第02章 轴对称图形 章节练习 （18个知识点+40题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第02章 轴对称图形 章节练习 （18个知识点+40题练习） 知识点合集 知识点1．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 知识点2．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 知识点3．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 知识点4．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 知识点5．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 知识点6．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 知识点7．等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 知识点8．等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 知识点9．含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 知识点10．直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 知识点11．生活中的轴对称现象 （1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． （2）轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 知识点12．轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 知识点13．轴对称图形 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 知识点14．镜面对称 1、镜面对称： 有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）． 2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴． 3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果． 知识点15．作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． 知识点16．利用轴对称设计图案 利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 知识点17．剪纸问题 一张纸经过折和剪的过程，会形成一个轴对称图案．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案． 知识点18．翻折变换（折叠问题） 1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系． 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 试题练习 一．角平分线的性质 1．（2023秋•无锡期中）如图，是中的角平分线，于点，，，，则的长是　　． 2．（2020秋•仪征市期中）如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是　　 A．3 B．4 C．6 D．5 3．（2023秋•姑苏区月考）如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，． （1）求证：平分； （2）连接交于点，若，求证：； （3）在（2）的条件下，当，时，求线段的长． 二．线段垂直平分线的性质 4．（2023秋•阜宁县期末）如图，在中，边的垂直平分线交于，交于，若平分，，则　　度． 5．（2023秋•天宁区校级月考）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，若，，则的长是　　 A．8 B．6 C．4 D．2 6．（2023秋•海州区校级期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，作于点，且为的中点． （1）试说明：； （2）若，求的度数． 三．等腰三角形的性质 7．（2022秋•淮安区期末）若等腰三角形中有一个角为50度，则这个等腰三角形的顶角的度数为　　 A． B． C．或 D．或 8．（2024春•泗洪县期末）等腰三角形的两边长分别为5和11，则它的周长为　　． 四．等腰三角形的判定 9．（2022秋•宿城区校级期中）已知：如图中，，，在射线上找一点，使为等腰三角形，则的度数为　　． 10．（2023秋•泗洪县期中）如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． （1）证明：； （2）求证：为等腰三角形． 五．等腰三角形的判定与性质 11．（2023秋•亭湖区校级月考）如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若，，则的周长是 　　． 12．（2023秋•盐都区校级期中）如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，． （1）求证：是等腰三角形； （2）当时，求的度数． 六．等边三角形的性质 13．（2023秋•高新区校级月考）如图，直线、分别经过等边三角形的顶点、，且，，则的度数为　　 A． B． C． D． 14．（2022秋•泰州月考）如图，点在等边的外部，连接、，，过点作交于点，交于点． （1）判断的形状，并说明理由； （2）连接，若，，求的长． 七．等边三角形的判定 15．（2022秋•吴江区校级月考）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为，那么这个三角形一定为　　 A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．正三角形 16．（2022秋•常州期中）如图，，，，． （1）求的度数； （2）求证：是等边三角形． 八．等边三角形的判定与性质 17．（2021秋•淮安区期末）已知中，，，若，则　　． 18．（2022秋•梁溪区期中）一艘轮船由海平面上地出发向南偏西的方向行驶100海里到达地，再由地向北偏西的方向行驶100海里到达地，则，两地相距　　 A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．40海里 19．（2023秋•新吴区期中）如图，为等边三角形，交于点，交于点． （1）求证：是等边三角形． （2）求证：． 九．含30度角的直角三角形 20．（2023春•隆回县期中）如图所示，已知：在中，，，，，则　　． 21．（2022秋•高港区校级期末）如图，在中，，为边上一点，． （1）求的度数； （2）求的长． 一十．直角三角形斜边上的中线 22．（2021秋•无锡期末）如图，在中，，为的中点，点在上，且，，则的大小为　　 A． B． C． D． 23．（2023秋•淮阴区校级月考）如图，在中，，点是的中点，，则　　． 一十一．生活中的轴对称现象 24．（2022秋•江阴市校级月考）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后落入的球袋是　　 A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 25．（2022秋•苏州期中）有一个英语单词，其四个字母都关于直线对称，如图是该单词各字母的一部分，请写出补全后的单词所指的物品 　　． 一十二．轴对称的性质 26．（2023•洪泽区一模）如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 27．（2023秋•盖州市期中）如图所示，已知中，，沿过点的一条直线折叠这个三角形，使点落在边上的点、要使点恰为的中点，问在图中还要添加什么条件？（直接填写答案） （1）写出两条边满足的条件：　　； （2）写出两个角满足的条件：　 　； （3）写出一个除边、角以外的其他满足条件：　 　． 一十三．轴对称图形 28．（2023秋•泗阳县期中）如图，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有 　　个． 29．（2020秋•宝应县月考）在下列各图中分别补一个小正方形，使其成为不同的轴对称图形． 一十四．镜面对称 30．（2022秋•金湖县期中）小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是　　 A． B． C． D． 31．（2023秋•新吴区期中）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，此时的时间应是 　　． 一十五．作图-轴对称变换 32．（江阴市月考）在下列图形中，只利用没有刻度的直尺将无法作出其对称轴的是　　 A．等腰三角形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正六边形 33．（2023秋•建邺区期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，三个顶点在格点上．已知点，点． （1）画出平面直角坐标系（要求：画出坐标轴，标注坐标原点． （2）现将先向下平移4个单位长度，再沿轴翻折得到△，在图中画出△．连接，则线段的中点坐标为 　　． （3）若内有一点，则点经过（2）中的平移、对称后得到的点的坐标是 　　． 一十六．利用轴对称设计图案 34．（2023秋•徐州期末）如图，方格纸中有3个小方格被涂成黑色，若从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使所有的黑色方格构成轴对称图形，则不同的涂色方案共有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 35．（2022秋•仪征市校级月考）在的方格中有五个同样大小的正方形（阴影）如图摆放，移动标号为①的正方形到空白方格中，使其与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法有　　种． 36．（2020秋•灌南县校级期末）如图，在的正方形网格中，有格点和，且和关于某条直线成轴对称，请在下面给出的图中，画出3个不同位置的及其对称轴． 一十七．剪纸问题 37．（2022秋•句容市月考）跟我学剪五角星：如图，现将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，在将图③沿虚线剪下，展开即可得到一个五角星，若是得到一个正五角星（如图④，正五角星的5个角都是，则在图③中应沿什么角度剪？即的度数为　　 A． B． C． D． 38．（沧浪区校级期中）在图（1）中，将由5个边长为1的小正方形拼成的图形按虚线剪开，重新拼成如图（2）所示的正方形，那么所拼成的正方形的边长为　　． 一十八．翻折变换（折叠问题） 39．（2022春•赣榆区校级月考）如图，把长方形沿对折，若，则的度数等于　　． 40．（2023秋•高港区期末）在中，，沿着翻折使得点的对应点落在上，折痕为． （1）如图1，若，试判断与的关系，并说明理由； （2）如图2，若，，，求线段的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02章 轴对称图形 章节练习 （18个知识点+40题练习） 知识点合集 知识点1．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 知识点2．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 知识点3．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 知识点4．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 知识点5．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 知识点6．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 知识点7．等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 知识点8．等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 知识点9．含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 知识点10．直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 知识点11．生活中的轴对称现象 （1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． （2）轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 知识点12．轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 知识点13．轴对称图形 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 知识点14．镜面对称 1、镜面对称： 有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）． 2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴． 3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果． 知识点15．作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． 知识点16．利用轴对称设计图案 利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 知识点17．剪纸问题 一张纸经过折和剪的过程，会形成一个轴对称图案．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案． 知识点18．翻折变换（折叠问题） 1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系． 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 试题练习 一．角平分线的性质 1．（2023秋•无锡期中）如图，是中的角平分线，于点，，，，则的长是　6　． 【分析】作于，如图，根据角平分线定理得到，再利用三角形面积公式和得到，然后解一次方程即可． 【解答】解：作于，如图， 是中的角平分线，，， ， ， ， ． 故答案为6． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2．（2020秋•仪征市期中）如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是　　 A．3 B．4 C．6 D．5 【分析】作于，如图，根据角平分线定理得到，再利用三角形面积公式和得到，然后解一次方程即可． 【解答】解：作于，如图， 是中的角平分线，，， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法构建方程解决问题，属于中考常考题型． 3．（2023秋•姑苏区月考）如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，． （1）求证：平分； （2）连接交于点，若，求证：； （3）在（2）的条件下，当，时，求线段的长． 【分析】（1）先利用是的角平分线得到，再利用三角形外角性质得到，则，接着利用得到，所以； （2）过点作于点，于点，先根据角平分线的性质得到，则根据三角形面积公式得到，接着证明得到，然后利用得到，从而得到； （3）先由得到，再利用等角的余角相等得到，接着证明得到，所以，然后利用得到． 【解答】（1）证明：是的角平分线， ， ， ， ， 为边上的高， ， ， ， 平分； （2）证明：过点作于点，于点， 平分，，， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质． 二．线段垂直平分线的性质 4．（2023秋•阜宁县期末）如图，在中，边的垂直平分线交于，交于，若平分，，则　60　度． 【分析】由线段垂直平分线和角平分线的定义可得，在中由三角形内角和定理可求得． 【解答】解：在线段的垂直平分线上， ， ， 平分， ， 又， ， 故答案为：60． 【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 5．（2023秋•天宁区校级月考）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，若，，则的长是　　 A．8 B．6 C．4 D．2 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，结合图形计算即可． 【解答】解：是的垂直平分线， ， ， 故选：． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 6．（2023秋•海州区校级期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，作于点，且为的中点． （1）试说明：； （2）若，求的度数． 【分析】（1）根据等腰三角形的判定得出，根据垂直平分线的性质得出，等量代换即可得出结论； （2）根据等边对等角得出，再根据三角形的外角的性质得出，再根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出，进而得出答案． 【解答】（1）证明：为的中点， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，正确理解题意是解题的关键． 三．等腰三角形的性质 7．（2022秋•淮安区期末）若等腰三角形中有一个角为50度，则这个等腰三角形的顶角的度数为　　 A． B． C．或 D．或 【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角，所以要分两种情况进行分析． 【解答】解：①是底角，则顶角为：； ②为顶角；所以顶角的度数为或． 故选：． 【点评】根据等腰三角形的性质分两种情况进行讨论． 8．（2024春•泗洪县期末）等腰三角形的两边长分别为5和11，则它的周长为　27　． 【分析】题中没有指明哪个是底哪个腰，则应该分两种情况进行分析． 【解答】解：①11是腰长时，三角形的三边分别为11、11、5，能组成三角形， 所以，周长； ②11是底边时，三角形的三边分别为11、5、5， ， 不能组成三角形， 综上所述，三角形的周长为27． 故答案为：27． 【点评】本题考查了等腰三角形两腰长相等的性质，要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形． 四．等腰三角形的判定 9．（2022秋•宿城区校级期中）已知：如图中，，，在射线上找一点，使为等腰三角形，则的度数为　或或　． 【分析】分三种情形分别求解即可； 【解答】解：如图，有三种情形： ①当时，． ②当时，． ③当时，， 故答案为或或 【点评】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 10．（2023秋•泗洪县期中）如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． （1）证明：； （2）求证：为等腰三角形． 【分析】（1）利用证明可证得答案； （2）由（1）易得，进而可求解，即可证明结论． 【解答】证明：（1）在和中， ， ， ； （2）， ， ， ， ， 为等腰三角形． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，通过是解题的关键． 五．等腰三角形的判定与性质 11．（2023秋•亭湖区校级月考）如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若，，则的周长是 　10　． 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后根据等量代换可得的周长，即可解答． 【解答】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长 ， 故答案为：10． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 12．（2023秋•盐都区校级期中）如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，． （1）求证：是等腰三角形； （2）当时，求的度数． 【分析】（1）由，，，．利用边角边定理证明，然后即可求证是等腰三角形． （2）根据可求出根据，利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【解答】证明：， ， 在和中 ， ， ， 是等腰三角形； （2）， ，， ， 【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是，因此有一定的难度，属于中档题． 六．等边三角形的性质 13．（2023秋•高新区校级月考）如图，直线、分别经过等边三角形的顶点、，且，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】由得，再由是等边三角形，即可求出结果． 【解答】解：，， ， 是等边三角形， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性质是解题的关键． 14．（2022秋•泰州月考）如图，点在等边的外部，连接、，，过点作交于点，交于点． （1）判断的形状，并说明理由； （2）连接，若，，求的长． 【分析】（1）根据平行线的性质和等边三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据等边三角形的性质得到，．推出是线段的垂直平分线，根据角平分线的定义得到．根据平行线的性质得到，于是得到结论． 【解答】解：（1）是等边三角形，理由如下： 是等边三角形， ． ， ， ， 是等边三角形； （2）是等边三角形，是等边三角形， ，． ， 是线段的垂直平分线， 平分， ． ， ， ， ． ， ． 【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 七．等边三角形的判定 15．（2022秋•吴江区校级月考）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为，那么这个三角形一定为　　 A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．正三角形 【分析】根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形求解． 【解答】解：根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得到该三角形一定为正三角形． 故选：． 【点评】此题考查学生对有一个角是的等腰三角形是等边三角形的运用． 16．（2022秋•常州期中）如图，，，，． （1）求的度数； （2）求证：是等边三角形． 【分析】（1）因为，根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，又，根据三角形内角和，可求出的度数为． （2），，，三个角是的三角形是等边三角形． 【解答】（1）解：，， ， 故答案为：． （2）证明：，，． ， ， 是等边三角形． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的底角相等，以及等边三角形的判定定理，三个角是的三角形，是等边三角形． 八．等边三角形的判定与性质 17．（2021秋•淮安区期末）已知中，，，若，则　5　． 【分析】先判定是等边三角形，再根据的长，即可得出的长． 【解答】解：中，， 是等腰三角形， 又， 是等边三角形， ， ， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，有一个角等于的等腰三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． 18．（2022秋•梁溪区期中）一艘轮船由海平面上地出发向南偏西的方向行驶100海里到达地，再由地向北偏西的方向行驶100海里到达地，则，两地相距　　 A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．40海里 【分析】先求得，然后可判断为等边三角形，从而可求得的长． 【解答】解：如图所示：连接． 点在点的南偏西方向，点在点的北偏西方向， ，， ． 又， 为等边三角形． 海里． 故选：． 【点评】本题主要考查的是方向角、等边三角形的性质和判定，证得为等边三角形是解题的关键． 19．（2023秋•新吴区期中）如图，为等边三角形，交于点，交于点． （1）求证：是等边三角形． （2）求证：． 【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可． （2）根据等边三角形的性质解答即可． 【解答】证明：（1）为等边三角形， ． ， ，． 是等边三角形． （2）为等边三角形， ． ， ． 是等边三角形， ． ． 【点评】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答． 九．含30度角的直角三角形 20．（2023春•隆回县期中）如图所示，已知：在中，，，，，则　3　． 【分析】根据在中，，，于，即可求出长，再根据即可求出的长． 【解答】解：中，，，于， ， 又， 在直角中，． 故答案为：3． 【点评】此题考查的知识点是含30度角的直角三角形，关键是熟记含的直角三角形的性质，即锐角所对的直角边是斜边的一半． 21．（2022秋•高港区校级期末）如图，在中，，为边上一点，． （1）求的度数； （2）求的长． 【分析】（1）由，根据等边对等角得到，由，根据等边对等角得到及三角形的内角和定理可得，最后利用三角形外角的性质可得的度数； （2）过点作于点，根据角所对的直角边等于斜边的一半可得，根据勾股定理可得，再根据等腰三角形的三线合一性质可得，最后由可得出结论． 【解答】解：（1），， ， ， ， ， 的度数为； （2）过点作于点， ，， ，， 在中，， ， ， 的长为． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，三角形外角的性质，三角形内角和定理．通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 一十．直角三角形斜边上的中线 22．（2021秋•无锡期末）如图，在中，，为的中点，点在上，且，，则的大小为　　 A． B． C． D． 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，求得，得到，根据直角三角形的性质得到，得到是等边三角形，，于是得到结论． 【解答】解：，， ， ， ， ， ，为的中点， ， 是等边三角形，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 23．（2023秋•淮阴区校级月考）如图，在中，，点是的中点，，则　4　． 【分析】利用直角三角形斜边上的中线性质，即可解答． 【解答】解：，点是的中点，， ， 故答案为：4． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 一十一．生活中的轴对称现象 24．（2022秋•江阴市校级月考）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后落入的球袋是　　 A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【分析】利用轴对称画出图形即可． 【解答】解：如图所示： ， 该球最后落入的球袋是4号袋， 故选：． 【点评】此题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是正确画出图形． 25．（2022秋•苏州期中）有一个英语单词，其四个字母都关于直线对称，如图是该单词各字母的一部分，请写出补全后的单词所指的物品 　书　． 【分析】结合题意可知，题中的四个字母均是轴对称图形，所以直线是四个字母的对称轴；将残缺的字母关于直线对称，即可得到完整字母，通过字母组成的单词即可知道所指物品了． 【解答】解：补全字母，如图所示： 故这个单词所指的物品是书． 故答案为：书． 【点评】本题侧重考查生活中的轴对称现象，掌握轴对称的性质是解决此题的关键． 一十二．轴对称的性质 26．（2023•洪泽区一模）如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】连接，，过作于，依据，，即可得出，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到． 【解答】解：如图，连接，，过作于， 点关于的对称点恰好落在上， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， ， 又， 四边形中，， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 27．（2023秋•盖州市期中）如图所示，已知中，，沿过点的一条直线折叠这个三角形，使点落在边上的点、要使点恰为的中点，问在图中还要添加什么条件？（直接填写答案） （1）写出两条边满足的条件：　　； （2）写出两个角满足的条件：　 　； （3）写出一个除边、角以外的其他满足条件：　 　． 【分析】（1）根据题意可得要使在中点，则一定有，围绕此条件可推出两边满足的条件． （2）由轴对称的性质可得出两角满足的条件． （3）可以写全等的条件． 【解答】解：（1）① 证明：由轴对称的性质可得：，又因为 可得在的中点位置． （2）①． ， ． ， ． 由轴对称的性质得：，，． ，． 即点在的中点； （3） 证明： 可得： 故证得点在的中点． 【点评】本题考查轴对称的性质，属于基础题，要根据题意和图形进行解答． 一十三．轴对称图形 28．（2023秋•泗阳县期中）如图，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有 　4　个． 【分析】直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案． 【解答】解：如图所示：都是符合题意的图形． 故在网格中与成轴对称的格点三角形一共有4个， 故答案为：4． 【点评】此题主要考查了轴对称的性质，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 29．（2020秋•宝应县月考）在下列各图中分别补一个小正方形，使其成为不同的轴对称图形． 【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案． 【解答】解：如图所示： 【点评】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． 一十四．镜面对称 30．（2022秋•金湖县期中）小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是　　 A． B． C． D． 【分析】此题考查镜面对称，根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称． 【解答】解：实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点， 那么8点的时钟在镜子中看来应该是4点的样子． 故选：． 【点评】本题考查了镜面反射的原理与性质；这是一道开放性试题，解决此类题注意技巧． 31．（2023秋•新吴区期中）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，此时的时间应是 　　． 【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称来解答此题． 【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为． 故答案为：． 【点评】本题考查了镜面对称，解决此类题应认真观察，注意技巧，①平面镜成像的特点之一就是左右上下互换，数字时钟的像对应的时间一般从后面读数即为像对应的时间，也可将数字左右互换，并将每一个数字左右反转，即为像对应的时间．②读取时间问题可以把试卷反过来直接去读． 一十五．作图-轴对称变换 32．（江阴市月考）在下列图形中，只利用没有刻度的直尺将无法作出其对称轴的是　　 A．等腰三角形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正六边形 【分析】根据轴对称的性质对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：、没有刻度尺不能作轴对称，故本选项正确； 、连接菱形的对角线即是对称轴，故本选项错误； 、等腰梯形对称轴是两腰延长线的交点和对角线的交点的连线，故本选项错误； 、连接两个对角线即是对称轴，故本选项错误． 故选：． 【点评】本题考查的是作图轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． 33．（2023秋•建邺区期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，三个顶点在格点上．已知点，点． （1）画出平面直角坐标系（要求：画出坐标轴，标注坐标原点． （2）现将先向下平移4个单位长度，再沿轴翻折得到△，在图中画出△．连接，则线段的中点坐标为 　　． （3）若内有一点，则点经过（2）中的平移、对称后得到的点的坐标是 　　． 【分析】（1）根据点，的坐标建立平面直角坐标系即可． （2）根据平移和轴对称的性质画图即可；由图可得线段的中点坐标． （3）由平移和轴对称可知，点经过（2）中的平移后得到的点的坐标为，再沿轴翻折得到点的坐标为． 【解答】解：（1）建立平面直角坐标系如图所示． （2）如图，△即为所求． 由图可知，线段的中点坐标为． 故答案为：． （3）点先向下平移4个单位长度得到的点的坐标为， 再沿轴翻折得到点的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题考查作图轴对称变换、平移变换，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质是解答本题的关键． 一十六．利用轴对称设计图案 34．（2023秋•徐州期末）如图，方格纸中有3个小方格被涂成黑色，若从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使所有的黑色方格构成轴对称图形，则不同的涂色方案共有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的图形即可． 【解答】解：如图所示：不同的涂色方案共有4个． 故选：． 【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 35．（2022秋•仪征市校级月考）在的方格中有五个同样大小的正方形（阴影）如图摆放，移动标号为①的正方形到空白方格中，使其与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法有　3　种． 【分析】根据轴对称图形的性质进行作图即可． 【解答】解：如图所示，新图形是一个轴对称图形． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了利用轴对称变换进行作图，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 36．（2020秋•灌南县校级期末）如图，在的正方形网格中，有格点和，且和关于某条直线成轴对称，请在下面给出的图中，画出3个不同位置的及其对称轴． 【分析】本题要求思维严密，根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形，对称轴可以随意确定，因为只要根据你确定的对称轴去画另一半对称图形，那这两个图形一定是轴对称图形． 【解答】解：如图所示； 【点评】本题主要考查的是利用轴对称设计图案，掌握轴对称图形的性质是解题的解题的关键． 一十七．剪纸问题 37．（2022秋•句容市月考）跟我学剪五角星：如图，现将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，在将图③沿虚线剪下，展开即可得到一个五角星，若是得到一个正五角星（如图④，正五角星的5个角都是，则在图③中应沿什么角度剪？即的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据等腰三角形的性质及内角和定理解题． 【解答】解：， 正五角星的5个角都是， ， 三角形内角和为， ． 故选：． 【点评】主要在考查学生动手操作的能力的同时，关键是根据等腰三角形的性质及内角和定理解答． 38．（沧浪区校级期中）在图（1）中，将由5个边长为1的小正方形拼成的图形按虚线剪开，重新拼成如图（2）所示的正方形，那么所拼成的正方形的边长为　　． 【分析】考查学生的空间想象能力． 【解答】解：图（1）中，可发现1，2及虚线部分组成一个直角三角形，那么所拼成的正方形的边长为． 【点评】解决本题的关键是得到所求的线段长与已知线段长度可构成直角三角形． 一十八．翻折变换（折叠问题） 39．（2022春•赣榆区校级月考）如图，把长方形沿对折，若，则的度数等于　　． 【分析】根据折叠的性质，得，再根据平行线的性质即可求得的度数． 【解答】解：根据长方形沿对折，若，得 ． ， ． 【点评】此题综合运用了折叠的性质和平行线的性质． 40．（2023秋•高港区期末）在中，，沿着翻折使得点的对应点落在上，折痕为． （1）如图1，若，试判断与的关系，并说明理由； （2）如图2，若，，，求线段的长度． 【分析】（1）根据折叠的性质得到，，，求得，得到，得到，等量代换得到，根据平行线的判定定理即可得到结论； （2）设，则，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）且． 理由如下： 由翻折可知， ，，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ； （2），， ，， 设，则， 在中，， ， ， 即的长度为0.9． 【点评】本题考查折叠的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质、灵活应用勾股定理是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$