12.2 分式的乘除- 【通城学典】2024七年级数学暑期升级训练（冀教版）

60 12.2　分式的乘除 1. 分式与分式相乘,用分子的积作为积的 ,分母的积作为积的 .用 字母表示:A B ·C D= . 2. 分式除以分式,把除式的分子与分母 后,与被除式 .用字母表示:AB÷ C D= = . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 计算: (1) a3b 2cd2 ·-c 2d a2b3 ; (2) (x2-x)· x-1x2-2x+1 ; (3) 4x-2x2 x+2 · x 2+2x x2-4x+4. 点拨: (1) 积的分子与分母的公因式为a2bcd, 只要约去这个公因式即可.(2) 可把算式中的 整式看作分母是1的分式,然后利用乘法法则 计算.(3) 把分式中的多项式分解因式,可以看 出积的分子、分母的公因式为(x+2)(x-2), 约分即可. 解答: 解有所悟:在分式的乘法运算中:(1) 当分式的分 子、分母是单项式时,可先约分,再进行乘法运算; (2) 当分式与整式相乘时,可以先将整式看作分母 是1的分式,再根据乘法法则计算;(3) 当分式的分 子、分母是多项式时,要先对分子、分母进行因式分 解,再利用分式的乘法法则运算. 典例2 计算: (1) xy2 2z2÷ -3x2y2 4az2 ; (2) (a-1)2 a-3 ÷ (a-1); (3) x2-9y2 x2+6xy+9y2 ÷ x+3y3x2+9xy . 点拨:(1) 根据除法法则把除式的分子、分母颠 倒位置后,再与被除式相乘.(2) 可先把除式中 的整式看作分母是1的分式,然后利用除法法 则运算.(3) 先将分子、分母中的多项式分解因 式,然后利用除法法则运算. 解答: 解有所悟:(1) 分式的分子、分母都是多项式时,要 先分解因式并约分,再进行分式的乘法运算;(2) 若 除式或被除式为整式,则可以先将整式看作分母是1 的分式,然后根据分式的除法法则运算. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 61 [基础过关] 1. 计算a bc ·c 2 a2 的结果是 ( ) A. c2 a2b B. c ab C. c2 ab D. a2 bc 2. 化简x3÷x 3 y 2 的结果是 ( ) A. x6 y2 B. x3y2 C. y2 x3 D. x2y6 3. 若 □ x+y÷ x y2-x2 的结果为整式,则“□”表 示的式子可能为 ( ) A. y-x B. y+x C. 1 x D. 3x 4. (河北中考)化简x3·y 3 x 2 的结果是 ( ) A. xy6 B. xy5 C. x2y5 D. x2y 5. 若M÷xy+y 2 (x-y)2 =x 2-y2 y ,则M 是 ( ) A. (x-y)3 y2 B. (x+y)2 x-y C. x+y y D. y3 (x-y)3 6. 若x-1 x+2÷ x-1 x 有意义,则x 的取值范围是 . 7. 若x 等于它的倒数,则2x+4x2 ·3x-6 x2-4 的值 是 . 8. 计算: (1) x2 y÷ -y2 x · y -x 2 ; (2) 2-m m+2÷ m2-4m+4 m2-4 ; (3) ★a2-3a a2+a÷ a-3 a2-1 ·a+1 a-1. 9. 先化简,再求值: (1) 2x+y x2-2xy+y2 ·(x-y),x,y满足x-3y=0; (2) a2+b2+2ab ab ÷ a2-b2 a-b ,其中a=2,b=-12. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 62 [综合提升] 10. ★下列式子的结果,与1 a3 相等的是 ( ) A. a÷ 1a2×a 2 B. a÷ 1a2÷a2 C. a÷1a×a 2 D. a×1a2÷a 2 11. 关于式子x 2+2x+1 x2-1 ÷ x x-1 ,下列说法中正 确的是 ( ) A. 当x=1时,其值为2 B. 当x=-1时,其值为0 C. 当-1<x<0时,其值为正数 D. 当x<-1时,其值为正数 12. 算式 x-2 x2-4x+4÷ 1 x+6 的值为F(x 取整 数),则F 可以取到的整数值有 ( ) A. 0个 B. 7个 C. 8个 D. 无数个 13. 已知A=a-1a+2 · a 2-4 a2-2a+1÷ 1 a-1. (1) 化简A; (2) 若a满足a2-a=0,求A 的值. 14. 许老师讲完了分式的乘除后,给同学们出 了这样一道题:若x=-2024,求代数式 x2-4 x2+x+1÷ x2-2x x3+x2+x · 1 x+2 的值.琪琪 说:“老师,这道题中的x=-2024是多余 的条件.”请你判断琪琪的说法是否正确, 并说明理由. 15. 甲、乙两支工程队合修一条公路,甲工程队 每天修(a2-4)m,乙工程队每天修(a- 2)2m,则甲工程队修900m所用的时间是 乙工程队修600m所用的时间的多少倍? (a>2,用含a的代数式表示) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 22 14. (1) 原式=2x+10y2x-5y. (2) 原式=4x+3y6x-4y. 15. 甲同学的解法正确,乙同学的解法错误.理由:∵ 分 式a 2-b2 a+b 已隐含条件a+b≠0,∴ 可用分式的基本性质, 将分式的分子和分母同时约去a+b.∵ a-b不是分式的 分母中所含有的,即无法确定a-b是否为0,∴ 不能用 分式的基本性质,将分式的分子、分母都乘a-b,再约去 a2-b2. 分式的基本性质应用的常见错误 利用分式的基本性质时,一定注意分式的分子、分 母同乘或除以一个不等于0的整式. 12.2 分式的乘除 知识梳理 1. 分子 分母 A ·C B·D 2. 颠倒位置 相乘 AB ·D C A·D B·C 典例演练 典例1 (1) 原式=-a 3b 2cd2 ·c 2d a2b3=- ac 2b2d. (2) 原式= (x2-x)·(x-1) (x-1)2 = x·(x-1)2 (x-1)2 =x. (3) 原 式 = -2x (x-2)·x·(x+2) (x+2)(x-2)2 =- 2x2 x-2. 典例2 (1) 原式=xy 2 2z2 · 4az 2 -3x2y2 =-4axy 2z2 6x2y2z2 =-2a3x. (2) 原式= (a-1)2 a-3 ÷ a-1 1 = (a-1)2 a-3 · 1 a-1= a-1 a-3. (3) 原式= (x-3y)(x+3y) (x+3y)2 ÷ x+3y3x(x+3y)= x-3y x+3y · 3x 1= 3x2-9xy x+3y . 预学训练 [基础过关] 1. B 2. C 3. D 4. A 5. B 6. x≠0且x≠1且x≠-2 7. 6 8. (1) 原式=x 2 y · -x y2 ·y 2 x2=- x y . (2) 原式= 2-m m+2 ·(m-2)(m+2)(m-2)2 = -(m-2) m+2 ·m+2 m-2=-1. (3) 原 式=a (a-3) a(a+1) ·(a-1)(a+1) a-3 ·a+1 a-1=a+1. 分式的乘除混合运算的一般顺序 ① 进行分式的乘除混合运算的步骤与分数的乘除混 合运算一样,即按从左到右的顺序进行;② 将除法转化为 乘法后,在运算过程中,可以先约分,再相乘,以简化运算. 9. (1) 原式=2x+y(x-y)2 ·(x-y)= 2x+y x-y .∵ x-3y= 0,即x=3y,∴ 原式=6y+y3y-y= 7y 2y= 7 2. (2) 原式= a2+b2+2ab ab × a-b (a+b)(a-b)= (a+b)2 ab × 1 a+b = a+b ab . 当a=2,b=-12 时,原式= 2-12 2× -12 =-32. [综合提升] 10. D 解析: a÷ 1a2×a 2 =a÷1=a,故A不符合题 意;a÷ 1a2÷a 2 =a÷1a4=a·a4=a5,故B不符合题 意;a÷1a×a 2=a×a×a2=a4,故C不符合题意;a× 1 a2÷a 2=1a× 1 a2= 1 a3 ,故D符合题意. 分式乘除法中的常见问题 进行分式的乘除混合运算时,要先将算式中的除 式的分子分母颠倒位置或理解成除以一个不为0的数 等于乘这个数的倒数,将其统一成乘法,再计算结果.切 记运算顺序不能颠倒. 11. D 12. B 解析: x-2 x2-4x+4÷ 1 x+6= x-2 (x-2)2× (x+6)= x+6 x-2=1+ 8 x-2.∵ 算式 x-2 x2-4x+4÷ 1 x+6 的值为F, ∴ F=1+ 8x-2 (x≠2,-6).∵ F 为整数,∴ 8 x-2 为整 数.∴ 当x-2=±1,±2,±4,±8,即当x=3,1,4,0, 6,-2,10,-6时,1+ 8x-2 的值为整数值.∵ x≠-6, ∴ 当x=3,1,4,0,6,-2,10时,F 为整数.∴ F 可以取 到的整数值有7个. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 23 13. (1) A=a-1a+2 ·(a-2)(a+2)(a-1)2 ·(a-1)=a-2. (2) ∵ a2-a=a(a-1)=0,∴ a=0或a=1.又∵ A 有 意义,∴ a+2≠0,a2-2a+1=(a-1)2≠0,a-1≠0. ∴ a≠-2,1.∴ a=0.将a=0代入,得A=a-2=0- 2=-2. 14. 正确.理由:∵ x2-4 x2+x+1÷ x2-2x x3+x2+x · 1 x+2= (x+2)(x-2) x2+x+1 ·x(x 2+x+1) x(x-2) · 1 x+2=1 ,即不论x 取 何值(分式有意义),代数式的值都是1,∴ 琪琪的说法是 正确的. 15. 甲工程队修900m所用的时间为 900a2-4 天,乙工程队 修600m所用的时间为 600(a-2)2 天.根据题意,得 900a2-4÷ 600 (a-2)2= 900 (a+2)(a-2) ·(a-2) 2 600 = 3a-6 2a+4.∴ 甲工程 队修900m所用的时间是乙工程队修600m所用的时间 的3a-6 2a+4 倍. 12.3 分式的加减 知识梳理 1. 不变 相加(减) A±CB 2. 同分母 相同 最简 3. 基本性质 4. 通分 同分母 ADBD± BC BD AD±BC BD 5. 乘除 加减 括号 括号里的 典例演练 典例1 (1) 原式=a- (3a+2b) a2-b2 = -2(a+b) (a+b)(a-b)= - 2a-b. (2) 原 式 = m+2nn-m - n n-m - 2m n-m = m+2n-n-2m n-m = n-m n-m=1. 典例2 (1) 原式=c 3 abc+ a3 abc= c3+a3 abc . (2) 原式= a(a+2) (a+2)(a-2)- a(a-2) (a+2)(a-2)= 4a a2-4. (3) 原式= 1x+1+ x-1 1 = 1 x+1+ (x-1)(x+1) x+1 = x2 x+1. (4) 原 式= m(m+n) (m-n)(m+n)- n(m-n) (m-n)(m+n)+ 2mn (m-n)(m+n)= m2+2mn+n2 (m-n)(m+n)= (m+n)2 (m-n)(m+n)= m+n m-n. 典例3 原式= a (a-3) (a-3)2- 2 a-3 ÷ a-2(a+3)(a-3)= a a-3- 2 a-3 ·(a+3)(a-3)a-2 =a-2a-3·(a+3)(a-3)a-2 = a+3.∵ a2-6a+9=(a-3)2≠0,3-a≠0,a2-9= (a+3)(a-3)≠0,a-2≠0,∴ a≠-3,2,3.∴ a取4或 5时,分式有意义.当a=4时,原式=4+3=7.(或当a= 5时,原式=5+3=8) 预学训练 [基础过关] 1. D 2. C 3. C 4. B 5. (1) 原式=2a+b+a-2b-a+b3a2b = 2a 3a2b= 2 3ab. (2) 原 式= 3x+2- 1 x-2+ 2x x2-4= 3 x+2- 1 x-2+ 2x (x+2)(x-2)= 3(x-2)-(x+2)+2x (x+2)(x-2) = 4(x-2) (x+2)(x-2)= 4 x+2. (3) 原 式= a 2 a-1- a+1 1 = a2 a-1- a2-1 a-1= a2-(a2-1) a-1 = a2-a2+1 a-1 = 1 a-1. 6. x2-6x+9 x-2 ÷ x+2- 5 x-2 =(x-3) 2 x-2 ÷ x 2-4 x-2- 5 x-2 =(x-3) 2 x-2 ÷ x2-9 x-2= (x-3)2 x-2 · x-2(x+3)(x-3)= x-3 x+3.∵ x-2≠0,(x+3)(x-3)≠0,则x≠2且x≠ ±3,∴ x可取0或1.当x=0时,原式=-33 =-1. 或 当x=1时,原式=1-31+3=- 1 2 [综合提升] 7. C 8. C 9. A 解析:当ab=1时,则M= aa+1+ b b+1= a a+ab+ b b+ab= a a(b+1)+ b b(a+1)= 1 b+1+ 1 a+1=N.∴ 当 ab=1时,M=N,即结论①正确.当a+b=0时,则b= -a.∴ M = aa+1 + b b+1 = a a+1 + -a -a+1 = -2a2 (a+1)(1-a) ,N = 1a+1+ 1 b+1= 1 a+1+ 1 -a+1= 2 (a+1)(1-a).∴ M·N= -4a 2 (1-a2)2≤0 ,即结论②正 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈