5.1.2 数列中的递推课件-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

5.1.2　数列中的递推 第五章 人教B版 数学选择性必修第三册 课标定位素养阐释 1.理解递推公式的含义,掌握递推关系的应用. 2.会求数列中的最大(小)项. 3.理解数列的前n项和Sn,掌握由Sn求an的方法. 4.提升逻辑推理与数学运算素养. 自主预习 新知导学 一、数列的递推关系 1.如图,某会议室有若干排座位,每一排的座位数构成的数列设为{an}.从第二排起,后一排都比前一排多2个座位. (1)第n排与第n-1排座位数有什么关系? 提示:an=an-1+2(n∈N+,且n≥2). (2)若第一排有7个座位,数列{an}是怎样的一列数? 提示:7,9,11,13,15,…. 2.如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式). 3.数列1,3,6,10,15,…的递推关系是(　　) 解析:将数列中的项代入验证即可求得. 答案:B 二、数列{an}的前n项和 1.已知某电子图书今年上半年每个月的销售量构成数列500,650,960,1 260,1 580,1 830.假如你是该电子书的销售人员,对于上述数列,除了关心每一个数的大小和增长趋势以外,你还会关心什么呢? 提示:作为销售人员,一般来说还会关心上半年的电子书的销售总量,即500+650+960+1 260+1 580+1 830=6 780. 2.(1)数列{an}的前n项和:一般地,给定数列{an},称Sn= a1+a2+a3+…+an 为数列{an}的前n项和. (2)由数列的前n项和Sn,求其通项公式an:an= (3)数列{an}前(n+1)项的和减去其前n项的和,差是 Sn+1-Sn=an+1 .(列式表示) 3.设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为(　　) A.15 B.16 C.49 D.64 解析:a8=S8-S7=64-49=15. 答案:A 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)如果在数列{an}中有an=2an+1+1,那么就可以求出数列的任一项.( × ) (2)已知在数列{an}中,a1=1,an+2=an+1+an,可以求出an.( × ) (3)在数列{an}中,a1=-1,an=an-1+2(n≥2),则a3=3.( √ ) (4)在数列{an}中,若满足an+1=an,则数列{an}为常数列.( √ ) (5)an=Sn-Sn-1成立的条件是n∈N+.( × ) 合作探究 释疑解惑 探究一 由递推关系写出数列的项并归纳通项公式 【例1】 已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+ (n≥2),写出该数列的前5项,并归纳出它的一个通项公式. 分析:由首项及递推关系写出前5项,再观察前5项的规律,写出一个通项公式. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 1.递推关系是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,不能由n直接得出an.用递推关系给出一个数列,必须包括以下两点: (1)“基础”——数列{an}的首项或前几项; (2)递推关系——数列{an}的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)之间的关系,并且这个关系可以用一个公式来表示. 如果两个条件缺一个,那么数列就不能确定. 2.根据数列的递推关系和首项(或其他项)求数列的前几项的方法: (1)根据递推关系写出数列的前几项,先要弄清楚公式中各部分的关系,再依次代入计算即可; 反思感悟 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 (2)若知道的是末项,则通常将所给关系式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如an=2an+1+1; (3)若知道的是首项,则通常将所给关系式整理成用前面的项表示后面的项 3.由递推关系写出通项公式的步骤: (1)根据递推关系写出数列的前几项(至少是前3项); (2)根据写出的前几项,观察归纳其特点,并把每一项统一形式; (3)归纳总结写出一个通项公式. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 【变式训练1】 已知在数列{an}中,a1=1,a2=2,以后各项满足 an=an-1+an-2(n≥3). (1)写出此数列的前5项; 解:(1)因为an=an-1+an-2(n≥3),且a1=1,a2=2, 所以a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8. 故数列{an}的前5项依次为a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究二 由数列的递推关系利用“累加(乘)法”求数列的通项 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 反思感悟 由递推关系求通项公式时,要根据递推关系的特点,选择恰当的方法求解.常用累加法和累乘法. (1)累加法:当an=an-1+f(n)时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1求通项公式. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 【变式训练2】 已知数列{an},a1=2,an+1=2an,写出数列的前5项,猜想an并加以证明. 解:由a1=2,an+1=2an,得a2=2a1=2×2=4=22, a3=2a2=2×4=8=23, a4=2a3=2×8=16=24, a5=2a4=2×16=32=25, …… 猜想an=2n(n∈N+). 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究三 由Sn求an 【例3】 已知下面各数列{an}的前n项和为Sn,求数列{an}的通项公式. (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n-2. 解:(1)当n=1时,a1=S1=2×12-3×1=-1; 当n≥2时,Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)=2n2-7n+5, 则an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-(2n2-7n+5)=2n2-3n-2n2+7n-5=4n-5. 此时,若n=1,则an=4n-5=4×1-5=-1=a1, 故an=4n-5. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 (2)当n=1时,a1=S1=31-2=1; 当n≥2时,Sn-1=3n-1-2, 则an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=3n-3n-1=3×3n-1-3n-1=2×3n-1. 此时,若n=1,an=2×3n-1=2×31-1=2≠a1, 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 已知数列{an}的前n项和为Sn,求数列{an}通项公式的步骤: (1)当n=1时,a1=S1. (2)当n≥2时,根据Sn写出Sn-1,化简an=Sn-Sn-1. (3)如果a1也满足当n≥2时an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an}的通项公式为an=Sn-Sn-1[如本例(1)]; 如果a1不满足当n≥2时an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an}的通项公式要 反思感悟 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-3n+104, 又当n=1时,a1=101,符合上式, 故数列{an}的通项公式为an=-3n+104(n∈N+). 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究四 数列的最大(小)项的求法 【例4】 已知数列{an}的通项公式 ,试问数列{an}有没有最大项?若有,求最大项和最大项的项数;若没有,说明理由. 当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an; 当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an; 当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an, 故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…, 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 因此数列中有最大项,最大项为第9,10项, 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 求数列的最大(小)项的两种方法: (1)利用判断函数单调性的方法,先判断数列的增减情况,再求数列的最大项或最小项. (2)设ak是最大项,则有 对任意的k∈N+,且k≥2都成立,解不等式组. 反思感悟 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 延伸探究 若将数列的通项公式改为“an=-2n2+9n+3”,求数列的最大项. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 【变式训练4】 已知数列{an}的通项公式an=n2-7n-8,求数列{an}的最小项. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 【易错辨析】 忽视数列中n的取值范围而致误 【典例】 数列{an}的通项公式为an=n-7,则数列{nan}的最小项为第 　　　　　项.  答案:3 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 提示:忽视n∈N+和二次函数的图象的对称性漏掉一个解致误. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 因为n∈N+,所以当n=3或n=4时,数列{nan}的项最小. 答案:3或4 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 1.数列是特殊的函数,在解题时需特别注意自变量的取值范围,如本例中,n∈N+,当n=3或n=4时,数列{nan}的项最小. 2.一个数列是递增数列,其首项是这数列的最小项;一个数列是递减数列,其首项是这数列的最大项.此外,数列的单调性有时需要与函数的性质结合起来. 防范措施 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 【变式训练】 已知数列{an}的通项公式an=n2-5n+4,n为正整数. (1)数列中有几项是负的? (2)当n为何值时,an有最小值?并求出最小值. 解:(1)由n2-5n+4<0,解得1<n<4, ∵n∈N+,∴n=2,3,∴数列中有两项是负的. 因为n∈N+,所以当n=2或n=3时,an有最小值,其最小值为22-5×2+4=-2. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 随堂练习 1.在数列{an}中,若a1=-1,an+1=an-3,则a3等于(　　) A.-7 B.-4 C.-1 D.2 解析:a2=a1-3=-1-3=-4,a3=a2-3=-4-3=-7. 答案:A 4.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1,n为正整数,求{an}的通项公式. 解:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+1-[(n-1)2+1]=2n-1,当n=1时,a1=S1=2不符合上式, A. B. C. D. 解:a1=1, a2=a1+=1+, a3=a2+, a4=a3+, a5=a4+. 故数列的前5项分别为1,. 由于1=, 故数列{an}的一个通项公式为an==2-. 的形式,如an+1=. (2)通过公式bn=构造一个新的数列{bn},写出数列{bn}的前4项. (2)因为bn=, 所以由(1)知,b1=,b2=, b3=,b4=. 故b1=,b2=,b3=,b4=. 【例2】 (1)在数列{an}中,a1=1,an=an-1(n≥2),求数列{an}的通项公式. (2)已知数列{an}满足a1=,anan-1=an-1-an,求数列{an}的通项公式. 分析:(1)将原式转化为(n≥2),可利用累乘法求解; (2)将原式转化为=1(n≥2),可利用累加法求解. 解:(1)因为a1=1,an=an-1(n≥2), 所以. 因为当n≥2时,an=·…··a1=·…··1=. 又当n=1时,a1=1,符合上式,所以an=. (2)∵anan-1=an-1-an,∴=1. 又a1=, ∴+()+()+…+() =2+=n+1(n≥2). ∴an=(n≥2). 又当n=1时,a1=,符合上式,∴an=. (2)累乘法:当=g(n)时,常用an=·…··a1求通项公式. 证明:由an+1=2an,得=2. 因此可得=2,=2,=2,…,=2. 将上面的(n-1)个式子相乘,可得·…·=2n-1,即=2n-1.所以an=a1·2n-1(n≥2). 又a1=2,故an=2·2n-1=2n(n≥2). 因为a1=2符合上式,所以an=2n(n∈N+). 故an= 分段表示为an=[如本例(2)]. 【变式训练3】 已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+n,求数列{an}的通项公式. 解:由题意知a1=S1=-×12+×1=101, Sn-1=-(n-1)2+(n-1)=-n2+n-104. an=(n+1)·(n∈N+) 分析:已知数列{an}的通项计算an+1-an确定单调性求最大项 解:方法一:∵an+1-an=(n+2)·-(n+1)·, 即a9=a10=. 方法二:设ak是数列{an}的最大项, 则其中k≥2, 即 整理得解得9≤k≤10, 因此k=9或k=10, 即数列{an}中的最大项为a9=a10=. 解:方法一:∵an=-2n2+9n+3=,又n∈N+,∴当n=2时,an最大, ∴最大项为a2=13. 方法二:设an为数列中的最大项,则 即 解得≤n≤,且n∈N+,∴n=2,a2=13, ∴当n=2时,an最大,∴最大项为a2=13. 解:方法一:an=n2-7n-8=, ∵n∈N+,∴当n=3或n=4时,an最小,即最小项a3=a4=-20. 方法二:设an为数列{an}的最小项, 则其中n≥2, 即解得3≤n≤4,且n∈N+.故当n=3或n=4时,a3=a4是数列中的最小项,即最小项a3=a4=-20. 错解:由于nan=n(n-7)=n2-7n=,故当n=3时,数列{nan}的项最小. 正解:nan=n(n-7)=n2-7n=. (2)an=n2-5n+4=, 2.设数列{an}满足a1=1,an=1+(n∈N,n>1),则a3=　　　　　.  解析:由已知得a2=1+=2,a3=1+. 答案: 3.已知在数列{an}中,a1=1,,则数列{an}的通项公式是　　　　　.  解析:an=a1××…×=1×(n≥2).又a1=1符合上式,故an=. 答案:an= 故an= $$