12.1 分式- 【通城学典】2024七年级数学暑期升级训练（冀教版）

57 第十二章　分式和分式方程 12.1　分　式 1. 一 般 地,我 们 把 形 如A B 的 代 数 式 叫 做 ,其中,A,B 都是 ,且B 含有 .A 叫做分式的 ,B 叫做分式的 . 2. 对于分式A B ,当 时,分式有意义;当 时,分式无意义;当 时, 分式的值为零. 3. 分式的分子和分母同 (或 ) 一个不等于0的整式,分式的值不变.用字 母表示:A B= ,A B= . 其中, 是不等于0的整式. 4. 把分式中分子和分母的 约去,叫做 分式的约分.约分的依据是分式的 . 约分时常先对分子、分母进行 . 5. 分子和分母没有公因式的分式叫做 . 分式运算的结果要化成 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 仔细观察下列各式,回答问题. ① 1 2ab ;② 10a3bc -5a2b3c2 ;③ x+3 x2-9 ;④ x-3; ⑤ 1 x-3 ;⑥ 6x x2-6x+9 ;⑦ x-3 π+3 ;⑧ x+3 x-3. (1) 以上式子中,属于分式的有 ;属于 最简分式的有 .(填序号) (2) 分式x+3 x2-9 的值能等于0吗? 为什么? (3) 当x取何值时,分式x+3x-3 的值为正数? 点拨:本题综合考查分式的概念及相关特征,特 别需要注意:若分式的值为0,则分式首先要有 意义,即分子等于0而分母不等于0. 解答: 解有所悟:(1) 识别分式时要抓住两点:一是含分数线, 二是分母中含字母.(2) 分式的值为0必须同时满足两 个条件:分子等于0和分母不等于0,两者缺一不可. 典例2 约分: (1) 21a3b4c 56a2b5d ; (2) ax2-4ay2 x2-4xy+4y2 . 点拨:(1) 分子、分母的公因式为7a2b4,约去即 可;(2) 分子、分母的公因式为x-2y,利用分 式的基本性质约去x-2y. 解答: 解有所悟:分式约分的基本步骤:(1) 确定分子与分 母的公因式(若分子或分母中的多项式能进行因式 分解,则应先对分子或分母进行因式分解,再确定公 因式);(2) 约去分子与分母的公因式;(3) 分子与分 母不再含有公因式(1除外),即为约分后的最简分式 或整式. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 58 [基础过关] 1. 有下列式子: x+y 2 ,-3ba ,1 x+y ,x-y+1 π . 其中,分式的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列分式从左到右的变形一定成立的是( ) A. a b= a2 b2 B. a b= ac bc C. ac bc= a b D. -a -b=- a b 3. 若分式x 2-y2 △ 是最简分式,则“△”可能表示 ( ) A. 2x+2y B. (x-y)2 C. x2+2xy+y2 D. x2+y2 4. 已知分式x(x-1)(x-2) x2-4 的值为0,则x 的 值为 ( ) A. 0或1或2 B. 0或-2或2 C. 0或1 D. 0或-2 5. ★根据分式的基本性质,分式-a a-b 可变形为 ( ) A. a a-b B. - aa+b C. a a+b D. - aa-b 6. 若2 (x-1) 3(x-1)= 2 3 成立,则x 的取值范围是 . 7. 已知甲种糖果每千克的售价为16元,乙种糖 果每千克的售价为20元,取甲种糖果a千克 和乙种糖果b千克,则混合后的糖果每千克 的售价为 元.当a=25,b=15时,混 合后的糖果每千克的售价为 元. 8. (1) 当x取何值时,分式3x-196x+18 有意义? (2) 当x取何值时,分式5x-43x+7 没有意义? 9. 先化简,再求值: (1) mn+n2 m2-n2 ,其中m=3,n=4; (2) x2-4 x2+4x+4 ,其中x=3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 59 [综合提升] 10. 如果把分式 x x+y 中的x和y都扩大为原来 的2倍,那么分式的值 ( ) A. 扩大为原来的4倍 B. 扩大为原来的2倍 C. 缩小为原来的1 2 D. 不变 11. 根据表格中的信息,y可能为 ( ) x … -2 -1 0 1 2 … y … * 无意义 * -1 * … A. x+3 x-1 B. x-3 x-1 C. x-3 x+1 D. x+3 x+1 12. 若使分式x 2+1 2x-5 的值为负数,则x可以取的 值为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 13. 已知分式x-b 2x+a ,当x=2时,分式的值为 0;当x=-2时,分式没有意义,则分式有 意义时,a+b的值为 ( ) A. -2 B. 2 C. 6 D. -6 14. 不改变分式的值,将下面各分式的分子、分 母中的系数化为整数,并使其成为最简 分式. (1) 0.2x+y 0.2x-12y ; (2) 1 3x+ 1 4y 1 2x- 1 3y . 15. ★对分式a 2-b2 a+b 进行变形.甲同学的解法是 a2-b2 a+b = (a+b)(a-b) a+b =a-b ;乙同学的 解 法 是 a 2-b2 a+b = (a2-b2)(a-b) (a+b)(a-b) = (a2-b2)(a-b) a2-b2 =a-b. 根据分式的基本性质,判断甲、乙两名同学 的解法是否正确,并说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 21 (2) ∠D 的大小不发生变化.∵ ∠OBE 是△AOB 的外 角,∴ ∠OBE=∠BAO+∠AOB.∵ ∠AOB=90°, ∴ ∠OBE-∠BAO=90°.∵ BD 平分∠OBE,AC 平分 ∠BAO,∴ ∠EBD= 12 ∠OBE ,∠BAG= 12 ∠BAO. ∵ ∠EBD 是△ADB 的外角,∴ ∠EBD=∠BAG+ ∠D.∴ ∠D = ∠EBD - ∠BAG = 12 ∠OBE - 1 2∠BAO= 1 2 (∠OBE-∠BAO)=45°.(3) ∵ ∠ACB= 135°,∠ACB + ∠BCG =180°,∴ ∠BCG =180°- ∠ACB=180°-135°=45°.∵ ∠AGO 是△BCG 的外角, ∴ ∠AGO = ∠BCG + ∠CBG = 45°+ ∠CBG. ∵ ∠AGO-∠BCF=45°,∴ 45°+∠CBG-∠BCF= 45°.∴ ∠CBG=∠BCF.∴ CF∥OB. 3 预学储备 第十二章　分式和分式方程 12.1 分 式 知识梳理 1. 分式 整式 字母 分子 分母 2. B≠0 B=0 A=0且B≠0 3. 乘 除以 A×MB×M A÷M B÷M M 4. 公因式 基本性质 因式分解 5. 最简分式 最简 分式或整式 典例演练 典例1 (1) ①②③⑤⑥⑧;①⑤⑥⑧.(2) 分式x+3 x2-9 的 值不能等于0.若分式x+3x2-9 的值等于0,则x+3=0, x=-3.当x=-3时,分母x2-9=0,分式无意义,∴ 分 式x+3 x2-9 的值不能等于0.(3) 若分式的值为正数,则分式 的 分 子、分 母 同 号.根 据 题 意,得 x+3>0, x-3>0 或 x+3<0, x-3<0, 解得x>3或x<-3. 典例2 (1) 21a3b4c 56a2b5d= 7a2b4·3ac 7a2b4·8bd= 3ac 8bd. (2) ax2-4ay2 x2-4xy+4y2 =a (x+2y)(x-2y) (x-2y)2 =ax+2ayx-2y . 预学训练 [基础过关] 1. B 2. C 3. D 4. C 5. D 分式符号的变化规律 一个分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其 中任意两 个,分 式 的 值 不 变,可 用 字 母 表 示:A B = --AB =- A -B= -A -B. 切记不能三个同时变号,也不 能单变一个,否则分式的值会发生变化. 6. x≠1 7. 16a+20b a+b 17.5 解析:根据题意,得甲、乙两种糖果 混合后共有(a+b)千克,甲、乙两种糖果共售(16a+ 20b)元.∴ 将甲、乙两种糖果混合后每千克的售价应为 16a+20b a+b 元.当 a =25,b =15 时,16a+20ba+b = 16×25+20×15 25+15 =17.5.∴ 混合后的糖果每千克的售价 为17.5元. 8. (1) 根据题意,得6x+18≠0,解得x≠-3.∴ 当 x≠-3时,分式3x-196x+18 有意义.(2) 根据题意,得3x+ 7=0,解得x=-73.∴ 当x=-73 时,分式5x-4 3x+7 没有 意义. 9. (1) mn+n2 m2-n2= n(m+n) (m+n)(m-n)= n m-n. 当m=3,n= 4时,原式= 43-4=-4. (2) x2-4 x2+4x+4= (x+2)(x-2) (x+2)2 = x-2 x+2. 当x=3时,原式=3-23+2= 1 5. [综合提升] 10. D 11. C 12. A 解析:∵ x2+1>0,∴ 当分式x 2+1 2x-5 的值为负数 时,2x-5<0,解得x<52.∴ x可以取比52 小的数. 13. C 解析:∵ 当x=2时,分式的值为0,∴ 2-b=0, 解得b=2.∵ 当x=-2时,分式没有意义,∴ -4+a= 0,解得a=4.∴ a+b=6. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22 14. (1) 原式=2x+10y2x-5y. (2) 原式=4x+3y6x-4y. 15. 甲同学的解法正确,乙同学的解法错误.理由:∵ 分 式a 2-b2 a+b 已隐含条件a+b≠0,∴ 可用分式的基本性质, 将分式的分子和分母同时约去a+b.∵ a-b不是分式的 分母中所含有的,即无法确定a-b是否为0,∴ 不能用 分式的基本性质,将分式的分子、分母都乘a-b,再约去 a2-b2. 分式的基本性质应用的常见错误 利用分式的基本性质时,一定注意分式的分子、分 母同乘或除以一个不等于0的整式. 12.2 分式的乘除 知识梳理 1. 分子 分母 A ·C B·D 2. 颠倒位置 相乘 AB ·D C A·D B·C 典例演练 典例1 (1) 原式=-a 3b 2cd2 ·c 2d a2b3=- ac 2b2d. (2) 原式= (x2-x)·(x-1) (x-1)2 = x·(x-1)2 (x-1)2 =x. (3) 原 式 = -2x (x-2)·x·(x+2) (x+2)(x-2)2 =- 2x2 x-2. 典例2 (1) 原式=xy 2 2z2 · 4az 2 -3x2y2 =-4axy 2z2 6x2y2z2 =-2a3x. (2) 原式= (a-1)2 a-3 ÷ a-1 1 = (a-1)2 a-3 · 1 a-1= a-1 a-3. (3) 原式= (x-3y)(x+3y) (x+3y)2 ÷ x+3y3x(x+3y)= x-3y x+3y · 3x 1= 3x2-9xy x+3y . 预学训练 [基础过关] 1. B 2. C 3. D 4. A 5. B 6. x≠0且x≠1且x≠-2 7. 6 8. (1) 原式=x 2 y · -x y2 ·y 2 x2=- x y . (2) 原式= 2-m m+2 ·(m-2)(m+2)(m-2)2 = -(m-2) m+2 ·m+2 m-2=-1. (3) 原 式=a (a-3) a(a+1) ·(a-1)(a+1) a-3 ·a+1 a-1=a+1. 分式的乘除混合运算的一般顺序 ① 进行分式的乘除混合运算的步骤与分数的乘除混 合运算一样,即按从左到右的顺序进行;② 将除法转化为 乘法后,在运算过程中,可以先约分,再相乘,以简化运算. 9. (1) 原式=2x+y(x-y)2 ·(x-y)= 2x+y x-y .∵ x-3y= 0,即x=3y,∴ 原式=6y+y3y-y= 7y 2y= 7 2. (2) 原式= a2+b2+2ab ab × a-b (a+b)(a-b)= (a+b)2 ab × 1 a+b = a+b ab . 当a=2,b=-12 时,原式= 2-12 2× -12 =-32. [综合提升] 10. D 解析: a÷ 1a2×a 2 =a÷1=a,故A不符合题 意;a÷ 1a2÷a 2 =a÷1a4=a·a4=a5,故B不符合题 意;a÷1a×a 2=a×a×a2=a4,故C不符合题意;a× 1 a2÷a 2=1a× 1 a2= 1 a3 ,故D符合题意. 分式乘除法中的常见问题 进行分式的乘除混合运算时,要先将算式中的除 式的分子分母颠倒位置或理解成除以一个不为0的数 等于乘这个数的倒数,将其统一成乘法,再计算结果.切 记运算顺序不能颠倒. 11. D 12. B 解析: x-2 x2-4x+4÷ 1 x+6= x-2 (x-2)2× (x+6)= x+6 x-2=1+ 8 x-2.∵ 算式 x-2 x2-4x+4÷ 1 x+6 的值为F, ∴ F=1+ 8x-2 (x≠2,-6).∵ F 为整数,∴ 8 x-2 为整 数.∴ 当x-2=±1,±2,±4,±8,即当x=3,1,4,0, 6,-2,10,-6时,1+ 8x-2 的值为整数值.∵ x≠-6, ∴ 当x=3,1,4,0,6,-2,10时,F 为整数.∴ F 可以取 到的整数值有7个. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈