题练习） 知识点合集 知识点1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点2．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点3．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 知识点4．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 知识点5．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点6．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点7．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点8．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点9．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 知识点10．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点11．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识点12．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 知识点13．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 知识点14．弦切角定理 （1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． （2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半． 　如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）． 知识点15．切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 知识点16．切割线定理 （1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 几何语言： ∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT的平方＝PA•PB（切割线定理） （2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 几何语言： ∵PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD•PC＝PA•PB（切割线定理推论）（割线定理） 由上可知：PT2＝PA•PB＝PC•PD． 知识点17．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 知识点18．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 知识点19．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点20．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 知识点21．圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 知识点22．圆柱的计算 （1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长． （2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高 （3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积 （4）圆柱的体积＝底面积×高． 试题练习 一．圆的认识 1．（2022秋•沭阳县月考）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用等弧的定义、圆周角定理、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误； （2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误； （3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误； （4）直径是圆中最长的弦，正确， 正确的只有1个， 故选：． 【点评】本题考查了圆的有关定义，能够了解圆的有关知识是解答本题的关键，难度不大． 2．（2022秋•东台市校级月考）已知中最长的弦为12厘米，则此圆半径为 　6　厘米． 【分析】直径是圆中最长的弦，所以此题中，圆的直径是12厘米． 【解答】解：直径是圆中最长的弦，中最长的弦为12厘米， 的直径是12厘米． 的半径是6厘米． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了圆的认识，掌握“直径是圆中最长的弦”是解题的突破口． 二．垂径定理 3．（2023•盐都区一模）如图，的半径为5，弦，于点，则的长为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由于于点，所以由垂径定理可得，在中，由勾股定理即可得到答案． 【解答】解：，， ， 在中，，， 由勾股定理可得：． 故选：． 【点评】本题考查了垂径定理，熟练运用垂径定理并结合勾股定理是解答本题的关键． 4．（2023秋•金坛区校级月考）如图，在中，，为弦，为直径，于，于，与相交于． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【分析】（1）连接，容易得到和相等，利用证明和全等即可； （2）连接，设，则，根据容易求出，再根据垂径定理求出的值，最后在中根据勾股定理求出的值即可． 【解答】（1）证明：如图：连接， 于，于， ， ， ， ， ， 于， ， 在和中， ， ， ． （2）解：如图： 连接，设，则， 由（1）可知， ， 于，， ， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即的半径为． 【点评】本题考查了垂径定理的应用，关键是结合勾股定理和全等三角形证明垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的优弧和劣弧． 三．垂径定理的应用 5．（2024•溧阳市一模）如图，是城市雨水排水管道的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度是　　 A． B． C． D． 【分析】过点作的垂线，交于点，交于点，连接，根据已知条件求出的长度，在中利用勾股定理求出的长度，再根据垂径定理求出的长度即可． 【解答】解：过点作的垂线，交于点，交于点，连接． ，， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查垂径定理，熟练掌握勾股定理及垂径定理是本题的关键． 6．（2023秋•高新区校级期中）如图是一个圆柱形的玻璃保温水杯，将其横放，截面是个半径为的圆，杯内水面，则水的最大深度是 　2　． 【分析】连接，，则有，根据勾股定理计算即可． 【解答】解：如图所示，连接，，则有， ， 在中， ， ． 故答案为：2． 【点评】本题考查了垂径定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键． 四．圆心角、弧、弦的关系 7．（2023秋•新北区校级月考）若的半径为，一条弦分为部分，这条弦所对的圆心角的度数为 　　，这条弦的长度为 　　． 【分析】根据弦分圆周长为两部分，则分圆心角也为两部分，求出劣弧所对的圆心角，再根据等腰直角三角形的性质即可得出答案． 【解答】解：一条弦分为部分， 这条弦所对的圆心角的度数为，这条弦的长度为． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 8．（2023秋•亭湖区校级期中）如图，在给定的圆上依次取点，，，．连结，，．设，交于点． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【分析】（1）根据求出，求出，求出，根据圆周角定理得出，，再根据全等三角形的判定定理推出即可； （2）求出，求出，根据三角形内角和定理求出，求出的度数，再求出答案即可． 【解答】（1）证明：， ， （两边都减去， ， 由圆周角定理得：，， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）知：， ， ， ， ， ， 的度数是， ， ， 的度数是． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键． 五．圆周角定理 9．（2024•南京模拟）正方形内接于，是的中点，连接、，则　22.5　． 【分析】先根据正方形的性质得出的度数，再由是的中点即可得出的度数，进而可得出结论． 【解答】解：连接、、，如图所示． 四边形是园内接正方形， ． 是的中点， ， ． 故答案为：22.5． 【点评】本题考查的是圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系．熟知正方形的性质是解答此题的关键． 10．（2024•宜兴市二模）已知：如图，在中，，以为直径的交于点，为的中点． （1）求证：； （2）延长、交于点，若，，求的长． 【分析】（1）想办法证明，即可解决问题． （2）连接，利用相似三角形的性质解决问题即可． 【解答】（1）证明：是的直径， ， ， ，， ， ， ． （2）解：连接 为弧的中点． ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【点评】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等角的余角相等等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 六．圆内接四边形的性质 11．（2024•新吴区一模）如图，点、、、、在上，且，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】连接，根据圆内接四边形的性质得到，根据题意求出，根据圆周角定理求出的度数． 【解答】解：如图，连接， 四边形为的内接四边形， ， ， ， 的度数为， 故选：． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形对角互补是解题的关键． 12．（2024春•丹徒区校级月考）如图，四边形内接于，若，，则　70　． 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，计算即可． 【解答】解：四边形内接于， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：70． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 七．点与圆的位置关系 13．（2024•宜兴市二模）已知的半径为，为线段的中点，当时，点与的位置关系是 　点在内　． 【分析】根据线段中点的性质，可得，根据当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 【解答】解：为线段的中点，当时，得， ， ， 点与的位置关系是点在圆内， 故答案为：点在内． 【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是记住：当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 14．（2022秋•如皋市校级月考）如图，在中，，，的中点为．求证：，，，四点在以为圆心的圆上． 【分析】连结、，由直角三角形斜边上的中线定理得，则可得出结论． 【解答】证明：连结，， ，的中点为， ， ，，，四点在以为圆心，长为半径的圆上． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，圆的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键． 八．确定圆的条件 15．（2023秋•扬州校级月考）下列说法，错误的是　　 A．直径是弦 B．等弧所对的圆心角相等 C．弦的垂直平分线一定经过圆心 D．过三点可以确定一个圆 【分析】根据直径与弦的关系，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理以及确定圆的条件进行一一分析判断． 【解答】解：、经过圆心的弦叫直径，直径是最长的弦，原说法正确； 、等弧所对的圆心角相等，原说法正确； 、由垂径定理知，弦的垂直平分线一定经过圆心，原说法正确； 、过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，原说法错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了圆的有关概念和性质，属于基础知识，属于只记知识． 16．（2023秋•滨海县月考）如图所示，在中，，分别是，边上的高，求证：，，，四点在同一个圆上． 【分析】求证，，，四点在同一个圆上，是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明到得中点的距离等于的一半就可以． 【解答】证明：如图所示，取的中点，连接，． ，是的高， 和都是直角三角形． ，分别为和斜边上的中线， ． ，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上． 【点评】此题主要考查了确定圆的条件，求证几个点在同一个圆上就是证明这几个点到一个点的距离相等． 九．三角形的外接圆与外心 17．（2024•鼓楼区校级模拟）有下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）等弧所对的圆心角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据确定圆的条件对①进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对②进行判断；根据圆周角定理对③进行判断；根据三角形外心的性质对④⑤进行判断． 【解答】解：（1）不共线的三个点确定一个圆，故错误； （2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故错误； （3）等弧所对的圆心角相等，故正确； （4）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故错误； （5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形，故正确； 故选：． 【点评】此题考查了确定圆的条件，三角形外心的性质等知识，经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． 18．（2024•建邺区二模）如图，在中，，点是的中点，经过，，三点的交于点，的直径． （1）求证：， （2）当时，求的半径． 【分析】（1）根据垂径定理得到，求得，根据余角的性质得到，于是得到结论； （2）设，则，由，得到，根据勾股定理得到，，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：的直径， ， ， ， ， ， ； （2）解：点是的中点， ， 设，则， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 解得（负值舍去）， ， 的半径为． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 一十．直线与圆的位置关系 19．（2023秋•梁溪区校级期末）在平面直角坐标系中，以点为圆心，3为半径的圆　　 A．与轴相离，与轴相切 B．与轴相离，与轴相交 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相离 【分析】由已知点可求该点到轴，轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设为直线与圆的距离，为圆的半径，则有若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 【解答】解：点到轴为4，大于半径3， 点到轴的距离为3，等于半径3， 故该圆与轴相离，与轴相切， 故选：． 【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系以及点到坐标轴的距离，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定． 20．（2023秋•淮安期末）如图，四边形内接于，是的直径，平分， 于点． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求直径的长． 【分析】（1）连接，，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，得到，根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）设，交于，根据矩形的性质得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）直线与相切， 理由：连接，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； （2）设，交于， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故直径的长为． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，矩形的频道进行中，正确地找出辅助线是解题的关键． 一十一．切线的性质 21．（2024•泗阳县模拟）如图，，分别与相切于点，，的切线分别交，于点，，切点在弧上，若长为8，则的周长是 　16　． 【分析】由切线长定理知，，，，然后根据的周长公式即可求出其结果． 【解答】解：、、分别与相切于点、、， ，，， 的周长． 故答案为：16． 【点评】本题主要考查了切线长定理的应用，解此题的关键是求出的周长． 22．（2024•秦淮区二模）如图，内接于，．是上一点，．过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，则的半径长为 　　． 【分析】（1）连接、、，可证明，得，根据等腰三角形的“三线合一”得，而与相切于点，所以，则，由，得，则，所以四边形是平行四边形； （2）延长交于点，连接，可证明，得，由，，求得，而，，，所以，，求得，由勾股定理得，求得，于是得到问题的答案． 【解答】（1）证明：连接、、， ，，， ， ， ， 与相切于点， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：延长交于点，连接， ，， ， ，且， ， ， ， ， ，， ， ，，， ，， ， ，且， ， 解得， 的半径长为， 故答案为：． 【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 一十二．切线的判定 23．（2023秋•高港区期末）已知的直径为4，点到圆心的距离为2，则　　 A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．过点的直线是的切线 【分析】根据题意可知，圆的半径为2，而点到圆心的距离为2，故可根据判断出点在上． 【解答】解：的直径为4， 的半径为2， 又点到圆心的距离为2， ， 点在上， 故选：． 【点评】本题考查了点和圆的位置关系，根据与的大小关系判定点和圆的位置关系是解题的关键． 24．（2023秋•江阴市期中）已知，点，点，直线经过点且垂直于轴，点是直线上一个动点，的角平分线与直线交于点，则的形状一定是 　等腰三角形　；当点运动至某一位置时，的外接圆与一条坐标轴相切，则所有符合情况的点的坐标为 　　． 【分析】由直线轴得直线轴，进而得，再根据平分，得，由此可得，据此可判定的形状；根据的外接圆与一条坐标轴相切时，则有以下两种情况：①当与轴相切时，点在第二象限，点在第一象限，由，得点在上，切点为，由弦切角定理得，进而得，则为等边三角形，然后解求出的长即可得点的坐标；②当与轴相切时，则点在轴上，切点为，此时点，都在第一象限，由弦切角定理得，进而可得出，然后解求出的长即可得点的坐标． 【解答】解：直线轴， 直线轴， ， 平分， ， ， 为等腰三角形； 的外接圆与一条坐标轴相切， 有以下两种情况： ①当与轴相切时，点在第二象限，点在第一象限， ， 点在上，切点为，如图1所示： 由弦切角定理得：， ， ， 为等边三角形， ， 直线轴， 平分， ， 在中，， 点的坐标为， ， ， 点在第二象限， 点的坐标为； ②当与轴相切时， 则点在轴上，切点为，此时点，都在第一象限，如图2所示： 由弦切角定理得：， ， ， 在中，， ， 点在第一象限， 点的坐标为． 综上所述：与一条坐标轴相切，则点的坐标为或． 故答案为：等腰三角形；或． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，弦切角定理，解直角三角形，熟练掌握等腰三角形的判定，平行线的性质，弦切角定理，灵活运用锐角三角函数解直角三角形是解决问题的关键． 一十三．切线的判定与性质 25．（2023秋•盐都区期中）如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且位于点左侧的距离处．如果以的速度沿由向的方向移动，那么　　秒钟后与直线相切． A．3 B．7 C．3或7 D．6或14 【分析】根据题意与相切分在直线左侧时在直线右侧时，求出运动的路程，即可根据速度求得时间． 【解答】解：①由题意可知与相切于点， ， 半径为， ， ，， ， ， 秒． ②当圆心在直线的右侧时，， 则需要运动的时间为7秒． 综上所述，与直线相切时经过的时间为3或7秒钟， 故选：． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系和含角的直角三角形的性质，由含角的直角三角形的性质求出是解决问题的关键． 26．（2024•梁溪区校级二模）如图，已知的圆心在的边上，与相交于、两点，且与边相切于点，连结． （1）若，求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【分析】（1）连接，则，所以，由切线的性质得，则，而，所以，即可推导出，进而证明是的切线； （2）由，得，由是的直径，得，由，，得，而，即可证明，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接，则， ， 的圆心在上，且与边相切于点， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， 解得， 的半径长为． 【点评】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、切线的判定、直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． 一十四．弦切角定理 27．（2022•江阴市校级一模）如图，是的直径，、分别切于点、，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】连接，由弦切角定理得，再由切线的性质求得，最后由切线长定理求得的度数． 【解答】 解：连接， 、分别切于点、， ， ， ， 是的直径， ， ， ． 解法二：连接，． ，是的切线，，是切点， ，， ， ， 是直径， ， ，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、弦切角定理等知识，综合性强，难度较大． 28．（宝应县一模）如图，已知半径为1的经过直角坐标系的原点，且与轴、轴分别交于点、，点的坐标为，，的切线与直线交于点．则　30　度． 【分析】在中，已知了直径和的长，即可求得、的度数；而由弦切角定理知，进而可由三角形的外角性质求出的度数． 【解答】解：，， ， ，； 是的切线， ， ． 故答案为：30． 【点评】此题主要考查了直角三角形的性质、弦切角定理以及三角形的外角性质，难度不大． 一十五．切线长定理 29．（2022秋•亭湖区校级期中）如图，为圆外一点，，分别切圆于，两点，若，则　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】直接利用切线长定理求解． 【解答】解：，均为切线， ， 故选：． 【点评】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． 30．（2023秋•江阴市校级月考）如图，四边形是的外切四边形，且，，则四边形的周长为 　46　． 【分析】根据切线长定理得到，，，，得到，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：四边形是的外切四边形，如图， ，，，， ， 四边形的周长， 故答案为：46． 【点评】本题考查的是切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键． 一十六．切割线定理 31．（2020秋•溧阳市期末）已知：如图，半径为5，切于点，交于点，，那么的长等于　　 A．6 B． C． D． 【分析】延长交于，由切割线定理可得，进而求出的长． 【解答】解：延长交于， 则； 由切割线定理得：； 则有：， 解得：； 故选：． 【点评】此题主要考查的是切割线定理的应用． 32．（新吴区期中）如图，已知与的斜边交于，两点，、恰好是的三等分点，若的半径等于5，则的长为　　． 【分析】过作，由垂径定理得到，推出是等腰直角三角形，得到，设，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：过作， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 一十七．三角形的内切圆与内心 33．（2024•泗洪县一模）如图，内切于正方形，边、分别与切于点、，点、分别在线段、上，且与相切．若的面积为6，则的半径为　　 A． B． C． D． 【分析】设与相切于点，设正方形的边长为．因为、、是切线，可得，，，设，，在中，以为，，，看到，推出，根据，构建方程求出即可解决问题． 【解答】解：设与相切于点，设正方形的边长为， 、、是切线， ，，，设，， 在中， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为， 故选：． 【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理切线长定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 34．（2024•鼓楼区校级二模）如图，内接于，的平分线交于点，过作分别交，的延长线于点，． （1）求证：是的切线； （2）已知，，点为的内心，求的长． 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义得到，根据垂径定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）连接，，根据角平分线定义得到，，推出，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接， 的平分线交于点， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； （2）解：连接，， 点为的内心， 平分，平分， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， （负值舍去）， 的长为4． 【点评】本题考查了切线的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握． 一十八．正多边形和圆 35．（2024•姑苏区校级二模）边长为3的正六边形的面积为 　　． 【分析】根据题意画出图形，边长为3的正六边形可以分成六个边长为3的正三角形，计算出正六边形的面积即可． 【解答】解：如图，连接，， ， 又， ， 三角形为正三角形， ， ． 正六边形的面积． 故答案为：． 【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，构造出等边三角形是解答此题的关键． 36．（2023秋•亭湖区校级月考）如图，正方形内接于，，求证：． 【分析】根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可． 【解答】证明：四边形是正方形， ， ， ， ，即， ． 【点评】本题考查的是正方形的性质、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键． 一十九．弧长的计算 37．（2024•海安市一模）如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了，此时砝码被提起了 　　．（结果保留 【分析】直接根据弧长公式计算即可． 【解答】解：砝码被提起了：． 故答案为：． 【点评】本题考查了弧长的计算，关键是熟练掌握弧长公式． 38．（2024•海门区二模）如图，的半径为5，弦，互相垂直，垂足为点．点在上，且．连接，，． （1）求的度数； （2）求的长． 【分析】（1）连接，根据圆周角定理求出，根据线段的垂直平分线的性质得出，然后根据等腰三角形三线合一的性质即可求得； （2）连接，，，解直角三角形求出，根据圆周角定理求出，再根据弧长公式求出答案即可． 【解答】解：（1）连接， 和都是所对的圆周角， ， ，， ， ； （2）连接， ，， ， ， 的长为． 【点评】本题考查了圆周角定理，弧长公式，等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识点，能熟记圆周角定理是解此题的关键． 二十．扇形面积的计算 39．（2024•邗江区二模）若扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的面积是　　（结果保留． 【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可． 【解答】解：，， ． 故答案为． 【点评】本题考查了扇形的面积公式：． 40．（2023•靖江市模拟）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．（画图过程用虚线，画图结果用实线）． （1）仅用无刻度的直尺，在上找三点、、（逆时针方向），使得四边形为菱形； （2）设每个小正方形的边长为1，直接写出扇形的面积． 【分析】（1）利用菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线交点为对称中心可作出的垂直平分线，则可作出菱形； （2）可证是等边三角形，则可得圆心角的度数，即可得出扇形的面积． 【解答】解：（1）如图，在点的下边3格找格点，在的左方和右方分别找格点矩形和格点矩形，通过连接格点正方形的对角线即可得到其中心点，连接格点矩形的对角线即可得到其中心点，通过点，作直线，即可判断出的线段的垂直平分线，直线交于点，，依次连接，，，，则四边形是菱形． （2）垂直平分， ， ， ， 是等边三角形， ， 扇形的面积为． 【点评】此题主要是考查了菱形的性质及判定，矩形的性质，等边三角形的判定及性质，扇形面积的求法，能够画出菱形是关键． 二十一．圆锥的计算 41．（2024•建湖县校级二模）已知圆锥的底面半径是，母线长为，则圆锥的侧面积是　　 A． B． C． D． 【分析】已知底面半径即可求得底面周长，即展开图中，扇形的弧长，然后根据扇形的面积公式即可求解． 【解答】解：底面周长是， 则圆锥的侧面积是：． 故选：． 【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解． 42．（2023秋•宿迁期末）如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角的扇形． （1）求阴影部分面积； （2）用所裁剪的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径． 【分析】（1）是圆的直径，求出求得，进而利用扇形的面积公式可得阴影部分的面积； （2）求出的长度，即圆锥底面圆的周长，继而可得出底面圆的半径． 【解答】解：（1）连接，， ， 是圆的直径， 点、、三点共线， ， 又， ， 圆的直径为2， 则， 故． ； （2）的长， 则， 解得：． 故该圆锥的底面圆的半径是． 【点评】本题考查了扇形的面积计算，圆锥的底面圆的半径，正确记忆相关知识点是解题关键． 二十二．圆柱的计算 43．（2024•秦淮区校级模拟）已知圆柱的底面半径为，母线长为，则圆柱的侧面积是 　　． 【分析】圆柱侧面积底面周长高． 【解答】解：， 故答案为． 【点评】本题考查了圆柱的计算，掌握圆柱侧面积的计算方法是解题的关键． 44．枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，七周而达到其顶，如图所示，问葛藤之长几何？丈尺，1尺米） 【分析】根据题意画出平面图，则可得到大矩形的对角线的长就是葛藤的实长，根据勾股定理即可求得的长． 【解答】解：29尺． 由于枯木上下粗细相差不大，不妨设此枯木为一圆柱体，因为葛藤绕枯木七周而达顶，这样需将枯木滚动七周，表面展开成7个并排的矩形，如图： 每个矩形底边都等于3尺，高都等于20尺，大矩形的对角线的长就是葛藤的实长， （尺． 【点评】此题考查了学生对圆柱的计算及勾股定理的实际应用能力，理解清楚题意对解题也很重要． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$