23.1 平均数与加权平均数- 【通城学典】2024八年级数学暑期升级训练（冀教版）

59 第二十三章　数据分析 23.1　平均数与加权平均数 1. 一般地,我们把n个数x1,x2,…,xn 的和与 n的比,叫做这n个数的 ,简称 ,记作 ,读作“x 拔”, 即 . 2. 平均数是一组数据的 ,它反映了数 据的“ ”. 3. 已知n个数x1,x2,…,xn,若w1,w2,…,wn 为一组正数,则把x1w1+x2w2+ …+xnwn w1+w2+…+wn 叫做n个数x1,x2,…,xn 的 ,w1, w2,…,wn 分别叫做这n个数的 , 简称为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 某饭店某个星期的营业额如下:星期一 3225元,星期二3000元,星期三3849元,星期 四3642元,星期五5730元,星期六18917元, 星期日5016元. (1) 计算该饭店这个星期的平均营业额. (2) 计算出的平均营业额能否反映该饭店这个 星期营业额的一般水平? (3) 去掉星期六的营业额后,再计算平均营 业额. 点拨:(1) 利用平均数公式进行计算.(2)(3) 体 会极端值对平均数的影响. 解答: 解有所悟:本题采用公式法,将数据直接代入进行计 算,当数据中出现极端值时,平均数不具备代表性. 典例2 在一次演讲比赛中,某同学的演讲内容、 演讲能力、演讲效果三个项目的成绩如下表 所示: 项 目 演讲内容 演讲能力 演讲效果 成绩/分 90 80 90 若按照演讲内容占50%,演讲能力占40%,演 讲效果占10%计算选手的综合成绩,则该同学 的综合成绩为 分. 点拨:先确定各数据所占的比重,然后利用加权 平均数公式进行计算. 解答: 解有所悟:数据的“权”反映数据的相对“重要程度”, “权”的形式有比例、百分比、频数等.“权”越大,对平 均数的影响就越大. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 60 [基础过关] 1. 7名学生的体重(单位:kg)分别是40,42, 43,45,47,47,58,则这组数据的平均数是 ( ) A. 44 B. 45 C. 46 D. 47 2. 为增强学生的环保意识,共建绿色文明校 园,某学校组织“废纸宝宝旅行记”活动.经 统计,九年级5个班级一周回收废纸的质量 情况如下表所示: 班 级 (一)班 (二)班 (三)班 (四)班 (五)班 废纸 质量/kg 4.5 4.4 5.1 3.3 5.7 则每个班级回收废纸的平均质量为 ( ) A. 5kg B. 4.8kg C. 4.6kg D. 4.5kg 3. 已知一组数据x1,x2,x3,…,x20 的平均数 为7,则3x1+2,3x2+2,3x3+2,…,3x20+ 2的平均数为 ( ) A. 7 B. 9 C. 21 D. 23 4. 某中学规定,学生的学期体育成绩满分为 100分,其中体育课外活动占20%,期中考试 成绩占30%,期末考试成绩占50%.若淇淇的 三项成绩(百分制)依次是96分,92分,97分, 则淇淇这学期的体育成绩是 ( ) A. 95分 B. 95.1分 C. 95.2分 D. 95.3分 5. 某公司对应聘者进行了“听、说、读、写”四项 技能测试.若该公司要招聘具有强的“听”能 力、较强的“说”与“写”能力及基本的“读”能 力的人员,则设计“听、说、读、写”四项技能 测试比较合适的权重为 ( ) A. 3∶3∶2∶2 B. 5∶2∶1∶2 C. 1∶2∶2∶5 D. 2∶3∶3∶2 6. 暑假期间,嘉嘉某周连续七天参加慢跑锻 炼,每天的跑步时间(单位:min)记录如下: 39,49,37,63,42,55,58,则这七天跑步时间 的最大值与最小值的差为 ,该周跑 步时间的平均值为 . 7. 某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择 一人担任文艺部干事,对他们进行了文化水 平、艺术水平、组织能力的测试,根据综合成 绩择优录取,他们的各项成绩如下表所示: 候选人 文化水平 艺术水平 组织能力 甲 80分 87分 82分 乙 80分 96分 76分 (1) 如果把三项成绩的平均数作为综合成 绩,那么应该录取谁? (2) 如果想录取一位组织能力较强的候选 人,把文化水平、艺术水平、组织能力三项成 绩按照1∶1∶3的比例计入综合成绩,那么 应该录取谁? [综合提升] 8. 灯泡厂为测量一批灯泡的使用寿命,从中随 机抽查了40只灯泡,它们的使用寿命如下 表所示: 使用寿 命x/h 600≤x< 1000 1000≤ x<1400 1400≤ x<1800 1800≤ x<2200 灯泡 只数 5 10 15 10 这批灯泡的平均使用寿命是 ( ) A. 1300h B. 1400h C. 1500h D. 1600h 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)八年级 61 9. 有一列数1,x2,7,x4,x5,…,xn,从第二个 数开始,每个数等于与它相邻的两个数的平 均数. (1) x6对应的数为 ; (2) 若xm=52,则m 的值为 . 10. 某公司的年度综合考核成绩由平时表现、 年中业绩、年末业绩三部分组成.某员工的 考核情况如下表所示: 考核 类别 平时表现 第1 季度 第2 季度 第3 季度 第4 季度 年中 业绩 年末 业绩 考核成 绩/分 106 102 114 110 110 107 (1) 计算该员工本年度各季度平时表现的 平均成绩; (2) 如果本年度的综合考核成绩是根据如 图所示的权重计算的,请计算出该员工本 年度的综合考核成绩.(平时表现取各季度 的平均分) 第10题 答案讲解 11. (河北中考)某公司要在甲、乙两人 中招聘一名职员,对两人的学历、 能力、经验这三个项目进行了测 试.各项满分均为10分,成绩高者被录用. 如图①所示为甲、乙测试成绩的条形统 计图. (1) 分别求出甲、乙三项测试成绩之和,并 指出谁会被录用; (2) 若三项测试成绩的权重分配如图②所 示,请分别求出甲、乙两人的综合成绩,并 判断是否会改变(1)中的录用结果. 第11题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 23 总量为W 千瓦时,∴ W=100m+80(20-m)=20m+ 1600.∵ 20>0,∴ W 的值随m 的值的增大而增大.∴ 当 m=15时,W 取得最大值,最大值为20×15+1600= 1900.∴ W 与m 之间的函数表达式为 W =20m+ 1600(m≤15),W 的最大值为1900. 19. (1) (2,4);(2,1);(6,1). (2) 直线l对应的函数表达式为y= 1 2x+3 或y= 1 2x-2. 解析:设直线OB 对应的函数表达式为y= kx(k≠0).将B(2,1)代入y=kx,得2k=1,解得k= 1 2 , ∴ 直线OB 对应的函数表达式为y= 1 2x. 设直线l对应 的函数表达式为y= 1 2x+b. 将A(2,4)代入y= 1 2x+ b,得4=12×2+b ,解得b=3.∴ 此时直线l对应的函数 表达式为y= 1 2x+3 ;将C(6,1)代入y= 1 2x+b ,得1= 1 2×6+b ,解得b=-2,∴ 此时直线l对应的函数表达式 为y= 1 2x-2.∴ 当直线l与矩形ABCD 有且只有一个公 共点时,直线l对应的函数表达式为y= 1 2x+3 或y= 1 2x-2. (3) 会.如图,画出符合题意的直线l,设直线l交AB 于 点E,交CD 于点F,连接AM,AN,并延长AN 交x轴于 点P.∵ 直线l平分矩形ABCD 的面积,∴ BE=DF.设 此时直线l对应的函数表达式为y= 1 2x+c ,则点E 的 坐标为(2,1+c),点F 的坐标为(6,3+c).∴ BE=1+ c-1=c,DF=4-(3+c)=1-c.∴ c=1-c,解得c= 1 2.∴ 此时直线l对应的函数表达式为y= 1 2x+ 1 2. 当 y=0时, 1 2x+ 1 2=0 ,解得x=-1.∴ 点M 的坐标为 (-1,0);当x=0时,y= 1 2×0+ 1 2= 1 2 ,∴ 点N 的坐 标为 0,12 .设直线AN 对应的函数表达式为y=k1x+ 1 2. 将A(2,4)代入y=k1x+ 1 2 ,得4=2k1+ 1 2 ,解得 k1= 7 4.∴ 直线AN 对应的函数表达式为y= 7 4x+ 1 2. 当y=0时, 7 4x+ 1 2=0 ,解得x=-27.∴ 点P 的 坐标为 -27 ,0 .∴ S△AMN=S△AMP-S△MNP=12MP· yA- 1 2MP ·yN= 1 2× - 2 7 -(-1) ×4-12× -27 -(-1) ×12=54. 第19题 3　预学储备 第二十三章　数据分析 23.1 平均数与加权平均数 知识梳理 1. 算术平均数 平均数 x x=1n (x1+…+xn) 2. 代表值 一般水平 3. 加权平均数 权重 权 典例演练 典例1 (1) 根据题意,得1 7× (3225+3000+3849+ 3642+5730+18917+5016)=6197(元).(2) ∵ 该饭店 这个星期除了星期六,其他每天的营业额都低于平均营业 额,∴ 计算出的平均营业额不能反映该饭店这个星期营 业额的一般水平.(3) 根据题意,得1 6× (3225+3000+ 3849+3642+5730+5016)=4077(元). 典例2 86 解析:该同学的综合成绩为90×50%+80× 40%+90×10%=86(分). 预学训练 [基础过关] 1. C 2. C 3. D 4. D 5. B 6. 26 49 7. (1) 由题意,得甲的综合成绩为1 3× (80+87+82)= 83(分),乙的综合成绩为13× (80+96+76)=84(分). ∵ 83<84,∴ 应该录取乙.(2) 由题意,得甲的综合成绩 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 24 为80× 11+1+3+87× 1 1+1+3+82× 3 1+1+3= 82.6(分),乙 的 综 合 成 绩 为 80× 11+1+3+96× 1 1+1+3+76× 3 1+1+3=80.8 (分).∵ 82.6>80.8, ∴ 应该录取甲. [综合提升] 8. C 9. (1) 16 (2) 18 10. (1) 由题意可知,1 4× (106+102+114+110)= 108(分),∴ 该员工本年度各季度平时表现的平均成绩为 108分.(2) 由题意,得108×10%+110×20%+107× 70%=107.7(分),∴ 该员工本年度的综合考核成绩为 107.7分. 11. (1) 由题图①,得甲三项测试成绩之和为9+5+9= 23(分),乙三项测试成绩之和为8+9+5=22(分). ∵ 23>22,∴ 甲会被录用.(2) 由题意,得甲的综合成绩 为9×120360+5× 360-120-60 360 +9× 60 360=7 (分),乙的综 合成绩为8×120360+9× 360-120-60 360 +5× 60 360=8 (分). ∵ 7<8,∴ 乙会被录用.∴ 会改变(1)中的录用结果. 23.2 中位数和众数 知识梳理 1. 中间 平均数 2. 最多 典例演练 典例1 (1) B 解析:这组数据按从小到大的顺序排列 为3,4,5,6,6,处在中间位置的一个数是5,因此中位数 是5. (2) C 解析:这组数据按从小到大的顺序排列为125, 130,130,132,140,145,处在中间位置的两个数是130, 132,因此中位数是12× (130+132)=131. 典例2 9 解析:在该班35名同学一周课外阅读时间 中,9h出现的次数最多,∴ 众数是9h. 典例3 (1) 由题图,得这10名工人的日均生产件数的平 均数为1 10× (8×3+10×1+12×2+13×4)=11. ∵ 13出现了4次,出现的次数最多,∴ 这10名工人的日 均生产件数的众数是13.这10名工人的日均生产件数按 从小到大的顺序排列为8,8,8,10,12,12,13,13,13,13, 处在中间位置的两个数据是12和12,∴ 这10名工人的 日均生产件数的中位数是12+12 2 =12. (2) 10×60%=6, 故要使60%的工人都能完成任务,应选中位数或平均数 作为日均生产件数的定额. 预学训练 [基础过关] 1. C 2. A 3. B 4. C 5. 165 确定中位数时,忽略数据排序和频数作用而致错 没有按大小顺序排列的一组数据,不能简单地将 中间的数作为中位数;出现频数时,注意要将所有数据 排序,不能忽略频数. 6. (1) 8;9;8. 解析:由题意得,两个班的学生人数均为 5+10+19+12+4=50,九年级(二)班得10分的人数为 50×(1-14%-24%-22%-28%)=6,∴ 九年级 (二)班测试成绩的平均数是1 50× (6×10+50×28%× 9+50×22%×8+50×24%×7+50×14%×6)=8(分), 即a=8.九年级(二)班得9分的占比最大,即出现的次数 最多,∴ 九年级(二)班测试成绩的众数是9分,即b= 9.把九年级(一)班的测试成绩按从低到高的顺序排列,中 位数是第25,26个数的平均数,则九年级(一)班测试成绩 的中位数是8+8 2 =8 (分),即c=8. (2) 根据题表可知,两个班的平均数与中位数相等,但九 年级(二)班的众数比九年级(一)班的众数大,∴ 九年级 (二)班的成绩更突出一些. 根据统计图求中位数和众数的技巧 1. 条形统计图中频数最大的数据是众数,要计算 总体数据个数,然后确定中位数. 2. 根据扇形统计图可以直观得出众数,同时可以 确定中位数的大致范围. 7. (1) 165;150.(2) 根据题意,得240×720=84 (名), ∴ 估计九年级240名学生中有84名学生能达到优秀. (3) 超过九年级一半的学生.理由:∵ 152>150,∴ 推测 该学生的1分钟跳绳次数超过九年级一半的学生. [综合提升] 8. D 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈