11.1.2 三角形的高、中线与角平分线（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（人教版）

与三角形有关的线段 与三角形有关的角 三角形 三角形的高、中线与角平分线 新知一览 三角形的边 三角形内角和 三角形的外角 多边形与内角和 多边形 多边形的内角和 直角三角形的判定和性质 三角形的稳定性 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 第十一章 三角形 人教版八年级(上 ) 学校有一块三角形的实验地，请思考如何用不同的方法将三角形面积四等分(方法不唯一). 导入新课 知识点：三角形的高、中线与角平分线 动手实践 如图，在△ABC 中，动点 P 在边 BC 上移动.在移动的过程中(点击视频观看 )， 有没有你熟悉的线段 AP？ 探究新知 小提示：可以从线段之间、角度之间大小关系考虑. 观察上述视频，动手画出特殊位置的线段 AP. AP 与 BC 垂直 AP 是三角形的高 动手实践 三角形的高： 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作_____，顶点和垂足之间的_____叫做三角形这边上的高. 垂线 线段 ∠APC = 90° 如：线段 AP 是△ABC 的边 BC 上的高. 定义总结 探究一：三角形所有的高相交于一点，那么，所有的高相交又有怎样的结果呢？请提出猜想并验证. 相交于一点 猜想 验证 画出或者折出高 分析： 合作探究 1. 请画出下列三角形的高. 动手实践 画钝角三角形的高： 任意一顶点 分析： 对边的所在的直线上作垂线 对边的延长线 2. 观察下列图形的特征，填写表格. 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 高在内部的数量 高之间是否相交 高所在的直线是否相交 三条高所在直线的交点位置 3 1 1 相交 相交 不相交 相交 相交 相交 三角形内部 直角顶点 三角形外部 三角形的三条高线相交于一点(三角形的垂心 ). 知识总结 例1 如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC 于点 D，且 AD＝4，若点 P 在边 AC 上移动，求 BP 的最小值. 解：根据垂线段最短，可知当 BP⊥AC 时，BP 有最小值． 此时由△ABC 的面积公式可知 AD · BC＝ BP · AC. P 代入数值，可解得 BP＝ . 典例精析 面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积公式(可不求出面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解. 方法总结 回顾上述视频，说说第二种特殊位置的线段 AP. P 是 BC 的中点 AP 是三角形的什么线呢？ 说一说 三角形的中线： 连接三角形一顶点和它对边_____，所得的线段叫做三角形这边上的中线. 中点 BP = CP 如：线段 AP 是△ABC 的边 BC 上的中线. 定义总结 三角形的三条中线相交于一点. 总结 三角形的重心：三角形三条中线的交点. 探究二：三角形的中线有几条，请画出三角形的所有中线，你有什么发现吗？ 合作探究 用硬纸板裁出一个三角形，画出这个三角形的三条中线，在它们的交点处钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，从三角形硬纸板所处的状态来看，有什么现象?这种现象说明了什么?动手做一做. 硬纸板保持平衡. 重心就是保持物体平衡的点. 动手实践 想一想 问题1 如图，在△ABC 中，AP 是△ABC 的中线，AD 是△ABC 的高．试判断△ABP 和△ACP 的面积有什么关系，为什么？ B C P D A 答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等. 问题2 通过问题 1 你能发现什么规律？ 答：三角形的中线能将三角形的面积平分. 1.学校有一块三角形的实验地，请思考如何用不同的方法将三角形面积四等分(方法不唯一). 练一练 1.(陕西)如图，AD 是 △ABC 的中线，AB = 4，AC = 3.若 △ACD 的周长为 8，则 △ABD 的周长为_____. 9 C△ABD = AB+AD+BD = 4 + 5 = 9 AD + CD = 5 C△ACD =AD+AC+CD = 8 AD 是 △ABC 的中线 CD = BD 分析： 链接中考 回顾上述视频，说说第三种特殊位置的线段 AP. AP 平分∠BAC AP 是三角形的角平分线 说一说 三角形的角平分线： 在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线. ∠BAP = ∠CAP 如：线段 AP 是△ABC 的边 BC 上的角平分线. 定义总结 请画出下列三角形的角平分线，验证角平分线相交于一点. 三角形的三条角平分线相交于一点(三角形的内心 ). 动手实践 2.如图，DC 平分∠ACB，DE∥BC，∠AED = 80°，求∠ECD 的度数. 解：∵ DC 平分∠ACB， 又 DE∥BC， ∴∠ACB =∠AED = 80°. ∴∠ECD = 40°. A B C E D ∴∠ECD =∠BCD = ∠ACB. 练一练 三角形中的线段 概念 图形 中线 垂线 角平分线 顶点和对边上垂足之间的线段 顶点和对边中点之间的线段 角的平分线被三角形所截的线段 课后小结 基础练习 1. 下列说法正确的是 (　　 ) A. 三角形三条高都在三角形内 B. 三角形三条中线相交于一点 C. 三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可 能在三角形外 D. 三角形的角平分线是射线 B 当堂练习 2．在△ABC 中，AD 为中线，BE 为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD =∠CAD；②∠ABE =∠CBE；③ BD = DC；④ AE = EC．其中正确的是 (　　 ) A.①② B.③④ C.①④ D.②③ D A B C D E 3.下列各组图形，哪一组图形中 AD 是△ABC 的 BC 边上的高 ( ) D A B C D 解：∵ CD 是△ABC 的中线， ∴ BD = AD. ∵ BC - AC = 5cm， ∴△DBC 与△ADC 的周长差是 5 cm. 又∵△DBC 的周长为 25 cm， ∴△ADC 的周长为 25 - 5 = 20 (cm). 4. 如图，在△ABC 中，CD 是中线，已知 BC - AC = 5 cm， △DBC 的周长为 25 cm，求△ADC 的周长. A D B C 更多练习见专题课件. 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 Lavf58.46.101 $$null