精品解析：2024年重庆市长寿区指标到校中考模拟考试数学试题

2024年重点中学指标到校考试 数学试题 （解答参考时间：120分钟，满分：150分） 注意事项： 1、试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 2、作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 3、考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回． 一、选择题（10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在实数，，，中，无理数是（　　） A. B. C. D. 3.14 2. 如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，其箭头所指方向为主视方向，则这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，AB∥ED，若∠1=70°，则∠2的度数是（ ） A. 70° B. 80° C. 100° D. 110° 4. 如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ） A. B. 7 C. D. 8 5. 反比例函数（为常数，）的图像位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 6. 已知，则与最接近的整数为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按O，A，B，循环．当时，点的坐标是( ) A. B. C. D. 9. 如图，正方形中，，点在的延长线上，且，连接，的平分线与相交于点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 新定义：若一个点的横纵坐标之和为6，则称这个点为“和谐点”．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个“和谐点”，则c的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分），请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：________． 12. 一个布袋中放着3个红球和9个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．布袋中的球已经搅匀．从布袋中任取1个球，取出红球的概率是________． 13. 正九边形一个内角的度数为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，连接，以点为圆心、的长为半径画弧，与轴正半轴相交于点，则点的横坐标是________． 15. 某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为______． 16. 如图，在中，，，D、E分别为、中点，连接、相交于点F，点G在上，且，则四边形的面积为________． 17. 若关于y的不等式组有解，且关于x的方程的解为非负数，则所有满足条件的整数m的值之和是_________． 18. 我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有，如：，，．下列说法中正确的有________个． ①；②；③若，且，则或；④方程的解为或． 三、解答题（19题8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. （1）先化简，再求值：，其中是、、中的一个合适的数． （2）计算：． 四、解答题（共7题，每题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 20. 如图，已知线段和线段． （1）用直尺和圆规按下列要求作图．（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法） ①作线段的垂直平分线，交线段于点； ②以线段为对角线，作矩形，使得，并且点在线段的上方． （2）当，时，求（1）中所作矩形的面积． 21. 某校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图． （1）请把图1中缺失的数据，图形补充完整； （2）请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数； （3）若该校共有1200名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数． 22. 某移动公司推出A，B两种电话计费方式． 计费方式 月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/（元/min） 被叫 A 免费 B 免费 （1）设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计费金额关于t的函数解析式； （2）若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由； （3）请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式． 23. 某中学数学兴趣小组的同学们，对函数（a，b，c是常数，）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． （1）当，时，即，当时，函数化简为；当时，函数化简为______． （2）当，，时，即． ①该函数自变量x和函数值y的若干组对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 6 2 0 2 4 6 … 其中______． ②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数的图象． （3）当时，即． ①当时，函数化简为______． ②在图2所示的平面直角坐标系内画出函数的图象． （4）请写出函数（a，b，c是常数，）的一条性质：______．（若所列性质多于一条，则仅以第一条为准） 24. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角． （1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； （2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由． （结果精确到，参考数据：，，，） 25. 如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若，当为何值时，四边形是平行四边形？ （3）若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 26. 在平行四边形中（顶点按逆时针方向排列），为锐角，且． （1）如图1，求边上的高的长． （2）是边上的一动点，点同时绕点按逆时针方向旋转得点． ①如图2，当点落在射线上时，求的长． ②当是直角三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年重点中学指标到校考试 数学试题 （解答参考时间：120分钟，满分：150分） 注意事项： 1、试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 2、作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 3、考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回． 一、选择题（10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在实数，，，中，无理数是（　　） A. B. C. D. 3.14 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的特征，即可解答． 【详解】解：在实数，，，中，无理数是， 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数的特征，即为无限不循环小数，熟知该概念是解题的关键． 2. 如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，其箭头所指方向为主视方向，则这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图是从上往下看，得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：这个几何体的俯视图为： 故选C． 【点睛】本题考查三视图．熟练掌握三视图的确定方法，是解题的关键． 3. 如图，AB∥ED，若∠1=70°，则∠2的度数是（ ） A. 70° B. 80° C. 100° D. 110° 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线的性质，对顶角的性质计算即可． 【详解】解：∵AB∥ED， ∴∠3+∠2=180°， ∵∠3=∠1，∠1=70°， ∴∠2=180°-∠3=180°-∠1=180°-70°=110°， 故选：D． ． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，对顶角的性质，解题的关键熟练掌握平行线的性质，找到互补的两个角． 4. 如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ） A. B. 7 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论． 【详解】解：是的中位线， ，， ， ， ， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键． 5. 反比例函数（为常数，）的图像位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据及反比例函数（为常数，）的性质即可解答． 【详解】解：∵且， ∴， ∴反比例函数（为常数，）的图象位于第一、三象限， 故选：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 6. 已知，则与最接近的整数为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的混合运算进行计算，进而估算无理数的大小即可求解． 【详解】解： ∵， ∴, ∴与最接近的整数为， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 7. 如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据圆周角定理得出，再由三角形外角和定理可知，再根据直径所对的圆周角是直角，即，然后利用进而可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵为直径，即， ∴， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，三角形外角和定理等知识，解题关键是熟知圆周角定理的相关知识． 8. 如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按O，A，B，循环．当时，点的坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题得点的位置每4个一循环，经计算得出在第三象限，与，，，…符合同一规律，探究出，，，...的规律即可． 【详解】解：由图得，，… 点C的位置每4个一循环， ， ∴在第三象限，与，，，… 符合规律， ∴坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了点的坐标的规律的探究，理解题意求出坐标是解题关键． 9. 如图，正方形中，，点在的延长线上，且，连接，的平分线与相交于点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过作于，于，由平分，可得，推出四边形是正方形，，设，则，证明，则，可解得，得，最后根据勾股定理可得解． 【详解】解：如图，过作于，于， ∴，， ∵四边形是正方形，，， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∵平分，，， ∴， ∴四边形是正方形， 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质，矩形的判定，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键通过作辅助线构造相似三角形和直角三角形． 10. 新定义：若一个点的横纵坐标之和为6，则称这个点为“和谐点”．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个“和谐点”，则c的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的交点问题．由一个点的横纵坐标之和为6可得“和谐点”在直线上，由可得“和谐点”所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解． 【详解】解：由题意可得“和谐点”所在直线为， 将代入得， 将代入得， 设，，如图， 联立与，得方程， 即， 抛物线与直线有两个交点， △， 解得， 当直线和直线与抛物线交点在点，上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入，得， 把代入得， ， 解得， ． 故选：B． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分），请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，解题的关键是先根据绝对值的代数意义、零指数幂和负整数指数幂将原式化简，再进行加减运算． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 一个布袋中放着3个红球和9个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．布袋中的球已经搅匀．从布袋中任取1个球，取出红球的概率是________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据公式计算即可． 【详解】∵一个布袋中放着3个红球和9个黑球， ∴取出红球的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据概率公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键． 13. 正九边形一个内角的度数为______． 【答案】140° 【解析】 【分析】正多边形的每个内角相等，每个外角也相等，而每个内角等于减去一个外角，求出外角即可求解． 【详解】正多边形的每个外角 （为边数）， 所以正九边形的一个外角 正九边形一个内角的度数为 故答案为：140°． 【点睛】本题考查的是多边形的内角和，多边形的外角和为，正多边形的每个内角相等，通过计算1个外角的度数来求得1个内角度数是解题关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，连接，以点为圆心、的长为半径画弧，与轴正半轴相交于点，则点的横坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理以及坐标与图形，由勾股定理求出的长，进而得到的长，再求出的长，即可得出点的坐标．掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵点，的坐标分别为和， ∴，， ∵， ∴， ∵以点为圆心，以长为半径画弧， ∴， ∴， ∵点在轴正半轴上， ∴点的坐标为， ∴点的横坐标为． 故答案为：． 15. 某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两种劳动工具单价间的关系，可得出乙种劳动工具单价为元，利用数量=总价÷单价，结合乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，即可列出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：∵乙种劳动工具的单价比甲种劳动工具的单价贵了4元，且甲种劳动工具单价为x元， ∴乙种劳动工具单价为元． 根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 16. 如图，在中，，，D、E分别为、中点，连接、相交于点F，点G在上，且，则四边形的面积为________． 【答案】##平方厘米 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，三角形中位线的性质，三角形面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．连结，利用三角形中位线定理可得，，，即得，所以，即可求出，再由可求得，由此即得答案． 【详解】如图所示，连接， ∵D、E分别为、中点， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形的面积． 故答案为：． 17. 若关于y的不等式组有解，且关于x的方程的解为非负数，则所有满足条件的整数m的值之和是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解分式方程、解一元一次不等式组，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键． 解出分式方程，根据题意确定的范围，解不等式组，根据题意确定m的范围，根据分式不为0的条件得到，根据题意计算即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 整理得，， 由题意得，，且， 解得，且， 解不等式组得，， 不等式组有解， ， 则且， 所有满足条件的整数m的值之和为：， 故答案为：． 18. 我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有，如：，，．下列说法中正确的有________个． ①；②；③若，且，则或；④方程的解为或． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查新定义，有理数的运算，方程的解．根据新定义判断①和②，求出或时的判断③，根据新定义得到，运用赋值法求方程的解判断④即可解题． 【详解】解：由题可知： ，， 故①正确；②错误； 当时，，， 当时，，， 故③错误； ， ， ， ， 当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 综上，的解为或或或， 故④错误； 正确的只有①， 故答案为：． 三、解答题（19题8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. （1）先化简，再求值：，其中是、、中的一个合适的数． （2）计算：． 【答案】（1），当时，原式；（2） 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，整式的混合运算， （1）先计算小括号内的减法，再计算乘法，结果化为最简分式，再选取一个使分式有意义的的值代入计算即可； （2）先计算乘方，再根据多项式除以单项式和单项式乘多项式的运算法则将原式展开，再进行加减运算； 掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：（1） ， 由题意得：，， 当时，原式． （2）解： ． 四、解答题（共7题，每题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 20. 如图，已知线段和线段． （1）用直尺和圆规按下列要求作图．（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法） ①作线段的垂直平分线，交线段于点； ②以线段为对角线，作矩形，使得，并且点在线段的上方． （2）当，时，求（1）中所作矩形的面积． 【答案】（1） ①线段的垂直平分线，如图所示， ②如图，矩形ABCD即为所求． （2）矩形的面积为 【解析】 【分析】（1）①分别以点A，为圆心，以大于为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线与线段交于点O，则所在直线为线段的垂直平分线； ②以点O为圆心，的长为半径画弧，再以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在线段上方交于点B，同理，以点O为圆心，的长为半径画弧，再以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在线段下方交于点D，连接，即可得矩形． （2）根据矩形的性质可知道，根据勾股定理可求出的长度，由此即可求出矩形的面积． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 解：如图所示， ∵在矩形中，，，， ∴在中，， ∴矩形的面积是， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查垂直平分线，矩形的性质，勾股定理，掌握垂直平分线，矩形的性质，勾股定理是解题的关键． 21. 某校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图． （1）请把图1中缺失的数据，图形补充完整； （2）请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数； （3）若该校共有1200名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数． 【答案】（1） 补全图形如下： （2）； （3）300． 【解析】 【分析】（1）根据选择的人数是人，所占的比例是，据此即可求得本次参加抽样调查的学生人数，进而求得选择的人数，即可补全统计图； （2）利用乘以选择的人数所占总人数的比即可得解； （3）利用总人数乘以对应的百分比即可求得． 【小问1详解】 解：（人） 选择的人数：（人） 【小问2详解】 解：， ∴研学活动地点所在扇形的圆心角的度数； 【小问3详解】 （人） 答：最喜欢去地研学的学生人数共有人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22. 某移动公司推出A，B两种电话计费方式． 计费方式 月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/（元/min） 被叫 A 免费 B 免费 （1）设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计费金额关于t的函数解析式； （2）若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由； （3）请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式． 【答案】（1）总结如下表： 主叫时间/分钟 方式A计费() 方式B计费() 78 108 108 （2）选方式B计费，当时， ，故选方式B计费． （3）当时，方式A更省钱； 当时，方式A和B金额一样； 当时，方式B更省钱 【解析】 【分析】（1）根据题意，设两种计费金额分别为、，分别计算三个不同范围内的A、B两种方式的计费金额即可； （2）令，根据（1）中范围求出对应两种计费金额，选择费用低的方案即可； （3）令，求出此时的值，当主叫时间时，方式A省钱；当主叫时间时，方式A和B一样；当主叫时间时，方式B省钱； 【小问1详解】 解：根据题意，设两种计费金额分别为、 当时，方式A的计费金额为元，方式B的计费金额为108元； 方式A的计费金额，方式B的计费金额为108元； 当时，方式A的计费金额为，方式B的计费金额为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：令，有解得 ∴当时，方式A更省钱； 当时，方式A和B金额一样； 当时，方式B更省钱． 【点睛】本题考查了一次函数在电话计费中的应用，根据题意分段讨论是求解的关键． 23. 某中学数学兴趣小组的同学们，对函数（a，b，c是常数，）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． （1）当，时，即，当时，函数化简为；当时，函数化简为______． （2）当，，时，即． ①该函数自变量x和函数值y的若干组对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 6 2 0 2 4 6 … 其中______． ②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数的图象． （3）当时，即． ①当时，函数化简为______． ②在图2所示的平面直角坐标系内画出函数的图象． （4）请写出函数（a，b，c是常数，）的一条性质：______．（若所列性质多于一条，则仅以第一条为准） 【答案】（1） （2）①4， ②函数的图象如图所示， ； （3）， 函数的图象如图所示， ； （4）当时，时，y随x增大而增大；当时，时，y随x增大而减小；当时，时，y随x增大而减小；当时，时，y随x增大而增大（写其中任意一条即可）． 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的性质直接求解即可得到答案； （2）将代入解析式即可得到答案，根据表格描点用直线连接起来即可得到答案； （3）根据绝对值性质化简即可得到答案，根据解析式找点，描点用直线连接即可得到答案； （4）根据绝对值性质化简函数解析式，结合一次函数性质直接写即可得到答案； 【小问1详解】 解：当时， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①当时， ， 故答案为：4； ②略 【小问3详解】 解：①当时， ， 故答案为：； ②当时， ， 当时，， 当时，， 当时，； 【小问4详解】 解：由解析式得，当时， ， 当时，时，y随x增大而增大， 当时，时，y随x增大而减小， 当时，， 当时，时，y随x增大而减小， 当时，时，y随x增大而增大， 故答案为：当时，时，y随x增大而增大，当时，时，y随x增大而减小，当时，时，y随x增大而减小，当时，时，y随x增大而增大（写其中任意一条即可）． 【点睛】本题考查一次函数的图像与性质，解题的关键是根据绝对值的性质化简出解析式． 24. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角． （1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； （2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由． （结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】（1）车后盖最高点到地面的距离为 （2）没有危险 理由如下： 过作，垂足为点     ∵， ∴ ∵ ∴ 在中， ∴． ∵平行线间的距离处处相等 ∴到地面的距离为． ∵ ∴没有危险． 【解析】 【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可； （2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可． 【小问1详解】 如图，作，垂足为点 在中 ∵， ∴ ∴ ∵平行线间的距离处处相等 ∴ 答：车后盖最高点到地面的距离为． 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 25. 如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若，当为何值时，四边形是平行四边形？ （3）若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式； （2）结合平行四边形的性质，通过求直线的函数解析式，列方程求解； （3）分3种情况求解：当时；当时；当时；根据，确定点坐标，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解． 【小问1详解】 解：在直线中，当时，，当时，， ∴点，点， 设抛物线的解析式为， 把点，点代入可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意，， ∴， 当四边形是平行四边形时，， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， ∴直线的解析式为， 又∵过点作轴的平行线交抛物线于另一点，且抛物线对称轴为， ∴ ∴， 解得（不合题意，舍去），； 【小问3详解】 解：存在，理由如下． 由题意，， ∴，． 当时，点P在x轴的上方， ∵， ∴点E为线段的中点， ∴，， ∴， 代入整理得，， 解得（不合题意，舍去），． 当时，点P在x轴上，此时点E与点M重合，所以此种情况不存在； 当时，点P在x轴的下方，点E在射线上， 如图，设线段的中点为R， ∴，， ∴． ∵， ∴M为的中点， ∴，， ∴， 代入整理得，， 解得（不合题意，舍去），． 综上可知，存在或，使． 【点睛】本题考查一次函数和二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想和方程思想解题是关键． 26. 在平行四边形中（顶点按逆时针方向排列），为锐角，且． （1）如图1，求边上的高的长． （2）是边上的一动点，点同时绕点按逆时针方向旋转得点． ①如图2，当点落在射线上时，求的长． ②当是直角三角形时，求的长． 【答案】（1）8 （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）利用正弦的定义即可求得答案； （2）①先证明，再证明，最后利用相似三角形对应边成比例列出方程即可； ②分三种情况讨论完成，第一种：为直角顶点；第二种：为直角顶点；第三种，为直角顶点，但此种情况不成立，故最终有两个答案． 【小问1详解】 在中，， 在中，． 【小问2详解】 ①如图1，作于点，由（1）得，，则， 作交延长线于点，则， ∴． ∵ ∴． 由旋转知， ∴． 设，则． ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． ②由旋转得，， 又因为，所以． 情况一：当以为直角顶点时，如图2． ∵， ∴落在线段延长线上． ∵， ∴， 由（1）知，， ∴． 情况二：当以为直角顶点时，如图3． 设与射线的交点为， 作于点． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 化简得， 解得， ∴． 情况三：当以为直角顶点时， 点落在的延长线上，不符合题意． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正弦的定义，全等的判定及性质，相似的判定及性质，理解记忆相关定义，判定，性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $