第十一章 因式分解- 【通城学典】2024七年级数学暑期升级训练（冀教版）

21 第十一章　因式分解 (满分:100分 时间:60分钟) 一、 选择题(每题3分,共30分) 1. 下列各式由左到右的变形中,属于因式分解 且正确的是 ( ) A. (x+2)(x-2)=x2-4 B. x2-4=(x+2)(x-2) C. x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x D. x2+4x-2=x(x+4)-2 2. 有下列各式:① x2-6xy+9y2=(x-3y)2; ② 16+a4=(4+a2)(4-a2);③ 25ab2+ 10ab+5b=5b(5ab-2a);④ x2-(2y)2= (x-2y)(x+2y).其中,分解因式正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 小明在抄分解因式的题目时,不小心漏抄了 x的指数,他只知道该指数为不大于10的正 整数,并且能利用平方差公式分解因式,他 抄在作业本上的式子为x□-4y2(“”表示 漏抄的指数),则这个指数可能的结果共有 ( ) A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 4. 计算1252-50×125+252的结果是 ( ) A. 100 B. 150 C. 10000 D. 22500 5. 琪琪是一名密码翻译爱好者,在她的密码手 册中,有这样一条信息:a-b,x-y,x+y, a+b,x2-y2,a2-b2 分别对应下列六个 字:坊、爱、我、廊、丽、美.现将(x2-y2)a2- (x2-y2)b2分解因式,结果呈现的密码信息 可能是 ( ) A. 我爱美 B. 廊坊美丽 C. 我爱廊坊 D. 美我廊坊 6. 已知x,y 为任意有理数,记 M=x2+y2, N=2xy,则M 与N 的大小关系为 ( ) A. M>N B. M≥N C. M≤N D. 不能确定 7. 已知△ABC 的三条边的长分别是a,b,c,且 满足a2+bc=b2+ac,则△ABC 一定是 ( ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. (河北中考)若k为任意整数,则(2k+3)2- 4k2的值总能 ( ) A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除 9. 小颖利用两种不同的方法计算如图所示的 图形的面积,并据此写出了一个因式分解的 等式,这个等式为 ( ) 第9题 A. a2+2ab+b2=(a+b)(a+b) B. a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b) C. a2-b2=(a+b)(a-b) D. 2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b) 10. 若 (102-1)(122-1) k =9×11×13 ,则k的 值为 ( ) A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 二、 填空题(每题3分,共12分) 11. 多项式3x2y2-12x2y4-6x3y3 的公因式 为 . 12. 已知x-y=2,xy= 1 2 ,则x3y+3x2y2+ xy3的值为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 22 13. 甲、乙两名同学将一个二次三项式因式分 解,甲同学因看错了一次项系数而分解成 2(x-1)(x-9);乙同学因看错了常数项而 分解成2(x-2)(x-4).原二次三项式为 ,因式分解的正确结果 为 . 14. 利用完全平方公式,可以将多项式a2x+ bx+c(a,b,c 均为常数,a≠0)变形为 a(x+m)2+n 的形式,如x2-2x-8= (x2-2x+1)-9=(x-1)2-9.这样的变 形方法叫做多项式ax2+bx+c的配方法. 运用配方法及平方差公式能对一些多项式 进行因式分解,如x2-2x-8=(x-1)2-9= (x-1+3)(x-1-3)=(x+2)(x-4). (1) 根据以上内容,用多项式的配方法将 x2+6x+5化成(x+m)2+n 的形式为 ; (2) 当多项式x2+6x+5的值为-4时,x 的值为 ,把多项式x2+6x+5进 行因式分解,结果为 . 三、 解答题(共58分) 15. (8分)分解因式: (1) 3pq3+15p3q; (2) 9x2-1; (3) 3a2-18a+27;(4) (a2+4)2-16a2. 16. (6分)下面是嘉嘉把多项式-16my2+ 4mx2分解因式的具体步骤: 第一步,利用加法交换律对其进行变形: 4mx2-16my2; 第二步,提取公因式:m(4x2-16y2); 第三步,逆用积的乘方公式:m[(2x)2-(4y)2]; 第四步,运用平方差公式分解因式:m(2x+ 4y)(2x-4y). (1) 事实上,嘉嘉的解法是错误的,造成错 误的原因是 ; (2) 请写出这个问题的正确解法. 17. (8分)阅读材料: 将(x+y)2+2(x+y)+1分解因式. 解:将x+y 看成整体,令x+y=A,则原 式=A2+2A+1=(A+1)2,再将A 还原, 原式=(x+y+1)2. 上述材料解题过程中用到了整体思想,整 体思想是数学中的常用思想方法之一,请 根据上述方法完成以下各题. (1) 分解因式:(m+n)2-6(m+n)+9. (2) 设M=(a-b)(a-b-2)+1. ① 将多项式M 进行因式分解; ② 若M=0,求a-b的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 23 18. (8分)阅读材料: 已知二次三项式x2-4x+m 有一个因式 为x+3,求另一个因式及m 的值. 解:设另一个因式为x+n,则x2-4x+m= (x+3)(x+n). ∵ (x+3)(x+n)=x(x+n)+3(x+n)= x2+nx+3x+3n=x2+(n+3)x+3n, ∴ x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n. ∴ n+3=-4,m=3n,解得n=-7,m=-21. ∴ 另一个因式为x-7,m 的值为-21. 根据材料回答下面的问题. (1) 若x2+4x-p=(x-3)(x+q),求pq 的值; (2) 若二次三项式2x2+ax-6的一个因 式为2x-3,求另一个因式. 19. (9分)如果一个正整数能表示为两个连续 偶数的平方差,那么我们称这个正整数为 “和谐数”.例如:12=42-22,20=62-42, 因此12,20都是“和谐数”. (1) 已知28是“和谐数”,且28=m2-n2, 求m+n的值. (2) 亮亮观察后发现,以上“和谐数”均为4 的倍数,于是猜想:所有“和谐数”都是4的 倍数.设两个连续偶数为2k+2和2k(k为 正整数),请你通过计算判断亮亮的猜想是 否正确. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 24 20. (9分)下面是多项式x2-6x+5因式分解 的过程:x2-6x+5=x2-6x+9+5-9= (x-3)2-4=(x-3+2)(x-3-2)= (x-1)(x-5),请利用上述方法解决下列 问题. (1) 分解因式:x2+8x-9; (2) 若x>5,试比较x2-4x-5与0的 大小; (3) 若a2+b2-2a-8b+17=0,求a+b 的值. 答案讲解 21. (10分)数学活动课上,张老师用 如图①所示的1张边长为a 的正 方形纸片A,1张边长为b的正方 形纸片B和2张宽、长分别为a,b的长方 形纸片C,拼成了如图②所示的大正方形. 观察图形并回答下列问题. (1) 由图①和图②可以得到的因式分解等 式为 .(用含a,b的代数式 表示) (2) 小高用这种纸片拼出一个面积为(a+ 2b)(2a+3b)的大长方形,求需要A,B,C 三种纸片各多少张. (3) 如图③,C 是线段AB 上的动点,分别 以AC,BC 为边在AB 的两侧作正方形 ACDE 和正方形BCFG.若AB=6,且两个 正方形的面积之和满足S1+S2=18,利用 (1)中得到的结论求图中涂色部分的面积. 第21题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 7 y元.根据题意,得 3x+4y=1200, 5x+6y=1900, 解得 x=200, y=150. ∴ A, B两种型号的电扇的销售单价分别为200元、150元. (2) 设采购A种型号的电扇a台,则采购B种型号的电 扇(50-a)台.根据题意,得160a+120(50-a)≤7500, 解得a≤3712.∵ a是整数,∴ a最大是37,即A种型号 的电扇最多能采购37台.(3) 能.设采购A种型号的电扇 m 台,则采购B种型号的电扇(50-m)台.根据题意,得 (200-160)m+(150-120)(50-m)>1850,解得m> 35.∵ m≤3712 ,且m 为整数,∴ 在(2)的条件下,该超 市能实现利润超过1850元的目标.相应的采购方案有 两种:当m=36时,即采购A种型号的电扇36台,B种型 号的电扇14台;当m=37时,即采购A种型号的电扇 37台,B种型号的电扇13台. 方案设计问题的解决方法 对于方案设计问题,一般先根据题意列出方程,求 出方案设计中所需的量,然后通过计算,比较计算结果 选择方案;也可以借助不等式(组),在取值范围内,找 出最佳方案. 20. (1) 根据题意,得 a+2b+10=150, 2a+b-10=150, 解得 a=60 , b=40. (2) 0; 3.(3) 根据题意,得x+2y=240,则y= 240-x 2 ;2x+ 3z=180,则z=180-2x3 . 由y≥0,即 240-x 2 ≥0 ,解得 x≤240.由z≥0,即180-2x3 ≥0 ,解得x≤90.∴ 60≤ x≤90. 第十一章　因式分解 一、 1. B 2. B 3. D 4. C 5. C 6. B 7. A 8. B 9. B 解析:根据题意,得大长方形是由2个边长为b的 正方形、3个长为b、宽为a的长方形和1个边长为a的正 方形组成的,所以大长方形的面积为a2+3ab+2b2.将大 长方形看成一个整体,其长为(a+2b),宽为(a+b),面积 为(a+2b)(a+b).据此写出等式. 10. B 解析:根据题意,得(10+1)(10-1)(12+1)(12- 1)=9×11×13k,即11×9×13×11=9×11×13k,解得 k=11. 二、 11. 3x2y2 12. 13 4 13. 2x2-12x+18 2(x-3)2 14. (1) (x+3)2-4 (2) -3 (x+5)(x+1) 三、 15. (1) 原式=3pq(q2+5p2).(2) 原式=(3x- 1)(3x+1).(3) 原式=3(a2-6a+9)=3(a-3)2.(4) 原 式=(a2+4)2-(4a)2=(a2+4+4a)(a2+4-4a)= (a+2)2(a-2)2. 16. (1) 公因式没有提取完.(2) 原式=4m(x2-4y2)= 4m(x+2y)(x-2y). 17. (1) 令m+n=B,则原式=B2-6B+9=(B-3)2, 再将B 还原,原式=(m+n-3)2.(2) ① M=(a-b)· (a-b-2)+1,令a-b=C,则M=C(C-2)+1=C2- 2C+1=(C-1)2.再将C 还原,原式=(a-b-1)2. ② ∵ M=0,∴ (a-b-1)2=0.∴ a-b-1=0.∴ a-b=1. 18. (1) ∵ (x-3)(x+q)=x(x+q)-3(x+q)=x2+ qx-3x-3q=x2+(q-3)x-3q,∴ x2+4x-p=x2+ (q-3)x-3q.∴ q-3=4,-p=-3q,解得q=7,p= 21.∴ pq=21×7=147.(2) 设另一个因式为x+b,则 2x2+ax-6=(2x-3)(x+b).∵ (2x-3)(x+b)= 2x(x+b)-3(x+b)=2x2+2bx-3x-3b=2x2+(2b- 3)x-3b,∴ 2x2+ax-6=2x2+(2b-3)x-3b.∴ a= 2b-3,-6=-3b,解得b=2,a=1.∴ 另一个因式为 x+2. 19. (1) ∵ 28是“和谐数”,且28=m2-n2,∴ 28=m2- n2=(m+n)(m-n),且 m-n=2.∴ m+n=14. (2) (2k+2)2-(2k)2=(2k+2+2k)(2k+2-2k)= 2(4k+2)=4(2k+1).∵ k为正整数,∴ 2k+1一定为正 整数.∴ 4(2k+1)一定是4的倍数,即亮亮的猜想正确. 20. (1) x2+8x-9=x2+8x+16-9-16=(x+4)2- 25=(x+4+5)(x+4-5)=(x+9)(x-1).(2) x2- 4x-5=x2-4x+4-5-4=(x-2)2-9=(x-2+3)· (x-2-3)=(x+1)(x-5).∵ x>5,∴ (x+1)(x- 5)>0,即x2-4x-5>0.(3) ∵ a2+b2-2a-8b+17= 0,∴ a2-2a+1+b2-8b+16=0.∴ (a-1)2+(b- 4)2=0.∴ a-1=0,b-4=0,解得a=1,b=4.∴ a+b=5. 21. (1) a2+2ab+b2=(a+b)2.(2) (a+2b)(2a+3b)= 2a2+7ab+6b2.需要纸片A2张,纸片B6张,纸片C 7张.(3) 设AC=m,BC=CF=n,则m+n=6.∵ S1+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 S2=18,∴ m2+n2=18.∵ (m+n)2=m2+2mn+n2, ∴ 62=18+2mn,解得mn=9.∴ S涂色部分=12mn= 9 2. “复习进阶”综合检测 一、 1. D 2. B 3. D 4. B 5. D 6. A 7. A 8. A 9. D 解析:如图,延长PD 交BC 于点M,延长CD 交 AB 于 点 N.∵ ∠ADC=∠A + ∠ANC,∠ANC= ∠ABC+∠C,∴ ∠ADC=∠A+∠ABC+∠C.∵ BP 平分∠ABC,DP 平分∠ADC,∴ ∠1=∠2,∠3=∠4. ∴ ∠3+∠4=50°+∠1+∠2+∠C.即2∠3=2∠1+ 50°+∠C①.∵ ∠PDC=∠PMC+∠C,∠PMC= ∠PBC+∠P,∴ ∠PDC=∠PBC+∠P+∠C.即∠3= ∠1+20°+∠C②.②代入①,得∠C=10°. 第9题 10. C 11. C 解析:∵ EG 是△EFC 的中线,∴ S△EFC = 2S△EFG=2×2=4.∵ FC 是△BCE 的中线,∴ S△BCE= 2S△EFC=8.∵ BE 是△ABD 的中线,CE 是△ACD 的中 线,∴ S△ABD +S△ACD =2S△BED +2S△CDE =2S△BCE = 16.∴ S△ABC=S△ABD+S△ACD=16. 12. B 解析:解x+32 ≥x-1 ,得x≤5.解3x+6>a+4, 得x>a-23 .∴ 原不等式组的解是a-2 3 <x≤5.∵ 关于 x的不等式组有且只有5个整数解,∴ 这5个整数解是 1,2,3,4,5.∴ 0≤a-23 <1 ,解得2≤a<5.解3y+6a= 22-y,得y= 11-3a 2 .∵ 方程3y+6a=22-y的解为非 负整数,∴ 11-3a 2 ≥0 且11-3a 2 为整数,解得a≤113 且 11-3a 2 为整数.∴ 2≤a≤113 且11-3a 2 为整数.∴ 符合条 件的整数a的值只有3.∴ 符合条件的所有整数a的和 为3. 二、 13. a<1 14. (1) 48 66 (2) 90°-α2 15. (1) 232-1 (2) 54096-1 4 16. (1) 25 (2) 225 三、 17. (1) x=1, y=-2. (2) x≥1. 18. (1) CF∥BD.理 由:∵ BC⊥AE,DE ⊥AE, ∴ ∠BCE = ∠DEG =90°.∴ BC∥DE.∴ ∠3+ ∠CBD =180°.又 ∵ ∠2+ ∠3=180°,∴ ∠2= ∠CBD.∴ CF∥BD.(2) ∵ ∠1=70°,CF∥BD, ∴ ∠ABD = ∠1=70°.又 ∵ BC 平 分 ∠ABD, ∴ ∠DBC=12∠ABD=35°. 由(1),知∠2=∠CBD= 35°.又∵ BC⊥AE,∴ ∠ACB=90°.∴ ∠ACF=90°- ∠2=90°-35°=55°. 19. (1) ∵ P=4 14-m ,P的值是正数,∴ 4 14-m > 0,解得 m< 14. (2) ∵ P=4 14-m ,且 P≤7, ∴ 4 14-m ≤7,解得m≥-32.(3) 由题意,得-32≤ m<14 ,∴ m 的整数值为-1,0. 20. (1) 6或-6.(2) x2-8x+15=x2-8x+42-1= (x-4)2-1=(x-4)2-12=(x-4+1)(x-4-1)= (x-3)(x-5).(3) x2-8x+15=(x-4)2-1.∵ (x- 4)2≥0,∴ 当x=4时,代数式x2-8x+15有最小值,最 小值是-1. 21. (1) 解方程组 x+y=103①, y=3x②, 得 x=1034 , y= 309 4 . 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 又∵ x,y 为整数,∴ x=1034 ,y= 309 4 不合题意.∴ 淇淇的说法不 正确.(2) 根据题意,得 x+y=103, y-x≥26, 解得x≤3812.∴ x 可取的最大值为38,即A品牌乒乓球最多有38个. 22. (1) ∵ ∠ACB=90°,CD 是高,∴ ∠B+∠CAB= 90°,∠ACD+∠CAB=90°.∴ ∠B=∠ACD.∵ AE 是 角平分线,∴ ∠CAF=∠DAF.∵ ∠CFE=∠CAF+ ∠ACD,∠CEF=∠DAF+∠B,∴ ∠CFE=∠CEF. (2) 相等.理由:∵ AF 为∠BAG 的平分线,∴ ∠GAF= ∠DAF.∵ CD 为 边 AB 上 的 高,∠ACB =90°, ∴ ∠ADF = ∠ACE =90°.又∵ ∠CAE = ∠GAF, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈