专题四 运用勾股定理解决折叠、最短路径问题- 【通城学典】2024八年级数学暑期升级训练（冀教版）

38 专题四　运用勾股定理解决折叠、最短路径问题 勾股定理及其逆定理的应用极其广泛,如利用勾股定理及其逆定理解决折叠问题、最短路径 问题等. 1. 解决折叠问题的关键是根据折叠后出现的对应相等的线段,利用勾股定理求出未知的边. 2. 解决平面图形中的最短路径问题的关键是利用“两点之间,线段最短”及“垂线段最短”. 3. 解决立体图形中的最短路径问题,可先将立体图形转化为平面图形,然后在平面图形中将 路程转化为两点间的距离,最后借助勾股定理求解. 类型一 折叠问题 1. 如图,将△ABC 沿AD 折叠,使点C 落在 点E 处.若BC=8,BE=2,则AB2-AC2 的值为 ( ) A. 10 B. 16 C. 6 D. 4 第1题 第2题 2. 如图,将矩形纸片ABCD 折叠,使点B 落在 AD 上的点F 处,折痕为EC.若AB=3, BC=5,则AE 的长为 ( ) A. 2 3 B. 1 C. 4 3 D. 5 3 3. 如图,有一张直角三角形纸片,两直角边 AC=6cm,AB=8cm,将△ABC 折叠,使 点B 与点C 重合,折痕为DE.求: (1) △ABC 的周长; (2) DE 的长. 第3题 4. 如图,在平面直角坐标系中,点D 的坐标为 (15,9),过点D 分别作DA⊥y 轴,DC⊥ x轴,E 为y轴上的一点,将△AED 沿直线 DE 折叠,使点A 落在边OC 上的点F 处. (1) 直接写出点A 的坐标; (2) 求FC,AE 的长; (3) 求四边形EOFD 的面积. 第4题 类型二 平面图形中的最短路径问题 5. 如图,相邻的两边互相垂直,则从点B 到 点A 的最短距离为 ( ) 第5题 A. 13 B. 12 C. 8 D. 5 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)八年级 39 6. 如图,钝角三角形ABC 的面积是20,最长边 BC=10,CD 平分∠ACB,P,Q 分别是CD, AC 上的动点,则AP+PQ 的最小值为 ( ) 第6题 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 答案讲解 7. 如图,A(0,1),B(3,2),P 为x轴上 任意一点,则PA+PB 的最小值为 . 第7题 第8题 8. 如图,在等边三角形ABC 中,D 是BC 的中 点,E 是AB 的中点,H 是AD 上任意一点. 如果AB=AC=BC=10,AD=53,那么 HE+HB 的最小值是 . 9. 如图,在△ABC 中,AC=21,BC=13,D 是 AC 边上一点,BD=12,AD=16. (1) 求证:BD⊥AC; (2) 若E 是边AB 上的动点,求线段DE 的 最小值. 第9题 答案讲解 10. ★如图,牧童在河边点A 处放牛, 家在河边点B 处,时近傍晚,牧童 驱赶牛群先到河边饮水,然后在天 黑前赶回家.点 A 到河边的距离AC 为 500m,点B 到河边的距离BD 为700m,且 CD=500m. (1) 请在原图上画出牧童回家的最短路线; (2) 求出最短路线的长度. 第10题 类型三 立体图形中的最短路径问题 11. 如图,在圆柱的截面ABCD 中,AB=8π , BC=6,动点P 从点A 出发,沿着圆柱的侧 面运动到 BC 的中点S 的最短距离为 . 第11题 第12题 12. 如图,一只蚂蚁从楼梯上的点A 处沿楼梯 台阶的表面爬到点B 处,它爬行的最短距 离为 m. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 40 13. ★如图,长方体的长和宽分别为8cm 和 4cm,高为10cm.若一只蚂蚁从点P 开始 经过4个侧面爬行一圈到达点Q,求蚂蚁 爬行的最短路径的长度. 第13题 14. 如图,长方体的棱长 AB=BC=6cm, AA1=BB1=CC1=14cm,假设昆虫甲从 长方体内顶点C1以2cm/s的速度在长方 体的内部沿棱C1C 向下爬行.同时,昆虫乙 从长方体内顶点A 以相同的速度在长方体 的侧面上爬行,那么昆虫乙至少需要多长 时间才能捕捉到昆虫甲? 第14题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)八年级 14 专题四　运用勾股定理解决 折叠、最短路径问题 1. B 2. C 3. (1) ∵ ∠A=90°,AC=6cm,AB=8cm,∴ BC= AC2+AB2=10cm.∴ △ABC 的周长=AC+AB+ BC=6+8+10=24(cm).(2) ∵ 将△ABC 折叠,使点B 与点C 重合,折痕为 DE,∴ ∠DEC=∠DEB=90°, DC=DB,CE=BE=5cm.∵ 在Rt△ACD 中,AC2+ AD2=DC2,∴ 36+ (8-DB)2 =DB2.∴ DB = 25 4cm.∴ 在Rt△BDE 中,DE= DB2-BE2=154cm. 4. (1) 点A 的坐标为(0,9).(2) ∵ DA⊥y 轴,DC⊥ x轴,∠AOC=90°,∴ 四边形AOCD 是矩形.∵ 点D 的 坐标为(15,9),∴ AD=OC=15,CD=AO=9.∵ 将 △AED 沿直线DE 折叠,使点A 落在边OC上的点F 处, ∴ AE=EF,DF=AD=15.∴ FC= DF2-CD2= 152-92=12.∴ OF=OC-FC=15-12=3.设AE= x,则EF=x,OE=AO-AE=9-x.在Rt△OEF 中,由 勾股定理,得OE2+OF2=EF2,即(9-x)2+32=x2,解 得x=5.∴ AE=5.(3) 由(2)知,AE=5,∴ OE=9- 5=4.由折叠的性质,得S△AED=S△DFE,∴ 四边形EOFD 的面积=S△EOF +S△DFE =S△EOF +S△AED = 1 2OE · OF+12AE ·AD=12×4×3+ 1 2×5×15= 87 2. 5. A 6. C 解析:如图,过点A 作AE⊥BC 交BC 于点E,交 CD 于点P,过点P 作PQ⊥AC 于点Q.此时AP+PQ 的 值最小.∵ CD 平分∠ACB,∴ PQ=PE.∴ AP+PQ= AP+PE=AE.∵ △ABC 的面积为20,BC=10,∴ BC 边上的高为20×2÷10=4,即AE=4.∴ AP+PQ 的最 小值为4. 第6题 7. 32 8. 5 3 解析:如图,连接 EC 交AD 于点 H,连接 HB.此时 HE+HB 的值最小.∵ D 是BC 的中点, ∴ BD=DC.又∵ AB=AC,∴ AD⊥BC.∴ AD 是BC 的垂直平分线.∴ HB=HC.∴ HE+HB=HE+HC= EC.∵ AB=AC=BC=10,E 是AB 的中点,∴ AE= BE=5,CE⊥AB.∴ CE= AC2-AE2=53. 第8题 9. (1) ∵ AC=21,AD=16,∴ CD=AC-AD=5. ∵ BD2+CD2=122+52=169=BC2,∴ ∠BDC= 90°.∴ BD⊥AC.(2) 当DE⊥AB 时,DE 最短.∵ BD⊥ AC,∴ 在 Rt△ABD 中,AB = AD2+BD2 = 162+122 =20.∵ 1 2AD ·DB = 12AB ·DE, ∴ DE=16×1220 =9.6.∴ 线段DE 的最小值为9.6. 10. (1) 如图,作点A 关于直线CD 的对称点A',连接 A'B 交CD 于点P,连接AP,BP.折线APB 即为牧童回 家的最短路线.(2) 如图,过点A'作A'F⊥BD 的延长线 于点F,则易得DF=A'C,A'F=CD=500m.由(1)知, A'C=AC=500m,AP=A'P.∴ BF=BD+DF=BD+ A'C=700+500=1200(m).∵ A'F⊥BF,∴ 在Rt△A'BF 中,由勾股定理,得 A'B= A'F2+BF2 =1300m. ∴ BP+AP=BP+A'P=A'B=1300m,即最短路线的 长度为1300m. 第10题 平面图形中的“最短路径问题”的解法 解决这类问题时,一般利用轴对称、平移等转换方 法,依据“两点之间,线段最短”及“垂线段最短”,把已 知问题转化为更容易解决的问题. 11. 5 12. 293 13. 长方体的侧面展开图如图所示.连接PQ,则PQ 为蚂 蚁爬行的最短路径的长度.∵ 长方体的长为8cm,宽为 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 15 4cm,高为10cm,∴ PP'=4+8+4+8=24(cm),P'Q= 10cm.易知∠PP'Q=90°,∴ PQ= PP'2+P'Q2 = 26cm.∴ 蚂蚁爬行的最短路径的长度为26cm. 第13题 立体图形中的“最短路径问题”的解法 解决立体图形中的“最短路径问题”时,可利用“化 曲为平”思想方法,依据“两点之间,线段最短”,将立体 图形问题转化为平面图形问题. 14. 将长方体的侧面部分展开,如图所示.若昆虫乙在 点F 处捕捉到昆虫甲,连接AF 交BB1 于点E,则当 AF=C1F 时,用时最短.设昆虫甲从顶点C1 沿棱C1C 向顶点C爬行的同时,昆虫乙从顶点A 按路径A→E→F 爬行捕捉到昆虫甲需要xs,则AF=C1F=2xcm.易知 ∠ACF=90°,∴ 在 Rt△ACF 中,AF2=AC2+CF2. ∴ (2x)2=(6+6)2+(14-2x)2,解得x=8514.∴ 昆虫乙 至少需要85 14s 才能捕捉到昆虫甲. 第14题 专题五　函数图像信息题 1. C 2. D 3. D 4. D 5. C 6. C 7. (1) 由题图可知,在生产过程中,甲对设备进行改良升 级,停止生产5-2=3(时).(2) 由题图可知,当t=3时, 甲和乙所生产的零件个数第一次相同;甲、乙两人中,甲先 完成一天的生产任务.(3) 设备改良升级后,甲每小时生 产的零件个数是(40-10)÷(7-5)=15;乙进入正常的生 产模式后,每小时生产的零件个数是(40-4)÷(8-2)= 6.因此,设备改良升级后,与乙的正常生产速度相比,甲每 小时比乙多生产15-6=9(个). 8. A 9. D 10. A 11. 7或12 12. (1) 由题图②知,点P运动3s时到达点B,又∵ 点P 的运动速度是2cm/s,∴ AB=2×3=6(cm).又∵ AB∶ AD=3∶5,∴ AD=10cm.又∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ CD=AB=6cm,BC=AD=10cm.∴ AB+BC+CD= 6+10+6=22(cm).∴ 点P 运动到点D 用时22÷2= 11(s).故点P从点A出发,经过11s后到达点D.(2) 由 (1)知,S矩形ABCD=6×10=60(cm2),则当点P在边BC上运 动时,△APD 的面积恒为60÷2=30(cm2).又∵ 25<30, ∴ 当△APD 的面积为25cm2时,点P 在边AB 或边CD 上.当点P 在边AB 上时,AP=25×2÷10=5(cm),点P 的运动时间为5÷2=2.5(s).当点P 在边CD 上时, DP=25×2÷10=5(cm),则AB+BC+CP=6+10+ 6-5=17(cm).∴ 点P 的运动时间为17÷2=8.5(s).综 上所述,经过2.5s或8.5s后△APD 的面积恰好是 25cm2. 专题六　一次函数的实际应用 1. B 2. C 解析:由题意和题图,可得轿车先到达乙地,故选项 A不符合题意;轿车在行驶过程中的平均速度为300÷ (4.5-1.2)≈90.9(km/h),故选项B不符合题意;货车的 速度是300÷5=60(km/h),轿车在BC 段对应的速度是 80÷(2.5-1.2)=80013 (km/h),故选项D不符合题意;设 线段OA 对应的函数表达式为y=kx(0≤x≤300).将(5, 300)代入,得5k=300,解得k=60,即线段OA 对应的函 数表达式为y=60x(0≤x≤300).设线段CD 对应的函数 表达式为y=ax+b(2.5≤x≤4.5).将(2.5,80),(4.5, 300)代入,得 2.5a+b=80, 4.5a+b=300, 解得 a=110 , b=-195, 即线段CD 对应的函数表达式为y=110x-195(2.5≤x≤4.5).令 60x=110x-195,解得x=3.9,即货车出发3.9h后,轿 车追上货车,故选项C符合题意. 3. (1) 由题意,当0≤x≤20时,设y与x之间的函数表 达式为y=kx.将(20,960)代入,得20k=960,解得k= 48.∴ y=48x(0≤x≤20).当20<x≤51时,设y与x之 间的函数表达式为y=mx+n.将(20,960),(40,1660)代 入,得 20m+n=960, 40m+n=1660, 解 得 m=35 , n=260. ∴ y=35x+ 260(20<x≤51).综上所述,y与x 之间的函数表达式为 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈