专题4 最小公倍数的应用 -【通城学典】2024年五年级数学暑期升级训练（青岛版）

莫愁前路无知己,天下谁人不识君。———[唐]高适《别董大二首》 采蜜角 27 专题四 最小公倍数的应用 解决与最小公倍数相关的问题时,用的方法比较特殊。当所要求的数并不正好是已知数 的最小公倍数时,我们可以通过“减少一部分”或“增加一部分”的方法,将问题转化成求已知数 的最小公倍数问题,从而求出结果。 类型一 用减少法解决最小公倍数问题 例1 东东有一箱玻璃球。7个7个地数,多 3个;5个5个地数,也多3个;3个3个地数, 正好数完。这箱玻璃球最少有多少个? 点拨:由题意可知,玻璃球的总个数去掉3正 好是7和5的倍数,而3个3个地数,正好数 完,所以去掉3,还是3的倍数。所以玻璃球的􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 总个数去掉3正好是3􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 、5和7的倍数􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。要求 这箱玻璃球最少有多少个,就是求比3􀪍􀪍 、5和7􀪍􀪍􀪍 的最小公倍数多3的数是多少􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。 解答: 运用减少法解决最小公倍数问题 解决此类问题时,若所要求的数去掉一些后, 正好是已知数的倍数,则要求这个数最小是多少。 可以先求出这几个数的最小公倍数,再加上去掉 的数。 类型二 用增加法解决最小公倍数问题 例2 一盒棋子,4枚4枚地数,多3枚;6枚 6枚地数,多5枚;15枚15枚地数,多14枚。 这盒棋子最少有多少枚? 点拨:“4枚4枚地数,多3枚”可以理解为已有􀪍􀪍 枚数再加1就是4的倍数􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ;同理,可知已有枚 􀪍􀪍􀪍􀪍 数再加1也正好是6和15的倍数􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。因此这盒 棋子的枚数比4、6和15的公倍数少1,要求这 盒棋子最少有多少枚,就是求比4、6和15的 最小公倍数少1的数是多少。 解答: 运用增加法解决最小公倍数问题 解决此类问题时,可以通过“增加一部分”的 方法,将问题转化为求已知数的最小公倍数问题, 需要注意的是增加的数必须是同一个数。 类型三 用转化法解决最小公倍数问题 例3 有一个自然数,除以10余7,除以7余4, 除以4余1。这个自然数最小是多少? 点拨:根据这个数除以10余7,可知这个数增 加3正好是10的倍数。同理,可知这个自然􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 数增加3也正好是7和4的倍数􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,要求这个自 然数最小是多少,用10、7和4的最小公倍数 减去3即可。 解答: 运用转化法求被除数问题 解决此类问题时,可以转化为求最小公倍数 问题。分析题意时,要注意几组除数和余数的差 是否相等。若相等,则先求出这几个除数的最小 公倍数,再减去除数和余数的差即可。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 整合提优 答案讲解 评价苑 用时：　　　分钟　　　　自我评价：☆☆☆☆☆28 1. 有一些乒乓球,总数在1000个以内,每4个、5个、6个、7个或8个装一袋,最后都剩1个。这 些乒乓球有多少个? 2. 五年级有一些同学准备排队做操。若3人排一行,则余2人;若7人排一行,则余2人;若 11人排一行,则也余2人。这些同学最少有多少人? 3. 老师带领五年级同学去植树。这批树苗的棵数在150至200之间,若9棵捆一捆,则多7棵; 若10棵捆一捆,则多8棵;若12棵捆一捆,则多10棵。这批树苗有多少棵? 4. 现有一批水果,每箱放10个,正好放完。如果每箱放30个,那么多20个;如果每箱放35个, 那么少10个。这批水果至少有多少个? 5. 一个自然数,除以5余4;除以6余5;除以7余6。这个自然数最小是多少? 数学(青岛版)五年级 82 13+4=17,说明新分数的分子与分母同时除以 了119÷17=7,所以新分数的分子是4×7=28。 所以这个数是55-28=27。 专题三 最大公因数的应用 [例题导引] 例1 解答:320、240和200的最大公因数是40 梨:320÷40=8(个) 糖果:240÷40=6(块) 饼干:200÷40=5(块) 例2 解答:83-3=80(本) 93-3=90(支) 63-3=60(块) 80、90和60的最大公因数是10 最多能装10个礼品袋 例3 解答:200-4=196 300-6=294 500-10=490 196、294和490的最大公因数是98 这个数最大是98 [提优训练] 1. 240、200和480的最大公因数是40 每小段 最长是40厘米 解析:正好把它们截成同样长 的小段,也就是每小段的厘米数是240、200和 480的公因数,所以求每小段的长度最长是多少, 就是求240、200和480的最大公因数是多少。 2. 4分米5厘米=45厘米 3分米6厘米= 36厘米 2分米4厘米=24厘米 45、36和24 的最大公因数是3 所切正方体木块的棱长最长 是3厘米 3. 100-10=90 160-10=150 220-10=210 90、150和210的最大公因数是30 这个数最大是30 解析:100除以这个数余10, 说明100-10=90除以这个数没有余数,即这个 数是90的因数。同理,这个数也是160-10= 150的因数,同时也是220-10=210的因数。因 此求这个数最大是多少,就是求90、150和210的 最大公因数是多少。 4. 284-4=280(块) 239+1=240(块) 195+ 5=200(块) 280、240和200的最大公因数是40 巧克力:280÷40=7(块) 牛奶糖:240÷40=6(块) 饼干:200÷40=5(块) 5. 110-5=105(本) 240+5=245(本) 105、210和245的最大公因数是35 五年级一班最多有35名学生 解析:如果把110本练习本平均分给五年级一班 的学生,那么多5本,说明该班的学生人数是 110-5=105的因数。已知210本练习本平均分 给该班学生,正好分完,说明该班的学生人数是 210的因数。如果把240本练习本平均分给这个 班的学生,那么还少5本,说明该班的学生人数 是240+5=245的因数。因此求该班的学生人 数最多是多少,就是求105、210和245的最大公 因数是多少。 专题四 最小公倍数的应用 [例题导引] 例1 解答:3、5和7的最小公倍数是105 105+3=108(个) 例2 解答:4、6和15的最小公倍数是60 60-1=59(枚) 例3 解答:10、7和4的最小公倍数是140 140-3=137 [提优训练] 1. 4、5、6、7和8的最小公倍数是840 840+1=841(个) 解析:由题意可知,这些乒乓 球拿掉1个之后的个数是4、5、6、7和8的公倍 数,且4、5、6、7和8的公倍数有840、1680……因 为这些乒乓球的总数在1000个以内,所以这些 乒乓球有840+1=841(个)。 2. 3、7和11的最小公倍数是231 231+2=233(人) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(青岛版)五年级 83 3. 9、10和12的最小公倍数是180 180-2=178(棵) 4. 10、30和35的最小公倍数是210 210-10=200(个) 解析:由题意可知,这批水 果只要再增加10个,水果的总个数就正好是10、 30和35的公倍数,即用10、30和35的最小公倍 数减去10,就能求出这批水果至少有多少个。 5. 5、6和7的最小公倍数是210 210-1=209 解析:这个自然数除以5余4;除以6余5;除以7 余6,即这个自然数就是比5、6和7的公倍数少1 的数。要求这个自然数最小是多少,用5、6和7 的最小公倍数减去1即可。 专题五 分数的巧算 [例题导引] 例1 解答:原式=11- 1 2+ 1 2- 1 3+ 1 3- 1 4+ …+ 1 9- 1 10=1- 1 10= 9 10 例2 解答:原式=1-116= 15 16 [提优训练] 1. 原式=11- 1 2+ 1 2- 1 3+ 1 3- 1 4+ …+ 12023- 1 2024=1- 1 2024= 2023 2024 解析:观察题中的分数 的特点,分子都是1,分母是相邻的两个自然数的 积。可以把这些分数拆分成两个分子是1、分母 是相邻的自然数的分数的差的形式,即1 2= 1 1- 1 2 ,1 6= 1 2- 1 3 ,1 12= 1 3- 1 4 ,1 20= 1 4- 1 5 ,…, 1 2023×2024= 1 2023- 1 2024 。在计算的过程中,有 许多相邻的分数因为数值相等、运算符号相反, 所以可以相互消去,最终达到简便运算的目的。 2. 原式=188- 1 89+ 1 89- 1 90+ 1 90- 1 91+ 1 91- 1 92+ 1 92- 1 88= 1 88- 1 88=0 3. 原式=1-13+ 1 3- 1 5+ …+ 12023- 1 2025= 1- 12025= 2024 2025 4. 1 16 解析:本题可用画图法来解决。 专题六 立体图形的表面积问题 [例题导引] 例1 解答:1×1=1(平方厘米) (1×6+1×6+1×6)×2=36(平方厘米) 例2 解答:4×4×6+1×1×4×6=120(平方 厘米) [提优训练] 1. 5×5×5+(4×4+3×3+2×2)×4=241(平 方米) 2. 1×1=1(平方厘米) (1×7+1×9+1×3)× 2=38(平方厘米) 解析:因为从相对的面观察 到的图形的面积是相等的,所以只要分别计算出 上面、前面、右面的面积,再求和、乘2就是这个 不规则图形的表面积。 3. 160÷4÷5=8(厘米) 8×(8+5)×4+8× 8×2=544(平方厘米) 解析:由题意可知,将 一个长方体的高减少5厘米,上底面虽然被截 掉,但是还会露出一个上底面,所以长方体表面 积减少的160平方厘米就是被截去的小长方体 的前、后、左、右四个面的面积和。又因为长方体 的高减少后正好得到一个正方体,说明长方体的 长和宽相等,所以减少的四个面的面积也相等, 因此长方体的长和宽都是160÷4÷5=8(厘米), 长方体的高是8+5=13(厘米),最后根据长方体 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 附:答案与解析