专题3 最大公因数的应用 -【通城学典】2024年五年级数学暑期升级训练（青岛版）

大鹏一日同风起,扶摇直上九万里。———[唐]李白《上李邕》 采蜜角 25 专题三 最大公因数的应用 几个数公有的因数叫作这几个数的公因数,其中最大的一个公因数叫作这几个数的最大 公因数。运用公因数解决实际问题,就是要把实际问题转化成求几个数的公因数或求最大公 因数的问题。解决此类问题首先要掌握求几个数的最大公因数的方法,其次是充分理解题意。 类型一 三个数的最大公因数问题 例1 现有梨320个、糖果240块、饼干200块, 正好将这些东西分成相同的份数做成礼包。 若礼包个数要最多,则每个礼包中有多少个 梨? 有多少块糖果? 有多少块饼干? 点拨:由题意可知,本题礼包的个数应同时是 320、240、200的因数,又要求礼包个数最多, 就是求320􀪍􀪍􀪍 、240和200的最大公因数􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。再根 据计算出的礼包个数算出每个礼包中梨、糖果 和饼干的数量。 解答: 最大公因数的应用 一般情况下,如果题目中的问题是求“最多” “最大”“最长”等,就是求几个数的最大公因数。 类型二 稍复杂的最大公因数问题 例2 学校买来83本作业本、93支铅笔和 63块橡皮,把这些物品平均分装到礼品袋里, 每种物品都正好多出3件。最多能装多少个 礼品袋? 点拨: 每种物品都正好多出3件,可以先从每 种物品中取出3件,把剩余的物品即80本作􀪍􀪍􀪍􀪍 业本 􀪍􀪍 、90支铅笔和60块橡皮􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 平均分装到礼品 袋里,正好分装完,说明礼品袋的个数正好是 80􀪍 、90和60的公因数􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,要计算出最多能装多 少个礼品袋,也就是求这三个数的最大公因数 是多少。 解答: 运用增减法求最大公因数问题 解决此类问题时,可以通过“增加一部分”或 “减少一部分”的方法,将问题转化为求最大公因 数问题。 类型三 运用转化法解决最大公因数问题 例3 有一个自然数,200除以这个数余4,300 除以这个数余6,500除以这个数余10,这个数 最大是多少? 点拨:可把此题转化为求最大公因数问题,200 除以这个数余4,说明200-4=196除以这个 数没有余数,即这个数是196的因数。同理, 这个数也是300-6=294的因数,同时也是 500-10=490的因数。因此求这个数最大是多􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 少 􀪍 ,就是求196􀪍􀪍􀪍 、294和490的最大公因数是多少􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。 解答: 巧用转化法求最大公因数问题 将求最大除数问题转化为求最大公因数问 题,先分别用被除数减去余数,计算出差是多少, 再求这几个差的最大公因数。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 整合提优 答案讲解 评价苑 用时：　　　分钟　　　　自我评价：☆☆☆☆☆26 1. 有三根钢管,它们的长度分别是240厘米、200厘米和480厘米。如果把它们正好截成同样长 的小段,那么每小段最长是多少厘米? 2. 一块长方体木块的长是4分米5厘米,宽是3分米6厘米,高是2分米4厘米。要把它切成若 干块大小相同的正方体木块,且没有剩余,则所切正方体木块的棱长最长是多少厘米? 3. 100、160和220除以一个数都余10,你知道这个数最大是多少吗? 4. 现有巧克力284块、牛奶糖239块、饼干195块。若巧克力去掉4块,牛奶糖添上1块,饼干添 上5块,则正好将这些东西分装成相同的礼包送给同学们,此时要使礼包的个数最多,则每个 礼包中有多少块巧克力? 有多少块牛奶糖? 有多少块饼干? 5. 如果把110本练习本平均分给五年级一班的学生,那么多5本;如果把210本练习本平均分给 这个班的学生,那么正好分完;如果把240本练习本平均分给这个班的学生,那么还少5本。 五年级一班最多有多少名学生? 数学(青岛版)五年级 82 13+4=17,说明新分数的分子与分母同时除以 了119÷17=7,所以新分数的分子是4×7=28。 所以这个数是55-28=27。 专题三 最大公因数的应用 [例题导引] 例1 解答:320、240和200的最大公因数是40 梨:320÷40=8(个) 糖果:240÷40=6(块) 饼干:200÷40=5(块) 例2 解答:83-3=80(本) 93-3=90(支) 63-3=60(块) 80、90和60的最大公因数是10 最多能装10个礼品袋 例3 解答:200-4=196 300-6=294 500-10=490 196、294和490的最大公因数是98 这个数最大是98 [提优训练] 1. 240、200和480的最大公因数是40 每小段 最长是40厘米 解析:正好把它们截成同样长 的小段,也就是每小段的厘米数是240、200和 480的公因数,所以求每小段的长度最长是多少, 就是求240、200和480的最大公因数是多少。 2. 4分米5厘米=45厘米 3分米6厘米= 36厘米 2分米4厘米=24厘米 45、36和24 的最大公因数是3 所切正方体木块的棱长最长 是3厘米 3. 100-10=90 160-10=150 220-10=210 90、150和210的最大公因数是30 这个数最大是30 解析:100除以这个数余10, 说明100-10=90除以这个数没有余数,即这个 数是90的因数。同理,这个数也是160-10= 150的因数,同时也是220-10=210的因数。因 此求这个数最大是多少,就是求90、150和210的 最大公因数是多少。 4. 284-4=280(块) 239+1=240(块) 195+ 5=200(块) 280、240和200的最大公因数是40 巧克力:280÷40=7(块) 牛奶糖:240÷40=6(块) 饼干:200÷40=5(块) 5. 110-5=105(本) 240+5=245(本) 105、210和245的最大公因数是35 五年级一班最多有35名学生 解析:如果把110本练习本平均分给五年级一班 的学生,那么多5本,说明该班的学生人数是 110-5=105的因数。已知210本练习本平均分 给该班学生,正好分完,说明该班的学生人数是 210的因数。如果把240本练习本平均分给这个 班的学生,那么还少5本,说明该班的学生人数 是240+5=245的因数。因此求该班的学生人 数最多是多少,就是求105、210和245的最大公 因数是多少。 专题四 最小公倍数的应用 [例题导引] 例1 解答:3、5和7的最小公倍数是105 105+3=108(个) 例2 解答:4、6和15的最小公倍数是60 60-1=59(枚) 例3 解答:10、7和4的最小公倍数是140 140-3=137 [提优训练] 1. 4、5、6、7和8的最小公倍数是840 840+1=841(个) 解析:由题意可知,这些乒乓 球拿掉1个之后的个数是4、5、6、7和8的公倍 数,且4、5、6、7和8的公倍数有840、1680……因 为这些乒乓球的总数在1000个以内,所以这些 乒乓球有840+1=841(个)。 2. 3、7和11的最小公倍数是231 231+2=233(人) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(青岛版)五年级