专题八 一次函数与四边形的综合性问题- 【通城学典】2024八年级数学暑期升级训练（冀教版）

51 专题八　一次函数与四边形的综合性问题 一次函数与四边形的综合性问题难度偏大,在中考中常以压轴题的形式出现,主要考查知识 的综合应用.解决一次函数背景下特殊四边形的存在问题和最值问题的关键是确定好动点运动 轨迹,以及用一次函数图像上的点表示出特殊四边形中的点,并验证这个点的合理性. 类型一 一次函数与四边形的综合性问题 1. 如图,一次函数y=-x+1的图像与两条坐 标轴分别交于A,B 两点,C 是线段AB 上一 动点(不与点A,B 重合),过点C 分别作 CD,CE 垂直于x轴、y轴于点D,E.当点C 从点A 开始向点B 运动时,矩形CDOE 的 周长 ( ) 第1题 A. 保持不变 B. 逐渐变大 C. 逐渐变小 D. 先变小后变大 2. 如图,四边形OABC 是边长为1的正方形, 顶点A 在x 轴的负半轴上,顶点C 在y 轴 的正半轴上.如果一次函数y=kx+2的图 像与边AB 有公共点,那么k的取值范围是 . 第2题 3. 如图①,▱ABCD 边上有一动点P,从点A 出发,沿A→B→C→D 方向,以每秒2cm 的速度运动,设点 P 的运动时间是ts, △DAP 的面积为Scm2,S 与t之间的函数 关系图像如图②所示. (1) 点G 表示的横坐标为 ; (2) 点D 到BC 边的距离是 cm. 第3题 4. 如图,矩形OABC 的顶点A,C 分别在x轴、 y轴的正半轴上,点B 的坐标为(6,8),一次 函数y=- 2 3x+b 的图像与边OC,AB 分 别交于点D,E,且满足OD=BE,M 是线段 DE 上的一个动点. (1) 求b的值. (2) 连接OM.若△ODM 的面积与四边形 OAEM 的面积之比为1∶2,求点M 的坐标. 第4题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 52 类型二 一次函数与四边形的存在性问题 答案讲解 5. 如图,在平面直角坐标系xOy 中, 矩形ABCD 的边AB 在x 轴上, AB=3,AD=2,经过点C 的直线 y=x-2与x轴、y轴分别交于点E,F. (1) 求:① 点D 的坐标; ② 经过点D,且与直线FC 平行的直线对应 的函数表达式. (2) 在直线y=x-2上是否存在点P,使得 △PDC 为等腰直角三角形? 若存在,求出 点P 的坐标;若不存在,请说明理由. (3) 在平面直角坐标系中确定点M,使得以 M,D,C,E 为顶点的四边形是平行四边形, 请直接写出点M 的坐标. 第5题 6. ★如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线l 与直线y=2x 平行,且直线l与x 轴、y 轴 分别交于点A,B,点A 的坐标为(-1,0), 点C(1,a)在直线l上. (1) 求直线l对应的函数表达式以及点C 的 坐标; (2) 点P 在y轴的正半轴上,Q 是平面直角 坐标系内一点,若四边形PAQC 为矩形,求 点P,Q 的坐标. 第6题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)八年级 53 7. 如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD 是梯形,AD∥BC,E 是BC 的中点,BC= 12,点A 的坐标是(0,4),CD 所在直线对应 的函数表达式为y=-x+9,P 是BC 边上 的一个动点. (1) 当PB 的长为 时,以P,A,D, E 为顶点的四边形为平行四边形. (2) 在点P 运动的过程中,以P,A,D,E 为 顶点的四边形能否构成菱形? 请说明理由. 第7题 答案讲解 8. 如图,直线l1:y= 3 4x 与直线l2 交 于点A(4,m),直线l2与x 轴交于 点B(8,0),点C 从点O 出发沿OB 向终点B 匀速运动,速度为每秒1个单位长度.同时, 点D 从点B 出发以同样的速度沿BO 向终 点O 运动,作CM⊥x 轴,交折线OAB 于 点M,作DN⊥x 轴,交折线BAO 于点N, 设运动时间为ts. (1) 求直线l2对应的函数表达式. (2) 在点C,D 运动的过程中: ① 当点M,N 分别在OA,AB 上时,求证: 四边形CMND 是矩形; ② 在点C,D 的整个运动过程中,当四边形 CMND 是正方形时,请你直接写出t的值. (3) P 是平面内一点,在点C 的运动过程 中,是否存在以P,O,A,C 为顶点的菱形? 若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在, 请说明理由. 第8题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 54 类型三 一次函数与四边形的最值问题 答案讲解 9. 如图,在平面直角坐标系中,一次函 数y= 1 2x+1 的图像与x 轴、y 轴 分别交于A,B 两点,以AB 为边在第二象限 内作正方形ABCD. (1) 求正方形ABCD 的面积. (2) 求点C 和点D 的坐标. (3) 在x 轴上是否存在点M,使△MDB 的 周长最小? 若存在,请求出点M 的坐标;若 不存在,请说明理由. 第9题 答案讲解 10. 如图,直线y=- 1 2x+4 与x 轴 和y轴分别交于点A 和点B,AB 的垂直平分线l与x轴交于点C,与AB 交 于点D. (1) 如图①,连接BC,求OC 的长; (2) 如图②,若P 是射线CD 上的动点,E, F 是y 轴上的两个动点,且EF=2,当 △ADP 的面积为10时,求PE+EF+FC 的最小值. 第10题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)八年级 18 12. B 13. D 14. (1) ∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ ∠B=90°.由折叠 的性质,得 NE=AE.设 NE=AE=x,则BE=AB- AE=12-x.在Rt△EBN 中,由勾股定理,得BN2+ BE2=NE2,即52+(12-x)2=x2,解得 x=16924. ∴ AE=16924.∴ △AEN 的面积=12AE×BN= 1 2× 169 24×5= 845 48. (2) EF=AN.理由:如图,作FH⊥AB 于 点H,则易得FH=AD=AB,∠EFH+∠FEH=90°.由 折叠的性质,得EF⊥AN.∴ ∠NAB+∠FEH=90°. ∴ ∠EFH = ∠NAB.在 △EFH 和 △NAB 中, ∠EFH=∠NAB, FH=AB, ∠FHE=∠B=90°, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △EFH ≌ △NAB (ASA). ∴ EF=AN. 第14题 15. (1) ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ DC=AD, ∠BAD=∠DCB=90°.∵ 将△ADE 沿 DE 折叠至 △DEF,∴ AD=DF,∠DAE=∠EFD=90°.∴ DF= DC.又 ∵ ∠DCH = ∠DFH =90°,DH = DH, ∴ Rt△DCH≌Rt△DFH(HL).∴ CH=FH.(2) ∵ AB= 6,BE=2AE,∴ AE=2,BE=4.由折叠的性质,得EF= AE=2.∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ ∠ABC=90°, BC=AB=6.∴ 在Rt△BEH 中,EH2=BE2+BH2. ∴ (CH+2)2=16+(6-CH)2.∴ CH=3.∴ BH= BC-CH=3.(3) ∵ S△BEH= 1 2BE×BH=6 ,且EF= 2,FH=CH=3,∴ 易得S△FBH= 6 2+3×3= 18 5. 16. A 17. C 18. D 解析:在 Rt△ABC 中,∠A=30°,∠B=90°, BC=5,∴ AC=2BC=10.由 勾 股 定 理,得 AB= AC2-BC2 =5 3.∵ DE 是 △ABC 的 中 位 线, ∴ DE=12BC= 5 2 ,AD=BD=532 ,AE=CE=5, ∠ADE=∠BDE=90°.由题意,有两种情况:① 如图①, 当点A 与点C 重合,△ADE 的斜边AE 与CE 重合时,则 DD'=2DE=5,CD'=BD=532 .∴ 所拼成的平行四边 形的周长为10+53.② 如图②,当点A 与点B 重合, △ADE 的直角边AD 与BD 重合时,则EE'=2DE=5, BE'=CE=5.∴ 所拼成的平行四边形的周长为20.综上 所述,所拼成的平行四边形的周长为10+53或20. 第18题 19. C 20. (1) 5;5.(2) 如图①所示(画法不唯一).(3) 能.如 图②所示.∵ 小正方形的边长为1,∴ 一个小正方形的面 积为1.∴ 十个小正方形的面积为1×10=10.∴ 拼成的 正方形的边长为 10. 第20题 专题八　一次函数与四边形的 综合性问题 1. A 2. 1≤k≤2 3. (1) 8 (2) 5.5 4. (1) ∵ 四边形OABC 是矩形,∴ AB⊥x 轴,BC⊥ y轴.∵ 一次函数y=- 2 3x+b 的图像与边OC,AB 分 别交于点D,E,且满足OD=BE,∴ 易得OD=BE= b.∵ 点B 的坐标为(6,8),∴ AB=8,点E 的横坐标为 6.∴ AE=AB-BE=8-b.∴ 点E 的坐标为(6,8- b).将E(6,8-b)代入y=- 2 3x+b ,得8-b=-23× 6+b,解得b=6.(2) 由(1)知,一次函数的表达式为 y=- 2 3x+6 ,OD=6,AE=2.∵ △ODM 的面积与四边形 OAEM 的面积之比为1∶2,∴ S△ODM = 1 3S四边形OAED. ∵ S四边形OAED= 1 2× (AE+OD)×OA=12× (2+6)× 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 19 6=24,∴ S△ODM= 1 3S四边形OAED= 1 3×24=8. 设点M 的 横坐标为m.易知m>0,则S△ODM= 1 2OD×m ,即1 2× 6×m=8,解得m=83. 将x=m=83 代入y=- 2 3x+6 , 得y=- 2 3× 8 3+6= 38 9 ,∴ 点M 的坐标为 83 ,38 9 . 5. (1) ① ∵ 四边形ABCD 是矩形,∴ BC⊥AB,AB= CD=3,AD=BC=2.设点C的坐标为(m,2).∵ 点C 在 直线y=x-2上,∴ 2=m-2,解得m=4,即点C的坐标 为(4,2).∴ 点D 的横坐标为4-3=1,纵坐标为2,即 点D 的坐标为(1,2).② 设经过点D,且与直线FC 平行 的直线对应的函数表达式为y=x+b.将D(1,2)代入 y=x+b,得2=1+b,解得b=1.∴ 经过点D,且与直线 FC平行的直线对应的函数表达式为y=x+1.(2) 存 在.在y=x-2中,令y=0,则0=x-2,解得x=2. ∴ 点E 的坐标为(2,0).∴ 易得BE=BC=2.∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠EBC=90°,DC∥AB.∴ △EBC 为 等腰直角三角形.∴ ∠CEB=∠ECB=45°.又∵ DC∥ AB,∴ ∠DCE=∠CEB=45°.∴ △PDC 只能是以P 或 D 为直角顶点的等腰直角三角形.如图①,当∠D=90° 时,∵ 点D 的坐标为(1,2),∴点P 的横坐标为1.把x= 1代入y=x-2,得y=-1.∴ 点 P 的坐标为(1, -1).如图②,当∠DPC=90°时,过点P 作PQ⊥CD 于 点Q.∵ △PDC 是等腰直角三角形,∴ DQ=CQ= 1 2CD= 3 2.∴ 点P 的横坐标为1+32= 5 2. 把x=52 代 入y=x-2,得y= 1 2 ,∴ 点P 的坐标为 52 ,1 2 .综上 所述,符合条件的点P 的坐标为(1,-1)或 52 ,1 2 . (3) 点 M 的坐标为(-1,0)或(5,0)或(3,4). 解析:∵ 点E 的坐标为(2,0),∴ OE=2.∵ 以M,D,C, E 为顶点的四边形是平行四边形,∴ 若DE 是对角线,则 EM=CD=3.∴ OM=EM-OE=3-2=1.此时,点M 的坐标为(-1,0).若CE 是对角线,则EM=CD=3, OM=OE+EM=2+3=5.此时,点 M 的坐标为(5, 0).若CD 是对角线,则易得平行四边形的中心坐标为 5 2 ,2 .设点M 的坐标为(x,y),则x+22 =52,y+02 = 2,解得x=3,y=4.此时,点M 的坐标为(3,4).综上所 述,点M 的坐标为(-1,0)或(5,0)或(3,4). 第5题 6. (1) ∵ 直线l与直线y=2x平行,∴ 直线l的斜率为 2.设直线l对应的函数表达式为y=2x+b.∵ 直线l经 过点A(-1,0),∴ 2×(-1)+b=0,解得b=2.∴ 直线l 对应的函数表达式为y=2x+2.∵ 点C(1,a)在直线l 上,∴ a=2×1+2=4.∴ 点C的坐标为(1,4).(2) 如图, ∵ 四边形PAQC是矩形,∴ AC与PQ 是矩形PAQC的对 角线.∵ 直线l对应的函数表达式为y=2x+2,令x=0,得 y=2,∴ 点B 的坐标为(0,2).∵ 点A 的坐标为(-1,0), 点C的坐标为(1,4),∴ AB= (-1-0)2+(0-2)2=5, BC= (1-0)2+(4-2)2= 5.∴ AB=BC.∴ B 是对 角线AC与PQ的交点.∵ 点P在y轴的正半轴上,∴ 点Q 在y轴上.∴ PB=QB=AB=5.∴ 易得点P 的坐标为 (0,2+5),点Q 的坐标为(0,2-5). 第6题 一次函数与动点问题的结合 一次函数与动点问题结合时,要结合图形分析已 知条件,利用几何图形上特殊点的坐标,解决点与点之 间的距离、几何图形面积、周长计算或说明一些特殊图 形存在性问题. 7. (1) 1或11.(2) 能构成菱形.理由:由(1)知,当PB= 1或11时,以P,A,D,E 为顶点的四边形为平行四边 形.∵ C是直线y=-x+9与x 轴的交点,令y=0,得 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 20 0=-x+9,解得x=9,∴ 点C的坐标为(9,0).∴ OC= 9.∴ OB=BC-OC=3.∵ 点A 的坐标为(0,4),AD∥ BC,∴ 点D 的纵坐标为4.令-x+9=4,解得x=5. ∴ 点D 的坐标为(5,4).∴ AD=5.当PB=1时,OP= OB-PB=2.∴ 点 P 的坐标为(-2,0).∴ AP= 22+42=25≠AD.∴ 此时以P,A,D,E 为顶点的平 行四边形不是菱形;当PB=11时,OP=PB-OB=8, ∴ 点P 的坐标为(8,0).∴ DP= (8-5)2+42=5= AD.∴ 此时以P,A,D,E 为顶点的平行四边形是菱 形.综上所述,在点P 运动的过程中,以P,A,D,E 为顶 点的四边形能构成菱形. 8. (1) 当x=4时,y= 3 4x=3 ,∴ 点A 的坐标为(4, 3).设直线l2 对应的函数表达式为y=kx+b.将A(4, 3),B(8,0)代入,得 4k+b=3, 8k+b=0, 解得 k=- 3 4 , b=6. ∴ 直线 l2对应的函数表达式为y=- 3 4x+6. (2) ① ∵ A(4, 3),B(8,0),∴ 易 得 OA =AB=5.∴ ∠AOB = ∠ABO.∵ MC ⊥x 轴,ND ⊥x 轴,∴ ∠MCD = ∠OCM=∠BDN=90°,MC∥DN.由点C,D 的运动可 知,OC=BD=t,∴ △OMC≌△BND(ASA).∴ MC= DN.∴ 四边形CMND 是平行四边形.∵ ∠MCD=90°, ∴ 四边形CMND 是矩形. ② t的值为3211 或56 11. 解析:当点M,N 分别在OA,AB 上时,若四边形CMND 是正方形,则CD=MC.∵ OC= t,∴ M t,34t .∴ MC=34t.∵ B(8,0),∴ OB=8. ∴ CD=OB-OC-BD=8-2t.∴ 3 4t=8-2t ,解得t= 32 11. 当点M,N 分别在AB,OA 上时,如图,同理可证四边 形CMND 是矩形.若四边形CMND 是正方形,则CD= MC.∵ OC=t,∴ M t,-34t+6 .∴ MC=-34t+ 6.∵ CD=OC+BD-OB=2t-8,∴-34t+6=2t-8 , 解得t=5611. 综上所述,t的值为3211 或56 11. (3) 存在,点P 的坐标为(9,3)或(4,-3)或 78 ,3 . 解析:若以P,O,A,C 为顶点的四边形是菱形,则只需 △OAC 是等腰三角形即可.当OA=OC=5时,C(5, 0).∵ AP∥OC 且AP=OC,A(4,3),∴ P(9,3);当 AO=AC 时,点C 与点B 重合,C(8,0),此时点P 与点A 关于x 轴对称,∴ P(4,-3);当OC=AC,则易得t2= (4-t)2+32,解得t=258 ,∴ C 258 ,0 .∵ AP∥OC 且 AP=OC,A(4,3),∴ P 78 ,3 .综上所述,点P 的坐标 为(9,3)或(4,-3)或 78 ,3 . 第8题 9. (1) 对于y= 1 2x+1 ,令x=0,得y=1;令y=0,得 x=-2.∴ A(-2,0),B(0,1).∴ 在Rt△AOB 中,OA= 2,OB=1.根据勾股定理,得AB= 22+12= 5.∴ 正 方形ABCD 的面积为 5× 5=5.(2) 如图①,作CE⊥ y轴交y轴于点E,DF⊥x轴交x轴于点F,则∠CEB= ∠AFD=∠AOB=90°.∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ BC=AB=AD,∠DAB=∠ABC=90°.∴ ∠DAF+ ∠BAO=90°,∠ABO+ ∠CBE=90°.∵ ∠DAF+ ∠ADF=90°,∠BAO+ ∠ABO=90°,∴ ∠BAO = ∠ADF = ∠CBE.∴ △BCE ≌ △DAF ≌ △ABO (AAS).∴ BE=DF=OA=2,CE=AF=OB=1. ∴ OE=OB+BE=1+2=3,OF=OA+AF=2+1= 3.∴ C(-1,3),D(-3,2). (3) 存在.如图,连接BD,找出点B 关于x 轴的对称 点B',连接B'D,与x 轴交于点M,连接BM,则此时 △MDB 的周长最小.∵ B(0,1),∴ B'(0,-1).设直线 B'D 对应的函数表达式为y=kx+b(k≠0).把B'(0, -1)与 D (-3,2)代 入,得 b=-1, -3k+b=2, 解 得 k=-1, b=-1. ∴ 直线B'D 对应的函数表达式为y=-x- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 1.对于y=-x-1,令y=0,得到x=-1.∴ M(-1,0). 第9题 10. (1) 直线y=- 1 2x+4 与x轴和y轴分别交于点A 和点B,当x=0时,y=4;当y=0时,0=- 1 2x+4 ,解得 x=8.∴ A(8,0),B(0,4).∴ OB=4,OA=8.∵ AB 的 垂直平分线l与x轴交于点C,与AB 交于点D,∴ AC= BC.设OC=x,则AC=BC=8-x.在Rt△OBC 中, OB2+OC2=BC2,∴ 42+x2=(8-x)2,解得x=3. ∴ OC的长为3.(2) ∵ A(8,0),B(0,4),AB 的垂直平分 线l与x 轴交于点C,与AB 交于点D,∴ 易得D(4, 2).∵ OC=3,∴ C(3,0).设直线CD 对应的函数表达式 为y=kx+b.将C(3,0),D(4,2)代入,得 3k+b=0, 4k+b=2, 解 得 k=2, b=-6. ∴ 直线CD 对应的函数表达式为y=2x- 6.设P(t,2t-6),则S△ADP=S△APC-S△ACD= 1 2× (8- 3)×(2t-6)-12× (8-3)×2=10,解得t=6.∴ P(6, 6).如图,作点C关于y轴的对称点H,连接HF,过点E 作EG∥HF,过点H 作HG∥EF,EG 与GH 交于点G,连 接PG,则 CO=HO,FH =FC,GH ⊥x 轴,四边形 EFHG 是平行四边形.∴ GH=EF,FH=EG.∴ FC= EG.∴ PE+EF+FC=EG+PE+EF≥PG+EF.∵ C(3, 0),∴ CO=3.∵ GH⊥x 轴,GH=EF=2,HO=CO= 3,∴ G (-3,2).∴ PG = (6+3)2+(6-2)2 = 97.∴ PE+EF+FC的最小值为2+ 97. 第10题 “整合提优”综合检测 一、 1. A 解析:由ab<0,可知a,b异号且a≠0,b≠ 0.又∵ a2≥0,且a2b≥0,∴ a<0,b>0.∴ 原式= -ab. 化简二次根式时忽略总体符号而致错 逆用二次根式的乘除法法则进行化简时,要注意 法则成立的条件,还要注意二次根式的总体性质符号, 即化简前后符号要一致. 2. B 3. B 4. A 5. D 6. A 解析:甲、乙的拼法如图所示,∴ 甲、乙都可以. 第6题 7. A 8. D 9. B 解析:∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ AB=BC= DC=AD,∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°.如图,连 接 BG.由 折 叠 的 性 质,可 知 BQ=AB,AF=FQ, ∠BQF=∠A=90°,∴ BC=BQ,∠BQG=∠BCG=90°.在 Rt△BQG 和 Rt△BCG 中, BG=BG, BQ=BC, ∴ Rt△BQG ≌ Rt△BCG(HL).∴ QG=CG.∵ AD=DC=AB=4,F 是AD 的中点,∴ FQ=AF=DF=12AD=2. 设QG= CG=x,则DG=DC-CG=4-x,FG=FQ+QG=2+ x.在Rt△DFG 中,根据勾股定理,得DF2+DG2=FG2, 即22+(4-x)2=(2+x)2,解得x=43.∴ FG=2+x= 2+43= 10 3. 第9题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈