第七章 相交线与平行线- 【通城学典】2024七年级数学暑期升级训练（冀教版）

5 第七章　相交线与平行线 (满分:100分 时间:60分钟) 一、 选择题(每题3分,共30分) 1. 下列命题中,属于真命题的是 ( ) A. 同旁内角相等,两直线平行 B. 内错角相等 C. 对顶角相等 D. 垂直于同一直线的两条直线平行 2. 下列选项中,过点P 画AB 的垂线CD,三角 尺放置正确的为 ( ) A. B. C. D. 3. 下列图形中,∠1与∠2不是同位角的是 ( ) A. B. C. D. 4. 如图,直线AB,CD 相交于点O,OE⊥CD 于 点O,∠1=40°,则∠AOC的度数为 ( ) A. 50° B. 120° C. 130° D. 140° 第4题 第5题 5. 如图,在四边形ABCD 中,E,F 分别是边 AB,CD 上的点,连接EF,AC.已知∠D= 110°,∠EFD =70°,∠1=∠2.试 说 明: ∠AEF=∠B.①~⑤是排乱的说明步骤, 正确的说明顺序是 ( ) ① ∵ ∠1=∠2, ② ∴ EF∥BC.∴ ∠AEF=∠B. ③ ∵ ∠D+∠EFD=180°, ④ ∴ AD∥BC. ⑤ ∴ AD∥EF. A. ①④③②⑤ B. ③⑤①④② C. ③④①②⑤ D. ①⑤③④② 6. 如图,AB∥CD∥EF,则下列各式中,正确 的是 ( ) A. ∠1=180°-∠3 B. ∠1=∠3-∠2 C. ∠2+∠3=180°-∠1 D. ∠2+∠3=180°+∠1 第6题 第7题 7. 如图,直线EF 分别与直线AB,CD 相交于 点G,H,∠1=∠2=70°,GM 平分∠HGB, 交直线CD 于点M,则∠3的度数为 ( ) A. 50° B. 55° C. 60° D. 65° 8. 将一副三角尺按如图所示的方式放置,其中 ∠D=∠BAC=90°,∠F=30°,∠ACB= 45°,则∠BCF 的度数为 ( ) 第8题 A. 105° B. 120° C. 150° D. 165° 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 6 9. 两个形状、大小完全相同的三角形ABC 和 三角 形 DEF 重 叠 在 一 起,固 定 三 角 形 ABC,将三角形DEF 向右平移(如图).当 点E 和点C重合时,停止平移,设DE 交AC 于点G.有以下两个结论:① 四边形ABEG 与四边形CGDF 的面积相等;② AD∥EC, 且AD=EC.下列关于这两个结论的说法, 正确的是 ( ) 第9题 A. ①和②都正确 B. ①正确,②错误 C. ①和②都错误 D. ①错误,②正确 答案讲解 10. 如图,丫丫用一张正方形纸折出了 过已知直线外一点和已知直线平 行的直线(即b∥a).丫丫这样做的 依据是 ( ) 第10题 A. 过直线外一点有且只有一条直线和已 知直线平行 B. 平行于同一条直线的两条直线互相平行 C. 两直线平行,同旁内角互补 D. 同位角相等,两直线平行 二、 填空题(每题3分,共12分) 11. 如图,直线a,b相交于点O,将量角器的中 心与点O 重合,发现表示60°的刻度线与直 线a重合,表示138°的刻度线与直线b重 合,则∠1= °. 第11题 12. 如图,木条a,b,c钉在一起.若测得∠1= 50°,∠2=75°,要使木条a∥b,则木条a至 少要顺时针旋转 °. 第12题 13. 为增强学生体质,某学校将“抖空竹”引入 “阳光体育一小时”活动.如图①所示为 一名同学抖空竹时的一个瞬间,数学老师 将其抽象成如图②所示的模型并提出问 题:已知AB∥CD,∠EAB=80°,∠ECD= 110°,求∠AEC 的度数.小明在说明过程 中,过点E 作EF∥CD,则可以得到EF∥ AB,其理由是 ,根 据这个思路,可得∠AEC= °. 第13题 答案讲解 14. 如图①,有一条长方形纸带ABCD, ∠DEF=15°. (1) 如图②,将纸带沿EF 折叠, 则∠EPB 的度数为 ; (2) 如图③,将图②中的纸带沿PF 折叠, 则∠CFE 的度数为 . 第14题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 7 三、 解答题(共58分) 15. ★(8分)如图,点E,F 在直线AB 上,点G 在线段CD 上,ED 与FG 交于点H,∠C= ∠EFG,∠CED=∠GHD. (1) 试说明:AB∥CD; (2) 若∠EHF=80°,∠D=30°,求∠AEM 的度数. 第15题 16. (9分)如图,直线AB,CD 相交于点O,射 线 OD 平分∠BOF,OE⊥CD 于 点O, ∠AOC=38°. (1) 求∠EOF 的度数; (2) 试判断射线OE 是否平分∠AOF,并说 明理由. 第16题 17. (9分)一款小刀刀柄的外形是一个直角梯 形挖去一个半圆,刀片上、下边是平行的. 如图,转动刀片时会形成∠1,∠2. (1) 若∠1=55°,求∠2的度数; (2) 当∠2为钝角时,试说明:∠2=90°+∠1. 第17题 18. (10分)如图,在小方格的边长都为1个单 位长度的网格图中,△ABC 经过平移得到 △A'B'C',已经标出了点B 的对应点B'. 利用格点和无刻度直尺画图并解答相关的 问题.(保留画图痕迹) (1) 画出△A'B'C'; (2) 画出△ABC 的高BD; (3) 若连接AA',CC',则AA',CC'的关系 是 ,△ABC 的面积为 . (4) 在AB的右侧找一格点Q,使得△ABQ 的面积和△ABC的面积相等,这样的格点Q 有 个. 第18题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 8 答案讲解 19. (10分)如图①,EF 与平面镜镜面 AB 垂直,一束光射到镜面AB 上, 经反射后射出,则入射光线m、反 射光线n 与EF 所 夹 的 锐 角 相 等,即 ∠θ1=∠θ2. (1) ∠1 ∠2.(填“>”“<”或“=”) (2) 如图②,AB,BC是两面平面镜的镜面, 入射光线m 经过两次反射后得到反射光线 n.已知∠1=30°,∠4=60°,判断入射光线m 与反射光线n的位置关系,并说明理由. (3) 如图③所示为潜望镜的工作原理示意 图,AB,CD 是两面平面镜的镜面,且AB∥ CD.试说明:m∥n. 第19题 答案讲解 20. (12分)在综合与实践课上,老师 让同学们以“两条平行线AB,CD 和一把含60°角的三角尺 EFG (∠EFG=90°,∠EGF=60°)”为主题开展 数学活动. (1) 如图①,娟娟把三角尺EFG 的顶点G 放在CD 上,若∠2=2∠1,求∠1的度数. (2) 如图②,晓晓把三角尺EFG 的两个锐 角的顶点E,G 分别放在AB 和CD 上,请 你探索并说明∠AEF 与∠FGC 之间的数 量关系. (3) 如图③,亮亮把三角尺EFG 的直角顶 点F 放在CD 上,顶点E 放在AB 上.若 ∠AEG=α,∠CFG =β,请 直 接 写 出 ∠AEG 与∠CFG 之间的数量关系.(用含 α,β的代数式表示) 第20题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 2 n块.根据题意,得 m+n=35, 3m=2×4n, 解得 m=25511 , n=9611. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 由此, 可知在这35块铁板中,25块做成长方形铁片,可做25× 3=75(张),9块做成正方形铁片,可做9×4=36(张),剩 下的1块可做成1张长方形铁片和2张正方形铁片, ∴ 共可做成长方形铁片75+1=76(张),正方形铁片 36+2=38(张).∴ 最多可加工成76÷4=19(个)铁盒. 第七章　相交线与平行线 一、 1. C 2. C 3. B 4. C 5. B 6. D 7. B 8. D 解析:∵ ∠D=∠BAC=90°,∴ AC∥DF. ∴ ∠ACE=∠F=30°.∴ ∠BCE=∠ACB-∠ACE= 45°-30°=15°.又∵ ∠BCE+∠BCF=180°,∴ ∠BCF= 180°-∠BCE=180°-15°=165°. 9. B 10. D 解析:如图,第一次折叠后,得到的折痕AB 与直 线a之间的位置关系是互相垂直;将第一次折叠后的纸展 开,再进行第二次折叠,得到的折痕CD 与第一次的折痕 AB 之间的位置关系是互相垂直.∵ AB⊥a,CD⊥AB, ∴ ∠1=∠2=90°.∴ CD∥a(同位角相等,两直线平行). 第10题 二、 11. 78 12. 25 13. 平行于同一条直线的两条直线 平行 30 14. (1) 30° 解析:如图,由折叠,可得∠PEF=∠D'EF= 15°,∴ ∠PED'=2∠PEF=30°.∵ 长方形的对边AD'∥ BC',∴ ∠EPB=∠PED'=30°. (2) 135° 解析:在题图①中,∵ 长方形的对边AD∥BC, ∴ ∠BFE=∠DEF=15°;在题图②中,∵ FC∥PD, ∴ ∠PFC+∠FPD=180°.∵ ∠FPD=∠EPB=30°, ∴ ∠PFC=180°-∠FPD=180°-30°=150°;在题图③ 中,∠CFE=∠PFC-∠BFE=150°-15°=135°. 第14题 三、 15. (1) ∵ ∠CED=∠GHD,∴ CE∥GF.∴ ∠C= ∠FGD.又∵ ∠C=∠EFG,∴ ∠FGD=∠EFG.∴ AB∥ CD.(2) ∵ ∠GHD=∠EHF=80°,∠D=30°,∴ ∠CGF= ∠GHD+∠D=80°+30°=110°.又∵ CE∥GF,∴ ∠C+ ∠CGF=180°.∴ ∠C=180°-∠CGF=180°-110°= 70°.又∵ AB∥CD,∴ ∠AEC=∠C=70°.∴ ∠AEM= 180°-∠AEC=110°. 混淆平行线的判定与性质导致错误 混淆平行线的性质与判定容易导致所需填写的依 据和说明方向错误.运用时要注意:① 判定是不知道两 条直线平行,要根据某些条件来判定两条直线是否平 行;② 性质是已知两条直线平行,根据两条直线平行得 到其他的关系. 16. (1) ∵ OD 平 分 ∠BOF,∴ ∠BOD = ∠DOF. ∵ ∠BOD=∠AOC=38°,∴ ∠DOF=38°.∵ OE⊥CD, ∴ ∠EOD=90°.∴ ∠EOF=90°-∠DOF=52°.(2) 射 线OE 平分∠AOF.理由:∵ ∠AOB=180°,∠EOD= 90°,∴ ∠AOE + ∠BOD =90°.∵ ∠BOD =38°, ∴ ∠AOE=90°- ∠BOD =52°.∵ ∠EOF =52°, ∴ ∠AOE=∠EOF.∴ 射线OE 平分∠AOF. 17. (1) 如图,延长CB 交AD 于点E.根据题意,得AB⊥ CE,∴ ∠ABE=90°.∵ ∠1=55°,∴ ∠DEB=∠1+ ∠ABE=55°+90°=145°.∵ 刀片上、下边是平行的,即 AD∥CF,∴ ∠2=∠DEB=145°.(2) 如图,由(1),可知 ∠DEB=∠1+∠ABE=∠1+90°.∵ ∠2=∠DEB, ∴ ∠2=90°+∠1. 第17题 18. (1) 如图,△A'B'C'即为所求作.(2) 如图,BD 即为 所求作.(3) 平行且相等;7.5.(4) 8. 第18题 19. (1) =.(2) m∥n.理由:由(1),可知∠1=∠2=30°, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 ∠3=∠4=60°,∴ ∠5=180°-∠1-∠2=120°,∠6= 180°-∠3-∠4=60°.∴ ∠5+∠6=180°.∴ m∥n. (3) ∵ AB∥CD,∴ ∠2=∠3.∵ ∠1=∠2,∠3=∠4, ∴ ∠1=∠2=∠3=∠4.∴ 180°-∠1-∠2=180°- ∠3-∠4,即∠5=∠6.∴ m∥n. 20. (1) ∵ AB∥CD,∴ ∠1=∠EGD.∵ ∠2+∠EGF+ ∠EGD=180°,∠2=2∠1,∴ 2∠1+60°+∠1=180°. ∴ ∠1=40°.(2) 如图,过点F 作FP∥AB.∵ CD∥AB, ∴ FP∥AB∥CD.∴ ∠AEF = ∠EFP,∠FGC = ∠GFP.∴ ∠AEF + ∠FGC = ∠EFP + ∠GFP = ∠EFG=90°.∴ ∠AEF+∠FGC=90°.(3) α+β=300°. 第20题 第八章　整式的乘法 一、 1. C 2. C 3. A 4. B 5. C 6. B 7. A 8. A 9. D 解析:∵ a=222=(22)11=411>311,∴ a>b.∴ 甲 的说法正确.∵ ab=222×311=411×311=(4×3)11= 1211>129,∴ ab>c.∴ 乙的说法正确.∵ b-c=311- (3×4)9=311-39×49=39×(32-49),且32-49<0, ∴ b-c<0,即b<c.∴ 丙的说法正确.综上所述,说法正 确的有甲、乙、丙. 10. B 解析:拼成的大长方形的面积为(5a+7b)(7a+ b)=35a2+54ab+7b2.∵ 1张C类卡片的面积是ab, ∴ 需要C类卡片的张数是54.∴ 不够用,还缺4张. 二、 11. 10 12. (1) 2x2-2xy (2) 4 13. (1) a-b (2) (a+b)2=(a-b)2+4ab 14. 5 1,4,6,4,1 三、 15. 小红说得对.∵ (x+2y)(x-2y)-(x+3y)2+ 6xy=x2-4y2-(x2+6xy+9y2)+6xy=x2-4y2- x2-6xy-9y2+6xy=-13y2,∴ 代数式的值与x的取 值无关.∴ 小红说得对.当y=-1时,原式=-13y2= -13×(-1)2=-13×1=-13. 16. (1) 原式=(100-1)2=1002-2×100×1+12= 10000-200+1=9801.(2) 原式=20222-(2022-1)× (2022+1)=20222-20222+12=1. 17. 原式=4x2+4xy+y2-4x2+y2-2xy-2y2= 2xy.当x= 12 2023 ,y=22022 时,原式=2× 12 2023 × 22022=2×12× 1 2 2022 ×22022=2×12× 1 2×2 2022 = 2×12×1 2022=2×12×1=1. 18. (1) ∵ 4m=a,8n=b,∴ 22m=a,23n=b.∴ 22m+3n= 22m·23n=ab.(2) ∵ 22m=a,23n=b,∴ 24m-6n=24m÷ 26n=(22m)2÷(23n)2=a 2 b2. (3) ∵ 2×8x×16=226,∴ 2× (23)x×24=226.∴ 2×23x×24=226.∴ 21+3x+4=226. ∴ 1+3x+4=26,解得x=7. 19. (1) 原式=2x3-2x2+mx2-mx-nx+n=2x3+ (m-2)x2-(m+n)x+n.根据题意,得m-2=0,m+ n=0,∴ m=2,n=-2.(2) (m-n)(m2+mn+n2)= m3-m2n+m2n-mn2+mn2-n3=m3-n3.当m=2, n=-2时,原式=23-(-2)3=8-(-8)=16. 20. (1) (-1)2-(-3)2=1-9=-8=4×(-2),即(-1)2- (-3)2的结果是4的(-2)倍.(2) 三个连续的整数的中 间的一个数为n,则最大数为n+1,最小数为n-1.(n+ 1)2-(n-1)2=[(n+1)+(n-1)][(n+1)-(n-1)]= 4n.∵ n是整数,∴ 任意三个连续的整数中,最大数与最 小数的平方差是4的倍数.(3) 设三个连续的奇数的中间 的一个奇数为m,则最大数为m+2,最小数为m-2. (m+2)2-(m-2)2=[(m+2)+(m-2)][(m+2)- (m-2)]=8m.∵ m 是整数,∴ 任意三个连续的奇数中, 最大数与最小数的平方差是8的倍数. 证明整数倍数问题的方法 解决一个整式是某个数的整数倍问题时,一般将 这个整式通过化简或计算变成这个数与一个整式的乘 积的形式. 21. (1) 原式=2mx-3m+2m2-3x=(2m-3)x+ 2m2-3m.根据题意,得2m-3=0,解得 m= 32. (2) ∵ A=(2x+1)(x-1)-x(1-3y),B=-x2+ xy-1,∴ 3A+6B=3[(2x+1)(x-1)-x(1-3y)]+ 6(-x2+xy-1)=3(2x2-2x+x-1-x+3xy)- 6x2+6xy-6=6x2-6x+3x-3-3x+9xy-6x2+ 6xy-6=15xy-6x-9=3x(5y-2)-9.根据题意,得 5y-2=0,解得y= 2 5. (3) 设AB=x.根据题意,得S1= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈