专题八 三角形的内角平分线与外角平分线- 【通城学典】2024七年级数学暑期升级训练（冀教版）

17 4. ∵ a2-5a-1=0,且a≠0,∴ a-5-1a=0 ,即a- 1 a=5.∴ a2+1a2= a- 1 a 2 +2=52+2=27. 5. 原式=15× (6-1)×(6+1)×(62+1)×(64+1)× (68+1)=15× (62-1)×(62+1)×(64+1)×(68+1)= 1 5× (64-1)×(64+1)×(68+1)=15× (68-1)×(68+ 1)=15× (616-1)=6 16-1 5 . 6. n2+ n(n+1) 2+(n+1)2= n(n+1)+1 2.理由: n2+[n(n+1)]2+(n+1)2=n2+(n2+n)2+n2+2n+ 1=n2+n4+2n3+n2+n2+2n+1=n4+2n3+3n2+ 2n+1.[n(n+1)+1]2=(n2+n)2+2(n2+n)+1=n4+ 2n3+3n2+2n+1.∴ 等式成立. 7. (1) (a+b)(a-b).(2) (a+b)(a-b)=a2-b2. (3) ① 原式=(10+0.3)×(10-0.3)=102-0.32= 100-0.09=99.91.② 原式=[2m+(n-p)]·[2m- (n-p)]=(2m)2-(n-p)2=4m2-n2+2np-p2. 8. (1) 由题图①②,得S1=(a+2)(a+1)=a2+3a+ 2.由题图①③,得S2=(5a+1)×1=5a+1.∴ S1+S2= a2+3a+2+5a+1=a2+8a+3.当a=2时,S1+S2= 4+16+3=23.(2) S1>S2.理由:∵ S1-S2=(a2+ 3a+2)-(5a+1)=a2+3a+2-5a-1=a2-2a+1= (a-1)2,且a>1,∴ (a-1)2>0.∴ S1-S2>0,即 S1>S2. 9. (1) 题图①中,涂色部分的面积可以看作两个正方形 的面积差,即S1=a2-b2;题图②中,涂色部分的面积为 2个边长为b的正方形的面积减去一个长为a、宽为b的 长方形的面积,即S2=2b2-ab.(2) ∵ a+b=10,ab= 22,∴ S1+S2=a2-b2+2b2-ab=a2+b2-ab=(a+ b)2-3ab=100-66=34.(3) 题图③中,涂色部分的面积 S3=a2+b2- 1 2a 2-12b (a+b)=12a 2+12b 2- 1 2ab= 1 2 (a2+b2-ab).∵ S1+S2=32,即a2+b2- ab=32,∴ S3= 1 2×32=16. 10. (1) D 解析:设较小的奇数为2n-1,则较大的奇数 为2n+1(n 是大于0的自然数).由平方差公式,可得 (2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+ 1)=4n×2=8n.由此,可知两个连续的奇数构造的“好 数”是8的倍数.∵ 205,250,502都不能被8整除,而 520能够被8整除,∴ 能称为“好数”的是520. (2) ∵ 1002-992=(100+99)×(100-99)=(100+ 99)×1=100+99,982-972=(98+97)×(98-97)= (98+97)×1=98+97……22-12=(2+1)×(2-1)= (2+1)×1=2+1,∴ 原式=100+99+98+97+…+4+ 3+2+1=5050. 11. (1) ∵ x2+2xy+2y2+2y+1=0,∴ (x2+2xy+ y2)+(y2+2y+1)=0,即(x+y)2+(y+1)2=0. ∵ (x+y)2≥0,(y+1)2≥0,∴ (x+y)2=0,(y+1)2= 0.∴ y=-1,x=1.∴ 2x+y=2-1=1.(2) ∵ a2+b2- 12a-16b+100=0,∴ (a2-12a+36)+(b2-16b+ 64)=0,即(a-6)2+(b-8)2=0.∵ (a-6)2≥0,(b- 8)2≥0,∴ (a-6)2=0,(b-8)2=0.∴ a=6,b=8. ∴ 8-6<c<8+6,即2<c<14.又∵ c≥8,且c为正整 数,∴ 8≤c<14,且c为整数.∴ △ABC的最大边长 c的 值可能是8,9,10,11,12,13. 专题八　三角形的内角平分线 与外角平分线 1. (1) 如 图 ①,∵ 在 △ABC 中,∠A + ∠ABC+ ∠ACB=180°,且∠A=80°,∴ ∠ABC+ ∠ACB= 100°.∵ BP 平分∠ABC,CP 平分∠ACB,∴ ∠1= 1 2∠ABC ,∠2=12∠ACB.∴ ∠1+∠2=12 (∠ABC+ ∠ACB)=12×100°=50°.∴ ∠BPC=180°-(∠1+ ∠2)=180°-50°=130°.(2) 如图②,由(1),知∠BPC= 180°-(∠1+∠2).∵ ∠1+∠2=12 (180°-∠A)= 90°-12∠A ,∴ ∠BPC=180°- 90°-12∠A =90°+ 1 2∠A.∴ ∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC=180°- 90°+12∠A =90°-12∠A.(3) 不成立.∠MPB- ∠NPC=90°-12∠A. 理由:由(2),知∠BPC=90°+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 18 1 2∠A.∴ ∠MPB-∠NPC=(∠MPB+∠BPN)- (∠NPC + ∠BPN )= 180°- ∠BPC = 180°- 90°+12∠A =90°-12∠A. 第1题 三角形两内角平分线的夹角 三角形的两个内角平分线交于一点,所形成的夹 角的度数等于90°加上第三个内角度数的一半.如图,P 是△ABC 两条内角平分线的交点,则 ∠P=90°+ 1 2∠A. 2. (1) ∠AEB 的大小不发生变化.∵ 直线MN 与直线 PQ 垂直相交于点O,∴ ∠AOB=90°.∴ ∠OAB+ ∠OBA=180°-90°=90°.∵ AE,BE 分别是∠BAO, ∠ABO 的 平 分 线,∴ ∠BAE= 12 ∠OAB ,∠ABE= 1 2∠ABO.∴ ∠BAE + ∠ABE = 12 (∠OAB + ∠ABO)=45°.∴ ∠AEB=180°-(∠BAE+∠ABE)= 135°.(2) ∠CED 的大小不发生变化.如图,延长AD,BC 交于点F.∵ 直线 MN 与直线PQ 垂直相交于点O, ∴ ∠AOB=90°.∴ ∠OAB+∠OBA=180°-∠AOB= 90°.∴ ∠PAB+∠MBA=360°-(∠OAB+∠OBA)= 270°.∵ AD,BC 分别是∠BAP,∠ABM 的平分线, ∴ ∠BAD=12∠BAP ,∠ABC=12∠ABM.∴ ∠BAD+ ∠ABC=12 (∠PAB+∠ABM)=135°.∴ ∠F=180°- (∠BAD+∠ABC)=45°.∴ ∠FDC+∠FCD=180°- ∠F=135°.∴ ∠CDA+∠DCB=360°-(∠FDC+ ∠FCD)=225°.∵ DE,CE 分别是∠ADC,∠BCD 的平 分线,∴ ∠CDE+∠DCE= 12 (∠CDA+∠DCB)= 112.5°.∴ ∠CED=180°-(∠CDE+∠DCE)=67.5°. 第2题 3. 90 解析:∵ BP 是△ABC 的角平分线,CP 是△ABC 的外角∠ACM 的平分线,∠ABP=20°,∠ACP=50°, ∴ ∠PBC=∠ABP=20°,∠ABC=2∠ABP=40°, ∠PCM= ∠ACP=50°,∠ACM =2∠ACP=100°. ∴ ∠A= ∠ACM - ∠ABC=60°,∠P = ∠PCM - ∠PBC=30°.∴ ∠A+∠P=90°. 4. (1) ∵ ∠AOB=90°,∠OCD=50°,∴ ∠CDO=40°, ∠ACD=130°.∵ CE 是∠ACD 的平分线,DF 是∠CDO 的平 分 线,∴ ∠ECD = 12 ∠ACD =65° ,∠CDF = 1 2∠CDO=20°.∵ ∠ECD=∠F+∠CDF,∴ ∠F= 45°.(2) ∠F 的大小不发生变化.∵ ∠AOB=90°, ∴ ∠CDO=90°- ∠OCD,∠ACD =180°- ∠OCD. ∵ CE 是∠ACD 的平分线,DF 是∠CDO 的平分线, ∴ ∠ECD= 12 ∠ACD=90°- 1 2 ∠OCD ,∠CDF= 1 2∠CDO=45°- 1 2∠OCD.∵ ∠ECD=∠F+∠CDF, ∴ ∠F=45°. 5. ∵ ∠CBD 与∠BCE 的平分线交于点P,∴ ∠P= 180°- 12 ∠CBD- 1 2 ∠BCE=180°- 1 2 (∠CBD+ ∠BCE)=180°-12 (∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)= 180°-12 (180°+∠A)=90°-12∠A. 6. (1) ∠E 的大小不发生变化.∵ ∠BAP 与∠ABM 的 平分线相交于点E,∴ ∠EAB=12∠BAP ,∠EBA= 1 2∠ABM.∵ MN⊥PQ,∴ ∠AOB=90°.∵ ∠PAB= ∠ABO+∠AOB=90°+∠ABO,∠MBA=∠BAO+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 19 ∠AOB=90°+∠BAO,∴ ∠EAB+∠EBA=12 (∠PAB+ ∠MBA)= 12 (90°+∠ABO+90°+∠BAO)=90°+ 1 2 (∠ABO + ∠BAO).∵ ∠ABO + ∠BAO =90°, ∴ ∠EAB+∠EBA=90°+45°=135°.∴ ∠E=180°- 135°=45°.(2) 1 2 ∠ABO+∠F=90°. 理 由:如 图, ∵ ∠BAO 与∠BOQ 的平分线相交于点E,∴ ∠1= 1 2∠BAO ,∠2=12∠BOQ. 由外角的性质,可得∠ABO= ∠BOQ-∠BAO,∠E=∠2-∠1.∴ ∠E=12∠BOQ- 1 2∠BAO= 1 2∠ABO.∵ AE 平 分∠BAO,AF 平 分 ∠GAO,∴ ∠EAF = 12 ∠BAO + 1 2 ∠GAO =90°. ∴ ∠E+∠F=90°,即12∠ABO+∠F=90°. 第6题 7. (1) ∵ ∠C=40°,∠B=2∠C,∴ ∠B=2×40°= 80°.∴ ∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-80°-40°= 60°.∵ AE 平分∠BAC,∴ ∠EAC=12∠BAC=30°. ∵ AD⊥BC,∴ ∠ADB=∠ADC=90°.∴ ∠DAC= 90°-∠C=50°.∴ ∠DAE=∠DAC-∠EAC=50°- 30°=20°.(2) 补全图形 如 图 所 示 ∵ EF⊥AE, ∴ ∠AEF=90°.∴ ∠AED+∠FEC=90°.∵ 易得 ∠AED+∠DAE=90°,∴ ∠DAE=∠FEC.由(1)知, ∠DAE=20°,∴ ∠FEC=20°. 第7题 8. (1) ∵ ∠CAB+∠ABC=180°-∠C,AE,BF 是角平 分线,∴ ∠EAB= 12 ∠BAC ,∠FBA = 12 ∠ABC. ∴ ∠EAB + ∠FBA = 12 (∠BAC + ∠ABC)= 1 2 (180°-∠C)=90°- 12 ∠C.∴ ∠AOB=180°- (∠EAB+∠FBA)=180°-(90°- 12 ∠C )=90°+ 1 2∠C.∵ ∠C=40°,∴ ∠AOB=110°.∴ ∠EOF= ∠AOB=110°.(2) 如 图,∵ AD ⊥BC,∠C=40°, ∴ ∠CAD=50°.∵ ∠AFB=80°,∴ ∠1=180°-50°- 80°=50°.∴ ∠DAE=180°-∠1-∠AOB=180°-50°- 110°=20°. 第8题 9. (1) 在 △ABC 中,∵ ∠A =40°,∠B =72°, ∴ ∠ACB=68°.∵ CE 平 分 ∠ACB,∴ ∠ACE = 1 2∠ACB=34°.∴ ∠CED=∠A+∠ACE=74°.又 ∵ CD⊥AB,DF⊥CE,∴ ∠ECD+∠CED=∠ECD+ ∠CDF=90°.∴ ∠CDF=∠CED=74°.(2) 由(1),可知 ∠CDF=∠CED=∠A+∠ACE,∠ACE=12 (180°- α-β).∴ ∠CDF=α+12 (180°-α-β)= 1 2 (180°+α- β)=90°+ 1 2α- 1 2β. “整合提优”综合检测 一、 1. B 2. C 3. D 4. A 5. B 6. A 7. B 8. C 解析:∵ BA1 平分∠ABC,CA1 平分∠ACD, ∴ ∠A1BC = 1 2 ∠ABC ,∠A1CD = 1 2 ∠ACD. ∵ ∠ACD=∠A+∠ABC,∠A1CD=∠A1+∠A1BC, ∴ ∠A1+∠A1BC= 1 2 (∠A+∠ABC).∴ ∠A1= 1 2∠A= 1 2α. 同理,∠A2= 1 2∠A1= 1 22α ,以此类推, ∠A2023= 1 22023α. 9. B 10. C 二、 11. 嘉嘉 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 50 专题八　三角形的内角平分线与外角平分线 在三角形中,有关角的计算不仅涉及三角形内角和与外角的关系,还常涉及三角形的角平分 线,最为常见的解题方法就是利用角平分线得出角之间的倍数关系,而内角和外角平分线相交所 形成的角具备特殊的性质,这也为进行三角形中角的计算提供了方便. 类型一 三角形两内角平分线的夹角 1. ★已知△ABC 的角平分线BP,CP 相交于 点P. (1) 若∠A=80°,求∠BPC 的度数. (2) 如图①,过点P 作直线MN,分别交 AB,AC 于 点 M,N,试 探 究 ∠MPB, ∠NPC,∠A 三者之间的数量关系. (3) 如图②,当直线MN 与AB 的交点仍在 线段AB 上,而与AC 的交点在AC 的延长 线上时,试问:(2)中的数量关系是否仍然成 立? 若 不 成 立,请 写 出 此 时 ∠MPB, ∠NPC,∠A 三者之间的数量关系,并说明 理由. 第1题 答案讲解 2. 已知直线MN 与直线PQ 垂直相交 于点O,点A 在直线PQ 上运动, 点B 在直线MN 上运动. (1) 如图①,AE,BE 分别是∠BAO,∠ABO 的平分线,点A,B 在运动的过程中,∠AEB 的大小是否发生变化? 若发生变化,请说明 理由;若不发生变化,试求∠AEB 的度数. (2) 如图②,AB 与CD 不平行,AD,BC 分 别是∠BAP,∠ABM 的平分线;DE,CE 分 别是∠ADC,∠BCD 的平分线,点A,B 在 运动的过程中,∠CED 的大小是否发生变 化? 若发生变化,请说明理由;若不发生变 化,试求∠CED 的度数. 第2题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 51 类型二 一个内角平分线与一个外角平分线的 夹角 3. 如图,BP是△ABC的角平分线,CP 是△ABC 的外角∠ACM 的平分线.若∠ABP=20°, ∠ACP=50°,则∠A+∠P= °. 第3题 4. 已知∠AOB=90°,点C,D 分别在射线OA, OB 上,CE 是∠ACD 的平分线,CE 的反向 延长线与∠CDO 的平分线交于点F. (1) 如图①,当∠OCD=50°时,试求∠F 的 度数. (2) 如图②,当点C,D 在射线OA,OB 上任 意移动时(不与点O 重合),∠F 的大小是否 发生变化? 若发生变化,请说明理由;若不 发生变化,请求∠F 的度数. 第4题 类型三 三角形两外角平分线的夹角 5. 如图,P 为外角∠CBD 与∠BCE 的平分线 的交点,试说明:∠P=90°-12∠A. 第5题 答案讲解 6. 已知直线MN 与直线PQ 垂直相交 于点O,点A 在射线OP 上运动(不 与点O 重合),点B 在射线OM 上 运动(不与点O 重合). (1) 如图①,∠BAP 与∠ABM 的平分线相 交于点E,点A,B 在运动过程中,∠E 的大 小是否发生变化? 若发生变化,请说明理 由;若不发生变化,请求∠E 的度数. (2) 如图②,若∠MOQ<90°,∠BAO 与 ∠BOQ 的平分线相交于点E,延长BA 至点 G,∠OAG 的平分线与射线EO 相交于点F, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 52 在点A,B 的运动过程中,试探究∠F 与 ∠ABO 之间的数量关系,并说明理由. 第6题 类型四 三角形的角平分线与高之间的夹角 7. 如图,在△ABC 中,∠B=2∠C,AD⊥BC 于点D,AE 平分∠BAC,交BC 于点E. (1) 若∠C=40°,求∠DAE 的度数; (2) 若EF⊥AE,交AC 于点F,请补全图 形,并在第(1)问的条件下,求∠FEC 的 度数. 第7题 8. 如图,在△ABC 中,∠C=40°,AE,BF 分别 为△ABC 的 角 平 分 线,AE,BF 相 交 于 点O. (1) 求∠EOF 的度数; (2) AD 是△ABC 的高,当∠AFB=80°时, 求∠DAE 的度数. 第8题 9. (1) 如图,在△ABC 中,∠A=40°,∠B= 72°,CE 平分∠ACB,CD⊥AB 于点D, DF⊥CE 于点F,求∠CDF 的度数; (2) 在(1)中,若∠A=α,∠B=β(α≠β),其 他条件不变,求∠CDF 的度数.(用含α,β的 代数式表示) 第9题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级