专题14 直线与圆的位置关系8种常考题型归类（99题）-2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 专题14 直线与圆的位置关系8种常考题型归类（99题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 直线与圆位置关系的判断 （一）判断直线与圆的位置关系 （二）由直线与圆的位置关系求参数 （三）由直线与圆的位置关系求距离最值 题型二 直线与圆的交点问题 题型三 圆的切线问题 （一）过圆上一点的切线方程 （二）过圆外一点的切线方程 （三）与切线长有关的问题 （四）切线的应用 题型四 圆的弦长问题 （一）求圆的弦长问题 （二）已知圆的弦长求参数 （三）圆的中点弦问题 （四）圆内接三角形的面积 题型五 直线与圆的综合问题 题型六 直线与圆方程的应用 题型七 韦达定理及其应用 题型八 与圆有关的定点、定值问题 知识点1：直线与圆的位置关系 (1)直线与圆的三种位置关系 直线与圆 的位置关 系的图象 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 (2)判断直线与圆的位置关系的两种方法 ①几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 ②代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交 ②直线与圆相切 ③直线与圆相离 知识点2：直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 (1)几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： (2)代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 知识点3：直线与圆相切 (1)圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 (2)过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） (3)切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 知识点4：圆上点到直线的最大（小）距离 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 ①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； 解题策略 1.判断直线与圆位置关系的方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． 注：直线与圆位置关系的两种判断方法及其应用 (1)直线与圆的位置关系的两种判断方法中，若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法较简单；若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离表达较复杂，则用代数法较简单． (2)由直线与圆的位置关系求参数的问题，首先判断直线与圆的位置关系，然后将此转化为圆心到直线的距离与半径长的关系，并结合其他条件解题，注意半径长、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形在解题中的应用． 2．求圆的切线方程的方法 (1)求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程： 先求切点与圆心的连线的斜率k，则由垂直关系，k存在且k≠0时，知切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或k不存在，则由图形可直接得切线方程为x＝x0或y＝y0. (2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程： 几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切线方程即可求出．并注意检验当k不存在时，直线x＝x0是否为圆的切线． 代数法：设切线方程y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切线方程即可求出．并注意检验当k不存在时，直线x＝x0是否为圆的切线． 注：求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目． (1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程的步骤 ①求斜率k； ②代入点斜式方程：y－y0＝k(x－x0)； ③讨论k＝0或斜率不存在两种情况． (2)求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程时，用几何方法求解的步骤 ①设切线方程：y－y0＝k(x－x0)； ②利用圆心到直线的距离等于半径，求k. 注意：若求出的k值只有一个，则另一条切线的斜率一定不存在． (3)圆的切线的求法注意的两种情况 ①点在圆上时； ②点在圆外时：①几何法；②代数法． 3．切线段的长度公式 (1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则P到切点的切线段长为d＝. (2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的切线，则P到切点的切线段长为d＝ . 4．直线与圆相交时，弦长的求法 (1)几何法：如图，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆半径为r，弦长为|AB|，则有2＋d2＝r2，即|AB|＝2. (2)代数法：①联立直线方程和圆的方程，解方程组得A，B点坐标，再由两点间的距离公式求弦长|AB|；②设直线l的方程为y＝kx＋b，联立直线l的方程和圆的方程，消去一个未知数得一个一元二次方程，利用根与系数的关系求解． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b. 则|AB|＝ ＝ ＝ · ＝ ·. 注意：①当已知圆心坐标和半径时利用几何法较简便； ②若直线方程较特殊(如x＝a，y＝b等)，一般解出坐标再求|AB|. 5．坐标法 坐标法贯穿解析几何的始终，通过建立平面直角坐标系，研究了直线与圆的有关问题；通过建立空间直角坐标系，刻画了点在空间的位置，研究了两点间的距离等问题．总之，通过建立坐标系，把点与坐标、曲线与方程等联系起来，将几何问题转化为代数问题，这是一个优化思想的过程． 6．数形结合，充分运用圆的几何性质的策略 求解直线与圆的位置关系的问题时，为避免计算量过大，可以数形结合，充分运用圆的几何性质求解，比如，圆心在圆的任意一条弦的垂直平分线上；计算弦长时，可利用半径、弦心距、弦长的一半构造直角三角形；涉及圆的切线时，要考虑过切点且与切线垂直的半径等． 7.直线与圆的方程的实际应用 (1)利用直线与圆的方程解决实际问题的步骤：①认真审题，明确题意；②建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程的模型；③利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；④把代数结果还原为对实际问题的解释． (2)坐标法是研究与平面图形有关的实际问题的有效手段，因此要建立适当的平面直角坐标系，用直线与圆的方程解决问题．建立平面直角坐标系时要尽可能有利于简化运算． 8.用坐标法解决几何问题 坐标法建立直角坐标系应坚持的原则 (1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴． (2)充分利用图形的对称性． (3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称． (4)关键点的坐标易于求得． 9．与圆有关的最值问题 常见的类型包括以下几种： (1)求圆O上一点到圆外一点P的最大、最小距离：dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r. (2)求圆上的点到与圆相离的某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m，则dmax＝m＋r，dmin＝m－r. (3)已知某点的运动轨迹是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，求①；②；③x2＋y2等式子的最值，一般运用几何法求解． (4)形如t＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题，即转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值． (5)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． (6)形如t＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题． 题型一 直线与圆位置关系的判断 （一）判断直线与圆的位置关系 1．（2024·新疆喀什·校考模拟预测）已知圆，直线，则圆C与直线l（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交且直线过圆C的圆心 2．（2024·四川成都·成都七中校考一模）圆：与直线：的位置关系为（ ） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 3．（2024·北京海淀·高二北理工附中校考期中）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 4．（2024·高二课时练习）为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 5.（2023·全国·高三专题练习）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 （二）由直线与圆的位置关系求参数 6．（2024·辽宁·校联考二模）已知圆，直线l：，若l与圆O相交，则（    ）． A．点在l上 B．点在圆O上 C．点在圆O内 D．点在圆O外 7.（2023·全国·高三专题练习）已知圆：，直线，若直线与圆总有交点，则的取值范围为______ 8.（2023·天津南开·统考二模）若直线与圆相切，则______. 9.（2023·河北·校联考一模）直线与圆相切，则的最大值为（    ） A．16 B．25 C．49 D．81 10．（2024·浙江·高二期中）已知圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 11．（2024·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C．， D． 12．（2024·高一单元测试）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·新疆阿克苏·校考一模）已知两点，点是圆上任意一点，是锐角，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（2024·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）圆上到直线距离为的点有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 15．（2024·湖南长沙·周南中学校考二模）若圆上有四个点到直线的距离为，则实数a的取值范围是______． 16．【多选】（2024·贵州遵义·高二遵义市南白中学校考阶段练习）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．圆上恰有1个点到直线的距离为1，则 B．圆上恰有2个点到直线的距离为1，则 C．圆上恰有3个点到直线的距离为1，则 D．圆上恰有4个点到直线的距离为1，则 （三）由直线与圆的位置关系求距离最值 17．（2024·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知直线与圆，则圆上的点到直线的距离的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 18．（2024·广西·校联考模拟预测）已知直线和圆，则圆心O到直线l的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 19．（2024·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）直线分别与轴，轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是___________. 20．【多选】（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知，过点作直线的垂线，垂足为，则（    ） A．直线过定点 B．点到直线的最大距离为 C．的最大值为3 D．的最小值为2 21．（2024·河北石家庄·高三校联考阶段练习）如图，正方形的边长为4，是边上的一动点，交于点，且直线平分正方形的周长，当线段的长度最小时，点到直线的距离为______.    题型二 直线与圆的交点问题 22.（2024·甘肃白银·高二校考期末）坐标轴与圆的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 23．（2024·江苏宿迁·高二统考期中）直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 24．（2024·浙江嘉兴·高二统考期末）直线与曲线的交点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．（2024·浙江·高二期中）设圆：，若直线在轴上的截距为，则与的交点个数为（    ） A． B． C． D．以上都有可能 26．（2024·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）已知点是圆与轴的交点，为直线上的动点，直线与圆的另一个交点分别为，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 题型三 圆的切线问题 （1） 过圆上一点的切线方程 27．（2024·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）过点作圆的切线，则切线的方程为__________. 28．（2024·全国·高三专题练习）经过点且与圆相切的直线方程为__________． 29．（2024·山东泰安·校考模拟预测）已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 30.（2023·全国·高三专题练习）过点作圆：的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 31．（2024·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知点，，经过点作圆的切线与轴交于点，则________． 32．（2024·河南开封·统考三模）已知点，，经过B作圆的切线与y轴交于点P，则______． （2） 过圆外一点的切线方程 33．（2024·福建莆田·高二校联考期末）求圆在点处的切线方程. 34．（2024·北京·高二北京一七一中校考阶段练习）过点的圆的切线方程为 _________________． 35.（2024·上海静安·高二统考期末）过点的直线与圆相切，则直线的斜率为______. 36．（2024·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）在平面直角坐标系中，圆过点，，且圆心在上． (1)求圆的方程； (2)若已知点，过点作圆的切线，求切线的方程． 37．（2024·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知点，圆O：，则过点P与圆O相切的直线有 _____条；切线方程为 _____. 38．（2024·浙江·校联考模拟预测）已知圆和圆，则过点且与都相切的直线方程为__________.（写出一条即可） 39．（2024·高二课时练习）从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D．6 40．（2024·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中）已知圆，为过的圆的切线，A为上任一点，过A作圆的切线AP，AQ，切点分别是P和Q，则四边形APNQ的面积最小值是__________． 41．（2024·高二单元测试）若在圆上运动，则的最大值为___. 42．（2024·全国·高三专题练习）已知为圆C：上任意一点，且点． （1）求的最大值和最小值． （2）求的最大值和最小值． （3）求的最大值和最小值． 43．（2024·河北·高二校联考期末）过直线上一点向圆O：作两条切线，设两切线所成的最大角为，则（    ） A． B． C． D． 44．（2024·北京大兴·校考三模）若点是圆上的动点，直线与轴、轴分别相交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． （3） 与切线长有关的问题 45.（2024·福建厦门·高二厦门双十中学校考阶段练习）过直线上的一点作圆的两条切线，，切点分别为，当直线，关于对称时，线段的长为（    ） A．4 B． C． D．2 46．（2024·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为______. 47．（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为______． 48．（2024·北京海淀·北大附中校考三模）已知圆，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 49．（2024·全国·高三专题练习）已知是直线上的动点，，是圆的两条切线，，是切点．求四边形面积的最小值. （4） 切线的应用 50．（2024·四川成都·树德中学校考模拟预测）若直线，与相切，则最大值为（    ） A． B． C．3 D．5 51．（2024·四川南充·阆中中学校考二模）若点是圆上的任一点，直线与轴、轴分别相交于、两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 52．（2024·全国·高三专题练习）已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 53．（2024·江西·高二临川一中校联考阶段练习）已知圆，直线的方程为，若在直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为点，使得为直角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四 圆的弦长问题 （1） 求圆的弦长问题 54．（2024·高二课时练习）过三点的圆交于轴于两点，则＝（    ） A． B．8 C． D．10 55.（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知圆，直线与圆相交于，两点，则______． 56．（2024·江苏南京·高二南京市江宁高级中学校联考期末）已知直线：与圆交于两点，则____________. 57.（2024·四川凉山·高二统考期末）过点的直线被圆截得的弦长最短，则直线的斜率是（    ） A．1 B．2 C．-2 D．-1 58．（2024·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）直线与圆交于两点，则弦长的最小值是___________. 59．（2024·福建宁德·高二统考期中）已知，圆，圆， 若直线过点且与圆相切，则直线被圆所截得的弦长为（   ） A． B． C． D． （2） 已知圆的弦长求参数 60．（2024·上海黄浦·高二统考期末）设直线与圆相交所得弦长为，则______； 61．（2024·高一单元测试）在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点. (1)求圆的方程； (2)过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程. 62．（2024·高一单元测试）已知直线l：被圆C：所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有______条. 63.（2023·高二课时练习）已知O为原点，直线与圆交于、两点． (1)若，求的值； (2)若，求圆的面积． 64．（2024·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若直线与圆：相交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 65．（2024·陕西西安·高二西安市铁一中学校考阶段练习）设、为正数，若直线被圆截得弦长为，则的最小值为__________. 66．（2024·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期末）已知过点的直线与圆心为的圆相交于，两点，当面积最大时，直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 （3） 圆的中点弦问题 67．（2024·全国·高三专题练习）若点为圆的弦的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 68．（2024·辽宁锦州·高二校考期中）若为圆的弦的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 69．（2024·北京·高二人大附中校考阶段练习）圆的一条弦以点为中点，则该弦的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 70.（2023·天津·三模）已知直线平分圆，则圆中以点为中点的弦弦长为________ 71．（2024·天津河东·高二统考期中）已知圆，直线过点且与圆交于两点，若为线段的中点，为坐标原点，则的面积为__________． （4） 圆内接三角形的面积 72.（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知直线与圆交于，两点，若是圆上的一动点，则面积的最大值是___________. 73.（2024·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）已知圆． (1)若一直线被圆所截得的弦的中点为，求该直线的方程； (2)设不过圆心的直线与圆交于，两点，把的面积表示为的函数，并求的最大值． 74.（2023·浙江·校联考三模）在平面直角坐标系上，圆，直线与圆交于两点，，则当的面积最大时，（    ） A． B． C． D． 75.（2023·江西·统考模拟预测）已知圆的方程为，若直线与圆相交于两点，则的面积为___________. 题型五 直线与圆的综合问题 76.（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集为区间，且,则（    ） A． B． C． D．2 77．【多选】（2024·湖北武汉·统考三模）已知圆：，直线：，则（    ） A．直线在y轴上的截距为1 B．直线的倾斜角为 C．直线与圆有2个交点 D．圆上的点到直线的最大距离为 78．【多选】（2024·广西河池·高二校联考阶段练习）已知直线与圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．圆的圆心坐标为 C．存在实数，使得直线与圆相切 D．若，直线被圆截得的弦长为4 79．【多选】（2024·湖北孝感·高二校联考阶段练习）已知圆，直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与圆C相切 C．当时，过直线l上一点P向圆C作切线，切点为Q，则的最小值为 D．若圆C上只有一个点到直线l的距离为1，则 80．【多选】（2024·广东揭阳·高二统考期末）已知圆，直线，P为直线上的动点，过点P作圆M的切线、，切点为A、B，则下列结论正确的是（   ） A．四边形面积的最小值为4 B．四边形面积的最大值为8 C．当最大时， D．当最大时，直线AB的方程为 81．【多选】（2024·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期中）圆：，直线，点在圆上，点在直线l上，则下列结论正确的有（   ） A．直线与圆相交 B．的最小值是1 C．若到直线的距离为2，则点有2个 D．从点向圆引切线，则切线段的最小值是 82．【多选】（2024·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知直线：与圆：．则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．直线与圆相离 C．圆心到直线距离的最大值是 D．直线被圆截得的弦长最小值为 题型六 直线与圆方程的应用 83．（2024·广东广州·高二统考开学考试）如图是某圆拱形桥的示意图，雨季时水面跨度AB为6米，拱高(圆拱最高点到水面的距离)为1米．早季时水位下降了1米，则此时水面跨度增大到_________米． 84．（2024·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）如图是某圆拱桥的一孔圆弧拱的示意图，该圆弧拱跨度米，每隔5米有一个垂直地面的支柱，中间的支柱米. (1)建立适当的坐标系求该圆拱桥所在曲线的方程; (2)求其它支柱的高度（精确到0.01米）． 85．（2024·山西晋中·高二统考期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为、）和圆弧构成，截面总高度为，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在坚直方向上高度之差至少要有米，已知行车道总宽度.    (1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程； (2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？ 86.（2024·湖北·高二武汉市第二十三中学校联考期末）如图，某海面上有、、三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距O岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆经过、、三点． (1)求圆的标准方程； (2)若圆区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西方向距岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 题型七 韦达定理及其应用 87.（2023·高三课时练习）已知圆，过点的直线交圆于、两点，且，则直线的方程是______. 88．（2024·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考开学考试）已知圆经过点，及.经过坐标原点的斜率为的直线与圆交于，两点. (1)求圆的标准方程； (2)已知点，若的面积为，求的值. 89．（2024·安徽芜湖·高二安徽省无为襄安中学校考阶段练习）已知点，，曲线C任意一点P满足． (1)求曲线C的方程； (2)设直线与圆C交于A、B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 90．（2024·陕西渭南·高一校考阶段练习）已知圆经过，两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若直线与圆交于点，，且以线段为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程． 91．（2024·高二单元测试）已知方程，． (1)若此方程表示圆，求m的取值范围； (2)若（1）中的圆与直线相交于M，N两点，且（O为坐标原点），求m的值． 92．（2024·辽宁大连·高三校联考阶段练习）圆． (1)求证：不论为何值，圆必过两定点； (2)已知，圆与轴相交于两点，（点在点的左侧）．过点任作一条与轴不重合的直线与圆相交于两点，，问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由． 题型八 与圆有关的定点、定值问题 93．（2024·广西桂林·高二广西师范大学附属中学校考阶段练习）过点的直线与圆交于两点，为圆与轴正半轴的交点． (1)若，求直线的方程； (2)证明：直线的斜率之和为定值． 94．（2024·福建宁德·高二统考期中）已知圆过点，且与直线相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)若，点在圆上运动，证明：为定值． 95．（2024·广东深圳·高二统考期末）已知过点的直线l与圆交于A，B两点，M为的中点，直线l与直线相交于点N． (1)当时，求直线l的方程； (2)证明：为定值． 96．（2024·江苏连云港·高二统考期中）已知圆，直线与圆O交于A，B两点． (1)求； (2)设过点的直线交圆O于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点S满足．证明：直线SN过定点． 97.（2022秋·安徽芜湖·高二安徽省无为襄安中学校考阶段练习）已知点，，曲线任意一点满足． (1)求曲线的方程； (2)设直线与圆交于、两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 98．（2024·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）已知圆M方程为，直线的方程为，点在直线上，过P作圆M的切线、，切点为A、B． (1)若P点坐标为，求 (2)经过A、P、M三点的圆是否经过异于点的定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由． 99．（2024·四川广安·高二广安二中校考阶段练习）已知在平面直角坐标系xOy中，，，平面内动点P满足． (1)求点P的轨迹方程； (2)点P轨迹记为曲线，若C，D是曲线与x轴的交点，E为直线l：x＝4上的动点，直线CE，DE与曲线的另一个交点分别为M，N，直线MN与x轴交点为Q，求点Q的坐标． $$2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 专题14 直线与圆的位置关系8种常考题型归类（99题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 直线与圆位置关系的判断 （一）判断直线与圆的位置关系 （二）由直线与圆的位置关系求参数 （三）由直线与圆的位置关系求距离最值 题型二 直线与圆的交点问题 题型三 圆的切线问题 （一）过圆上一点的切线方程 （二）过圆外一点的切线方程 （三）与切线长有关的问题 （四）切线的应用 题型四 圆的弦长问题 （一）求圆的弦长问题 （二）已知圆的弦长求参数 （三）圆的中点弦问题 （四）圆内接三角形的面积 题型五 直线与圆的综合问题 题型六 直线与圆方程的应用 题型七 韦达定理及其应用 题型八 与圆有关的定点、定值问题 知识点1：直线与圆的位置关系 (1)直线与圆的三种位置关系 直线与圆 的位置关 系的图象 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 (2)判断直线与圆的位置关系的两种方法 ①几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 ②代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交 ②直线与圆相切 ③直线与圆相离 知识点2：直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 (1)几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： (2)代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 知识点3：直线与圆相切 (1)圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 (2)过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） (3)切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 知识点4：圆上点到直线的最大（小）距离 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 ①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； 解题策略 1.判断直线与圆位置关系的方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． 注：直线与圆位置关系的两种判断方法及其应用 (1)直线与圆的位置关系的两种判断方法中，若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法较简单；若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离表达较复杂，则用代数法较简单． (2)由直线与圆的位置关系求参数的问题，首先判断直线与圆的位置关系，然后将此转化为圆心到直线的距离与半径长的关系，并结合其他条件解题，注意半径长、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形在解题中的应用． 2．求圆的切线方程的方法 (1)求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程： 先求切点与圆心的连线的斜率k，则由垂直关系，k存在且k≠0时，知切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或k不存在，则由图形可直接得切线方程为x＝x0或y＝y0. (2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程： 几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切线方程即可求出．并注意检验当k不存在时，直线x＝x0是否为圆的切线． 代数法：设切线方程y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切线方程即可求出．并注意检验当k不存在时，直线x＝x0是否为圆的切线． 注：求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目． (1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程的步骤 ①求斜率k； ②代入点斜式方程：y－y0＝k(x－x0)； ③讨论k＝0或斜率不存在两种情况． (2)求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程时，用几何方法求解的步骤 ①设切线方程：y－y0＝k(x－x0)； ②利用圆心到直线的距离等于半径，求k. 注意：若求出的k值只有一个，则另一条切线的斜率一定不存在． (3)圆的切线的求法注意的两种情况 ①点在圆上时； ②点在圆外时：①几何法；②代数法． 3．切线段的长度公式 (1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则P到切点的切线段长为d＝. (2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的切线，则P到切点的切线段长为d＝ . 4．直线与圆相交时，弦长的求法 (1)几何法：如图，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆半径为r，弦长为|AB|，则有2＋d2＝r2，即|AB|＝2. (2)代数法：①联立直线方程和圆的方程，解方程组得A，B点坐标，再由两点间的距离公式求弦长|AB|；②设直线l的方程为y＝kx＋b，联立直线l的方程和圆的方程，消去一个未知数得一个一元二次方程，利用根与系数的关系求解． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b. 则|AB|＝ ＝ ＝ · ＝ ·. 注意：①当已知圆心坐标和半径时利用几何法较简便； ②若直线方程较特殊(如x＝a，y＝b等)，一般解出坐标再求|AB|. 5．坐标法 坐标法贯穿解析几何的始终，通过建立平面直角坐标系，研究了直线与圆的有关问题；通过建立空间直角坐标系，刻画了点在空间的位置，研究了两点间的距离等问题．总之，通过建立坐标系，把点与坐标、曲线与方程等联系起来，将几何问题转化为代数问题，这是一个优化思想的过程． 6．数形结合，充分运用圆的几何性质的策略 求解直线与圆的位置关系的问题时，为避免计算量过大，可以数形结合，充分运用圆的几何性质求解，比如，圆心在圆的任意一条弦的垂直平分线上；计算弦长时，可利用半径、弦心距、弦长的一半构造直角三角形；涉及圆的切线时，要考虑过切点且与切线垂直的半径等． 7.直线与圆的方程的实际应用 (1)利用直线与圆的方程解决实际问题的步骤：①认真审题，明确题意；②建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程的模型；③利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；④把代数结果还原为对实际问题的解释． (2)坐标法是研究与平面图形有关的实际问题的有效手段，因此要建立适当的平面直角坐标系，用直线与圆的方程解决问题．建立平面直角坐标系时要尽可能有利于简化运算． 8.用坐标法解决几何问题 坐标法建立直角坐标系应坚持的原则 (1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴． (2)充分利用图形的对称性． (3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称． (4)关键点的坐标易于求得． 9．与圆有关的最值问题 常见的类型包括以下几种： (1)求圆O上一点到圆外一点P的最大、最小距离：dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r. (2)求圆上的点到与圆相离的某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m，则dmax＝m＋r，dmin＝m－r. (3)已知某点的运动轨迹是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，求①；②；③x2＋y2等式子的最值，一般运用几何法求解． (4)形如t＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题，即转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值． (5)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． (6)形如t＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题． 题型一 直线与圆位置关系的判断 （一）判断直线与圆的位置关系 1．（2024·新疆喀什·校考模拟预测）已知圆，直线，则圆C与直线l（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交且直线过圆C的圆心 【答案】B 【分析】根据题意只需判断圆心到直线的距离与半径比较大小即可判断． 【详解】由可得， 故圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 故直线与圆C相切． 故选：B 2．（2024·四川成都·成都七中校考一模）圆：与直线：的位置关系为（ ） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【分析】求出圆心坐标与半径，再将直线方程化为一般式，根据圆心到直线的距离即可判断. 【详解】圆：的圆心为，半径， 直线：即，则圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切. 故选：A 3．（2024·北京海淀·高二北理工附中校考期中）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【分析】求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置关系. 【详解】由题知，圆心坐标，半径， 将直线化为点斜式得， 知该直线过定点， 又，故该定点在圆内， 所以该直线与圆必相交. 故选：C 4．（2024·高二课时练习）为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 【答案】C 【分析】由题意可得，结合圆心到直线的距离判断与半径的大小关系，即得答案. 【详解】由题意知为圆内异于圆心的一点， 则， 而圆：的圆心到直线的距离为， 故直线与该圆的位置关系为相离， 故选：C 5.（2023·全国·高三专题练习）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【详解】已知直线过定点， 将点代入圆的方程可得， 可知点在圆内， 所以直线与圆相交. 故选：A. （二）由直线与圆的位置关系求参数 6．（2024·辽宁·校联考二模）已知圆，直线l：，若l与圆O相交，则（    ）． A．点在l上 B．点在圆O上 C．点在圆O内 D．点在圆O外 【答案】D 【分析】根据l与圆O相交，可知圆心到直线的距离小于半径，列出不等式，再判断点与直线和圆的关系. 【详解】由已知l与圆O相交，,可知圆心到直线的距离小于半径， 则有，故， 把代入，所以点不在直线l上，故A错误； 又，则点在圆O外，故D正确. 故选：D． 7.（2023·全国·高三专题练习）已知圆：，直线，若直线与圆总有交点，则的取值范围为______ 【答案】 【详解】由l方程知，则l过定点， 若l与圆C总有交点，则点M在圆内或圆上. 又因为圆C的圆心坐标为，半径为r， 则，即r的取值范围为. 故答案为： 8.（2023·天津南开·统考二模）若直线与圆相切，则______. 【答案】/0.75 【详解】由题意圆心为，半径为2， 所以，解得． 故答案为：． 9.（2023·河北·校联考一模）直线与圆相切，则的最大值为（    ） A．16 B．25 C．49 D．81 【答案】C 【详解】由直线与圆相切可得： 圆心到直线的距离等于圆的半径， 即， 故，即点在圆O上， 的几何意义为圆上的点与点之间距离的平方， 由圆心为， 因为， 所以点在圆外， 所以点到点的距离的最大值为圆心到的距离与圆半径之和， 即， 所以的最大值为. 故选：C. 10．（2024·浙江·高二期中）已知圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意分析可得表示直线上任一点到坐标原点的距离，结合点到直线的距离运算求解. 【详解】已知圆的圆心为，半径， 由题意可知：直线过圆心，即， 表示直线上任一点到坐标原点的距离， 故的最小值即为到直线的距离. 故选：B. 11．（2024·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C．， D． 【答案】B 【分析】是斜率为的直线，曲线是以原点为圆心为半径的圆的右半圆，利用点到直线距离公式，结合图形可得答案. 【详解】是斜率为的直线， 曲线是以原点为圆心为半径的圆的右半圆， 画出它们的图象如图， 当直线与圆相切时，（舍去）， 当直线过时，, 由图可以看出： 当时，直线与半圆有两个公共点， 故选：    12．（2024·高一单元测试）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得：为恒过定点的直线，曲线表示圆心为，半径为的上半圆，由此利用数形结合思想能求出的取值范围． 【详解】根据题意得为恒过定点的直线， 由曲线，可得， 所以曲线表示圆心为，半径为的上半圆，如图所示，    当直线与圆相切时，有，解得（舍去）或， 把代入得，解得， 因为直线与曲线恰有两个公共点， 由图可得，即的取值范围是． 故选：B． 13．（2024·新疆阿克苏·校考一模）已知两点，点是圆上任意一点，是锐角，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出点P的坐标，利用向量建立不等式，再借助几何意义求出圆上点到原点距离最小值即可. 【详解】设点，显然圆与x轴相离，即点不共线，于是是锐角当且仅当， 而，依题意，，即恒成立， 表示点到原点的距离，又点是圆上任意一点，其圆心为，半径为1， 因此，从而，又，解得， 所以的取值范围为. 故选：B 14．（2024·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）圆上到直线距离为的点有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【分析】求出圆心到直线的距离，再结合图象分析可得结果. 【详解】因为化为标准方程为， 所以圆心，圆的半径， 又因为圆心C到直线的距离为， 所以， 所以过圆心平行于直线的直线与圆有2个交点，另一条与直线的距离为的平行线与圆相切，只有1个交点，如图所示， 所以圆C上到直线的距离为的点共有3个. 故选：B. 15．（2024·湖南长沙·周南中学校考二模）若圆上有四个点到直线的距离为，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题意得，圆心到直线的距离，列式求解即可． 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为圆上有四个点到直线的距离为， 所以圆心到直线的距离， 所以，解得． 故答案为：． 16．【多选】（2024·贵州遵义·高二遵义市南白中学校考阶段练习）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．圆上恰有1个点到直线的距离为1，则 B．圆上恰有2个点到直线的距离为1，则 C．圆上恰有3个点到直线的距离为1，则 D．圆上恰有4个点到直线的距离为1，则 【答案】ACD 【分析】根据圆上点的个数到直线的距离为1，数形结合得到圆心到直线的距离或距离范围，得到方程或不等式，求出答案. 【详解】圆的圆心为，半径为2， A选项，要想圆上恰有1个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离为3， 即，解得，A正确； B选项，要想圆上恰有2个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离大于1，小于3， 即，解得，B错误； C选项，圆上恰有3个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离等于1， 即，解得，C正确； D选项，圆上恰有4个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离小于1， 即，解得，D正确. 故选：ACD （三）由直线与圆的位置关系求距离最值 17．（2024·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知直线与圆，则圆上的点到直线的距离的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】确定圆心和半径，计算圆心到直线的距离，再计算最小值得到答案. 【详解】圆，圆心为，半径， 圆心到直线的距离为，直线和圆相离， 故圆上的点到直线的距离的最小值为. 故选：B 18．（2024·广西·校联考模拟预测）已知直线和圆，则圆心O到直线l的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把直线方程化为，求得直线过定点，结合圆的几何性质，即可求解. 【详解】由题意，直线可化为， 联立方程组，解得，即直线过定点， 又由，可得定点在圆内， 由圆的几何性质知，圆心到直线的距离． 故选：B. 19．（2024·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）直线分别与轴，轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是___________. 【答案】 【分析】先求出A，B两点的坐标，则可求出，然后求出圆心到直线的距离，从而可求出点P到直线的距离的最大值和最小值，进而可求出面积的最大值和最小值，即可求得结果. 【详解】对于，当时，，当时，， 所以， 所以， 圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离为， 所以点P到直线的距离的最大值， 点P到直线的距离的最小值， 所以面积的最大值为， 面积的最小值为， 所以面积的取值范围是， 故答案为： 20．【多选】（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知，过点作直线的垂线，垂足为，则（    ） A．直线过定点 B．点到直线的最大距离为 C．的最大值为3 D．的最小值为2 【答案】AC 【分析】由点斜式确定定点，由点在以原点为圆心，直径为的圆上，结合圆的性质判断即可. 【详解】可化为，则直线过定点，故A正确； 因为直线的斜率存在，所以点与点不重合， 因为，所以点在以原点为圆心，直径为的圆上（去掉点B）， 点到直线的距离为，由图可知，，故B错误； 由图可知，，即，故C正确，D错误； 故选：AC    21．（2024·河北石家庄·高三校联考阶段练习）如图，正方形的边长为4，是边上的一动点，交于点，且直线平分正方形的周长，当线段的长度最小时，点到直线的距离为______.    【答案】 【分析】利用平面几何知识可得出点的轨迹是圆.适当建系，写出点的轨迹方程.再利用圆的性质得出当最小时，，，三点共线，进而求解即可. 【详解】根据题意平分正方形周长，可得恒过正方形的中心，设的中心为点，由可知，点的轨迹是以为直径的圆， 以为坐标原点，为轴，为轴建立直角坐标系， 则，，，， 以为直径的圆的方程为， 设为圆心，可知坐标为，当最小时，，，三点共线， 可知此时直线的方程为， 则点到直线的距离为. 故答案为：.    题型二 直线与圆的交点问题 22.（2024·甘肃白银·高二校考期末）坐标轴与圆的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆，即圆， 所以圆，半径， 因为圆心到轴的距离为1，且， 所以圆与轴相交，即与轴有两个交点， 因为圆心到轴的距离为2，且等于半径， 所以圆与轴相切于点，即与轴有一个交点， 综上坐标轴与圆有3个交点， 故选：C 23．（2024·江苏宿迁·高二统考期中）直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】联立方程后考虑方程组的解，从而可得交点的个数. 【详解】联立直线方程和曲线方程可得可得， 即，解得或，故方程组的解为或. 故选：C 24．（2024·浙江嘉兴·高二统考期末）直线与曲线的交点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据题意，由曲线表示一条直线与一个圆，然后分别联立方程，即可得到交点个数. 【详解】因为曲线就是或，表示一条直线与一个圆， 联立，解得，即直线与直线有一个交点；此时，没有意义. 联立，解得或，所以直线与有两个交点. 所以直线与曲线的交点个数为2个. 故选：B 25．（2024·浙江·高二期中）设圆：，若直线在轴上的截距为，则与的交点个数为（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【分析】利用直线过定点，判断定点在圆内即可． 【详解】解：直线在轴上的截距为， 直线过定点， ， 点在圆内， 直线与的交点个数为个． 故选：． 26．（2024·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）已知点是圆与轴的交点，为直线上的动点，直线与圆的另一个交点分别为，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的方程，求得的坐标，设出坐标，写出两直线的方程，分别联立圆与直线，求得的坐标，求特殊位置解得定点，用一般情况的方程进行验证，可得答案. 【详解】由，令，解得，不妨设，， 设，则直线的方程为，直线的方程为， 联立，消去可得：， 设，，则，即，， 联立，消去可得：， 则，即，， 当直线的斜率不存在时，，解得，此时，故直线方程为； 当直线的斜率为时，则直线方程， 联立，可得定点为，下面验证此为真： 当直线的斜率存在且不为零时，则斜率， 则方程为，将代入上式， 则，即，等式成立， 故直线过定点， 故选：B. 题型三 圆的切线问题 （1） 过圆上一点的切线方程 27．（2024·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）过点作圆的切线，则切线的方程为__________. 【答案】 【分析】根据题意可知点在圆上，结合切线性质结合直线的点斜式运算求解. 【详解】圆的圆心， ∵，则点在圆上，即点为切点， 则圆心到切点连线的斜率，可得切线的斜率， 故切线的方程，即. 故答案为：. 28．（2024·全国·高三专题练习）经过点且与圆相切的直线方程为__________． 【答案】 【分析】根据直线与圆相切，由圆心到直线的距离相等，分直线的斜率不存在和存在讨论求解. 【详解】解：圆的标准方程为：， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离相等，即， 化简得， 解得，， 综上：直线方程为：， 故答案为： 29．（2024·山东泰安·校考模拟预测）已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据点在圆上，求出，考虑的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线距离列出方程，求出斜率和倾斜角. 【详解】由题意得， 当的斜率不存在时，此时直线方程为，与圆相交，不合题意， 当的斜率存在时，设切线的方程为， 则，解得， 设的倾斜角为， 故的倾斜角为. 故选：D 30.（2023·全国·高三专题练习）过点作圆：的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆：，即，圆心为，半径， 又，所以点在圆上，且， 所以切线的斜率，所以切线方程为，即. 故选：C 31．（2024·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知点，，经过点作圆的切线与轴交于点，则________． 【答案】 【分析】由直线与圆的位置关系作出切线，求得，即可得解. 【详解】如图所示，设圆心为点，则， ，则点在圆上，且， 由与圆相切可得，所以切线方程为， 令，解得，故， 所以 故答案为：. 32．（2024·河南开封·统考三模）已知点，，经过B作圆的切线与y轴交于点P，则______． 【答案】 【分析】由直线与圆的位置关系作出切线，求得，再用两角和与差的正切公式即可得结果. 【详解】如图所示，设圆心为C点，则， ，则点在圆上，且， 由与圆相切可得：，则，， 则，故，则， 从而可得, 故答案为：. （2） 过圆外一点的切线方程 33．（2024·福建莆田·高二校联考期末）求圆在点处的切线方程. 【答案】 【分析】根据点在圆上，求得可得，得到切线斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由圆的方程，又由点在圆上， 可得，所以切线斜率， 所以切线方程为，即. 34．（2024·北京·高二北京一七一中校考阶段练习）过点的圆的切线方程为 _________________． 【答案】或 【分析】根据切线斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到切线距离等于半径求解． 【详解】当切线的斜率不存在时， 切线的方程为，圆心到该直线的距离等于半径1，符合题意， 当切线的斜率存在时， 设过点的切线方程为，即， ∵圆心到直线的距离等于半径， ∴，解得， ∴切线方程为， 综上所述，切线方程为或． 故答案为：或． 35.（2024·上海静安·高二统考期末）过点的直线与圆相切，则直线的斜率为______. 【答案】或 【详解】圆化为标准方程为，圆心，半径为1， 当直线的斜率不存在时，直线：，此时直线与圆不相切，不合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，由题意， 所以，平方化简得，解得或. 故答案为：或. 36．（2024·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）在平面直角坐标系中，圆过点，，且圆心在上． (1)求圆的方程； (2)若已知点，过点作圆的切线，求切线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求出的中垂线方程，与直线联立，可得圆心的坐标，求出圆的半径，即可得答案； （2）分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案． 【详解】（1）因为圆过，则的中垂线过圆心， 设的中点为，则， 因为，所以的中垂线方程为，即， 又圆心在， 联立，解得， 因此圆心，半径， 所以圆的方程为.   . （2）因为，所以在圆外， 过作圆的切线， 若切线斜率不存在时，则切线方程为，满足与圆相切， 若切线斜率存在时，设切线方程，即， 则，解得， 所以切线方程为，即. 综上：切线方程为或. 37．（2024·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知点，圆O：，则过点P与圆O相切的直线有 _____条；切线方程为 _____. 【答案】 2 或 【分析】根据给定条件，确定点P与圆O的位置关系即可作答. 【详解】依题意，，即点P在圆O外，所以过点P与圆O相切的直线有2条； 显然圆心到直线的距离为圆O的半径2，即直线为圆O的一条切线， 过点P的圆O的切线斜率存在时，设方程为，即， 由，解得，则切线方程为， 所以所求切线方程为或. 故答案为：2；或      38．（2024·浙江·校联考模拟预测）已知圆和圆，则过点且与都相切的直线方程为__________.（写出一条即可） 【答案】或（写出一条即可） 【分析】由直线与圆的位置关系通过几何法计算即可. 【详解】若过M的切线斜率不存在，即为，此时显然与两圆都相切； 若过M的切线斜率存在，不妨设为，则到的距离分别为， 即. 综上过M与两圆都相切的直线为：或 故答案为：或（写出一个即可） 39．（2024·高二课时练习）从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】根据锐角三角函数，结合二倍角公式即可求解. 【详解】由得，所以圆心为，半径为，设切点分别为,连接,则为两切线的夹角， 由于,所以, 由二倍角公式可得， 故选:B    40．（2024·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中）已知圆，为过的圆的切线，A为上任一点，过A作圆的切线AP，AQ，切点分别是P和Q，则四边形APNQ的面积最小值是__________． 【答案】/ 【分析】求出直线的方程，再根据圆的切线长定理求出四边形面积的函数关系，借助点到直线距离求出最小值作答. 【详解】依题意，直线的斜率为，则直线的斜率为， 直线的方程为，即，圆的圆心，半径， 因为为圆的切线，则，四边形的面积： 又到的距离，于是， 因此， 所以四边形APNQ的面积最小值为. 故答案为： 41．（2024·高二单元测试）若在圆上运动，则的最大值为___. 【答案】 【分析】表示两点所在直线的斜率，则当直线与圆相切时，斜率取得最值，求出过点的切线的斜率，即可得解. 【详解】表示两点所在直线的斜率， 设两点所在直线的方程为，即， 如图，当直线与圆相切时，斜率取得最值， 圆的圆心为，半径为， 当圆与直线相切时， 圆心到直线的距离，解得， 所以的最大值为. 故答案为：. 42．（2024·全国·高三专题练习）已知为圆C：上任意一点，且点． （1）求的最大值和最小值． （2）求的最大值和最小值． （3）求的最大值和最小值． 【答案】【小问1】最大值为，最小值为     【小问2】最大值为，最小值为     【小问3】最大值为9，最小值为1 【分析】（1）利用图形及点与圆的关系即可得结果； （2）利用图形将问题转化为斜率最值即可； （3）利用图形将问题转化为直线与圆的位置关系； 【详解】（1）圆C：，如图所示，连接QC交圆C于AB两点，当M与A重合时取得最小值， 即， 与B重合时取得最大值即，故最大值为，最小值为； （2）易知，由图形知当与圆C相切时取得最值，如图所示. 可设，则C到其距离为，解得， 故最大值为，最小值为 （3）设，如图所示，即过点M的直线的截距，如图所示，当该直线与圆相切时截距取得最值.圆心C到该直线的距离为，所以或9，故最大值为9，最小值为1. 43．（2024·河北·高二校联考期末）过直线上一点向圆O：作两条切线，设两切线所成的最大角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设是直线的动点，由题意可得是圆心到直线的距离时，两切线所成的角最大，计算可得． 【详解】由圆，可得圆心为，半径为， 设是直线的动点，自向圆作切线， 当长最短时，两切线所成的角最大， 即是圆心到直线的距离时，两切线所成的角最大， 由点到直线的距离公式可得， ，，， ． 故选：C． 44．（2024·北京大兴·校考三模）若点是圆上的动点，直线与轴、轴分别相交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，分析可知当直线与圆相切，且切点位于轴下方时，取最小值，求出、的大小，可求得的最小值． 【详解】如下图所示：    直线的斜率为，倾斜角为，故， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 易知直线交轴于点，所以， 由图可知，当直线与圆相切，且切点位于轴下方时，取最小值， 由圆的几何性质可知，且，则， 故． 故选：A （3） 与切线长有关的问题 45.（2024·福建厦门·高二厦门双十中学校考阶段练习）过直线上的一点作圆的两条切线，，切点分别为，当直线，关于对称时，线段的长为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【详解】如图所示，圆心为，连接，    因为直线，关于对称，所以垂直于直线， 故，而， 所以. 故选：C 46．（2024·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为______. 【答案】 【分析】切点与圆心的连线垂直切线，利用勾股定理，切线段长转化为直线上点与圆心连线和半径关系，求圆心与直线上点距离的最小值，即可求解. 【详解】圆的圆心为， 在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A．连接． 在中，．要使最小，则应最小． 又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为． 故的最小值为．    故答案为：. 47．（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为______． 【答案】 【分析】设过点的切线与圆相切于点，分析可知当与直线垂直时，取最小值，再利用勾股定理可求得切线长的最小值. 【详解】设过点的切线与圆相切于点，连接，则， 圆的圆心为，半径为，则， 当与直线垂直时，取最小值，且最小值为， 所以，，即切线长的最小值为. 故答案为：. 48．（2024·北京海淀·北大附中校考三模）已知圆，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】首先得出切线长的表达式，再以二次函数求值域的方法解之即可. 【详解】圆：中，圆心，半径 设，则， 则, 当时，， 故选：C 49．（2024·全国·高三专题练习）已知是直线上的动点，，是圆的两条切线，，是切点．求四边形面积的最小值. 【答案】 【分析】连接，设点坐标为，则，问题转化为求的最小值，再由勾股定理得到当最小时，取最小值，利用距离公式及二次函数的性质计算可得. 【详解】圆即圆，所以圆心，半径， 连接，由点在直线上，可设点坐标为， 所以， 因为，所以当最小时，取最小值． 因为． 所以当时，．所以， 即四边形面积的最小值为． （4） 切线的应用 50．（2024·四川成都·树德中学校考模拟预测）若直线，与相切，则最大值为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】由条件可得，然后设，由三角函数的知识可得答案. 【详解】的圆心为，半径为， 因为直线，与相切， 所以，即， 所以可设， 所以，其中， 故选：B 51．（2024·四川南充·阆中中学校考二模）若点是圆上的任一点，直线与轴、轴分别相交于、两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，分析可知当直线与圆相切，且切点位于轴下方时，取最小值，求出、的大小，可求得的最小值. 【详解】如下图所示： 直线的斜率为，倾斜角为，故， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 易知直线交轴于点，所以，， 由图可知，当直线与圆相切，且切点位于轴下方时，取最小值， 由圆的几何性质可知，且，则， 故. 故选：A. 52．（2024·全国·高三专题练习）已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】根据切线夹角分析出，由圆心到直线的距离不大于4列出不等式求解可得． 【详解】设两切点为，则，，所以, 因此只要直线上存在点，使得即可满足题意． 圆心，所以圆心到直线的距离，解得或． 故选：C． 53．（2024·江西·高二临川一中校联考阶段练习）已知圆，直线的方程为，若在直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为点，使得为直角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆的对称性及切线的性质进行转化，将问题转化为点到直线的距离求解. 【详解】连接，如图， 则由圆的对称性及切线的性质，可得四边形为正方形， 又， 所以点到直线的距离必须小于或等于， 即，所以， 故选：D. 题型四 圆的弦长问题 （1） 求圆的弦长问题 54．（2024·高二课时练习）过三点的圆交于轴于两点，则＝（    ） A． B．8 C． D．10 【答案】C 【分析】由题意可得，则为直角三角形，所以可得圆心为的中点，半径为，从而可求出圆的方程，则可求出圆与轴的交点，进而可求出结果. 【详解】因为，所以， 所以， 所以，所以为直角三角形， 所以过三点的圆的圆心，半径为， 所以过三点的圆的方程为， 令，则，得， 所以， 故选：C. 55.（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知圆，直线与圆相交于，两点，则______． 【答案】/ 【详解】由，得，则圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离为 所以，解得． 故答案为： 56．（2024·江苏南京·高二南京市江宁高级中学校联考期末）已知直线：与圆交于两点，则____________. 【答案】 【分析】根据题意，利用圆的弦长公式，准确计算，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径为， 又由圆心到直线的距离为， 根据圆的弦长公式，可得. 故答案为：. 57.（2024·四川凉山·高二统考期末）过点的直线被圆截得的弦长最短，则直线的斜率是（    ） A．1 B．2 C．-2 D．-1 【答案】D 【详解】由圆，可得圆心坐标为， 根据圆的性质，可得当过点与圆心垂直时，此时弦长最短， 因为，所以直线的斜率为. 故选：D. 58．（2024·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）直线与圆交于两点，则弦长的最小值是___________. 【答案】 【分析】先把圆的方程化成标准形式，从而得出圆心坐标和半径，再通过直线方程得出直线过定点，发现定点在圆的内部，从而根据圆的有关知识知：当定点是弦的中点时，弦长最短，从而求出弦长的最小值. 【详解】圆化成标准形式为圆， 圆心，半径， 直线过定点，并在圆内， 最短时，点为弦的中点，即时， 所以. 故答案为：. 59．（2024·福建宁德·高二统考期中）已知，圆，圆， 若直线过点且与圆相切，则直线被圆所截得的弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式求解即可. 【详解】设直线的方程为， 由直线与圆相切，则， 解得，即， 即直线的方程为， 又圆的圆心坐标为，半径为， 圆圆心到直线距离为， 则直线被圆所截弦长为. 故选：A （2） 已知圆的弦长求参数 60．（2024·上海黄浦·高二统考期末）设直线与圆相交所得弦长为，则______； 【答案】 【分析】利用点线距离公式与圆的弦长公式即可得解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线，即的距离， 由圆的弦长公式，即，得， 所以，解得， 经检验，满足题意，所以. 故答案为：. 61．（2024·高一单元测试）在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点. (1)求圆的方程； (2)过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）求出过点且与直线垂直的直线方程，与联立求出圆心，根据两点间的距离求出半径，即可得圆的方程； （2）分类讨论，利用点到直线的距离公式，结合过原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程. 【详解】（1）过点且与直线垂直的直线方程为， 联立，解得，所以, 所以圆的半径为, 所以圆的方程为.      （2）由（1）可知圆的方程为， 因为直线被圆截得的弦长为， 所以到直线的距离为， 若直线的斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线的距离为，不符合题意； 若直线的斜率存在，设方程为， 则,即,解得或, 所以直线的方程为或.    62．（2024·高一单元测试）已知直线l：被圆C：所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有______条. 【答案】9 【分析】根据题意可知直线l恒过定点，分别求得直线被圆截得弦长的最大值和最小值，利用对称性即可求得满足条件的直线l共有9条. 【详解】将直线l的方程整理可得，易知直线恒过定点； 圆心，半径； 所以当直线过圆心时弦长取最大值，此时弦长为直径； 易知，当圆心与的连线与直线l垂直时，弦长最小，如下图所示；    此时弦长为，所以截得的弦长为整数可取； 由对称性可知，当弦长为时，各对应两条，共8条， 当弦长为8时，只有直径1条， 所以满足条件的直线l共有9条. 故答案为：9 63.（2023·高二课时练习）已知O为原点，直线与圆交于、两点． (1)若，求的值； (2)若，求圆的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：圆的圆心为， 半径，其中， 圆心到直线的距离， ，解得； （2）解：设， 联立，消得， ， 则， 又， 因为，所以， 即， 即， 所以，解得满足， 此时圆的半径， 所以圆的面积为. 64．（2024·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若直线与圆：相交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线过的定点并判断与圆的位置关系，再求出垂直于经过该定点的圆的直径的弦长作答. 【详解】直线，即恒过定点， 而，即点在圆内， 因此当且仅当时，最小， 而圆的圆心，半径，， 所以. 故选：B    65．（2024·陕西西安·高二西安市铁一中学校考阶段练习）设、为正数，若直线被圆截得弦长为，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】分析可知，直线过圆心，可得出，再将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】由可得，故圆的直径是， 所以直线过圆心，即， 又， 当且仅当时，即当时，等号成立. 因此，的最小值为. 故答案为：. 66．（2024·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期末）已知过点的直线与圆心为的圆相交于，两点，当面积最大时，直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】由三角形面积公式结合正弦函数的性质得出当时面积最大，设出直线的方程，确定圆心到直线的距离，列出方程，求解得出直线的方程. 【详解】的面积，当仅当时“”成立，此时点到 直线的距离为. 当直线的斜率不存在时，即：，此时圆心到直线的距离为，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设：，则，解得，所以方程为. 故选：A 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由三角形面积公式得出当时面积最大，进而由距离公式得出方程. （3） 圆的中点弦问题 67．（2024·全国·高三专题练习）若点为圆的弦的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线CM的斜率，由垂径定理得到直线AB的斜率，进而利用点斜式求出直线的方程，化为一般式，得到答案. 【详解】的圆心，则直线CM的斜率， 由垂径定理可得：直线与垂直， 故直线AB的斜率， 则直线的方程为， 即. 故选：C 68．（2024·辽宁锦州·高二校考期中）若为圆的弦的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理得到，根据两直线垂直时斜率的关系得到，然后利用点斜式写直线方程，最后整理为一般式即可. 【详解】可整理为，所以圆心为，根据垂径定理可得，，所以，直线AB的方程为：y-1=x+2整理得x-y+3=0. 故选：C. 69．（2024·北京·高二人大附中校考阶段练习）圆的一条弦以点为中点，则该弦的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】配方法将一般式方程整理成标准方程，确定圆心和半径之后根据弦长公式可求. 【详解】将配方得, 圆心为， 所以弦长为. 故选：B. 70.（2023·天津·三模）已知直线平分圆，则圆中以点为中点的弦弦长为________ 【答案】 【详解】由，得， 因为直线平分圆C， 所以该直线经过圆心C，得，解得. 则， 当圆心C与该点的连线与弦垂直时，满足题意， 所以圆C以点为中点的弦弦长为. 故答案为：. 71．（2024·天津河东·高二统考期中）已知圆，直线过点且与圆交于两点，若为线段的中点，为坐标原点，则的面积为__________． 【答案】6 【分析】根据题意可得直线的方程为，根据垂径定理可求，再求点到直线的距离，计算面积． 【详解】由已知点，所以． 因为为线段的中点，所以， 所以，所以直线的方程为，即． 设点到直线的距离为，则， 所以． 设点到直线的距离为，则， 则的面积 故答案为：6． （4） 圆内接三角形的面积 72.（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知直线与圆交于，两点，若是圆上的一动点，则面积的最大值是___________. 【答案】/ 【详解】，则圆C的圆心为，半径为， 圆心C到直线l（弦AB）的距离为， 则， 则到弦AB的距离的最大值为， 则面积的最大值是. 故答案为： 73.（2024·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）已知圆． (1)若一直线被圆所截得的弦的中点为，求该直线的方程； (2)设不过圆心的直线与圆交于，两点，把的面积表示为的函数，并求的最大值． 【答案】(1)； (2)，；. 【详解】（1）圆圆心，半径，显然点在圆C内， 由圆的性质知，当为圆C弦的中点时，该弦所在直线垂直于直线， 直线的斜率，则有所求直线斜率为1，方程为：，即， 所以该直线的方程为. （2）直线与圆相交时，圆心C到直线l的距离，解得， 又直线l不过圆心，即，因此且， ， 的面积， 因为且，则，当，即或时，， 所以，，当或时，. 74.（2023·浙江·校联考三模）在平面直角坐标系上，圆，直线与圆交于两点，，则当的面积最大时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由圆的方程知：圆心，半径， 则圆心到直线的距离， ，，， ， （当且仅当时取等号）， 则当的面积最大时，，又，解得：. 故选：C. 75.（2023·江西·统考模拟预测）已知圆的方程为，若直线与圆相交于两点，则的面积为___________. 【答案】12 【详解】圆：，得圆心为，半径为， 圆心到直线的距离，因此， 所以. 故答案为：. 题型五 直线与圆的综合问题 76.（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集为区间，且,则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：如图所示： 因为表示以坐标原点为圆心，4为半径位于轴上方(含和轴交点)的半圆， 表示过坐标原点及第一三象限内的直线， 又因为不等式的解集为区间，且, 即半圆位于直线下方的区间长度为2， 所以， 所以直线与半圆的交点， 所以. 故选：C. 77．【多选】（2024·湖北武汉·统考三模）已知圆：，直线：，则（    ） A．直线在y轴上的截距为1 B．直线的倾斜角为 C．直线与圆有2个交点 D．圆上的点到直线的最大距离为 【答案】ABC 【分析】根据截距，倾斜角的定义，判断AB；根据直线与圆的位置关系，即可判断CD. 【详解】A.当时，，直线在y轴上的截距为1，故A正确； B.直线的斜率为1，设直线的倾斜角为，，，所以直线的倾斜角为，故B正确； C.圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，所以直线与圆有2个交点，故C正确； D.根据C可知，圆上的点到直线的最大距离为，故D错误. 故选：ABC 78．【多选】（2024·广西河池·高二校联考阶段练习）已知直线与圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．圆的圆心坐标为 C．存在实数，使得直线与圆相切 D．若，直线被圆截得的弦长为4 【答案】ABD 【分析】A选项，将直线方程变形后得到，求出恒过的定点；B选项，将圆的一般式化为标准式方程，得到圆心坐标；C选项，令圆心到直线l的距离等于半径，列出方程，结合根的判别式判断出结论；D选项，当时，求出圆心在直线l上，故直线l被圆M截得的弦长为直径4，D正确. 【详解】变形为，故恒过定点正确； 变形为，圆心坐标为，B正确； 令圆心到直线的距离， 整理得：，由可得，方程无解， 故不存在实数，使得直线与圆相切，C错误； 若，直线方程为，圆心在直线上， 故直线被圆截得的弦长为直径4，D正确． 故选：ABD． 79．【多选】（2024·湖北孝感·高二校联考阶段练习）已知圆，直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与圆C相切 C．当时，过直线l上一点P向圆C作切线，切点为Q，则的最小值为 D．若圆C上只有一个点到直线l的距离为1，则 【答案】BC 【分析】由已知可得直线过定点,可判断A；当时，求得圆心到直线的距离可判断 B；先求|PC|的最小值，再利用勾股定理可求|PQ|的最小值判断C；由圆心到直线的距离为3可求得判断D. 【详解】对于A，由直线，得， 直线过定点，故A错误； 对于B，当时，直线的方程为， 圆的圆心，半径为， 圆心到直线的距离为 ， 直线与圆相切，故B正确； 对于C，当时，直线的方程为， 因为， 又， 的最小值为，故C正确； 对于D，若圆上只有一个点到直线的距离为1， 圆心到直线的距离为， ，解得，故D错误. 故选：BC 80．【多选】（2024·广东揭阳·高二统考期末）已知圆，直线，P为直线上的动点，过点P作圆M的切线、，切点为A、B，则下列结论正确的是（   ） A．四边形面积的最小值为4 B．四边形面积的最大值为8 C．当最大时， D．当最大时，直线AB的方程为 【答案】AD 【分析】分析可知当时，四边形面积最小，且最大，利用三角形的面积公式可判断A、B选项，分析出四边形为正方形，利用正方形的几何性质可判断C、D选项. 【详解】如下图所示： 由圆的几何性质可得，，圆，半径为2， 对于A，由切线长定理可得，又因为，，所以，， 所以四边形的面积， 因为，当时，取最小值， 且，所以，四边形的面积的最小值为，故A正确； 对于B，因为无最大值，即无最大值，故四边形面积无最大值，故B错误； 对于C，因为为锐角，，且， 故当最小时，最大，此时最大，此时，故C错误； 对于D，由上可知，当最大时，且， 故四边形为正方形，且有，直线，，则的方程为， 联立，可得，即点， 由正方形的几何性质可知，直线过线段的中点，此时直线的方程为，故D正确． 故选：AD． 81．【多选】（2024·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期中）圆：，直线，点在圆上，点在直线l上，则下列结论正确的有（   ） A．直线与圆相交 B．的最小值是1 C．若到直线的距离为2，则点有2个 D．从点向圆引切线，则切线段的最小值是 【答案】BCD 【分析】确定圆心与半径，求圆心到直线的距离，根据直线与圆位置关系即可判断A；由圆心到直线的距离，即可得圆上的点到直线距离的最大和最小值，可判断B；设直线m与l平行，且m到l的距离为2，判断此时符合的直线与圆的位置关系，即可判断C；根据切线长的几何性质即可判断D. 【详解】对于A，由圆：，得圆的标准方程为，圆心为，半径， 又圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，故A错误； 对于B，圆心到直线的距离，所以的最小值为，故B正确； 对于C，设直线m与l平行，且m到l的距离为2.则可设，由，解得：或. 当时，直线，圆心到直线的距离，所以直线m与圆C相交，有两个交点，且这两个点到直线l的距离为2； 当时，直线，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，不合题意. 综上所述，圆上到直线的距离为2的点有且只有2个，故C正确 对于D，过作与圆相切于，连结. 则切线长要使切线长最小，只需最小. 又点到圆心的最小值为圆心到直线的距离，由勾股定理得切线长的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 82．【多选】（2024·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知直线：与圆：．则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．直线与圆相离 C．圆心到直线距离的最大值是 D．直线被圆截得的弦长最小值为 【答案】AD 【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐一判断即可. 【详解】对于A，因为：，即， 令，即，得，所以直线过定点，故A正确；    对于B，因为， 所以定点在圆：内部，所以直线与圆相交，故B错误； 对于C，因为圆：，可化为，圆心， 当圆心与定点的连线垂直于直线时，圆心到直线距离取得最大值， 此时其值为，故C错误； 对于D，由弦长公式可知，当圆心到直线距离最大时，弦长取得最小值， 所以直线被圆截得的弦长的最小值为，故D正确. 故选：AD. 题型六 直线与圆方程的应用 83．（2024·广东广州·高二统考开学考试）如图是某圆拱形桥的示意图，雨季时水面跨度AB为6米，拱高(圆拱最高点到水面的距离)为1米．早季时水位下降了1米，则此时水面跨度增大到_________米． 【答案】8 【分析】画出圆拱图示意图，构建直角坐标系，列出雨季和旱季时水位方程即可求出圆的半径，旱季时水面跨度. 【详解】 画出圆拱图示意图，设圆半径为,雨季时水位方程，解得； 旱季时水位方程，解得，所以此时水面跨度为. 所以答案为 8. 84．（2024·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）如图是某圆拱桥的一孔圆弧拱的示意图，该圆弧拱跨度米，每隔5米有一个垂直地面的支柱，中间的支柱米. (1)建立适当的坐标系求该圆拱桥所在曲线的方程; (2)求其它支柱的高度（精确到0.01米）． 【答案】(1) (2)3.11米． 【分析】（1）建立如图所示的直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为，进而待定系数法求解即可； （2）点的横坐标代入这个圆的方程并解方程即可得答案. 【详解】（1）解：建立如图所示的坐标系， 设该圆拱所在圆的方程为， 由于圆心在轴上，所以，那么方程即为. 因为都在圆上， 所以它们的坐标都是这个圆的方程的解， 于是有方程组，解得                                              所以，这个圆的方程是． （2）解：由题知点的横坐标为. 所以，把点的横坐标代入这个圆的方程，得， 所以， 因为的纵坐标，故应取正值， 所以，（米）．          所以，支柱的高度约为3.11米. 85．（2024·山西晋中·高二统考期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为、）和圆弧构成，截面总高度为，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在坚直方向上高度之差至少要有米，已知行车道总宽度.    (1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程； (2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？ 【答案】(1)答案见解析 (2)米 【分析】（1）以抛物线的顶点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，分析可知点在圆上，求出的等式，解之即可； （2）将的方程代入圆的方程，求出值，结合题意可求得车辆通过隧道的限制高度. 【详解】（1）解：以抛物线的顶点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，    故圆心在轴上，原点在圆上，可设圆的一般方程为 易知，点在圆上，将的坐标代入圆的一般方程得， 则该圆弧所在圆的一般方程为. （2）解：令代入圆的方程得，得或（舍）， 由于隧道的总高度为米，且（米）， 因此，车辆通过隧道的限制高度为米. 86.（2024·湖北·高二武汉市第二十三中学校联考期末）如图，某海面上有、、三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距O岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆经过、、三点． (1)求圆的标准方程； (2)若圆区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西方向距岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1) (2)该船没有触礁的危险 【详解】（1）如图所示，， 设过O、A、B三点的圆C的方程为， 得：，解得， 故所以圆C的方程为， 圆心为，半径， （2）该船初始位置为点D，则， 且该船航线所在直线l的斜率为, 故该船航行方向为直线， 由于圆心C到直线l的距离， 故该船没有触礁的危险 题型七 韦达定理及其应用 87.（2023·高三课时练习）已知圆，过点的直线交圆于、两点，且，则直线的方程是______. 【答案】 【详解】当直线的斜率不存在时，，联立，得或， 不妨设，，则，不符合题意； 所以直线的斜率存在，设直线， 联立，消去并整理得， ， 设，， 则，， 则， 所以, 解得，， 所以直线l的方程是. 故答案为： 88．（2024·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考开学考试）已知圆经过点，及.经过坐标原点的斜率为的直线与圆交于，两点. (1)求圆的标准方程； (2)已知点，若的面积为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的方程为：，由圆过，及列方程可得，解方程即可得出答案.                 （2）设，，直线为，与圆：联立,结合韦达定理表示出的面积，解方程即可求出的值. 【详解】（1）设圆的方程为：，由圆过，及. ∴，可得，                                      ∴圆的方程为：，其标准方程为； （2）设，，直线为， 与圆：联立得：， ∴，则，. ∴. 整理得，解得，所以. 89．（2024·安徽芜湖·高二安徽省无为襄安中学校考阶段练习）已知点，，曲线C任意一点P满足． (1)求曲线C的方程； (2)设直线与圆C交于A、B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】(1)设，代入即可得到曲线C的方程. (2)由以AB为直径的圆过原点可以得到，利用韦达定理法即可求解. 【详解】（1）设，因为，故， 即，整理可得 所以曲线C的方程为. （2）设 联立整理得 得         ① 根据韦达定理得： 由以AB为直径的圆过原点，得到 所以 解得     满足①式 所以存在实数，使得以AB为直径的圆过原点. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 90．（2024·陕西渭南·高一校考阶段练习）已知圆经过，两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若直线与圆交于点，，且以线段为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）先求得线段的垂直平分线方程，与直线联立，求得圆心即可； （2）将的方程代入圆的方程，结合韦达定理，由求解. 【详解】（1）解：，， 线段的中点，斜率， 则的垂直平分线方程为，即． 解方程组得 圆心，半径． 故圆的方程为． （2）将的方程代入圆的方程，得． 设，， 则，． 故， 依题意知，则，即， 于是，即． 或，经检验，满足． 故直线的方程为或． 91．（2024·高二单元测试）已知方程，． (1)若此方程表示圆，求m的取值范围； (2)若（1）中的圆与直线相交于M，N两点，且（O为坐标原点），求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用配方法，结合圆的标准方程特征进行求解即可； （2）根据平面向量数量积的运算性质和坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数进行求解即可. 【详解】（1）， 因为该方程表示圆，所以有， 因此m的取值范围为； （2）代入方程中， 化简，得， 则有， 设， 则有， ， ， 所以m的值 92．（2024·辽宁大连·高三校联考阶段练习）圆． (1)求证：不论为何值，圆必过两定点； (2)已知，圆与轴相交于两点，（点在点的左侧）．过点任作一条与轴不重合的直线与圆相交于两点，，问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在；. 【分析】（1）将圆的方程整理为，解方程组即可得圆必过两定点； （2）令可得，，设，，直线的方程为代入圆可得，，由求得的值即可求解. (1) 由圆可得， 联立方程组：可得：，或， 则圆恒过定点和． (2) 因为圆 将代入，可得， 变形得，所以或， 因为，点在点的左侧，所以，， 因为直线的倾斜角不为，所以可设直线的方程为， 代入圆的方程可得，整理为：， 因为直线上点在圆内部，所以该直线与圆必然有两个交点， 并设两交点坐标为，， 由韦达定理可得，， 因为直线的方程为， 所以，，若， 则直线与直线关于轴对称，所以， 所以，整理得：， 将，，代入，可得， 即对任意恒成立，所以， 所以存在，使得． 题型八 与圆有关的定点、定值问题 93．（2024·广西桂林·高二广西师范大学附属中学校考阶段练习）过点的直线与圆交于两点，为圆与轴正半轴的交点． (1)若，求直线的方程； (2)证明：直线的斜率之和为定值． 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【分析】(1)首先考虑斜率不存在是否满足题意，再考虑斜率存在时，假设直线方程，结合垂径定理列方程求解斜率即可； (2)由题设得到点坐标,假设直线方程并联立圆的方程，结合韦达定理写出的表达式，化简即可. 【详解】（1）①直线垂直于轴时，可得出直线为， 此时直线与圆的两交点距离为，满足题意； ②当直线不垂直轴时，设直线方程为， 因为，所以半弦长为，由勾股定理得弦心距， 又有点到直线的距离公式可得弦心距，解得， 此时直线方程为， 所以满足题设条件的直线的方程为或 （2）由题设容易得到点坐标， 设直线方程为，联立圆的方程，可得关于的一元二次方程：， 设点，，由根与系数的关系（韦达定理）可得，， 的斜率， 的斜率， 则 ， 所以与的斜率之和为定值，从而结论得证． 94．（2024·福建宁德·高二统考期中）已知圆过点，且与直线相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)若，点在圆上运动，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明过程见详解 【分析】（1）设圆心，半径为，根据题意列出方程，求出圆心和半径，进而求出圆的方程； （2）先将圆的标准方程化为一般方程，设点，再根据题意分别求出，，进而即可证明结论． 【详解】（1）设圆心，半径为， 因为点，，所以直线的中垂线方程是， 过点且与直线垂直的直线方程是， 由，解得， 圆心，， 圆的标准方程是． （2）证明：由（1）知圆的标准方程为， 则其一般方程为，即， 设点，且点在圆上运动， 则， ， 于是， 为定值． 95．（2024·广东深圳·高二统考期末）已知过点的直线l与圆交于A，B两点，M为的中点，直线l与直线相交于点N． (1)当时，求直线l的方程； (2)证明：为定值． 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【分析】（1）由弦长公式结合距离公式得出直线l的方程； （2）分别联立直线和圆、直线的方程，利用韦达定理结合向量的运算求解即可. 【详解】（1）圆的方程可化为， 因为，所以点P在圆外． 当轴时，，不满足，即的斜率存在. 设直线l的方程为，圆心到直线的距离为. 因为，所以，即. 整理得，解得或. 故直线l的方程为或． （2）证明：当直线l的斜率不存在时，直线， 联立得出，不妨设 则，联立，可得. 则，. 则. 当直线l的斜率存在时，设为. 联立，得． 设，则, ，即， ， ． 设，则，整理得. 因为，， 所以 故为定值. 96．（2024·江苏连云港·高二统考期中）已知圆，直线与圆O交于A，B两点． (1)求； (2)设过点的直线交圆O于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点S满足．证明：直线SN过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点为 【分析】（1）先求圆心到直线的距离，再根据勾股定理即可求得弦长； （2）分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，结合根与系数的关系，表示出直线SN的方程，从而确定定点. 【详解】（1）易知圆心，半径， 圆心到直线的距离， 所以弦长. （2）当直线的斜率不存在，即轴时， 直线的方程为，代入圆方程得：或， 设，，则直线方程为， 代入直线得：， 故，因为， 所以是的中点，得， 所以， 所以直线的方程为：， 即，直线过点. 当直线的斜率存在时，如图所示： 设直线方程为：，即， 设， 联立得：， ，解得或， 由韦达定理得：， 所以③， ④，且⑤， 将代入直线得：， 所以，是的中点，得， 所以， 所以直线的方程为：， 将点的坐标代入并整理， 化简得：， 将①③④⑤代入上式得： ， 显然成立. 综上可得：直线过定点. 【点睛】(1)解答直线与圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 97.（2022秋·安徽芜湖·高二安徽省无为襄安中学校考阶段练习）已知点，，曲线任意一点满足． (1)求曲线的方程； (2)设直线与圆交于、两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【详解】（1）设，因为，故， 即，整理可得 所以曲线C的方程为. （2）设 联立整理得 得         ① 根据韦达定理得： 由以AB为直径的圆过原点，得到 所以 解得     满足①式 所以存在实数，使得以AB为直径的圆过原点. 98．（2024·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）已知圆M方程为，直线的方程为，点在直线上，过P作圆M的切线、，切点为A、B． (1)若P点坐标为，求 (2)经过A、P、M三点的圆是否经过异于点的定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是， 【分析】（1）利用特殊角的三角函数和对称性即可得到答案； （2）设，计算出中点坐标，写出圆的方程，整理，利用方程恒成立得到方程组，解出即可. 【详解】（1）因为点坐标为，所以， 又因为，所以,故. （2）设的中点，因为为圆的切线， 所以经过三点的圆是以为圆心，为半径的圆， 故其方程为 化简得， 由，解得（舍）或 所以经过三点的圆经过异于点的定点.    99．（2024·四川广安·高二广安二中校考阶段练习）已知在平面直角坐标系xOy中，，，平面内动点P满足． (1)求点P的轨迹方程； (2)点P轨迹记为曲线，若C，D是曲线与x轴的交点，E为直线l：x＝4上的动点，直线CE，DE与曲线的另一个交点分别为M，N，直线MN与x轴交点为Q，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)． 【分析】(1) 设点为曲线上任意一点，利用两点间距离公式表示条件关系，化简等式可得轨迹方程； (2) 设，联立直线的方程和曲线的方程求点的坐标，联立直线的方程和曲线的方程求点的坐标，求直线的方程，确定其与轴的交点坐标即可. 【详解】（1）设点为曲线上任意一点， 因为，，， 则， 化简得． （2）由题意得，， 设，则直线的方程为， 直线的方程为， 联立得， 则， 即，， 所以 联立得， 则，即，， 所以 当时，直线的斜率， 则直线的方程为， 即，所以， 当时，直线垂直于轴，方程为，也过定点． 综上，直线恒过定点． 【点睛】本题为直线与圆的综合问题，解决的关键在于联立方程组求出交点坐标，对学生的运算能力要求较高. $$