专题一 分式的化简及求值- 【通城学典】2024八年级数学暑期升级训练（冀教版）

29 专题一　分式的化简及求值 分式的化简及求值,在中考和平时的考试中是必考内容,其考查的形式多样,灵活性强,主要 类型为对分式运算的值进行判断、对分式化简过程的判断、逆向考查分式的运算、阅读理解问题 等,其难度不大,但是考查角度新颖.对分式化简求值时,要针对题目特征,先确定字母的取值或 者将式子化成可以整体求值的方式,再进行求值. 类型一 对分式运算的值进行判断 1. 若a=2b,则在如图所示的数轴上的四段中, 表示a 2-b2 a2+ab 的点落在 ( ) 第1题 A. ①段 B. ②段 C. ③段 D. ④段 2. 下面是嘉嘉和琪琪的对话. 嘉嘉:“我能正确地化简分式 x x+1-1 ÷ 2 1-x2. ” 琪琪:“我给x取一个值,使你化简分式后所 得代数式的值大于0,你能猜出来我给x 取 的值是几吗?” 根据对话内容,x的值可能是 ( ) A. -1 B. 1 C. 0 D. 2 类型二 对分式化简过程的判断 3. 计算 x-1 x+1+1 ·x+1x 时,嘉嘉和琪琪使用 的方 法 不 同,嘉 嘉:x-1 x+1+1 ·x+1x = x-1+1 x+1 ·x+1x = xx+1·x+1x =1;琪琪: x-1 x+1+1 ·x+1x =x-1x+1·x+1x +x+1x = x-1 x + x+1 x = 2x 2x=1. 他们的计算中,正确 的是 ( ) A. 嘉嘉 B. 琪琪 C. 都正确 D. 都不正确 4. 老师设计了接力游戏,要求同学们用合作的 方式完成分式化简,规则是每人只能看到前 一人给的式子,并进行一步计算,再将结果 传递给下一人,最后完成化简,过程如图所 示.接力中,自己负责的一步没有出现错误 的是 ( ) 第4题 A. 只有甲 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 乙和丁 类型三 分式的化简求值 5. (河北中考)若x 和y 互为倒数,则 x+ 1 y ·2y- 1 x 的值是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 30 6. (成都中考)若3ab-3b2-2=0,则代数式 1-2ab-b 2 a2 ÷a-ba2b 的值为 . 7. ★(烟台中考)先化简,再求值:a 2-6a+9 a-2 ÷ a+2+ 52-a ,其中a是使不等式a-12 ≤1 成立的正整数. 8. 已知 A= m+2- 5m-2 ÷ m-32m-4,B= (m-4)(m+1)-m2,当B=0时,求A 的值. 9. (1) 已知3x=2y=5z≠0,求 x+2y+3z x-y+z 的值; (2) 已 知 b+c a = c+a b = a+b c ,求 abc (a+b)(b+c)(c+a) 的值. 类型四 逆向考查分式的运算 10. 小敏在做数学作业时,不小心将式子中除号 后边的代数式污染,即 a 2-2a a2-1-1 ÷*, 经查看得知答案为 1 1-a ,则被污染的代数 式*为 ( ) A. 2a+1 a+1 B. a+1 2a-1 C. 2a-1 a+1 D. a+1 2a-2 11. 如图,作业本上有这样一道填空题,其中有 一部分被墨水污染了,该题化简的结果 为 1 x+3. (1) 求被墨水污染的部分. (2) 原分式的值能等于1 7 吗? 为什么? 第11题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)八年级 31 类型五 阅读理解问题 12. 定义:如果一个分式能化成一个整式与一个 分子为常数的分式的和的形式,那么称这个 分式为“和谐分式”.如x+1x-1= x-1+2 x-1 = x-1 x-1+ 2 x-1 =1+ 2 x-1 ,2x-3 x+1 = 2x+2-5 x+1 = 2x+2 x+1+ -5 x+1=2+ -5 x+1 ,则 x+1 x-1 和2x-3 x+1 都是“和谐分式”. (1) 有下列式子:① x+1 x ;② 2+x 2 ;③ x+2 x+1 ; ④ y2+1 y2 .其中,属于“和谐分式”的是 (填序号). (2) 将“和谐分式”a 2-2a+3 a-1 化成一个整 式与一个分子为常数的分式的和的形式为 a2-2a+3 a-1 = + . (3) 应用:先化简3x+6 x+1- x-1 x ÷ x2-1 x2+2x , 并求x取什么整数时,该式的值为整数. 答案讲解 13. 某资料上有这样一段文字:“民用 住宅窗户面积应小于地板面积,但 窗户面积与地板面积的比值越大, 住宅的采光条件会越好.”下面是奇奇和嘉 嘉的对话,请根据对话内容回答问题. 奇奇:“如果同时增加相等的窗户面积和地 板面积,那么住宅的采光条件会不会更好?” 嘉嘉:“我们可以具体算一下:假设某住宅 窗户面积为3平方米,地板面积为15平方 米,如果窗户面积和地板面积同时增加 1平方米,那么住宅的采光条件会变好.” (1) 请你通过计算,验证嘉嘉的说法. (2) 假设某住宅窗户面积为x平方米,地板 面积为y平方米,且y>x>0,如果窗户面 积和地板面积同时增加1平方米,那么住 宅的采光条件会变好吗? 请说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 10 19. (1) 40;6.(2) 如图所示.(3) ∵ 成绩在80分以上(包 括80分)的学生有12+14=26(名),∴ 所抽取学生中成 绩为“优”的占所抽取学生的百分比是26 40×100%=65%. 第19题 20. (1) 0.2.(2) y2= 6(0≤x≤10), 0.2x+4(x>10). (3) 小李从家到 工厂用的时间为9÷20×60=27(min).由题图可知,当 x>20时,y1>y2.∴ 当x=27时,y1>y2.∴ 小李选择 B品牌的共享电动自行车更省钱. (4) 10或30. 解析:设A品牌共享电动自行车收费与骑 行时间之间的函数表达式为y1=kx.将(20,8)代入,得 8=20k,解得k=0.4.∴ y1=0.4x.根据题意可知,当0≤ x≤10时,6-0.4x=2,解得x=10;当10<x≤20时, 0.2x+4-0.4x=2,解得x=10(舍去);当x>20时, 0.4x-(0.2x+4)=2,解得x=30.综上所述,两种品牌 的共享电动自行车收费相差2元时,x的值是10或30. 21. (1) ① DE=EF.② NE=BF.③ ∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ ∠A=∠ABC=∠CBM=90°,AD=AB. ∵ N,E 分别是AD,AB 的中点,∴ DN=AN=12AD , AE=EB=12AB.∴ DN=EB=AN=AE.∵ BF 平分 ∠CBM,∴ ∠FBM=12∠CBM=45°.∴ ∠EBF=180°- ∠FBM=135°.∵ AN=AE,∠A=90°,∴ ∠ANE= 45°.∴ ∠DNE=180°-∠ANE=135°.∴ ∠EBF= ∠DNE.∵ ∠A=∠DEF=90°,∴ ∠NDE+∠AED= 90°,∠BEF+∠AED=90°.∴ ∠NDE=∠BEF.在 △NDE 和△BEF 中, ∠NDE=∠BEF, DN=EB, ∠DNE=∠EBF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △NDE≌ △BEF(ASA). ∴ DE=EF,NE=BF.(2) 如图,在DA 边上截取DN=EB,连接NE,使得NE=BF 成立. 此 时,DE=EF.理由:∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ AD= AB,∠A = ∠ABC = ∠CBM =90°.∵ DN =EB, ∴ AN = AE.∴ △AEN 为 等 腰 直 角 三 角 形. ∴ ∠ANE=45°.∴ ∠DNE=180°-∠ANE=135°. ∵ BF 平分∠CBM,∠CBM=90°,∴ ∠EBF=180°- ∠FBM=180°-12∠CBM=135°.∴ ∠DNE=∠EBF. ∵ ∠A= ∠DEF=90°,∴ ∠NDE+ ∠AED =90°, ∠BEF+∠AED=90°.∴ ∠NDE=∠BEF.在△DNE 和 △EBF中, ∠NDE=∠BEF, DN=EB, ∠DNE=∠EBF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DNE≌△EBF(ASA). ∴ DE=EF. 第21题 2 整合提优 专题一　分式的化简及求值 1. C 2. D 3. D 4. B 5. B 6. 2 3 7. 原式= (a-3)2 a-2 ÷ 4-a2+5 2-a = (a-3)2 a-2 · 2-a(3-a)(3+a)= (a-3)2 a-2 · a-2(a-3)(a+3)= a-3 a+3.∵ a-1 2 ≤1 ,解得a≤ 3,又∵ a是使不等式a-12 ≤1 成立的正整数,且a-2≠ 0,a-3≠0,∴ a=1.∴ 原式=1-31+3=- 1 2. 选择字母的取值时忽略原分式有意义的条件而致错 进行分式的化简求值,选择代入字母的取值时,要 注意保证原分式是成立的,包括除式的分子都不能为 0,否则所选数将会使原分式无意义. 8. ∵ B=0,∴ (m-4)(m+1)-m2=0,解得 m= -43.∵ A= m+2- 5m-2 ÷ m-32m-4=m 2-4-5 m-2 · 2(m-2) m-3 = m2-9 m-2 ·2(m-2) m-3 = (m+3)(m-3) m-2 · 2(m-2) m-3 =2 (m+3)=2m+6,∴ 当m=-43 时,A=2× -43 +6=-83+6=103. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 9. (1) 设3x=2y=5z=30k(k≠0),则x=10k,y=15k, z=6k.∴ 原式=10k+30k+18k10k-15k+6k = 58k k =58. (2) 设 b+c a = c+a b = a+b c =m ,则b+c=am,c+a=bm,a+ b=cm.∴ b+c+c+a+a+b=am+bm+cm.∴ 2(a+ b+c)=m(a+b+c),即(a+b+c)(2-m)=0.∴ a+ b+c=0或 m=2.由a+b+c=0,得 m=b+ca = -aa=-1 ,∴ m=2或m=-1.∵ 原式= abcabcm3= 1 m3 , ∴ 原式=18 或-1. 10. C 11. (1) 设被墨水污染的部分是A.由题意,得x-4x2-9÷ A x-3= 1 x+3 ,解得A=x-4.故被墨水污染的部分为x- 4.(2) 不能.若 1x+3= 1 7 ,则x=4.由分式x-4x2-9÷ x-4 x-3= x-4 x2-9 ·x-3 x-4 ,可知当x=4时,原分式无意义, ∴ 原分式的值不能等于1 7. 12. (1) ①③④. (2) a-1;2a-1. 解析:a 2-2a+3 a-1 = a2-2a+1+2 a-1 = (a-1)2+2 a-1 =a-1+ 2 a-1. (3) 原式=3x+6x+1- x-1 x · x(x+2)(x+1)(x-1)= 3x+6 x+1- x+2 x+1= 2x+4 x+1= 2(x+1)+2 x+1 =2+ 2 x+1. 当x+1= ±1或x+1=±2时,分式的值为整数,此时x=0或 x=-2或x=1或x=-3.∵ 原分式有意义时,x≠0, x≠±1且x≠-2,∴ x=-3.∴ x 取-3时,该式的值 为整数. 13. (1) ∵ 住宅窗户面积为3平方米,地板面积为15平 方米,∴ 窗户面积 地板面积= 3 15=0.2.∵ 窗户面积和地板面积同 时增加1平方米,∴ 窗户面积 地板面积= 3+1 15+1=0.25.∵ 0.25> 0.2,∴ 窗户面积和地板面积同时增加1平方米,住宅的 采光条件会变好.(2) 如果窗户面积和地板面积同时增加 1平方米,那么住宅的采光条件会变好.理由:∵ 住宅窗 户 面 积 为 x 平 方 米,地 板 面 积 为 y 平 方 米, ∴ 窗户面积 地板面积= x y .∵ 窗户面积和地板面积同时增加1平 方米,∴ 窗户面积 地板面积= x+1 y+1.∵ x+1 y+1- x y = y(x+1) y(y+1)- x(y+1) y(y+1)= y(x+1)-x(y+1) y(y+1) = xy+y-xy-x y(y+1) = y-x y(y+1) ,又∵ y>x>0,∴ y-x>0,y(y+1)>0. ∴ y-x y(y+1)>0.∴ x+1 y+1> x y .∴ 如果窗户面积和地板面 积同时增加1平方米,那么住宅的采光条件会变好. 专题二　全等三角形的基本模型 1. C 2. ∵ B 是AC 的中点,∴ AB=CB.∵ ∠1=∠2, ∴ ∠1+∠EBF=∠2+∠EBF,即∠ABE=∠CBF.在 △ABE 和△CBF 中, ∠A=∠C, AB=CB, ∠ABE=∠CBF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌ △CBF(ASA). 3. ∵ 将△ABC沿AB 向下翻折后,再绕点A 按顺时针方 向旋转,且∠1<∠BAC,得到Rt△ADE,∴ AE=AB, ∠E=∠ABF.在△AFB和△AGE中, ∠FAB=∠GAE, AB=AE, ∠ABF=∠E, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AFB≌△AGE(ASA). 4. ∵ AC∥DF,∴ ∠ACB=∠DFE.∵ BF=CE, ∴ BF+FC=CE+FC,即BC=EF.在△ABC 和△DEF 中, ∠B=∠E, BC=EF, ∠ACB=∠DFE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△DEF(ASA). 5. 答案不唯一,如(1) 选择①②③.(2) ∵ BE=CF, ∴ BE+EC=CF+EC,即BC=EF.在△ABC和△DEF 中, AB=DE, BC=EF, AC=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△DEF(SSS). 6. EF=BE+AF.理 由:∵ ∠BEC=∠CFA=α, ∠BCA=α,∠BCA+∠BCE+∠ACF=180°,∠CFA+ ∠CAF+∠ACF=180°,∴ ∠BCE=∠CAF.在△BCE 和 △CAF 中, ∠BEC=∠CFA, ∠BCE=∠CAF, CB=AC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BCE≌△CAF(AAS). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈