23.4 用样本估计总体- 【通城学典】2024八年级数学暑期升级训练（冀教版）

68 23.4　用样本估计总体 1. 总体中所有个体的平均数叫做 . 2. 所给出的样本的总和除以样本的个数得出 的值叫做 . 3. 的大小只能近似地表示相应 的 的大小. 4. 当样本中个体较多,且具有较好的代表性 时,样本的方差也趋于 ,且与总体 的方差比较接近,因此,我们经常用样本的 方差来估计 的方差. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 红红帮助母亲估算家庭4月份电费开支 情况,下表是4月初连续8天每天早上红红家 电表显示的读数(单位:千瓦时): 日 期 1 2 3 4 5 6 7 8 读 数15211524152815331539154215461549 (1) 求这几天的平均用电量. (2) 如果以此为样本来估计4月份(按30天计算) 的用电量,那么4月份的用电量为多少千瓦时? (3) 红红家所在地规定:用电量不超过100千 瓦时的,按每千瓦时0.53元收费;超过100千 瓦时的,超出的部分按每千瓦时0.56元收费. 根据以上信息,估计红红家4月份的电费是多 少元. 点拨:先利用平均用电量=总用电量÷天数进 行计算,再利用平均数的代表性估计总用电量, 最后分段计算出电费. 解答: 解有所悟:本题采用的是用样本平均数估计总体平 均数,样本的选择具有代表性. 典例2 某市农业科学研究所几年前在甲、乙两 座山上各栽种了100棵苹果树,成活率是98%, 现已结果成熟.为了分析收成情况,分别从两座 山上随机各采摘了4棵树上的苹果,每棵苹果 树的产量如图所示. (1) 分别计算甲、乙两座山样本的平均数,并估 算出甲、乙两座山苹果的产量总和; (2) 试通过计算说明哪座山上的苹果产量较 稳定. 典例2图 点拨:通过统计图获取数据,分别计算样本平均 数和样本方差,然后根据其各自具备的代表性 进行判断. 解答: 解有所悟:有统计图时,要先根据统计图获取数据,再 进行对应量的计算,最后通过数据的对比得出结论. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)八年级 69 [基础过关] 1. 从总体中抽取一部分数据作为样本去估计总 体的某种属性,下列叙述中,正确的是 ( ) A. 样本容量越大,样本平均数就越大 B. 样本容量越大,样本的方差就越大 C. 样本容量越大,样本的中位数就越大 D. 样本容量越大,对总体的估计就越准确 2. 某中学环保小组抽样调查了某社区10户家 庭1周内使用环保方便袋的数量(单位: 只),结果为6,5,7,8,7,5,8,10,5,9.利用这 些数据估计该社区2000户家庭1周内使用 环保方便袋 ( ) A. 21000只 B. 20000只 C. 14000只 D. 98000只 3. (山西中考)生物学研究表明,植物光合作用 速率越高,单位时间内合成的有机物越多. 为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速 率,科研人员从甲、乙两个品种的大豆中各 选五株,在同等试验条件下,测量它们的光 合作用速率(单位:μmol·m-2·s-1),结果 统计如下表: 品 种第一株第二株第三株第四株第五株平均数 甲 32 30 25 18 20 25 乙 28 25 26 24 22 25 则这两个品种大豆中光合作用速率更稳定 的是 (填“甲”或“乙”). 4. 某商场4月份随机抽查了6天的营业额,结 果分别如下(单位:万元):2.8,3.2,3.4, 3.7,3.0,3.1.试估算该商场4月份(按30天 计算)的总营业额是 万元. 5. 某家庭记录了未使用节水龙头时20天的日 用水量数据和使用节水龙头时20天的日用 水量数据,得到频数分布表如下: 未使用节水龙头时20天的日用水量频数分布表 日用水 量/m3 0≤ x<0.1 0.1≤ x<0.2 0.2≤ x<0.3 0.3≤ x<0.4 0.4≤ x<0.5 频 数 0 4 2 4 10 使用节水龙头时20天的日用水量频数分布表 日用水量/m3 0≤ x<0.1 0.1≤ x<0.2 0.2≤ x<0.3 0.3≤ x<0.4 频 数 2 6 8 4 (1) 计算未使用节水龙头时20天的日平均 用水量和使用节水龙头时20天的日平均用 水量; (2) 估计该家庭使用节水龙头后一年能节省 多少立方米水(一年按365天计算). [综合提升] 6. 为了解某校学生做书面家庭作业的时间,该 校工作人员随机调查了40名学生每天做书 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 70 面家庭作业的时间,情况见下表.下列说法 中,错误的是 ( ) 书面家庭作业用时/分 70 80 90 100 110 学生人数 4 7 20 7 2 A. 这40名学生每天做书面家庭作业的时 间的众数是90分钟 B. 估计全校学生每天做书面家庭作业的平 均时间是89分钟 C. 这40名学生每天做书面家庭作业的时间 的中位数是90分钟 D. 估计全校学生每天做书面家庭作业的时 间超过90分钟的有9人 7. 为节约用电,某市根据每户居民每月用电量 分为三档收费. 第一档电价:每月用电量低于240千瓦时,每 千瓦时0.4883元;第二档电价:每月用电量 为240~400千瓦时,每千瓦时0.5383元; 第三档电价:每月用电量高于400千瓦时, 每千瓦时0.7883元. 小灿同学对该市有1000户居民的某小区居 民月用电量(单位:千瓦时)进行了抽样调 查,并绘制了如图所示的统计图.下列说法 中,不合理的是 ( ) 第7题 A. 本次抽样调查的样本容量为50 B. 该小区按第二档电价缴费的居民有17户 C. 估计该小区按第一档电价缴费的居民户 数最多 D. 该小区按第三档电价缴费的居民比例约 为6% 答案讲解 8. 在推进城乡生活垃圾分类的行动 中,社区从A,B两个小区各随机选 择50位居民进行问卷调查,并得到 他们的成绩,将成绩(单位:分)a≤60定为 “不了解”,60<a≤80定为“比较了解”,80< a≤100定为“非常了解”,并绘制了如图所示 的统计图(频数分布直方图中每一组不包含 前一个边界值,包含后一个边界值).已知 A小区共有常住居民500人,B小区共有常 住居民400人. (1) 请估计整个B小区达到“非常了解”的居 民人数; (2) 将“比较了解”和“非常了解”的人作为普 及到位的居民,请估计整个A小区普及到位 的居民人数; (3) 请通过计算并用合适的数据来说明哪个 小区垃圾分类的普及工作更出色. 第8题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)八年级 26 是10分,故B选项说法错误,不符合题意;亮亮的第3次 成绩与第2次成绩相比,增长率为8-55 =60%>50% ,故 C选项说法正确,符合题意. 10. (1) 80;80.(2) 由题意可知,s2甲=15× [3×(80- 80)2+(70-80)2+(90-80)2]=40(分2),s2乙=15× [(60-80)2+(70-80)2+(90-80)2+(80-80)2+ (100-80)2]=200(分2).∵ s2甲<s2乙,∴ 甲同学该项测试 成绩更加稳定.(3) 答案不唯一,如甲同学的成绩在 70分,80分,90分之间上下波动,而乙的成绩从60分到 100分,总体上呈上升趋势,进步明显. 23.4 用样本估计总体 知识梳理 1. 总体平均数 2. 样本平均数 3. 样本平均数 总体 平均数 4. 稳定 总体 典例演练 典例1 (1) 由题表可知,在这7天时间内,一共用电 1549-1521=28(千瓦时),则这几天的平均用电量为 28÷7=4(千瓦时).(2) 4×30=120(千瓦时),4月份的用 电量为120千瓦时.(3) 0.53×100+0.56×(120- 100)=64.2(元),∴ 红红家4月份的电费是64.2元. 典例2 (1) 􀭺x甲=14× (50+36+40+34)=40(千克), 􀭺x乙=14× (36+40+48+36)=40(千克);估计甲、乙两座 山苹果的产量总和为100×98%×2×40=7840(千 克).(2) s2甲=14× [(50-40)2+(36-40)2+(40- 40)2+(34-40)2]=38(千克2),s2乙=14× [(36-40)2+ (40-40)2+(48-40)2+(36-40)2]=24(千克2). ∵ s2甲>s2乙,∴ 乙山上的苹果产量较稳定. 预学训练 [基础过关] 1. D 2. C 3. 乙 4. 96 5. (1) 未使用节水龙头时20天的日平均用水量为120× (0×0.05+4×0.15+2×0.25+4×0.35+10×0.45)= 0.35(m3),使用节水龙头时20天的日平均用水量为120× (2×0.05+6×0.15+8×0.25+4×0.35)= 0.22(m3).(2) 365×(0.35-0.22)=47.45(m3),∴ 估计 该家庭使用节水龙头后一年能节省47.45m3水. [综合提升] 6. D 7. B 8. (1) 由题意,得400×24%=96(人),∴ 估计整个B小 区达到“非常了解”的居民人数为96.(2) 由题图可知, A小区随机抽取的50位居民中,普及到位的居民有15+ 10=25(人),∴ 估计整个A小区普及到位的居民人数为 25 50×500=250. (3) ∵ 整个A小区普及到位的居民人数 约占A小区总人数的(15+10)÷50×100%=50%,整个 B小区普及到位的居民人数约占B小区总人数的32%+ 24%=56%,且50%<56%,∴ B小区垃圾分类的普及工 作更出色. 第二十三章预学检测 一、 1. B 2. A 3. A 4. B 5. B 6. B 7. A 8. C 9. B 解析:由题意可知,一共有50人,13岁的有5人, 14岁的有23人,因此将他们的年龄按从小到大的顺序排 列后,排在第25,26个的都是14岁.∴ 中位数是14岁, 不会受15岁、16岁人数的影响.∵ 14岁的有23人,13岁 的有5人,∴ 15岁、16岁的共有50-23-5=22(人). ∵ 23>22>5,∴ 众数是14岁. 10. A 解析:甲比赛成绩的平均数是15× (45+63+ 55+52+60)=55(秒),乙比赛成绩的平均数是15× (51+53+58+56+57)=55(秒),∴ 甲、乙两名运动员 5次比赛成绩的平均数相等,故A选项正确;把甲的5次 比赛成绩(单位:秒)按从小到大的顺序排列为45,52,55, 60,63,则中位数是55秒,把乙的5次比赛成绩(单位: 秒)按从小到大的顺序排列为51,53,56,57,58,则中位数 是56秒,∴ 甲、乙两名运动员5次比赛成绩的中位数不 相等,故B选项错误;由题图易知,甲、乙两名运动员5次 比赛成绩的众数不相等,故C选项错误;甲比赛成绩的方 差是1 5× [(45-55)2+(63-55)2+(55-55)2+(52- 55)2+(60-55)2]=39.6(秒2),乙比赛成绩的方差是 1 5× [(51-55)2+(53-55)2+(58-55)2+(56-55)2+ (57-55)2]=6.8(秒2),∴ 甲、乙两名运动员5次比赛成 绩的方差不相等,故D选项错误. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈