12.3 分式的加减- 【通城学典】2024七年级数学暑期升级训练（冀教版）

63 12.3　分式的加减 1. 同 分 母 的 两 个 分 式 相 加 (减),分 母 ,把分子 .用字母表示: A B± C B= . 2. 把几个异分母分式分别化为与它们相等的 分 式,叫 做 分 式 的 通 分,这 个 的分母叫做这几个分式的公分母. 几个分式的公分母不止一个,通分时一般选 取 公分母. 3. 通分的依据是分式的 . 4. 异分母的两个分式相加(减),先 , 化为 的分式,再相加(减).用字母 表示:A B± C D= = . 5. 进行分式的加、减、乘、除混合运算时,一般 要按照运算顺序进行:先算 ,再算 ;如 果 有 ,要 先 算 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 计算: (1) a a2-b2- 3a+2b a2-b2 ; (2) m+2n n-m + n m-n- 2m n-m. 点拨:(1) 两个分式的分母相同,分母不变,分 子相减;(2) m-n 可转化为-(n-m),则 n m-n=- n n-m ,从而把原式转化为同分母的 分式后进行加减运算. 解答: 解有所悟:(1) 对于分子是多项式的分式,进行其加 减运算时,分子要添括号,以避免符号出错.(2) 当 分式的分母互为相反数时,可先将其中一个分式的 分母提出负号后转化为同分母的分式,再计算. (3) 将结果化为最简分式或整式. 典例2 计算: (1) c2 ab+ a2 bc ; (2) a a-2- a a+2 ; (3) 1 x+1+x-1 ;(4) m m-n- n m+n+ 2mn m2-n2. 点拨:(1) 最简公分母是abc;(2)(3)(4) 先确定 最简公分母并将各式通分,再加减. 解答: 解有所悟:在异分母分式的加减运算中,通分是关 键.通过通分达到“化异(分母)为同(分母)”的目的; 若一个分式和一个整式相加减,可以把整式看作分 母是1的分式. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 64 典例3 化简分式 a 2-3a a2-6a+9+ 2 3-a ÷a-2a2-9, 并从2,3,4,5这四个数中选取一个合适的数作 为a的值代入求值. 点拨:先根据分式混合运算顺序和运算法则化 简原式,再选取使分式有意义的a 的值代入求 值即可. 解答: 解有所悟:对于化简后求值类的题目,选值时应注意 两点:一是原分母不能为零;二是除式不能为零,即 解题过程中的每一个分式都要有意义. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 下列计算正确的是 ( ) A. 1 a+ 1 b= 2 a+b B. b a- b+2 a = 2 a C. m a+ m b= 2m ab D. 2 a+ 3 b= 3a+2b ab 2. 化简 2x x2+2x- x-6 x2-4 的结果为 ( ) A. 1 x2-4 B. 1 x2+2x C. 1 x-2 D. x-6 x-2 3. 化简x-1 x+1+1 ÷ xx+1时,甲、乙两名同学使 用的方法不同,但计算结果相同.甲同学: x-1 x+1+1 ÷ xx+1=x-1x+1+x+1x+1 ×x+1x = 2x x+1× x+1 x =2. 乙同学:x-1 x+1+1 ÷ xx+1= x-1 x+1+1 ×x+1x =x-1x+1×x+1x +1×x+1x = x-1 x + x+1 x = 2x x=2. 下列说法中,正确的是 ( ) A. 甲同学的方法正确 B. 乙同学的方法正确 C. 两人的方法都正确 D. 两人的方法都不正确 4. 若 m 和n 互 为 相 反 数,且 mn≠0,则 m n- n m ÷ 1m-1n 的值是 ( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 无法确定 5. 计算: (1) 2a+b 3a2b+ a-2b 3a2b- a-b 3a2b ; (2) 3 x+2+ 1 2-x- 2x 4-x2 ; (3) a2 a-1-a-1. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 65 6. 化简x 2-6x+9 x-2 ÷x+2- 5 x-2 ,并从0,1, 2,3中选取一个合适的数作为x 的值代入 求值. [综合提升] 7. 若分式 x 2 x+1□ x x+1 的运算结果为x(x≠0), 则“□”中的运算符号为 ( ) A. + B. - C. +或÷ D. -或× 8. 若 1 m- 1 n ÷2●的运算结果为整式,则“●” 表示的式子可能为 ( ) A. m-n B. m+n C. mn D. m2-n2 9. 已知a≠-1,b≠-1,设M= aa+1+ b b+1 , N= 1a+1+ 1 b+1 ,结论①:当ab=1时,M= N;结论②:当a+b=0时,M·N≤0.对于结 论①和结论②,下列判断中正确的是 ( ) A. 结论①和结论②都正确 B. 结论①和结论②都错误 C. 结论①错误,结论②正确 D. 结论①正确,结论②错误 10. 某公司全体员工在植树节当天植树240棵. 原计划每小时植树m 棵,实际每小时植树 的棵数比原计划每小时植树的棵数多10, 那么实际比原计划提前了 小时完 成任务.(用含m 的单项式表示) 11. 嘉嘉和淇淇研究一道习题:已知m>n>0, 若分式n m 的分子、分母都加上1,所得分式 n+1 m+1 的值是增大了还是减小了? 嘉嘉想到了“用n m 减去n+1 m+1 并判断差的正 负”的思路. 淇淇想到了“将两个分式化成分母相同的 分式,再比较分子的大小”的思路. 两人的解题思路都正确. (1) 请你任选一个思路进行说明; (2) 当所加的这个数为2时,所得分式的值 .(填“增大了”或“减小了”) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 23 13. (1) A=a-1a+2 ·(a-2)(a+2)(a-1)2 ·(a-1)=a-2. (2) ∵ a2-a=a(a-1)=0,∴ a=0或a=1.又∵ A 有 意义,∴ a+2≠0,a2-2a+1=(a-1)2≠0,a-1≠0. ∴ a≠-2,1.∴ a=0.将a=0代入,得A=a-2=0- 2=-2. 14. 正确.理由:∵ x2-4 x2+x+1÷ x2-2x x3+x2+x · 1 x+2= (x+2)(x-2) x2+x+1 ·x(x 2+x+1) x(x-2) · 1 x+2=1 ,即不论x 取 何值(分式有意义),代数式的值都是1,∴ 琪琪的说法是 正确的. 15. 甲工程队修900m所用的时间为 900a2-4 天,乙工程队 修600m所用的时间为 600(a-2)2 天.根据题意,得 900a2-4÷ 600 (a-2)2= 900 (a+2)(a-2) ·(a-2) 2 600 = 3a-6 2a+4.∴ 甲工程 队修900m所用的时间是乙工程队修600m所用的时间 的3a-6 2a+4 倍. 12.3 分式的加减 知识梳理 1. 不变 相加(减) A±CB 2. 同分母 相同 最简 3. 基本性质 4. 通分 同分母 ADBD± BC BD AD±BC BD 5. 乘除 加减 括号 括号里的 典例演练 典例1 (1) 原式=a- (3a+2b) a2-b2 = -2(a+b) (a+b)(a-b)= - 2a-b. (2) 原 式 = m+2nn-m - n n-m - 2m n-m = m+2n-n-2m n-m = n-m n-m=1. 典例2 (1) 原式=c 3 abc+ a3 abc= c3+a3 abc . (2) 原式= a(a+2) (a+2)(a-2)- a(a-2) (a+2)(a-2)= 4a a2-4. (3) 原式= 1x+1+ x-1 1 = 1 x+1+ (x-1)(x+1) x+1 = x2 x+1. (4) 原 式= m(m+n) (m-n)(m+n)- n(m-n) (m-n)(m+n)+ 2mn (m-n)(m+n)= m2+2mn+n2 (m-n)(m+n)= (m+n)2 (m-n)(m+n)= m+n m-n. 典例3 原式= a (a-3) (a-3)2- 2 a-3 ÷ a-2(a+3)(a-3)= a a-3- 2 a-3 ·(a+3)(a-3)a-2 =a-2a-3·(a+3)(a-3)a-2 = a+3.∵ a2-6a+9=(a-3)2≠0,3-a≠0,a2-9= (a+3)(a-3)≠0,a-2≠0,∴ a≠-3,2,3.∴ a取4或 5时,分式有意义.当a=4时,原式=4+3=7.(或当a= 5时,原式=5+3=8) 预学训练 [基础过关] 1. D 2. C 3. C 4. B 5. (1) 原式=2a+b+a-2b-a+b3a2b = 2a 3a2b= 2 3ab. (2) 原 式= 3x+2- 1 x-2+ 2x x2-4= 3 x+2- 1 x-2+ 2x (x+2)(x-2)= 3(x-2)-(x+2)+2x (x+2)(x-2) = 4(x-2) (x+2)(x-2)= 4 x+2. (3) 原 式= a 2 a-1- a+1 1 = a2 a-1- a2-1 a-1= a2-(a2-1) a-1 = a2-a2+1 a-1 = 1 a-1. 6. x2-6x+9 x-2 ÷ x+2- 5 x-2 =(x-3) 2 x-2 ÷ x 2-4 x-2- 5 x-2 =(x-3) 2 x-2 ÷ x2-9 x-2= (x-3)2 x-2 · x-2(x+3)(x-3)= x-3 x+3.∵ x-2≠0,(x+3)(x-3)≠0,则x≠2且x≠ ±3,∴ x可取0或1.当x=0时,原式=-33 =-1. 或 当x=1时,原式=1-31+3=- 1 2 [综合提升] 7. C 8. C 9. A 解析:当ab=1时,则M= aa+1+ b b+1= a a+ab+ b b+ab= a a(b+1)+ b b(a+1)= 1 b+1+ 1 a+1=N.∴ 当 ab=1时,M=N,即结论①正确.当a+b=0时,则b= -a.∴ M = aa+1 + b b+1 = a a+1 + -a -a+1 = -2a2 (a+1)(1-a) ,N = 1a+1+ 1 b+1= 1 a+1+ 1 -a+1= 2 (a+1)(1-a).∴ M·N= -4a 2 (1-a2)2≤0 ,即结论②正 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 24 确.综上所述,结论①和结论②都正确. 10. 2400 m2+10m 11. (1) 答案不唯一,如选嘉嘉的思路.nm - n+1 m+1= n(m+1) m(m+1)- m(n+1) m(m+1)= n-m m(m+1).∵ m>n>0,∴ n- m<0.∵ m(m+1)>0,∴ n-m m(m+1)<0.∴ n m< n+1 m+1 , 即所得分式的值增大了. (2) 增大了. 解析:当所加的这个数为2时,nm- n+2 m+2= n(m+2) m(m+2)- m(n+2) m(m+2)= mn+2n-mn-2m m(m+2) = 2(n-m) m(m+2). ∵ m>n>0,∴ 2(n-m) m(m+2)<0 ,即n m< n+2 m+2.∴ 所得分 式的值增大了. 12.4 分式方程 知识梳理 1. 分母 解 根 2. (1) 整式方程 (2) 整式方程 (3) 分式方程 增根 典例演练 典例1 (1) 方程两边同乘x(x-1),得3x-2(x-1)= 0,解得x=-2.经检验,x=-2是原分式方程的解. (2) 方程两边同乘2x-1,得2x-5=3(2x-1),解得 x=-12. 经检验,x=-12 是原分式方程的解.(3) 方程 两边同乘x2-4,得2+x(x+2)=x2-4,解得x= -3.经检验,x=-3是原分式方程的解. 典例2 (1) 将x=3代入分式方程,得6+m=3,解得 m=-3.(2) 去分母,得2x+m=3(x-2),将x=2代入 得4+m=0,即m=-4.∴ 当m=-4时,此方程会产生 增根. 预学训练 [基础过关] 1. B 2. B 3. C 4. 1 5. 2 -3 6. 小丁和小迪的解法都不正确,画“✕”略.xx-2- x-3 2-x=1. 方程两边同乘x-2,得x+x-3=x-2,解得 x=1.经检验,x=1是原分式方程的解. 7. (1) 方程两边同乘(x-4)(x+1),得2(x+1)=x-4, 解得x=-6.经检验,x=-6是原分式方程的解.(2) 方 程两边同乘x-2,得1-x=-1-2(x-2),解得x= 2.经检验,x=2是原分式方程的增根,∴ 原分式方程无 解.(3) 方程两边同乘(x+2)(x-2),得3(x-2)+2= x+2,解得x=3.经检验,x=3是原分式方程的解. (4) 方程两边同乘(x+1)(x-1),得x(x+1)-(2x- 1)=x2-1,解得x=2.经检验,x=2是原分式方程的解. [综合提升] 8. C 9. D 解析:∵ a★b= 1a-b2 ,∴ x★(-1)= 1x-(-1)2= 1 x-1.∴ 1 x-1= x 3-3x ,即 1 x-1=- x 3(x-1). 方程两边 同乘3(x-1),得3=-x.解得x=-3.经检验,x= -3是原分式方程的解.根据题意,把x=-3代入到不等 式(2-a)x-3>0中,得-3(2-a)-3>0,解得a>3. 10. B 解析: m x+5=1 ,去分母,得m=x+5,解得x= m-5.要使分式方程有解,则x+5≠0,即m-5+5≠0, ∴ m≠0.当m<5且m≠0时,x=m-5<0.∴ 甲的说法 错误.当m>5时,x=m-5>0,∴ 乙的说法正确. 11. 0 12. 根据题意,得 x x+1=2. 去分母,得x=2(x+1).去括 号,得x=2x+2,解得x=-2.经检验,x=-2是原分式 方程的解.∴ x的值为-2. 13. (1) 根据题意,得 x x-3=2- -2 x-3. 方程两边同乘x- 3,得x=2(x-3)+2.去括号,得x=2x-6+2.移项、合 并同类项,得x=4.经检验,x=4是原分式方程的解. (2) 设原分式方程中“?”代表的数为m,则 xx-3=2- m x-3. 方程两边同乘x-3,得x=2(x-3)-m.∵ x= 3是方程的增根,∴ 把x=3代入x=2(x-3)-m,解得 m=-3,即原分式方程中“?”代表的数是-3. 14. (1) 根据题意,得 1 2x+3- -x x-5=1. 方程两边同乘 (2x+3)(x-5),得x-5+x(2x+3)=(2x+3)(x-5), 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈