专题三 二次根式的性质与运算- 【通城学典】2024八年级数学暑期升级训练（冀教版）

35 专题三　二次根式的性质与运算 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式、分母有理化等概念,常用到分解、分 拆、换元等技巧.解题的基本思路有直接代入(直接将已知条件代入待化简求值的式子)和变形代 入(先适当地变条件或变结论或同时变条件与结论,再代入求值). 类型一 利用二次根式的非负性求值 1. 若a<b(a,b 均为非 零 实 数),则 化 简 -a3b的结果为 ( ) A. -a -ab B. a -ab C. a ab D. -ab 2. 若直角三角形两直角边的长分别为a,b,且 满足 a-3+|b-2|=0,则该直角三角形的 斜边长为 . 3. 若实数x,y满足y= x-3+ 3-x+2,则 x+3y的平方根为 . 4. 设 a,b,c 为 △ABC 的 三 边 长,化 简: (a+b+c)2+ (a-b-c)2+ (b-a-c)2- (c-b-a)2. 5. 点A,B 在数轴上表示的实数a,b的位置如 图所示,化简:|a+b|- a2- (a-b)2+ 3(a+b)3. 第5题 6. 若|2024-m|+ m-2025=m,求m- 20242的值. 类型二 利用乘法公式进行计算 7. 计算(2-1)×(2+1)的结果是 ( ) A. 1 B. 3 C. 3-22 D. 3+22 8. 计算: (1) (-5+3)(5+3)+(-3-1)2; (2) (3+1)2-(5+3)2(8-215); 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 36 (3) (22-3)2024(22+3)2025; (4) (23+32-6)(23-32-6). 类型三 先化简再直接代入求值 9. 已知a= 15+1,b= 15-1,求a2-b2 的值. 琪琪同学的解题步骤如下: a2-b2=(a+b)(a-b)…① =(15+1+ 15-1)(15+1- 15-1)…② =215×0…③ =0…④ 其中,首先出错的步骤是 ( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 10. 先化简,再求值:2- (a-2)2+(a+1)· (a-1),其中a=2. 11. 先化简,再求值:a b - 1 aba 3b+(a- b)(a+b),其中a=3,b=2. 类型四 整体代入求值 12. 已知a=5+33,b=5-33,则a2b+ ab2= . 13. 已知a=2- 7,b=-2- 7,求下面各代 数式的值: (1) a2-b2; (2) a2-ab+b2. 14. 已知x+1x=2+3 ,求x2+1x2 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)八年级 37 类型五 利用二次根式的整数部分和小数部 分求值 答案讲解 15. 根据推理提示,回答下列问题: ∵ 1<3<4,即1<3<2, ∴ 3的整数部分为1,小数部分为 3-1. (1) 14的整数部分是 ,小数部分 是 ; (2) 若6的小数部分为m,21的整数部分 为n,则2m+n-26= ; (3) 已知10+ 32=a+b,其中a是整数, 且0<b<1,则a= ,b= . 16. 已知x=2-3,y=2+3. (1) 求x2+y2-3xy的值; (2) 若x的小数部分是a,y的整数部分是 b,求ax-by的值. 类型六 新定义型运算 17. 对于任意的正数m,n,定义一种新的运算 “*”:m*n= m+ n(m≥n), m- n(m<n), 则计算 3*8+27*2的结果为 . 18. 阅读材料: 在二次根式中,如(3+ 2)(3- 2)=1,(3+ 3)(3- 3)=6,它们的积不 含根号,我们称这样的两个二次根式互为有 理化因式.我们可以利用这样的两个二次根 式,进行分母有理化(通过分子、分母同乘 一个式子,把分母中的二次根式化去的过 程),例如,1 3 =1×3 3×3 = 33 , 1 3+2 = 3-2 (3+2)(3-2) =3-2. 解决问题: (1) 化简 1 2-1 的结果为 . (2) 已知a= 1 3+22 ,b= 1 3-22 . ① 化简a= ,b= ; ② 求4a2b-4ab2的值. (3) 计算: 1 1+2 + 1 2+3 + 1 3+4 +…+ 1 9+ 10 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 13 BM+DN=MN.理由:如图②,延长CB 至点E,使得 BE=DN,连 接 AE.∵ 四 边 形 ABCD 是 正 方 形, ∴ AB=AD,∠D=∠DAB=∠ABC=90°=∠ABE.在 △ABE 和 △ADN 中, AB=AD, ∠ABE=∠D, BE=DN, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE ≌ △ADN (SAS).∴ ∠BAE = ∠DAN,AE = AN. ∴ ∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN= ∠DAB=90°.∵ ∠MAN=45°,∴ ∠EAM=∠EAN- ∠MAN=45°.∴ ∠EAM=∠MAN.∵ 在△EAM 和 △NAM 中, AE=AN, ∠EAM=∠NAM, AM=AM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △EAM≌△NAM (SAS).∴ ME=MN.∵ ME=BM+BE=BM+DN, ∴ BM+DN=MN. 第10题 专题三　二次根式的性质与运算 1. A 解析:∵ a<b(a,b均为非零实数), -a3b有意 义,∴ -a3b>0.∴ ab<0.∴ a <0,b>0. ∴ -a3b=-a -ab. 2. 13 3. ±3 4. ∵ a,b,c为 △ABC的三边长,∴ a+b+c>0,a-b- c<0,b-a-c<0,c-b-a<0.∴ 原式=|a+b+c|+ |a-b-c|+|b-a-c|-|c-b-a|=a+b+c+b+c- a+a+c-b+c-a-b=4c. 5. 由题图,可得a+b<0,a>0,a-b>0,∴ 原式= -a-b-a-(a-b)+a+b=-a-b-a-a+b+a+ b=-2a+b. 6. 由 m-2025可知,m-2025≥0,∴ m≥2025. ∴ 2024-m<0.∵ |2024-m|+ m-2025=m, ∴ m-2024+ m-2025=m.∴ m-2025= 2024.∴ m-2025=20242.∴ m-20242=2025. 7. A 8. (1) 原式=(3-5)(3+5)+(3+1)2=(3)2- (5)2+3+23+1=3-5+4+23=2+23.(2) 原 式=3+23+1-(8+2 15)(8-2 15)=4+23- (64-60)=4+23-4=23.(3) 原式=[(22-3)· (22+3)]2024(22+3)=(8-9)2024(22+3)=22+ 3.(4) 原式=(23- 6+32)(23- 6-32)= (23-6)2-(32)2=18-122-18=-122. 9. B 10. 原式=2-|a-2|+a2-1=a2+1-|a-2|.当a= 2时,原式=(2)2+1-(2-2)=2+1-2+2=1+2. 11. 原式= abb - 1 ab ·a ab+a-b= abb - ab b + a-b=a-b.当a=3,b=2时,原式=3-2=1. 12. -20 13. ∵ a=2-7,b=-2-7,∴ a+b=-27,a-b= 4,ab=(-7)2-22=3.(1) a2-b2=(a+b)(a-b)= -27×4=-87.(2) a2-ab+b2=(a-b)2+ab= 42+3=19. 14. ∵ x+1x=2+ 3 ,∴ x2+1x2= x+ 1 x 2 -2x· 1 x= (2+3)2-2=4+43+3-2=5+43. 15. (1) 3;14-3.(2) 0.(3) 15;42-5. 16. (1) ∵ x=2- 3,y=2+ 3,∴ xy=(2- 3)(2+ 3)=1,(x-y)2=(2- 3-2- 3)2=(-23)2= 12.∴ x2+y2-3xy=(x-y)2-xy=12-1=11. (2) ∵ 1<3<4,∴ 1< 3<2.∴ 3<2+ 3<4.∴ 2+ 3的整数部分是3.∴ b=3.∵ 1< 3<2,∴-2< -3<-1.∴ 0<2- 3<1.∴ 2- 3的整数部分是0, 小数部分是2- 3-0=2- 3.∴ a=2- 3.∴ ax- by=(2-3)(2-3)-3(2+ 3)=7-43-6-33= 1-73.∴ ax-by的值为1-73. 17. 43-2 18. (1) 2+1.(2) ① 3-2 2;3+2 2.② 原式= 4ab(a-b)=4(3-22)(3+22)(3-22-3-22)= 4×1×(-42)=-162.(3) 原式=2-1+3-2+ 4-3+…+ 10-9= 10-1. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈