专题6 立体图形的表面积问题 -【通城学典】2024年五年级数学暑期升级训练（青岛版）

粉骨碎身浑不怕,要留清白在人间。———[明]于谦《石灰吟》 采蜜角 31 专题六 立体图形的表面积问题 在计算长方体、正方体表面积的实际问题中,经常会遇到求不规则图形的表面积,或求切 割后形成的图形的表面积。解决此类问题不仅需要扎实的基础知识、观察能力和空间想象能 力,还需要掌握一些方法和技巧。 类型一 求不规则图形的表面积 例1 右面的图形是由棱长为1厘米 的小正方体拼成的,请你算出它的表 面积。 点拨:由小正方体拼成的图形,从相对的面观 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 察到的图形的面积是相同的 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。因此可先画出 从不同方向观察到的图形的形状,如图: 再分别计算出上面 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 、前面和右面的面积 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,最后 􀪍􀪍 求和再乘2􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 就是这个不规则图形的表面积。 解答: 运用观察法求不规则图形的表面积 解决此类问题时,需要明确从相对的面看到 的图形的面积相同,因此运用观察法观察从不同 的方向(上面、前面、右面)观察到的图形的形状, 再分别计算出上面、前面和右面的面积,最后求和 再乘2即可。这样的方法也适用于计算不同大小 的正方体组成的组合立体图形的表面积。 类型二 求切割后的图形表面积问题 例2 如图所示为一个正方体,它的棱长为4厘 米,在它六个面的正中间各挖去一个棱长为 1厘米的小正方体,现在这个图形的表面积是 多少? 点拨:观察题图,可知在一个面 􀪍􀪍􀪍􀪍 的正中间挖去 一个小正方体,原来正方体的表面积就会增加 􀪍􀪍 4个边长为1厘米的小正方形􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 的面积,所以可 以用原来正方体的表面积加上每个面多出的 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 4个小正方形的面积􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 求出现在这个图形的表 面积。 解答: 通过变化的信息求表面积 解决此类问题时,关键是明确把一个长方体 或正方体挖掉正中间一部分或分割成两部分后, 表面积会增加,而不是减少。再观察增加的面的 特征,从而解决问题。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 整合提优 答案讲解 评价苑 用时：　　　分钟　　　　自我评价：☆☆☆☆☆32 1. 如图所示为4个正方体黏合而成的模型,它们的棱长分别是2米、3米、4米和5米。现要在该 模型的表面涂油漆,如果模型的下底面不涂,那么涂油漆部分的面积是多少平方米? 2. 如图所示的图形是由棱长为1厘米的正方体摆成的,它的表面积是多少平方厘米? 3. 如图,将一个长方体的高减少5厘米,正好得到一个正方体,此时表面积减少了160平方厘 米,原来这个长方体的表面积是多少平方厘米? 4. 如图,在长5厘米、宽2厘米、高3厘米的长方体上挖去一个棱长为2厘米的正方体,求剩下图 形的表面积。 5. 如图,在一个棱长是4厘米的正方体上面的正中间挖一个棱长是2厘米的正方体小洞,在小洞 底面的正中间再向下挖第二个棱长是1厘米的正方体小洞,以同样的挖法挖第三个小洞,第 三个小洞的棱长是0.5厘米。最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米? 数学(青岛版)五年级 83 3. 9、10和12的最小公倍数是180 180-2=178(棵) 4. 10、30和35的最小公倍数是210 210-10=200(个) 解析:由题意可知,这批水 果只要再增加10个,水果的总个数就正好是10、 30和35的公倍数,即用10、30和35的最小公倍 数减去10,就能求出这批水果至少有多少个。 5. 5、6和7的最小公倍数是210 210-1=209 解析:这个自然数除以5余4;除以6余5;除以7 余6,即这个自然数就是比5、6和7的公倍数少1 的数。要求这个自然数最小是多少,用5、6和7 的最小公倍数减去1即可。 专题五 分数的巧算 [例题导引] 例1 解答:原式=11- 1 2+ 1 2- 1 3+ 1 3- 1 4+ …+ 1 9- 1 10=1- 1 10= 9 10 例2 解答:原式=1-116= 15 16 [提优训练] 1. 原式=11- 1 2+ 1 2- 1 3+ 1 3- 1 4+ …+ 12023- 1 2024=1- 1 2024= 2023 2024 解析:观察题中的分数 的特点,分子都是1,分母是相邻的两个自然数的 积。可以把这些分数拆分成两个分子是1、分母 是相邻的自然数的分数的差的形式,即1 2= 1 1- 1 2 ,1 6= 1 2- 1 3 ,1 12= 1 3- 1 4 ,1 20= 1 4- 1 5 ,…, 1 2023×2024= 1 2023- 1 2024 。在计算的过程中,有 许多相邻的分数因为数值相等、运算符号相反, 所以可以相互消去,最终达到简便运算的目的。 2. 原式=188- 1 89+ 1 89- 1 90+ 1 90- 1 91+ 1 91- 1 92+ 1 92- 1 88= 1 88- 1 88=0 3. 原式=1-13+ 1 3- 1 5+ …+ 12023- 1 2025= 1- 12025= 2024 2025 4. 1 16 解析:本题可用画图法来解决。 专题六 立体图形的表面积问题 [例题导引] 例1 解答:1×1=1(平方厘米) (1×6+1×6+1×6)×2=36(平方厘米) 例2 解答:4×4×6+1×1×4×6=120(平方 厘米) [提优训练] 1. 5×5×5+(4×4+3×3+2×2)×4=241(平 方米) 2. 1×1=1(平方厘米) (1×7+1×9+1×3)× 2=38(平方厘米) 解析:因为从相对的面观察 到的图形的面积是相等的,所以只要分别计算出 上面、前面、右面的面积,再求和、乘2就是这个 不规则图形的表面积。 3. 160÷4÷5=8(厘米) 8×(8+5)×4+8× 8×2=544(平方厘米) 解析:由题意可知,将 一个长方体的高减少5厘米,上底面虽然被截 掉,但是还会露出一个上底面,所以长方体表面 积减少的160平方厘米就是被截去的小长方体 的前、后、左、右四个面的面积和。又因为长方体 的高减少后正好得到一个正方体,说明长方体的 长和宽相等,所以减少的四个面的面积也相等, 因此长方体的长和宽都是160÷4÷5=8(厘米), 长方体的高是8+5=13(厘米),最后根据长方体 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 附:答案与解析 84 的表面积公式求出原来长方体的表面积。 4. (5×3+5×2+2×3)×2=62(平方厘米) 5. 4×4×6+2×2×4+1×1×4+0.5×0.5× 4=117(平方厘米) 解析:将挖出的正方体小洞 的底面或底面剩余部分向上平移,可知立体图形 的表面积等于原来正方体的表面积加上3个小洞 的侧面的面积之和。由正方体的表面积=棱长× 棱长×6,并结合题目中的数据计算即可解答。 专题七 立体图形的体积问题 [例题导引] 例1 解答:20×50×24=24000(cm3) 24000÷(20×50+40×50)=8(cm) 例2 解答:72÷4÷3=6(厘米) 6×6×(6+3)=324(立方厘米) [提优训练] 1. 8×6×3+5×5×5-8×6×5=29(立方分米) 29立方分米=29升 解析:根据长方体的体积 公式和正方体的体积公式,求出长方体玻璃缸内 水的体积与正方体铁块的体积和,然后减去玻璃 缸的容积就是溢出的水的体积。 2. (3-1)×2=4(个) 20÷4=5(平方米) 2×3×5=30(立方米) 3. 15×4=60(立方米) 60÷(15+25)=1.5(米) 4-1.5=2.5(米) 4. 8×4×4.5÷(4×6)=6(分米) 解析:无论横 放还是竖放,玻璃缸里水的体积不变,先求出玻璃 缸里水的体积,然后用水的体积除以竖放时玻璃 缸的底面积,即可求出竖放时玻璃缸里的水深。 5. 80÷4÷2=10(厘米) 10×10×(10-2)= 800(立方厘米) 解析:由题意可知,长方体上、 下两个面是正方形,其余四个面是完全相同的长 方形。正方体的表面积比原来长方体的表面积 增加了80平方厘米,即增加的四个完全相同的 长方形的面积和是80平方厘米。因此可以求出 原来长方体的长和宽都是80÷4÷2=10(厘米), 高是10-2=8(厘米),再根据长方体的体积= 长×宽×高求出原来长方体的体积。 专题八 稍复杂的小数乘法问题 [例题导引] 例1 解答:0.0695×2500+695×0.24+51× 6.95=6.95×25+6.95×24+51×6.95= 6.95×(25+24+51)=6.95×100=695 例2 解答:0.12×38+24×0.19+4.8×0.6= 0.12×38+0.12×38+24×0.12=0.12×(38+ 38+24)=0.12×100=12 [提优训练] 1. 9.99×8+1.11×28=1.11×72+1.11×28= 1.11×(72+28)=1.11×100=111 2. 3.65×4.7-36.5×0.37=3.65×4.7- 3.65×3.7=3.65×(4.7-3.7)=3.65×1= 3.65 3. 3.4×10.9+34-0.34×9=3.4×10.9+ 3.4×10-3.4×0.9=3.4×(10.9+10-0.9)= 3.4×20=68 4. 10.7×16.1-151×1.07=10.7×16.1- 15.1×10.7=10.7×(16.1-15.1)=10.7× 1=10.7 5. 2.4×3.7+0.024×620+0.24=2.4×3.7+ 2.4×6.2+2.4×0.1=2.4×(3.7+6.2+ 0.1)=2.4×10=24 6. 15.6×98+31.2=15.6×98+15.6×2= 15.6×(98+2)=15.6×100=1560 7. 5.6×0.34+0.56×1.9+0.056×47=5.6× 0.34+5.6×0.19+5.6×0.47=5.6×(0.34+ 0.19+0.47)=5.6×1=5.6 8. 9.9×0.7+1.1×3.7=1.1×6.3+1.1× 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(青岛版)五年级