第八章 整式的乘法- 【通城学典】2024七年级数学暑期升级训练（冀教版）

9 第八章　整式的乘法 (满分:100分 时间:60分钟) 一、 选择题(每题3分,共30分) 1. am·am·…·am􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁􀪁􀪁 􀪁􀪁􀪁􀪁 n个am 的结果是 ( ) A. nam B. am+n C. amn D. mna 2. 2023年前三季度,全国光伏发电量4369亿千 瓦时,数据“4369亿”用科学记数法表示为 ( ) A. 4.369×109 B. 4369×107 C. 4.369×1011 D. 0.4369×1011 3. 计算(m3)2·m4的过程如下:① (m3)2·m4= m6·m4;② m6·m4=m10.步骤①,②分别 表示的运算为 ( ) A. 幂的乘方,同底数幂的乘法 B. 积的乘方,同底数幂的乘法 C. 幂的乘方,乘法结合律 D. 乘法交换律,合并同类项 4. 下列不能用平方差公式运算的为 ( ) A. (-x+2)(-x-2) B. (-2m-n)(-2m-n) C. (-2a+b)(2a+b) D. (y-x)(-x-y) 5. 如图,甲、乙、丙三人合作完成一道计算题, 规则是每人只能看到前一人给的式子,并进 行一步计算,再将结果传递给下一人,最后 完成计算.三人各自负责的一步计算出错 的是 ( ) 第5题 A. 甲 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 甲、乙、丙 6. 若a=0.42,b=-4-2,c= -14 -2 ,d= -14 0 , 则a,b,c,d的大小关系是 ( ) A. b<a<c<d B. b<a<d<c C. c<d<a<b D. c<a<d<b 7. 观察如图所示的两个多项式相乘的运算过 程.根据你发现的规律,如果(x+a)(x+ b)=x2-7x+12,那么a,b的值可能分别是 ( ) 第7题 A. -3,-4 B. -3,4 C. 3,-4 D. 3,4 8. 今天数学课上,老师讲了单项式乘多项式. 放学回到家,明明拿出课堂笔记复习,发现 一道题:-3xy·(4y-2x-1)=-12xy2+ 6x2y□.其中□表示被墨水弄污的部分,这 个部分为 ( ) A. +3xy B. -3xy C. -1 D. +1 9. 已知a=222,b=311,c=129.甲说:“a>b.” 乙说:“ab>c.”丙说:“b<c.”三人中,说法 正确的有 ( ) A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 甲、乙、丙 10. 嘉嘉制作了如图所示的A类,B类,C类卡 片各50张,其中A,B两类卡片都是正方 形,C类卡片是长方形.现嘉嘉要拼一个长 为(5a+7b)、宽为(7a+b)的大长方形,那 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 10 么所制作的C类卡片 ( ) 第10题 A. 够用,剩余4张 B. 不够用,还缺4张 C. 够用,剩余5张 D. 不够用,还缺5张 二、 填空题(每题3分,共12分) 11. 计算:(π-3.14)0+ -13 -2 = . 12. 已知A=(x-y)2+(x+y)(x-y). (1) 化简A 的结果为 ; (2) 当y=3x+1=1时,A 的值为 . 答案讲解 13. 如图①所示为一张长为2a、宽为 2b的长方形纸片(a>b),用剪刀 沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分 成四张形状和大小都一样的小长方形纸 片,然后把它们拼成如图②所示的正方形. (1) 如图②,中间空白部分的小正方形的边 长用含a,b的代数式表示为 ; (2) 由图②,直接写出(a+b)2,(a-b)2,ab 之间的等量关系: . 第13题 14. 我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九 章算法》中,提出“杨辉三角”(如图),此图 揭示了(a+b)n(n 为非负整数)的展开式 的项数及各项系数的有关规律. 例如:(a+b)0=1,有一项,系数为1;(a+ b)1=a+b,有两项,系数分别为1,1,系数 和为2;(a+b)2=a2+2ab+b2 ,有三项,系 数分别为1,2,1,系数和为4;(a+b)3=a3+ 3a2b+3ab2+b3,有四项,系数分别为1,3, 3,1,系数和为8. 根据以上规律:(a+b)4 的展开式共有 项,系数分别为 . 第14题 三、 解答题(共58分) 15. (7分)(苏州中考)如图,杨老师在黑板上布 置了一道题,小红和小白展开了讨论.你认 为谁说得对? 为什么? 请回答上述问题并 求出代数式的值. 已知y=-1,求代数式(x+2y)(x-2y)-(x+ 3y)2+6xy的值. 第15题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 11 16. (7分)观察下面的式子: 1012=(100+1)2=1002+2×100×1+12= 10201; 17×23=(20-3)(20+3)=202-32=391. 用乘法公式进行简便计算: (1) 992; (2) 20222-2021×2023. 17. (8分)(凉山州中考)先化简,再求值:(2x+ y)2-(2x+y)(2x-y)-2y(x+y),其中 x= 12 2023 ,y=22022. 18. (8分)已知4m=a,8n=b. (1) 求22m+3n 的值; (2) 求24m-6n 的值; (3) 若2×8x×16=226,求x的值. 19. (9分)已知(2x2+mx-n)(x-1)展开后 不含x的二次项和一次项.(m,n为常数) (1) 求m,n的值; (2) 在(1)的条件下,求(m-n)(m2+mn+ n2)的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 12 答案讲解 20. ★(9分)[发现] 任意三个连续的整数中,最大数与 最小数的平方差是4的倍数. [验证] (1) (-1)2-(-3)2的结果是4的几倍? (2) 设三个连续的整数的中间的一个数为 n,计算最大数与最小数的平方差,并说明 它是4的倍数. [延伸] (3) 说明任意三个连续的奇数中,最大数与 最小数的平方差是8的倍数. 答案讲解 21. ★(10分)[知识回顾] 学习求代数式的值的有关知识时, 一般会遇到这样一类题:代数式 ax-y+6+3x-5y-1的值与x 的取值 无关,求a的值.通常的解题方法是把x,y 看作字母,a 看作系数,合并同类项,即原 式=(a+3)x-6y+5,因为代数式的值与 x的取值无关,所以含x 项的系数为0,即 a+3=0,则a=-3. [理解应用] (1) 若关于x的多项式(2x-3)m+2m2- 3x的值与x的取值无关,求m 的值. (2) 已知A=(2x+1)(x-1)-x(1- 3y),B=-x2+xy-1,且3A+6B 的值与 x的取值无关,求y的值. [能力提升] (3) 将7张相同的小长方形纸片(如图①) 按照图②所示的方式不重叠地放在大长方 形ABCD 内,大长方形中有两个未被覆盖 的部分(涂色部分).设右上角涂色部分的 面积为S1,左下角涂色部分的面积为S2, 当AB 的长变化时,S1-S2 的值始终保持 不变.求a,b之间的数量关系. 第21题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 3 ∠3=∠4=60°,∴ ∠5=180°-∠1-∠2=120°,∠6= 180°-∠3-∠4=60°.∴ ∠5+∠6=180°.∴ m∥n. (3) ∵ AB∥CD,∴ ∠2=∠3.∵ ∠1=∠2,∠3=∠4, ∴ ∠1=∠2=∠3=∠4.∴ 180°-∠1-∠2=180°- ∠3-∠4,即∠5=∠6.∴ m∥n. 20. (1) ∵ AB∥CD,∴ ∠1=∠EGD.∵ ∠2+∠EGF+ ∠EGD=180°,∠2=2∠1,∴ 2∠1+60°+∠1=180°. ∴ ∠1=40°.(2) 如图,过点F 作FP∥AB.∵ CD∥AB, ∴ FP∥AB∥CD.∴ ∠AEF = ∠EFP,∠FGC = ∠GFP.∴ ∠AEF + ∠FGC = ∠EFP + ∠GFP = ∠EFG=90°.∴ ∠AEF+∠FGC=90°.(3) α+β=300°. 第20题 第八章　整式的乘法 一、 1. C 2. C 3. A 4. B 5. C 6. B 7. A 8. A 9. D 解析:∵ a=222=(22)11=411>311,∴ a>b.∴ 甲 的说法正确.∵ ab=222×311=411×311=(4×3)11= 1211>129,∴ ab>c.∴ 乙的说法正确.∵ b-c=311- (3×4)9=311-39×49=39×(32-49),且32-49<0, ∴ b-c<0,即b<c.∴ 丙的说法正确.综上所述,说法正 确的有甲、乙、丙. 10. B 解析:拼成的大长方形的面积为(5a+7b)(7a+ b)=35a2+54ab+7b2.∵ 1张C类卡片的面积是ab, ∴ 需要C类卡片的张数是54.∴ 不够用,还缺4张. 二、 11. 10 12. (1) 2x2-2xy (2) 4 13. (1) a-b (2) (a+b)2=(a-b)2+4ab 14. 5 1,4,6,4,1 三、 15. 小红说得对.∵ (x+2y)(x-2y)-(x+3y)2+ 6xy=x2-4y2-(x2+6xy+9y2)+6xy=x2-4y2- x2-6xy-9y2+6xy=-13y2,∴ 代数式的值与x的取 值无关.∴ 小红说得对.当y=-1时,原式=-13y2= -13×(-1)2=-13×1=-13. 16. (1) 原式=(100-1)2=1002-2×100×1+12= 10000-200+1=9801.(2) 原式=20222-(2022-1)× (2022+1)=20222-20222+12=1. 17. 原式=4x2+4xy+y2-4x2+y2-2xy-2y2= 2xy.当x= 12 2023 ,y=22022 时,原式=2× 12 2023 × 22022=2×12× 1 2 2022 ×22022=2×12× 1 2×2 2022 = 2×12×1 2022=2×12×1=1. 18. (1) ∵ 4m=a,8n=b,∴ 22m=a,23n=b.∴ 22m+3n= 22m·23n=ab.(2) ∵ 22m=a,23n=b,∴ 24m-6n=24m÷ 26n=(22m)2÷(23n)2=a 2 b2. (3) ∵ 2×8x×16=226,∴ 2× (23)x×24=226.∴ 2×23x×24=226.∴ 21+3x+4=226. ∴ 1+3x+4=26,解得x=7. 19. (1) 原式=2x3-2x2+mx2-mx-nx+n=2x3+ (m-2)x2-(m+n)x+n.根据题意,得m-2=0,m+ n=0,∴ m=2,n=-2.(2) (m-n)(m2+mn+n2)= m3-m2n+m2n-mn2+mn2-n3=m3-n3.当m=2, n=-2时,原式=23-(-2)3=8-(-8)=16. 20. (1) (-1)2-(-3)2=1-9=-8=4×(-2),即(-1)2- (-3)2的结果是4的(-2)倍.(2) 三个连续的整数的中 间的一个数为n,则最大数为n+1,最小数为n-1.(n+ 1)2-(n-1)2=[(n+1)+(n-1)][(n+1)-(n-1)]= 4n.∵ n是整数,∴ 任意三个连续的整数中,最大数与最 小数的平方差是4的倍数.(3) 设三个连续的奇数的中间 的一个奇数为m,则最大数为m+2,最小数为m-2. (m+2)2-(m-2)2=[(m+2)+(m-2)][(m+2)- (m-2)]=8m.∵ m 是整数,∴ 任意三个连续的奇数中, 最大数与最小数的平方差是8的倍数. 证明整数倍数问题的方法 解决一个整式是某个数的整数倍问题时,一般将 这个整式通过化简或计算变成这个数与一个整式的乘 积的形式. 21. (1) 原式=2mx-3m+2m2-3x=(2m-3)x+ 2m2-3m.根据题意,得2m-3=0,解得 m= 32. (2) ∵ A=(2x+1)(x-1)-x(1-3y),B=-x2+ xy-1,∴ 3A+6B=3[(2x+1)(x-1)-x(1-3y)]+ 6(-x2+xy-1)=3(2x2-2x+x-1-x+3xy)- 6x2+6xy-6=6x2-6x+3x-3-3x+9xy-6x2+ 6xy-6=15xy-6x-9=3x(5y-2)-9.根据题意,得 5y-2=0,解得y= 2 5. (3) 设AB=x.根据题意,得S1= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 a(x-3b),S2=2b(x-2a).∴ S1-S2=a(x-3b)- 2b(x-2a)=(a-2b)x+ab.∵ 当AB 的长变化时,S1- S2的值始终保持不变,即S1-S2 的值与x 的取值无 关.∴ a-2b=0.∴ a=2b. 整式的值与某个字母取值无关问题的解决方法 若一个整式的值与某个字母的取值无关,则该整 式化简后的式子中不含这个字母,所以化简后的整式 中该字母的系数为0. 第九章　三 角 形 一、 1. C 2. A 3. D 4. A 5. C 6. A 7. C 解析:如 图,由 折 叠,可 得 ∠A = ∠A'=α, ∵ ∠BDA'=∠A+∠AFD,∠AFD=∠A'+∠CEA', ∠A=α,∠CEA'=β,∠BDA'=γ,∴ ∠BDA'=γ=α+ α+β=2α+β. 第7题 8. A 解析:如图,延长EF,交CD 于点G.在△ABC中, ∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,∴ ∠ACB=180°- ∠BAC-∠ABC=180°-50°-60°=70°.∴ ∠DCE= ∠ACB=70°.∵ ∠DGE=∠DCE+∠E,∴ ∠EFD= ∠DGE+∠D=∠DCE+∠E+∠D=70°+∠E+20°= 125°.∴ ∠E=35°.又∵ 图中∠E=30°,∴ ∠E 应增加 35°-30°=5°. 第8题 9. C 解析:∵ AD 平分∠EAC,∴ ∠EAC=2∠EAD. ∵ ∠EAC = ∠ABC + ∠ACB,∠ABC = ∠ACB, ∴ ∠EAC=2∠ABC.∴ ∠EAD=∠ABC.∴ AD∥ BC.故①正确;∵ BD,CD 分别平分∠ABC,∠ACF, ∴ ∠DBC=12∠ABC ,∠DCF=12∠ACF.∵ ∠DCF 是△BCD 的 外 角,∴ ∠BDC= ∠DCF- ∠DBC= 1 2∠ACF- 1 2 ∠ABC = 1 2 (∠ACF - ∠ABC)= 1 2∠BAC ,即2∠BDC=∠BAC.故②正确;∵ AD 平分 ∠EAC,CD 平 分 ∠ACF,∴ ∠DAC = 12 ∠EAC , ∠DCA= 12 ∠ACF.∵ ∠EAC= ∠ACB+ ∠ABC, ∠ACF=∠ABC+∠BAC,∠ABC+∠ACB+∠BAC= 180°,∴ ∠ADC=180°-(∠DAC+∠ACD)=180°- 1 2 (∠EAC+∠ACF)=180°-12 (∠ACB+∠ABC+ ∠ABC+∠BAC)=180°-12 (180°+∠ABC)=90°- 1 2∠ABC=90°-∠ABD. 故③正 确;∵ AD∥BC, ∴ ∠ADB= ∠DBC.∵ BD 平 分 ∠ABC,∠ABC= ∠ACB,∴ ∠ADB=∠DBC=12∠ABC. 又∵ ∠BDC= 1 2∠BAC≠ 1 2 ∠ABC ,∴ ∠ADB ≠ ∠BDC.故④错 误.综上所述,正确的有3个. 10. D 解析:若∠A 为钝角,则90°<∠A<180°-30°,即 90°<∠A<150°;若∠APO 为钝角,则0°<∠A+∠O< 90°.∵ ∠O=30°,∴ 0°<∠A<60°.综上所述,∠A 的取 值范围是0°<∠A<60°或90°<∠A<150°. 二、 11. 0 12. 1 13. (1) 16 (2) 30或40 14. (1) 130 (2) ∠Q=90°-12∠A 45 解析:∵ ∠MBC,∠NCB 的平分线交于点Q,∴ ∠QBC+∠QCB=12 (∠MBC+ ∠NCB)=12 (360°-∠ABC-∠ACB)=12 (180°+ ∠A)=90°+12∠A.∴ ∠Q=180°-∠QBC-∠QCB= 180°- 90°+12∠A =90°-12∠A.如图,延长BC 至 点F.∵ CQ 是∠NCB 的平分线,∴ CE 是∠ACF 的平 分 线.∴ ∠ACF =2∠ECF.∵ BE 平 分 ∠ABC, ∴ ∠ABC =2∠EBC.∵ ∠ECF = ∠EBC + ∠E, ∴ 2∠ECF=2∠EBC+2∠E,即∠ACF=∠ABC+ 2∠E.又∵ ∠ACF=∠ABC+∠A,∴ ∠A=2∠E,即 ∠E = 12 ∠A.∴ ∠EBQ = ∠EBC + ∠CBQ = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈