专题7 立体图形的体积问题 -【通城学典】2024年五年级数学暑期升级训练（青岛版）

呜呼! 楚虽三户能亡秦,岂有堂堂中国空无人! ———[宋]陆游《金错刀行》 采蜜角 33 专题七 立体图形的体积问题 计算长方体和正方体的体积时,常常会遇到物体形状变化而体积不变的情况,解决此类问 题时,要善于将体积进行转化。当物体表面积发生增减变化时,体积可能会发生变化,也可能 不变,要观察增减的表面积和原物体之间存在的联系。 类型一 等体积问题 例1 如图,华华放学回家,看见桌上放着两个 鱼缸,爸爸的留言条上写着:“华华,把A鱼缸 的水倒入B鱼缸中,使两个鱼缸中的水同样 深。”算一算,倒好后这两个鱼缸的水深是多少 厘米? 点拨:不管怎么倒水,水的体积不变。如图,可 以将两个鱼缸并排放在一起 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,因此水的体积 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 可 以看成是一个底面长(40+20)cm􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 、宽50cm的􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 长方体的体积 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。再根据长方体的高=体积÷ 底面积计算出现在的水深。 解答: 巧用体积相等解决问题 解决此类问题时,要抓住题中水的体积不变这 一关键点,结合体积的计算公式,计算出变化后的量。 类型二 通过表面积增减变化求体积 例2 一个长方体,如果从它的高截掉3厘米的 一段,正好得到一个正方体,但表面积减少了 72平方厘米,原长方体的体积是多少立方 厘米? 点拨:根据题意,画图如下: “正好得到一个正方体”说明长方体上、下两个 面是正方形 􀪍􀪍􀪍􀪍 ,其余四个面完全相同 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。由图可 知,剩下的正方体表面积比原长方体表面积减 少的72平方厘米,就是截掉的高3厘米的长􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 方体前 􀪍􀪍􀪍 、后 􀪍 、左 􀪍 、右四个面的面积和 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。因此可以 求出原长方体的长、宽、高,进而求出原长方体 的体积。 解答: 截去部分后物体的表面积减少问题 长方体或正方体沿平行于底面的截面截去一 部分后,减少的表面积等于截去部分前、后、左、右 四个面的面积和。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 整合提优 答案讲解 评价苑 用时：　　　分钟　　　　自我评价：☆☆☆☆☆34 1. 一个长方体的玻璃缸,从里面量,长为8分米,宽为6分米,高为5分米,水深为3分米。如果 往里面放入一个棱长为5分米的正方体铁块,那么玻璃缸里会有多少升水溢出? 2. 如图,将一个长方体平均截成3段,每段的长是2米,表面积增加了20平方米。原来长方体的 体积是多少立方米? 3. 如图,A地的涂色部分面积是15平方米,B地的涂色部分面积是25平方米,A地比B地高出 4米。把A地多的部分推往B地,使A、B两地同样高。A地的高度比原来降低了多少米? 4. 如图,一个密封玻璃缸,从里面量,长8分米,宽4分米,高6分米。现在玻璃缸里水深4.5分 米,如果将玻璃缸竖起来,那么此时玻璃缸里水深多少分米? 5. 将一个长方体的高增加2厘米,就变成一个正方体,正方体的表面积比原来长方体的表面积 增加了80平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米? 数学(青岛版)五年级 84 的表面积公式求出原来长方体的表面积。 4. (5×3+5×2+2×3)×2=62(平方厘米) 5. 4×4×6+2×2×4+1×1×4+0.5×0.5× 4=117(平方厘米) 解析:将挖出的正方体小洞 的底面或底面剩余部分向上平移,可知立体图形 的表面积等于原来正方体的表面积加上3个小洞 的侧面的面积之和。由正方体的表面积=棱长× 棱长×6,并结合题目中的数据计算即可解答。 专题七 立体图形的体积问题 [例题导引] 例1 解答:20×50×24=24000(cm3) 24000÷(20×50+40×50)=8(cm) 例2 解答:72÷4÷3=6(厘米) 6×6×(6+3)=324(立方厘米) [提优训练] 1. 8×6×3+5×5×5-8×6×5=29(立方分米) 29立方分米=29升 解析:根据长方体的体积 公式和正方体的体积公式,求出长方体玻璃缸内 水的体积与正方体铁块的体积和,然后减去玻璃 缸的容积就是溢出的水的体积。 2. (3-1)×2=4(个) 20÷4=5(平方米) 2×3×5=30(立方米) 3. 15×4=60(立方米) 60÷(15+25)=1.5(米) 4-1.5=2.5(米) 4. 8×4×4.5÷(4×6)=6(分米) 解析:无论横 放还是竖放,玻璃缸里水的体积不变,先求出玻璃 缸里水的体积,然后用水的体积除以竖放时玻璃 缸的底面积,即可求出竖放时玻璃缸里的水深。 5. 80÷4÷2=10(厘米) 10×10×(10-2)= 800(立方厘米) 解析:由题意可知,长方体上、 下两个面是正方形,其余四个面是完全相同的长 方形。正方体的表面积比原来长方体的表面积 增加了80平方厘米,即增加的四个完全相同的 长方形的面积和是80平方厘米。因此可以求出 原来长方体的长和宽都是80÷4÷2=10(厘米), 高是10-2=8(厘米),再根据长方体的体积= 长×宽×高求出原来长方体的体积。 专题八 稍复杂的小数乘法问题 [例题导引] 例1 解答:0.0695×2500+695×0.24+51× 6.95=6.95×25+6.95×24+51×6.95= 6.95×(25+24+51)=6.95×100=695 例2 解答:0.12×38+24×0.19+4.8×0.6= 0.12×38+0.12×38+24×0.12=0.12×(38+ 38+24)=0.12×100=12 [提优训练] 1. 9.99×8+1.11×28=1.11×72+1.11×28= 1.11×(72+28)=1.11×100=111 2. 3.65×4.7-36.5×0.37=3.65×4.7- 3.65×3.7=3.65×(4.7-3.7)=3.65×1= 3.65 3. 3.4×10.9+34-0.34×9=3.4×10.9+ 3.4×10-3.4×0.9=3.4×(10.9+10-0.9)= 3.4×20=68 4. 10.7×16.1-151×1.07=10.7×16.1- 15.1×10.7=10.7×(16.1-15.1)=10.7× 1=10.7 5. 2.4×3.7+0.024×620+0.24=2.4×3.7+ 2.4×6.2+2.4×0.1=2.4×(3.7+6.2+ 0.1)=2.4×10=24 6. 15.6×98+31.2=15.6×98+15.6×2= 15.6×(98+2)=15.6×100=1560 7. 5.6×0.34+0.56×1.9+0.056×47=5.6× 0.34+5.6×0.19+5.6×0.47=5.6×(0.34+ 0.19+0.47)=5.6×1=5.6 8. 9.9×0.7+1.1×3.7=1.1×6.3+1.1× 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(青岛版)五年级