12.4 分式方程- 【通城学典】2024七年级数学暑期升级训练（冀教版）

66 12.4　分式方程 1. 中含有未知数的方程叫做分式方 程.使得分式方程等号两端相等的未知数的 值叫做分式方程的 (也叫做分式方 程的 ). 2. 解分式方程的步骤: (1) 去分母:方程两边同乘最简公分母,将分 式方程化成 ; (2) 解这个 ; (3) 验根:把所求得的整式方程的根代入最 简公分母中检验,若最简公分母的值不为0, 则整式方程的根是 的根,否则就是 ,必须舍去. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 解方程: (1) 3 x-1- 2 x=0 ; (2) 2x 2x-1+ 5 1-2x=3 ; (3) 2 x2-4- x 2-x=1. 点拨:首先确定各分母的最简公分母,然后去分 母,解整式方程. 解答: 解有所悟:解分式方程时,注意以下易错点:(1) 去 分母时漏乘整式项;(2) 去分母后不添括号,弄错符 号;(3) 忘记验根. 典例2 已知关于x的分式方程2xx-2+ m x-2=3. (1) 当m 取何值时,此方程的解为x=3? (2) 当m 取何值时,此方程会产生增根? 点拨:(1) 将x=3代入分式方程计算即可; (2) 将分式方程去分母转化成整式方程,将x= 2代入整式方程解出m 的值即可. 解答: 解有所悟:利用分式方程的增根求字母的值,可按如 下步骤进行: (1) 先将分式方程转化为整式方程; (2) 令最简公分母为0确定增根; (3) 将增根代入所化得的整式方程,求出字母的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 在① 3x+2 3 =5 ;② 1 3 (x-1)+12 (x+1)= 4;③ -2x=1 ;④ 2 x+ 3x+7 x =-1 ;⑤ 1 x+ (3x-7)中,分式方程有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 乐乐解分式方程 2 x-1= 2x 3x-3-1 的过程 如下: 解:去分母,得6=2x-(3x-3).① 去括号,得6=2x-3x-3.② 移项、合并同类项,得x=-9.③ ∵ x=-9时,各分母均不为0, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 67 ∴ 原分式方程的解是x=-9.④ 以上步骤中,最开始出错的一步是 ( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 3. 分式 3 1-x 与2 x 的值互为相反数,则x的值为 ( ) A. 1 B. -1 C. -2 D. -3 4. x=5是分式方程 1x-2= 2 x+a 的解,则a的 值为 . 5. 已知关于x 的分式方程 kx-2- 3 2-x=1 有增 根,则增根是x= ,k= . 6. (浙江中考)小丁和小迪解分式方程 x x-2- x-3 2-x=1 的过程如图所示: 小丁: 解:去分母,得 x-(x-3)=x-2. 去括号,得 x-x+3=x-2. 合并同类项,得 5=x, 解得x=5. ∴ 原分式方程的解是 x=5. 小迪: 解:去分母,得 x+(x-3)=1. 去括号,得 x+x-3=1. 合并同类项,得 2x=4, 解得x=2. 经检验,x=2是原分式 方程的增根. ∴ 原分式方程无解. 第6题 你认为小丁和小迪的解法是否正确? 若正 确,请在 内画“􀳫”;若错误,请在 内 画“✕”,并写出你的解答过程. 7. 解方程: (1) 2 x-4= 1 x+1 ; (2) 1-x x-2= 1 2-x-2 ; (3) 3 x+2+ 2 x2-4= 1 x-2 ; (4) x x-1- 2x-1 x2-1=1. [综合提升] 8. 分式方程 12 x2-9- 2 x-3= 1 x+3 的解为 ( ) A. x=3 B. x=-3 C. 无解 D. x=3或-3 答案讲解 9. 对于a,b,定义a★b= 1a-b2 ,已知 分式方程x★(-1)= x3-3x 的解满 足不等式(2-a)x-3>0,则a的取值范围是 ( ) A. a<1 B. a>1 C. a<3 D. a>3 答案讲解 10. 已知关于x 的分式方程 mx+5=1 , 对于该方程的解,甲说“若方程的 解是负数,则m<5”,乙说“当m>5时,方 程的解是正数”.关于甲、乙两人的说法,正 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 68 确的是 ( ) A. 只有甲对 B. 只有乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都错 11. 若式子 2 y-2+1 的值为零,则y= . 12. 如图,点A,B 在数轴上,它们表示的数分 别为-2,xx+1 ,且点A,B 到原点的距离相 等.求x的值. 第12题 13. 涵涵想复习分式方程,其中一道题由于印 刷问题,有一个数“?”看不清楚: x x-3=2- ? x-3. (1) 她把这个数“?”猜成-2,请你帮涵涵解 这个分式方程. (2) 涵涵的妈妈说:“我看到标准答案是 ‘x=3是方程的增根,原分式方程无解’.” 请你求出原分式方程中“?”代表的数. 答案讲解 14. ★已知关于x的分式方程 a2x+3- b-x x-5=1. (1) 当a=1,b=0时,求分式方程的解; (2) 当a=1时,求b 为何值,分式方程 a 2x+3- b-x x-5=1 无解. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 24 确.综上所述,结论①和结论②都正确. 10. 2400 m2+10m 11. (1) 答案不唯一,如选嘉嘉的思路.nm - n+1 m+1= n(m+1) m(m+1)- m(n+1) m(m+1)= n-m m(m+1).∵ m>n>0,∴ n- m<0.∵ m(m+1)>0,∴ n-m m(m+1)<0.∴ n m< n+1 m+1 , 即所得分式的值增大了. (2) 增大了. 解析:当所加的这个数为2时,nm- n+2 m+2= n(m+2) m(m+2)- m(n+2) m(m+2)= mn+2n-mn-2m m(m+2) = 2(n-m) m(m+2). ∵ m>n>0,∴ 2(n-m) m(m+2)<0 ,即n m< n+2 m+2.∴ 所得分 式的值增大了. 12.4 分式方程 知识梳理 1. 分母 解 根 2. (1) 整式方程 (2) 整式方程 (3) 分式方程 增根 典例演练 典例1 (1) 方程两边同乘x(x-1),得3x-2(x-1)= 0,解得x=-2.经检验,x=-2是原分式方程的解. (2) 方程两边同乘2x-1,得2x-5=3(2x-1),解得 x=-12. 经检验,x=-12 是原分式方程的解.(3) 方程 两边同乘x2-4,得2+x(x+2)=x2-4,解得x= -3.经检验,x=-3是原分式方程的解. 典例2 (1) 将x=3代入分式方程,得6+m=3,解得 m=-3.(2) 去分母,得2x+m=3(x-2),将x=2代入 得4+m=0,即m=-4.∴ 当m=-4时,此方程会产生 增根. 预学训练 [基础过关] 1. B 2. B 3. C 4. 1 5. 2 -3 6. 小丁和小迪的解法都不正确,画“✕”略.xx-2- x-3 2-x=1. 方程两边同乘x-2,得x+x-3=x-2,解得 x=1.经检验,x=1是原分式方程的解. 7. (1) 方程两边同乘(x-4)(x+1),得2(x+1)=x-4, 解得x=-6.经检验,x=-6是原分式方程的解.(2) 方 程两边同乘x-2,得1-x=-1-2(x-2),解得x= 2.经检验,x=2是原分式方程的增根,∴ 原分式方程无 解.(3) 方程两边同乘(x+2)(x-2),得3(x-2)+2= x+2,解得x=3.经检验,x=3是原分式方程的解. (4) 方程两边同乘(x+1)(x-1),得x(x+1)-(2x- 1)=x2-1,解得x=2.经检验,x=2是原分式方程的解. [综合提升] 8. C 9. D 解析:∵ a★b= 1a-b2 ,∴ x★(-1)= 1x-(-1)2= 1 x-1.∴ 1 x-1= x 3-3x ,即 1 x-1=- x 3(x-1). 方程两边 同乘3(x-1),得3=-x.解得x=-3.经检验,x= -3是原分式方程的解.根据题意,把x=-3代入到不等 式(2-a)x-3>0中,得-3(2-a)-3>0,解得a>3. 10. B 解析: m x+5=1 ,去分母,得m=x+5,解得x= m-5.要使分式方程有解,则x+5≠0,即m-5+5≠0, ∴ m≠0.当m<5且m≠0时,x=m-5<0.∴ 甲的说法 错误.当m>5时,x=m-5>0,∴ 乙的说法正确. 11. 0 12. 根据题意,得 x x+1=2. 去分母,得x=2(x+1).去括 号,得x=2x+2,解得x=-2.经检验,x=-2是原分式 方程的解.∴ x的值为-2. 13. (1) 根据题意,得 x x-3=2- -2 x-3. 方程两边同乘x- 3,得x=2(x-3)+2.去括号,得x=2x-6+2.移项、合 并同类项,得x=4.经检验,x=4是原分式方程的解. (2) 设原分式方程中“?”代表的数为m,则 xx-3=2- m x-3. 方程两边同乘x-3,得x=2(x-3)-m.∵ x= 3是方程的增根,∴ 把x=3代入x=2(x-3)-m,解得 m=-3,即原分式方程中“?”代表的数是-3. 14. (1) 根据题意,得 1 2x+3- -x x-5=1. 方程两边同乘 (2x+3)(x-5),得x-5+x(2x+3)=(2x+3)(x-5), 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 25 解得x=-1011. 经检验,x=-1011 是原分式方程的解. (2) 根据题意,得 1 2x+3- b-x x-5=1. 方程两边同乘(2x+ 3)(x-5),得x-5-(b-x)(2x+3)=(2x+3)(x- 5).整理,得(11-2b)x=3b-10.当11-2b=0,即b= 5.5时,方程无解;当11-2b≠0,2x+3=0或x-5=0, 即x=-1.5或x=5时,方程无解.把x=-1.5代入 (11-2b)x=3b-10,得-1.5(11-2b)=3b-10,此时b 不存在;把x=5代入(11-2b)x=3b-10,得5(11- 2b)=3b-10,解得b=5.综上所述,当a=1时,b的值为 5.5或5,分式方程 a2x+3- b-x x-5=1 无解. 分式方程无解问题 “原分式方程无解”隐含了两种情况,一是求出的 x值是分式方程化成的整式方程的解,但是这个解使 最简公分母的值为0;二是所化成的整式方程无解,所 以原分式方程无解. 12.5 分式方程的应用 知识梳理 1. 等量关系 检验 2. 工作效率 之和 3. 速度 时间 4. 进价 利润 进价 典例演练 典例1 (1) 设乙同学骑自行车的速度为x 米/分,则甲 同学的步行速度是1 2x 米/分,公交车的行驶速度是 2x米/分.根据题意,得6001 2x +3000-6002x = 3000 x -2 ,解 得x=300.经检验,x=300是原分式方程的解.∴ 乙同 学骑自行车的速度为300米/分.(2) 300×2=600(米). 典例2 (1) 设第一次购进的每个玩偶的进价为x元,则 第二次购进的每个玩偶的进价为(1+20%)x 元.根据题 意,得3000 x - 3000 (1+20%)x=10 ,解得x=50.经检验,x= 50是原分式方程的解.∴ 第一次购进的每个玩偶的进价 为50元.(2) 96× 300050 + 3000 50×1.2 -3000×2= 4560(元).∴ 该商店共可获得利润4560元. 预学训练 [基础过关] 1. A 2. C 3. 3 4. 60 5. (1) 设一名分拣工人每小时可分拣x 件货物,则一台 机器人每小时可分拣20x 件货物.根据题意,得800016x - 8000 20x= 2 3 ,解得x=150.经检验,x=150是原分式方程 的解.∴ 20x=3 000,即一台机器人每小时可分拣 3000件货物.(2) 该公司能在规定的时间内完成任务.理 由:3×(20×150+20×3000)+(8-3)×[(20+15)× 3000+20×150]=189000+540000=729000(件). ∵ 72万=720000,729000>720000,∴ 该公司能在规定 的时间内完成任务. 6. (1) 设购买一个A品牌篮球需x元,则购买一个B品 牌篮球需(x+30)元.根据题意,得2500x =2× 2000 x+30 ,解 得x=50.经检验,x=50是原分式方程的解.∴ x+30= 80.∴ 购买一个A品牌篮球需50元,购买一个B品牌篮 球需80元.(2) 设该校此次可购买a个B品牌篮球,则购 买(50-a)个A品牌篮球.根据题意,得50×(1+8%)· (50-a)+80×0.9a≤3060,解得a≤20.∴ 该校此次最 多可购买20个B品牌篮球. [综合提升] 7. B 解析:设规定的时间为x 天,则快马所需的时间为 (x-3)天,慢马所需的时间为(x+2)天.根据题意,得 1000 x-3=2× 1000 x+2 ,解得x=8.经检验,x=8是原分式方程 的解.∴ 规定的时间为8天. 8. A 9. (1) 甲、乙两支工程队一起做4天.(2) 方案B最节省工 程款.解4 1x+ 1 x+5 +x-4x+5=1,得x=20.经检验,x= 20是原分式方程的解.三种方案需要的工程款:A. 1.1× 20=22(万元);B. 0.8×(20+5)=20(万元);C. 4× 1.1+20×0.8=20.4(万元).∵ 20<20.4<22,∴ 方案B 最节省工程款. 方案设计问题的解决技巧 解决涉及实际问题中的方案设计问题时,一般先 根据题意确定基础量,然后结合各种方案要求进行计 算,通过对比数据间的关系,做出决定. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈