专题六 一次函数的实际应用- 【通城学典】2024八年级数学暑期升级训练（冀教版）

44 专题六　一次函数的实际应用 一次函数的实际应用是初中数学中的重要内容,也是中考的必考内容,它是数学建模素养的 一个重要体现,常见问题有分段函数问题、表格信息问题、方案设计问题,解题关键是从实际问题 或表格中建立一次函数模型,求出相关的表达式,进而利用表达式及性质,通过分析设计方案解 决实际问题. 类型一 分段函数及其应用 1. 某生物小组观察一植物生长,得到株高y(厘 米)与观察天数x 的关系,并画出如图所示 的图像(AC 是线段,射线CD 平行于x轴). 下列说法中,错误的是 ( ) A. 该植物在50天后停止长高 B. 该植物的株高最高为15厘米 C. AC 所在直线对应的函数表达式为y= 1 5x+6 D. 第40天该植物的株高为14厘米 第1题 第2题 2. 甲、乙两地相距300km,一辆货车和一辆轿 车分别从甲地开往乙地(轿车的平均速度大 于货车的平均速度).如图,线段OA 和折线 BCD 分别表示两车离甲地的距离y(km)与 时间x(h)之间的函数关系,则下列说法中, 正确的是 ( ) A. 两车同时到达乙地 B. 轿 车 在 行 驶 过 程 中 的 平 均 速 度 为 100km/h C. 货车出发3.9h后,轿车追上货车 D. 两车在前80km的速度相等 3. (陕西中考)某农科所对当地小麦从抽穗期 到灌浆期连续51天的累计需水量进行研 究,得到当地每公顷小麦在这51天内累计 需水量y(m3)与天数x 之间的关系如图所 示.其中,线段OA,AC 分别表示抽穗期、灌 浆期的y与x之间的函数关系.求: (1) 这51天内,y与x之间的函数表达式; (2) 当地每公顷小麦在整个灌浆期的需 水量. 第3题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)八年级 45 4. 某天早晨,典典从家跑步去体育场锻炼,同 时妈妈从体育场晨练结束回家,途中两人相 遇,典典跑到体育场后发现要下雨了,立即 按原路返回,遇到妈妈后两人一起回到家 (典典和妈妈始终在同一条笔直的路上行 进).典典、妈妈两人离家的距离y(米)与典 典出发的时间x(分)之间的函数关系如图所 示.请结合图像信息,解答下列问题: (1) 典典返回时的速度是 米/分. (2) 妈妈比按原速返回,提前多少分钟到家? (3) 典典出发 多 长 时 间 时,与 妈 妈 相 距 1000米? 第4题 类型二 利用表格信息解决实际问题 5. 世界上多数国家采用摄氏温标预报天气,但 美国、英国等国家仍然采用华氏温标.某学 生查阅资料,得到下表中的数据: 摄氏温度x/℃ 0 10 20 30 40 50 华氏温度y/°F 32 50 68 86 104122 (1) 两种温度的对应关系 (填“是” 或“不是”)一次函数; (2) 请你根据数据推算,0°F时的摄氏温度 为 ℃. 答案讲解 6. 倡导垃圾分类,共享绿色生活.为了 对回收的垃圾进行更精准的分类, 某机器人公司研发出A型和B型 两款垃圾分拣机器人,已知2台A型机器人 和5台B型机器人同时工作2h共分拣垃圾 3.6吨,3台A型机器人和2台B型机器人 同时工作5h共分拣垃圾8吨. (1) 1台A型机器人和1台B型机器人每小 时各分拣垃圾多少吨? (2) 某垃圾处理厂计划向该机器人公司购进 一批A型和B型垃圾分拣机器人,这批机器 人每小时一共能分拣垃圾20吨.设购买 A型机器人a台(10≤a≤45),B型机器人 b台,请用含a的代数式表示b. (3) 机器人公司的报价如下表: 型 号 原 价 购买数量 少于30台 购买数量 不少于30台 A型 20万 元/台 按原价购买 打九折 B型 12万 元/台 按原价购买 打八折 在(2)的条件下,设购买总费用为w 万元,则 如何购买能使得总费用最少? 此时需要多 少万元? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 46 类型三 方案设计问题 7. ★某化妆品公司每月付给销售人员的工资有 两种方案.方案一:没有底薪,只拿销售提 成;方案二:底薪加销售提成.设x(件)是销 售商品的数量,y(元)是销售人员的月工资. 如图,l1为方案一的函数图像,l2 为方案二 的函数图像.已知方案二中每件商品的销售 提成比方案一少30元.根据图中信息解答 下列问题(注:销售提成是指从销售每件商 品得到的销售额中提取一定数量的费用): (1) 求l1对应的函数表达式. (2) 方案二中每月付给销售人员的底薪是多 少元? (3) 小李是该化妆品公司的销售人员,他选 择哪种方案才能使月工资更多? 第7题 答案讲解 8. 某超市鸡蛋供应紧张,需每天从外 地调运鸡蛋600千克.该超市负责 人决定从甲、乙两个大型养殖场调运 鸡蛋,已知甲养殖场每天最多可调出400千克, 乙养殖场每天最多可调出450千克,从甲、乙 两个养殖场调运鸡蛋到超市的路程和运费 见下表: 养殖场 到超市的路程/ 千米 运费/(元/ 千克·千米) 甲 90 0.05 乙 40 0.03 设从甲养殖场调运鸡蛋x 千克,总运费为 W 元. (1) 从甲养殖场调运鸡蛋的运费,用代数式 表示为 元;从乙养殖场调运鸡蛋的 质量,用代数式表示为 千克; (2) 试写出W 与x之间的函数表达式; (3) 请求出自变量x 的取值范围,并说明怎 样的调运方案才能使每天的总运费最少. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)八年级 15 4cm,高为10cm,∴ PP'=4+8+4+8=24(cm),P'Q= 10cm.易知∠PP'Q=90°,∴ PQ= PP'2+P'Q2 = 26cm.∴ 蚂蚁爬行的最短路径的长度为26cm. 第13题 立体图形中的“最短路径问题”的解法 解决立体图形中的“最短路径问题”时,可利用“化 曲为平”思想方法,依据“两点之间,线段最短”,将立体 图形问题转化为平面图形问题. 14. 将长方体的侧面部分展开,如图所示.若昆虫乙在 点F 处捕捉到昆虫甲,连接AF 交BB1 于点E,则当 AF=C1F 时,用时最短.设昆虫甲从顶点C1 沿棱C1C 向顶点C爬行的同时,昆虫乙从顶点A 按路径A→E→F 爬行捕捉到昆虫甲需要xs,则AF=C1F=2xcm.易知 ∠ACF=90°,∴ 在 Rt△ACF 中,AF2=AC2+CF2. ∴ (2x)2=(6+6)2+(14-2x)2,解得x=8514.∴ 昆虫乙 至少需要85 14s 才能捕捉到昆虫甲. 第14题 专题五　函数图像信息题 1. C 2. D 3. D 4. D 5. C 6. C 7. (1) 由题图可知,在生产过程中,甲对设备进行改良升 级,停止生产5-2=3(时).(2) 由题图可知,当t=3时, 甲和乙所生产的零件个数第一次相同;甲、乙两人中,甲先 完成一天的生产任务.(3) 设备改良升级后,甲每小时生 产的零件个数是(40-10)÷(7-5)=15;乙进入正常的生 产模式后,每小时生产的零件个数是(40-4)÷(8-2)= 6.因此,设备改良升级后,与乙的正常生产速度相比,甲每 小时比乙多生产15-6=9(个). 8. A 9. D 10. A 11. 7或12 12. (1) 由题图②知,点P运动3s时到达点B,又∵ 点P 的运动速度是2cm/s,∴ AB=2×3=6(cm).又∵ AB∶ AD=3∶5,∴ AD=10cm.又∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ CD=AB=6cm,BC=AD=10cm.∴ AB+BC+CD= 6+10+6=22(cm).∴ 点P 运动到点D 用时22÷2= 11(s).故点P从点A出发,经过11s后到达点D.(2) 由 (1)知,S矩形ABCD=6×10=60(cm2),则当点P在边BC上运 动时,△APD 的面积恒为60÷2=30(cm2).又∵ 25<30, ∴ 当△APD 的面积为25cm2时,点P 在边AB 或边CD 上.当点P 在边AB 上时,AP=25×2÷10=5(cm),点P 的运动时间为5÷2=2.5(s).当点P 在边CD 上时, DP=25×2÷10=5(cm),则AB+BC+CP=6+10+ 6-5=17(cm).∴ 点P 的运动时间为17÷2=8.5(s).综 上所述,经过2.5s或8.5s后△APD 的面积恰好是 25cm2. 专题六　一次函数的实际应用 1. B 2. C 解析:由题意和题图,可得轿车先到达乙地,故选项 A不符合题意;轿车在行驶过程中的平均速度为300÷ (4.5-1.2)≈90.9(km/h),故选项B不符合题意;货车的 速度是300÷5=60(km/h),轿车在BC 段对应的速度是 80÷(2.5-1.2)=80013 (km/h),故选项D不符合题意;设 线段OA 对应的函数表达式为y=kx(0≤x≤300).将(5, 300)代入,得5k=300,解得k=60,即线段OA 对应的函 数表达式为y=60x(0≤x≤300).设线段CD 对应的函数 表达式为y=ax+b(2.5≤x≤4.5).将(2.5,80),(4.5, 300)代入,得 2.5a+b=80, 4.5a+b=300, 解得 a=110 , b=-195, 即线段CD 对应的函数表达式为y=110x-195(2.5≤x≤4.5).令 60x=110x-195,解得x=3.9,即货车出发3.9h后,轿 车追上货车,故选项C符合题意. 3. (1) 由题意,当0≤x≤20时,设y与x之间的函数表 达式为y=kx.将(20,960)代入,得20k=960,解得k= 48.∴ y=48x(0≤x≤20).当20<x≤51时,设y与x之 间的函数表达式为y=mx+n.将(20,960),(40,1660)代 入,得 20m+n=960, 40m+n=1660, 解 得 m=35 , n=260. ∴ y=35x+ 260(20<x≤51).综上所述,y与x 之间的函数表达式为 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 16 y= 48x(0≤x≤20), 35x+260(20<x≤51). (2) 由题意,令x=51,则 y=35×51+260=2045.又∵ 当x=20时,y=960, ∴ 当地每公顷小麦在整个灌浆期的需水量为2045- 960=1085(m3). 4. (1) 150.(2) ∵ (45-30)×150=2250(米),∴ 妈妈原 来的速度为2250÷45=50(米/分).∴ 妈妈按原来的速 度回家需要3000÷50=60(分).∵ 60-50=10(分), ∴ 妈妈比按原速返回,提前10分钟到家.(3) 由(2)易知, 点B 的纵坐标为3000-2250=750,∴ 点B 的坐标为 (45,750).设线段AC 对应的函数表达式为y=kx+ b(30≤x≤50).把 A(30,3000)和 C(50,0)代入,得 30k+b=3000, 50k+b=0, 解得 k=-150 , b=7500, ∴ 线段AC 对应的函 数表达式为y=-150x+7500(30≤x≤50).设线段BD 对应的函数表达式为y=mx+n(0≤x≤45).把D(0, 3000),B (45,750)代 入,得 n=3000, 45m+n=750, 解 得 m=-50, n=3000, ∴ 线 段 BD 对 应 的 函 数 表 达 式 为y= -50x+3000(0≤x≤45).设线段OA 对应的函数表达式 为y=k1x(0≤x≤30).把A(30,3000)代入,得30k1= 3000,解得k1=100.∴ 线段OA 对应的函数表达式为 y=100x(0≤x≤30).当典典与妈妈相距1000米时,有以 下3种情况:① -50x+3000-100x=1000,解得x= 40 3 ;② 100x-(-50x+3000)=1000,解得x=803 ; ③ (-150x+7500)-(-50x+3000)=1000,解得x= 35.综上所述,典典出发403 分钟或80 3 分钟或35分钟时,与 妈妈相距1000米. 5. (1) 是. (2) -1609 . 解析:设华氏温度y与摄氏温度x之间的函 数表达式为y=kx+b(k≠0).把(0,32),(10,50)代入,得 b=32, 10k+b=50, 解得 k=1.8 , b=32. ∴ 华氏温度y与摄氏温度x 之间的函数表达式为y=1.8x+32.当y=0时,1.8x+ 32=0,解得x=-1609 ,∴ 0°F时的摄氏温度为-1609 ℃. 6. (1) 设1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分 拣垃圾x吨和y吨.由题意可知, (2x+5y)×2=3.6, (3x+2y)×5=8, 解 得 x=0.4, y=0.2. ∴ 1台A型机器人和1台B型机器人每小时 各分拣垃圾0.4吨和0.2吨.(2) 由题意可知,0.4a+ 0.2b=20,∴ b=100-2a(10≤a≤45).(3) 当10≤a< 30时,40<b≤80,∴ w=20×a+0.8×12(100-2a)= 0.8a+960.当a=10时,w 取得最小值,此时w=0.8× 10+960=968.当30≤a≤35时,30≤b≤40,∴ w= 0.9×20a+0.8×12(100-2a)=-1.2a+960,当a= 35时,w 取得最小值,此时w=-1.2×35+960=918.当 35<a≤45时,10≤b<30,∴ w=0.9×20a+12(100- 2a)=-6a+1200.当a=45时,w 取得最小值,此时w= -6×45+1200=930.∵ 918<930<968,∴ 购买A型机 器人35台,B型机器人100-35×2=30(台)时,总费用最 少,此时需要918万元. 7. (1) 设l1 对应的函数表达式为y1=k1x.由题图,得 6000=40k1,解得k1=150,∴ l1 对应的函数表达式为 y1=150x.(2) ∵ 方案二中每件商品的销售提成比方案 一少30元,∴ 设l2 对应的函数表达式为y2=(150- 30)x+b.把(40,8400)代入,得8400=120×40+b,解得 b=3600,∴ 方案二中每月付给销售人员的底薪是 3600元.(3) 由(1)知,y1=150x.由(2)知,y2=120x+ 3600.令150x=120x+3600,解得x=120.∴ 当销售数 量为120件时,两种方案所得到的月工资相等.由题图可 得,当销售件数少于120时,选择方案二才能使月工资更 多;当销售件数等于120时,选择两种方案所得到的月工 资一样;当销售件数多于120时,选择方案一才能使月工 资更多. 用一次函数确定最佳方案的一般步骤 (1) 从数学的角度分析实际问题,建立函数模型 (往往有两个或两个以上的模型); (2) 先列出不等式(方程),求出自变量在不同值时 对应的函数值,再比较大小关系; (3) 结合实际需求,选择最佳方案. 8. (1) 4.5x;(600-x).(2) 根据题意,得W=4.5x+ (600-x)×40×0.03=3.3x+720,∴ W 与x 之间的函 数表达式为W=3.3x+720.(3) 由题意,得0<x≤400, 0<600-x≤450,∴ 150≤x≤400.由(2)知,W=3.3x+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 17 720.∵ 3.3>0,∴ W 的值随x的值的增大而增大.∴ 当 x=150时,W 取得最小值,此时最小值为3.3×150+ 720=1215,600-x=450.∴ 当从甲养殖场调运150千克 鸡蛋,从乙养殖场调运450千克鸡蛋时,才能使每天的总 运费最少. 专题七　与四边形有关的折叠、 剪切、拼接问题 1. C 2. A 3. 45 解析:根据折叠的性质,得△ABE≌△AB'E, △CEF≌ △C'EF,∴ ∠AEB = ∠AEB',∠CEF = ∠C'EF.∵ ∠AEB+∠AEB'+∠CEF+∠C'EF= 180°,∴ ∠AEB'+∠C'EF=90°.∵ 点E,B',C'在同 一条直线上,∴ ∠AEF=90°.∵ 将折叠的纸片沿EG 折 叠,使 AE 落 在 EF 上,∴ ∠AEG = ∠GEA' = 1 2∠AEF=45°. 4. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AB∥CD, ∠D=∠ABC.∵ 将▱ABCD 沿过点A 的直线l折叠,使 点D 落在AB 边上的点D'处,∴ ∠D=∠AD'E,CE∥ BD'.∴ ∠ABC=∠AD'E.∴ BC∥D'E.∴ 四边形 BCED'是 平 行 四 边 形.(2) ∵ BE 平 分 ∠ABC, ∴ ∠CBE=∠EBA.由 折 叠 的 性 质,可 知∠DAE= ∠D'AE.∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥ BC.∴ ∠DAB+∠CBA=180°.∴ ∠EAB+∠EBA= 90°.∴ ∠AEB=180°-(∠EAB+∠EBA)=90°.∴ 在 Rt△ABE中,AE2+BE2=AB2. 5. C 6. A 7. (1) ∵ 四 边 形 ABCD 是 矩 形,∴ AD ∥BC. ∴ ∠AFE=∠FEC.由折叠的性质,得∠AEF=∠FEC, ∴ ∠AFE=∠AEF.∴ AE=AF.(2) ∵ 四边形ABCD 是矩形,∴ ∠B=90°.由折叠的性质,得AE=EC.设 BE=x,则AE=EC=8-x.在Rt△ABE 中,根据勾股定 理,可得AB2+BE2=AE2,即42+x2=(8-x)2,解得 x=3.∴ BE=3.∴ S△ABE= 1 2AB ·BE=12×4× 3=6. 矩形中折叠问题的解题策略 (1) 解决矩形的折叠问题时,不仅要根据折叠前后 的对应关系,还要结合矩形的性质转化边与角. (2) 通常可设出未知数,尽量将数量关系转化到同 一个直角三角形中,从而利用勾股定理列方程求解. 8. 等边三角形;△BMP 是等边三角形.理由:∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠BAD=∠ABC=90°.由折叠,可知 ∠NBM=∠ABM,∠BNM=∠BAD=90°,∴ ∠BNP= 90°.∵ △ABN 是 等 边 三 角 形,∴ ∠ABN =60°. ∴ ∠NBM=∠ABM=12∠ABN=30°.∴ ∠MBP= ∠ABP-∠ABM=60°,∠NBP=∠ABP-∠ABN= 30°.∴ 易得∠BPM=∠MBP=60°.∴ △BMP 是等边三 角形. 9. C 10. D 解析:如图,连接BD,设AB 交C'D 于点P.∵ 四 边形 ABCD 为菱形,∴ AB∥CD,AB=AD,∠C= ∠A.∵ ∠A=60°,∴ △ABD 为等边三角形,∠ADC= 120°,∠C=60°.∵ DC'是AB 的垂直平分线,∴ P 为AB 的中 点.∴ DP 为 ∠ADB 的 平 分 线,即 ∠ADP = ∠BDP=30°.∴ ∠PDC=∠ADC-∠ADP=120°- 30°=90°.由折叠的性质,得∠CDE=∠PDE=12×90°= 45°.∴ 在△DEC 中,∠DEC=180°-(∠CDE+∠C)= 180°-(45°+60°)=75°. 第10题 11. 如图,设AC与EG 交于点O,FG 与AC交于点H,过 点A 作AN⊥BC 于点N.∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∠BAD=120°,∴ AD∥BC,AB=BC=CD=AD=8, ∠BAC=∠CAD=12∠BAD=60°.∴ △ABC,△ACD 是等边三角形.∴ ∠B=60°.∵ EG⊥AC,∴ ∠GOH= 90°.由折叠,得∠EGF=∠B=60°,∴ ∠OHG=30°. ∴ ∠AGH=90°.∴ FG⊥AD.∵ AD∥BC,AN⊥BC, ∴ 易得FG=AN.∵ △ABC 是等边三角形,AN⊥BC, ∴ N 是BC 的中点,即BN=CN=12BC=4.∴ 在 Rt△ABN 中,AN= AB2-BN2=43.∴ FG=43. 第11题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈