第01讲 3.1.1椭圆及其标准方程（知识清单+10类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第01讲 3.1.1椭圆及其标准方程 课程标准 学习目标 ①了解圆锥曲线的实际背景。 ②了解圆锥 曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 ③掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程。 ④会根据相关的条件求椭圆的标准方程。 ⑤会求与椭圆有关的量。 1.通过本节课的学习，要求掌握椭圆的定义（相关的量的掌握）及椭圆的标准方程（满足的条件），会求与椭圆有关的几何量 知识点01：椭圆的定义 1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明： 若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 2、定义的集合语言表述 集合. 【即学即练1】（2024高二·全国·专题练习）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点P的轨迹为（    ） A．线段 B．直线 C．椭圆 D．圆 【答案】C 【分析】 根据两点间距离公式结合椭圆的定义分析判断. 【详解】可设，，则， 可得， 由椭圆的定义可知：点P的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，. 故选：C 知识点02：椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 【即学即练2】（多选）（23-24高二下·江西·期中）已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为10，短半轴长为4，则椭圆的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】求出，得到椭圆方程. 【详解】由题意，，故， 椭圆的标准方程可能为或． 故选：AC． 特别说明： 1、两种椭圆，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 2、给出椭圆方程(，,),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大;椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑. 题型01椭圆的定义及辨析 【典例1】（2024高二上·全国·专题练习）已知为两定点，，动点满足，则动点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 【答案】D 【分析】利用椭圆轨迹的相关定义即可得解. 【详解】因为 所以为线段上的点. 故选：D. 【典例2】（多选）（23-24高二上·广西·阶段练习）设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是（    ） A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线 【答案】BC 【分析】根据椭圆的定义求解. 【详解】由题意知，定点，，可得， 因为，可得， 当且仅当，即时取得等号， 当时，可得的，此时点的轨迹是线段； 当时，可得，此时点的轨迹是椭圆. 故选：BC. 【典例3】（多选）（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）下列是真命题的是（    ） A．已知定点，则满足的点的轨迹为椭圆 B．已知定点，则满足的点的轨迹为线段 C．到定点距离相等的点的轨迹为椭圆 D．若点到定点的距离的和等于点到定点的距离的和，则点的轨迹为椭圆 【答案】BD 【分析】根据椭圆定义可依次判断各个选项. 【详解】对于A，，根据椭圆定义，点的轨迹不存在，故A错误； 对于B，点的轨迹为线段，故B正确； 对于C，到定点距离相等的点的轨迹为线段的垂直平分线，故错误； 对于D，到定点的距离的和为， 所以点的轨迹为椭圆，故D正确． 故选：BD. 【变式1】（23-24高二上·重庆渝中·期中）设F1，F2为定点，|F1F2|＝10，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是（    ） A．椭圆 B．圆 C．不存在 D．线段 【答案】C 【分析】当|MF1|＋|MF2|>|F1F2|时，M的轨迹是椭圆；当|MF1|＋|MF2|=|F1F2|时，M的轨迹是线段；当|MF1|＋|MF2|<|F1F2|时，M的轨迹不存在 【详解】|MF1|＋|MF2|＝8<10=|F1F2|，故不存在 故选：C 【变式2】（23-24高二下·安徽·阶段练习）如果动点满足，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】D 【分析】由题意可知方程表示出动点到定点的距离与它到定点的距离之和为3，而，从而可判断出其轨迹. 【详解】方程表示动点到定点的距离与它到定点的距离之和为3， 即， 所以点M的轨迹是线段． 故选：D 【变式3】（多选）（23-24高二上·吉林松原·期中）下列说法正确的是（    ） A．已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆 B．已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆 C．已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆 D．已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆 【答案】AD 【分析】根据椭圆的定义分别判断各选项. 【详解】A选项：，所以动点的轨迹是椭圆，A选项正确； B选项：，所以动点的轨迹是线段，B选项错误； C选项：，所以动点不存在，C选项错误； 的选项：，所以动点的轨迹是椭圆，D选项正确； 故选：AD. 题型02利用椭圆定义求方程 【典例1】（23-24高二上·北京顺义·期中）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆定义可得a，根据焦点坐标可得c，然后由求出即可得方程. 【详解】由椭圆定义可知，，得， 又椭圆的两个焦点是和， 所以椭圆焦点在x轴上，且，所以， 所以，所求椭圆的标准方程为. 故选：C 【典例2】（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出即可得出动点P的轨迹方程. 【详解】由题意， 平面内点P到、的距离之和是10， ∴动点的轨迹为椭圆,焦点在轴上, , 解得：， ∴， ∴轨迹方程为: ， 故选: B. 【典例3】（23-24高二上·天津·期末）已知B(，0)是圆A：内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】利用椭圆的定义可得轨迹方程. 【详解】连接，由题意，，则， 由椭圆的定义可得动点D的轨迹为椭圆，其焦点坐标为，长半轴长为2， 故短半轴长为1，故轨迹方程为：. 故答案为：. 【变式1】（23-24高二上·广东广州·期中）方程的化简结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由表达式几何意义并利用椭圆定义可知满足椭圆的方程，即可得出结果. 【详解】根据题意可知，表达式可表示点到定点的距离之和为10， 且， 由椭圆定义可知点满足以为焦点，长轴长为10的椭圆方程， 所以可得. 故选：B 【变式2】（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）椭圆M的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆M于点A，B.若的周长为20，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆定义列出方程，求出a＝5，根据焦点坐标求出c＝3，，得到椭圆标准方程. 【详解】因为的周长为20，由椭圆定义可知：4a＝20，即a＝5， 又因为c＝3，所以， 所以该椭圆的标准方程为. 故选：B. 【变式3】（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知的底边长为，其中点，，其他两边，上的中线之和为，则三角形重心的轨迹方程为 ． 【答案】（） 【分析】根据重心的性质以及椭圆的定义可求得轨迹方程. 【详解】设边，的中点分别为，， 故， 所以， 所以点的轨迹为椭圆，且其两个焦点分别为点和， 所以轨迹方程为且， 故答案为：（） 题型03椭圆上点到焦点距离（含最值）问题 【典例1】（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（   ） A．6 B．3 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义即可求出. 【详解】由椭圆，得，即，设左焦点为，右焦点为， 则，因为，所以，即点到左焦点的距离为2. 故选:D. 【典例2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的左焦点为为上任意一点，则的最大值为（    ） A．5 B．9 C．10 D．18 【答案】B 【分析】 由标准方程求得，设并利用两点间距离公式可得，结合二次函数性质可求得其最大值为9. 【详解】易知， 设，则，可得， 所以 ； 由二次函数性质可得当时，取得最大值为9. 故选：B 【典例3】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，设是椭圆上的两个动点，且，则当取得最大值时，的周长为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的定义可判断出当且仅当三点共线时，取得最大值，由此即可求出结果. 【详解】在椭圆中，， 由椭圆的定义可得，， 所以， 当且仅当三点共线时，取得最大值， 此时的周长， 故答案为：. 【变式1】（2024·四川泸州·二模）已知点P在椭圆C：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用三角形的中位线定理与圆的半径求得，再利用椭圆的定义即可得解. 【详解】因为椭圆C： 所以该椭圆，，则， 设椭圆的右焦点为，连接，记线段的中点为，连接， 因为，所以， 因为分别为的中点，所以， 又，所以. 故选：B. 【变式2】（23-24高二上·河南三门峡·阶段练习）已知P是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若右顶点坐标为，且椭圆的离心率为，则椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先根据椭圆的右顶点和离心率求得椭圆方程，再通过设点表示距离，转化为求二次函数在定区间上的最小值问题. 【详解】因椭圆的右顶点坐标为，故又因椭圆的离心率为， 故由知从而于是，椭圆方程为： 不妨设椭圆上的任意点为则点P到椭圆右焦点的距离为： （因点P在椭圆上，故有：）， 又因故当时，有最小值为1. 故选：B. 【变式3】（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）已知为椭圆的左焦点，P为椭圆上半部分上任意一点，A(1，1)为椭圆内一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将椭圆方程化为标准方程，可得焦点坐标；由两点间距离公式求得，根据椭圆定义将转化为．根据三点共线时线段长度最小，即可求得的最小值． 【详解】椭圆的方程可化为，可得，， 故，如下图所示， 因为，所以， 当且仅当，，三点共线时取等号． 故的最小值为． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及定义的简单应用，属于基础题． 题型04椭圆上点到焦点和定点距离的和差最值 【典例1】（23-24高二上·全国·期中）已知椭圆的左焦点为，为上的动点，点，则的最大值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义转化结合几何性质求最值即可. 【详解】由椭圆方程可知：， 设右焦点为，则，，且，即， 如图所示，    可得：， 当且仅当在线段上时，等号成立， 所以的最大值为3. 故选：C. 【典例2】（23-24高二上·福建宁德·期末）已知是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由题意得圆的圆心是椭圆的左焦点，利用圆和椭圆的定义，结合图象得到，然后由即可求解. 【详解】如图，由题意，椭圆的焦点为，， 则圆的圆心是椭圆的左焦点，由椭圆定义得，所以， 又， 所以. 故选：B. 【典例3】（23-24高二上·全国·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】 根据椭圆定义可将转化为，再根据可得的最小值为，结合两点间距离公式即得答案. 【详解】 由为椭圆上任意一点，则 又为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号）， ∴， 当且仅当M、N、E、共线时等号成立. ∵，，则， ∴的最小值为． 故答案为：． 【典例4】（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）已知，，动点满足，若，则的范围为 ． 【答案】 【分析】由椭圆的定义可知动点的运动轨迹为椭圆，将变形成结合三角形的性质求解即可. 【详解】由椭圆的定义可知动点的轨迹为椭圆，且，， 所以， 又由三角形的性质可知，当且仅当共线时等号成立， 所以， 所以， 故答案为： 【变式1】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知点 在椭圆 上，点 ，则 的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】作出椭圆的另一个焦点，转化线段，最后利用三角不等式解决即可. 【详解】 作椭圆的左焦点，则， 当且仅当点为线段的延长线与椭圆的交点时取得，由两点间距离公式得， 故，C正确， 故选：C 【变式2】（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知点，，点P为椭圆上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义，得到，从而得解. 【详解】因为椭圆，则， 所以为椭圆的右焦点，设椭圆左焦点为F，则， 由椭圆的定义得，，    所以P为射线FA与椭圆交点时，取最小值， 此时． 故选：B 【变式3】（23-24高二上·江苏·阶段练习）已知点为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C． D． 【答案】D 【分析】求出椭圆的焦点坐标，求出圆心和半径，求解的表达式，然后求解最值. 【详解】点为椭圆：的右焦点，设椭圆的左焦点为， 又为上一点，为圆：上一点，圆的圆心，半径为， 则， 当且仅当四点共线时取等号， 则的最大值为. 故选：D. 【变式4】（23-24高三上·山东临沂·期末）已知F是椭圆C：的左焦点，点P为该椭圆上一动点，若在椭圆内部，则的最大值为 ． 【答案】11 【分析】 利用椭圆的定义，转化，再利用数形结合，求的最大值. 【详解】由条件可知，，，则， 设椭圆的右焦点为，且， 所以，当点（点在第四象限）三点共线时，等号成立， 且, 所以的最大值为. 故答案为：11 题型05判断方程是否表示椭圆 【典例1】（23-24高二下·北京·期末）椭圆的焦距为4，则的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】先把椭圆化为标准形式，分焦点在，轴上两种情况进行分类讨论，能求出的值． 【详解】由椭圆化为标准形式得： ， 且椭圆的焦距， 当椭圆焦点在轴上时，，， 则由，所以， 此时方程为：不是椭圆，所以不满足题意， 当椭圆焦点在轴上时，，， ，解得， 此时方程为：，满足题意 综上所述，的值为． 故选：D． 【典例2】（多选）（23-24高三上·云南楚雄·期末）已知椭圆：，则（    ） A．的长轴长为 B．当时，的焦点在轴上 C．的焦距可能为4 D．的短轴长与长轴长的平方和为定值 【答案】BCD 【分析】根据椭圆标准方程的形式、性质及焦点所在的位置分情况讨论即可. 【详解】若，则椭圆焦点在轴上，，长轴长为：，A错误. 当时，，则的焦点在轴上，B正确. 当时，的焦距为4，C正确. 因为，所以，D正确. 故选：BCD 【典例3】（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）对于方程，若该方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为 ；椭圆的焦点为、，椭圆上的点P满足，则 ． 【答案】 / 【分析】第一空，利用方程表示椭圆，列出限制条件，可得实数的取值范围；第二空，利用椭圆的定义，结合余弦定理和三角形的面积公式，即可得解. 【详解】第一空，因为表示焦点在轴上的椭圆， 所以，所以. 第二空，由椭圆的标准方程可得，，    设，则，又， 由余弦定理可得， 而，故，故， 故. 故答案为：；. 【变式1】（23-24高二上·天津和平·期中）曲线与的关系是（    ） A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有不等的焦距，相同的焦点 C．有不等的焦距，不同的焦点 D．有相等的焦距，不同的焦点 【答案】D 【分析】根据椭圆标准方程的特点及焦距的定义即可求解. 【详解】由题意可知，椭圆的焦点在轴上，且， 所以，焦距为，焦点坐标为， 椭圆的焦点在轴上，且， 所以，焦距为，焦点坐标为， 所以两椭圆有相等的焦距，不同的焦点. 故选：D. 【变式2】（23-24高二上·安徽芜湖·期中）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（    ） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 【答案】C 【分析】利用椭圆方程与椭圆位置特征逐项分析、计算即可判断作答. 【详解】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A错误； 焦点在轴上时，，解得，D错误，C正确； 焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误. 故选：C 【变式3】（多选）（23-24高二上·山东青岛·期中）已知曲线．下列结论正确的有（    ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是椭圆，其焦点在轴上 C．若，则是圆，其半径为 D．若，，则是两条直线 【答案】AD 【分析】将方程，转化为，判断选项ABC，再根据，判断选项D. 【详解】方程，化为，表示椭圆，且其焦点在轴上，则，即，故A正确； 若，表示椭圆，且其焦点在x轴上，则，即，故B错误； ，表示圆，即，其半径为故C错误； 当，时，，则是两条直线，故D正确， 故选：AD 题型06求椭圆方程 【典例1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，真线与轴的交点为，过右焦点作于点，且的中点在椭圆上，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，结合椭圆的定义，利用求出，由求出可得答案. 【详解】连接，依题意，知是线段的中点，， 又是线段的中点，所以，， 因为，所以， 因为点在椭圆上，结合椭圆的定义， ，得， 解得（舍去），所以， 所以椭圆的方程为. 故选：C. 【典例2】（23-24高二下·上海黄浦·期中）若椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点则该椭圆的标准方程为 ． 【答案】/ 【分析】由题意，建立方程组，解之即可求解. 【详解】由题意知，设椭圆的标准方程为， 又，椭圆过点， 则，解得， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为： 【典例3】（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，则的方程为 . 【答案】 【分析】根据已知和椭圆定义求出、，点在轴上（也为椭圆的顶点），在中，由余弦定理、解得，再由求出可得答案. 【详解】因为，所以， 又，所以， 又，所以，，， 又，所以，所以，所以在轴上（也为椭圆的顶点）， 在中，由余弦定理可得， ，可得，解得， 所以，则的方程为. 故答案为：. 【变式1】（2024高二下·上海·专题练习）长轴的长是4，焦距是2，中心在原点的椭圆的标准方程是 【答案】或． 【分析】根据长轴长求出，根据焦距求出，再根据椭圆的定义求出，即可写出椭圆的标准方程． 【详解】因为长轴的长是，，焦距是，解得， 所以， 所以当焦点在轴上时，椭圆的标准方程是； 当焦点在轴上时，椭圆的标准方程是． 故答案为：或． 【变式2】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）中心位于坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆的上、下焦点分别为，右顶点为，若的长轴长为，，则的标准方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，由，可得，可求椭圆的标准方程. 【详解】由椭圆的长轴长为4，则可得，解得， 因为，由椭圆的对称性可知， 所以，解得，所以， 又椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为. 故答案为：. 【变式3】（2024·河北唐山·一模）已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，过的直线交E于A，B两点，是线段的中点，且，则E的方程为 ． 【答案】 【分析】根据中点关系可得平行，进而可得，根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】由于是线段的中点，是线段的中点， 所以,故, 设椭圆焦距为，则，将代入椭圆方程可得， 故，因此, 是线段的中点，所以，故， ， 由得， 故，解得， 又，故，， 故椭圆方程为， 故答案为： 题型07根据椭圆方程求参数 【典例1】（2024·河南·模拟预测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用已知条件，分析椭圆的标准方程，列出不等式，求解即可. 【详解】方程可化为：， 因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得. 故选：C 【典例2】（2024高二上·全国·专题练习）已知方程＝1. (1)若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (2)若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆的标准方程求解； （2）根据椭圆的标准方程求解； （3）根据椭圆的标准方程求解. 【详解】（1）依题意，有，解得. 故实数m的取值范围为. （2）依题意，有，解得. 故实数m的取值范围为. （3）依题意，有，解得，且， 故实数m的取值范围是. 【变式1】（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程求解即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，故. 故答案为： 【变式2】（2024高二上·全国·专题练习）已知曲线，则“”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆” 的条件. 【答案】必要不充分 【分析】根据椭圆的性质即可列不等式求解. 【详解】将曲线C的方程化为，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆， 则，即， 故“”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 题型08椭圆中的轨迹方程问题 【典例1】（2024·全国·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知周长为16的△ABC中，点A（－3，0），B（3，0），则点C的轨迹方程是（　　） A．1 B．1 C．1（y≠0） D．1（y≠0） 【答案】C 【详解】 解析：因为三角形周长为16，又CA＋CB＝10＞6＝AB，所以点C的轨迹在以A，B为焦点的椭圆＋＝1上．因为△ABC中点C与点A，B不共线，所以去掉y轴上的两点，得y≠0. 【考查意图】定义法求轨迹方程． 【典例3】（2024·广东江门·二模）已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据圆的性质和椭圆定义得到，再利用关系即可. 【详解】设圆的半径为，则，则， 所以点的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆． 则，所以， 所以动圆的圆心的轨迹方程为． 故答案为：. 【变式1】（23-24高二下·浙江·期中）在平面直角坐标系中，已知两点，，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，结合已知写出直线，的斜率，由列式求解动点的轨迹方程． 【详解】设，，， ，， 由，得． 即． 动点的轨迹方程为． 故选：B． 【变式2】（23-24高二下·湖北黄冈·阶段练习）已知三角形的周长为，且，，则顶点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的周长和定点，得到点到两个定点的距离之和等于定值，得到点的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点． 【详解】因为、，所以， 又因为的周长为，得， 由椭圆的定义可知：顶点的轨迹是一个以为焦点的椭圆的一部分， 且椭圆中， ，，即， 椭圆方程为， 因为时，三点共线，不能构成三角形． 顶点的轨迹方程为， 故选：C． 【变式3】（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）已知定点 和一动点 ，若 ，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义分析求解，注意焦点所在位置. 【详解】由题意可知：， 可知动点的轨迹是以为焦点的椭圆， 则，可得， 注意到焦点在y轴上，所以动点的轨迹方程为. 故选：D. 题型09椭圆中焦点三角形面积问题 【典例1】（23-24高二下·天津·阶段练习）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】由题意结合椭圆定义推导出△是直角三角形，再求面积即可. 【详解】由可得：， 则椭圆得长轴长为， ， 可设，， 由题意可知，， ，，， △是直角三角形， 其面积． 故选：B． 【典例2】（23-24高二上·江西九江·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到垂直平分线段，则，再根据椭圆的定义式和勾股定理即可求解． 【详解】 因为椭圆方程为， 所以，，， 又线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上， 所以垂直平分线段，所以， 又因为，所以，， 在直角三角形中，， 于是的面积为． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上转化为垂直平分线段，再结合椭圆定义求解. 【典例3】（23-24高二下·上海·阶段练习）该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【答案】9 【分析】解法一：由椭圆方程求出，设，然后由椭圆的定义结合已知条件列方程可求出，从而可求出的面积，解法二：利用焦点三角形的面积公式求解 【详解】解法一：由，得，则， 设，则由题意得 ， 由，得， 所以，得， 所以的面积为 解法二：由，得， 因为 所以由焦点三角形的面积公式得． 故答案为：9 【典例4】（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）设椭圆的左右焦点为，椭圆上点满足，则的面积为 . 【答案】 【分析】结合椭圆定理、勾股定理的逆定理与三角形面积公式计算即可得. 【详解】由椭圆定义可得， 则有，即，， 又， 由，故， 故. 故答案为：. 【变式1】（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知点为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，设线段的中点为，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义及三角形中位线的性质求出、，再由余弦定理求出，即可求出，最后由面积公式计算可得. 【详解】由题意可得． 如图，因为分别是和的中点，所以， 根据椭圆定义，可得，又因为， 所以， 所以， 故的面积为． 故选：A． 【变式2】（23-24高二上·四川德阳·期末）设、是椭圆：的两个焦点，点P在C上，若为直角三角形，则的面积为（    ） A． B． C．或1 D．1或 【答案】D 【分析】分析确定直角顶点后位置，当焦点（或）为直角，结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】由已知，若是直角三角形，则直角顶点可能是点P， ; 若是直角三角形，则直角顶点可能是焦点（或）为直角顶点， 此时（或），. 故选：D. 【点睛】方法点睛：分类讨论得出直角位置，结合椭圆定义得出面积计算即可； 【变式3】（23-24高三下·广东深圳·期中）已知分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上一点且，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的定义求得三边长，根据三角形面积公式求解即可. 【详解】由椭圆可知， 故，结合， 可得，而， 故为等腰三角形，其面积为. 故答案为：. 【变式4】（2024·全国·模拟预测）已知是椭圆的左､右焦点，在上，是坐标原点，，则的面积为 . 【答案】 【分析】由椭圆方程联立距离公式可得点M的纵坐标，即可求得答案. 【详解】由题意知椭圆方程为，故， 即，设，则， 故，故的面积为， 故答案为：. 题型10椭圆中焦点三角形其他问题 【典例1】（23-24高二上·上海青浦·期末）设椭圆的左右焦点为，，点P在该椭圆上，则使得为等腰三角形的点P的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】分别讨论为腰或者底的情况. 【详解】①当等腰的底时，可知P点为椭圆上下顶点时，2个点，满足题意； ②当等腰的腰时，分别以为圆心，以长为半径画弧，交椭圆于4个点； 综上所述，共6个点满足题意. 故答案选：C.    【典例2】（多选）（23-24高二上·山西太原·期末）椭圆的方程为，，是椭圆的两个焦点，点为椭圆上一点且在第一象限.若是等腰三角形，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．点到轴的距离为 D． 【答案】AC 【分析】根据椭圆的定义和性质，确定焦点三角形的有关结论. 【详解】如图：    因为椭圆的标准方程为：，所以：，，. 因为点在第一象限，且是等腰三角形，离心率， 所以必是：. 根据椭圆的定义，，故A正确； 在中，，， 由余弦定理：，故B错误； 由，到轴的距离为：，故C正确； ，故D错误. 故选：AC 【典例3】（23-24高二上·天津·阶段练习）已知椭圆的两个焦点，，点在椭圆上，且，则 ． 【答案】40 【分析】根据余弦定理，结合椭圆定义即可求解. 【详解】由题意可得， 在中，，由余弦定理， 得， 得， 得， 所以． 故答案为：40． 【典例4】（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则 ． 【答案】 【分析】 根据椭圆得定义可得，在中，利用余弦定理求出，从而可求出，即可得解. 【详解】由椭圆：，得， 所以， 因为点在椭圆上， 所以， 在中，由余弦定理得：， 即， 所以，所以， 则， 所以， 所以点在椭圆的上下顶点处， 所以. 故答案为：. 【变式1】（23-24高二上·山西吕梁·期中）已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据椭圆的几何性质即可求解. 【详解】 由椭圆的方程，得，，因为，所以， 又在椭圆上，所以，解得， 即，， 所以． 故选：A． 【变式2】（多选）（23-24高二上·河南·阶段练习）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在上，且，，则的值可能为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】AC 【分析】 根据椭圆的焦点三角形的性质，结合余弦定理即可求解. 【详解】 由，，得. , 由，得. 在中，由余弦定理得， 得或，所以或. 故选：AC    【变式3】（23-24高二下·上海静安·阶段练习）已知点P在焦点为、的椭圆上，若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】利用勾股定理构造方程，结合椭圆定义可求得结果. 【详解】    由椭圆方程知：，，， ，， 由椭圆定义知：， ， 解得：. 故答案为：2. 【变式4】（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆，若在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，满足，则 . 【答案】/ 【分析】由题意可得出，，再由余弦定理求解即可. 【详解】由椭圆方程知：，，； 若，，， 又，， 又，. 故答案为：. A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（2024·湖北荆州·三模）已知椭圆C：的一个焦点为，则k的值为（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】利用椭圆的标准方程与焦点位置即可得解. 【详解】由题意得，，，，所以． 故选：D． 2．（2024·河北保定·三模）已知是椭圆：上一点，，分别为的左、右焦点，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】A 【分析】直接根据椭圆的定义可求得答案. 【详解】由椭圆的定义可知，. 故选：A. 3．（23-24高二下·广西·阶段练习）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出含有参数的不等式组求解即可. 【详解】根据题意,要使方程表示焦点在轴上的椭圆, 需满足，解得. 故选：B. 4．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆C于A，B两点，则的周长为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】由椭圆定义求焦点三角形周长. 【详解】根据题意，椭圆中， 根据椭圆定义，的周长为 . 故选：C 5．（23-24高二上·河北·阶段练习）已知椭圆：，的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义，将转化为，当三点共线时，取最大值即，再利用两点距离公式就可求解. 【详解】如图，    设椭圆C的左焦点为，由由椭圆定义可得，， 所以 . 故选：B. 6．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点为是椭圆上一动点，直线经过的定点为，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】B 【分析】由直线经过定点，结合椭圆的定义由求解. 【详解】由椭圆得， 因为点为椭圆上的点，则， 直线经过定点， 则， 当且仅当在线段上时取等号， 所以的最大值为2. 故选：B. 7．（23-24高三下·贵州·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，点在直线上运动，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．13 D．15 【答案】A 【分析】由椭圆方程确定，的坐标，根据向量的数量积的坐标表示求出的表达式，结合二次函数性质，即可求得答案. 【详解】由椭圆可得，， 点在直线上运动，设， 则 ， 当时，取到最小值7，即的最小值为7， 故选：A 8．（23-24高三下·山西晋城·开学考试）已知分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，则的最大值为（   ） A．20 B．16 C．64 D．24 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义和基本不等式求解. 【详解】由椭圆的定义可知， ∴， ∴ ， 当且仅当时等号成立， 故选：. 二、多选题 9．（2023高二上·江苏·专题练习）已知椭圆的标准方程为，并且焦距为6，则实数m的值可以为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】AB 【分析】首先确定c的值，然后分类讨论焦点位置在x轴和y轴两种情况求解m的值即可. 【详解】因为，所以， 当焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知，，所以， 又，解得. 当焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知，，所以， 解得. 综上，解得或． 故选：AB. 10．（23-24高二上·山东·期中）已知是椭圆的两个焦点，点在上，，则（    ） A．的周长为6 B．的面积为 C．内切圆的半径为 D． 【答案】BC 【分析】 根据焦点三角形的性质，即可求解AC,即可结合余弦定理，以及面积公式即可求解BD. 【详解】 由可得， A选项：周长为，所以A错误； B选项：由余弦定理可得，故 所以，所以B正确； C选项：，所以，所以C正确； D选项：，所以， 所以，所以，所以D错误. 故选：BC 三、填空题 11．（2024高二下·上海·专题练习）设、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且满足，则 ． 【答案】18 【分析】根据椭圆的定义得到，由，得到，结合，即可求解． 【详解】如图：    由题意，椭圆，可得，，则， 根据椭圆的定义，可得. 又由，可得，所以. 因为， 即，解得． 故答案为：18 12．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）设为曲线上的任意两点，则的最大值为 . 【答案】10 【分析】由椭圆定义可知，均在椭圆上，结合椭圆性质即可得. 【详解】由， 即点到点与点的距离之和为， 由椭圆定义可知，在以与为焦点， 与为上下顶点的椭圆上， 故. 故答案为：. 四、解答题 13．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)经过和点． 【答案】(1)1 (2) (3)． 【分析】（1）由焦点坐标求，由椭圆定义得即可求，从而得方程； （2）结合图形，已知点是长短轴的顶点，则可得； （3）设椭圆方程的简化形式，待定系数解方程组可得. 【详解】（1）由题意，椭圆焦点在轴上，且， 则， ∴椭圆方程为1； （2）根据题意，所求椭圆的焦点在y轴上，且经过两个点和， 则，则椭圆的标准方程为； （3）根据题意，要求椭圆经过（，）和点（，1）两点， 设其方程为， 则有，解可得， 则所求椭圆的方程为． 14．（23-24高二上·广东惠州·期中）已知点是椭圆上的一点，和分别为左右焦点，焦距为6，且过． (1)求椭圆的标准方程； (2)若动直线过与椭圆交于两点，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的焦距定义，结合代入法进行求解即可； （2）利用椭圆定义进行求解即可. 【详解】（1）因为椭圆的焦距为6，所以， 又因为该椭圆过，所以， 由解得； （2）由（1）可知， 的周长为：    B能力提升 1．（2024·安徽池州·二模）已知实数满足，若的最大值为4，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用题给条件构造关于m的方程，解之即可求得m的值. 【详解】令，则，则时， 由，整理得， 则， 整理得，则，解之得 故选：D 2．（23-24高二下·江西吉安·阶段练习）已知是椭圆的左､右焦点，为上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义知，利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】因为是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动， 所以. 所以，所以（当且仅当时等号成立）. 所以. 即的最小值为1. 故选：A 3．（2024高三·全国·专题练习）设分别是椭圆的左、右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为，若直线在轴上的截距为2，且，则椭圆的方程为 【答案】 【分析】 由题目条件可以得到，然后计算出并代入椭圆方程即可得到另一个条件，二者结合即可求出方程. 【详解】   不妨设在第一象限，因为与轴垂直， 所以点为直线和椭圆的交点， 联立得，故的坐标为. 而，故线段的中点坐标为， 由直线在轴上的截距为2，且的中点在直线上， 可得，故①. 又，在线段上，故， 从而，所以. 故由，，可得， 解得，知， 将代入椭圆方程即可得到②. 又③， 由①②③解方程可得，， 故椭圆的方程为. 故答案为：. 4．（2024·河北衡水·一模）已知椭圆过和两点.分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上的点（不在轴上），过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入椭圆方程，即可求出椭圆C的标准方程； （2）分类讨论直线斜率是否为0，从而假设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理与弦长公式得到关于的关系式，再分析即可得解； 【详解】（1）由题意可知，将点代入椭圆方程， 得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，， 当直线l的斜率为0时，， 当直线l的斜率不为0时，设直线的方程为，，， 联立，消去，得， 易得，则， 所以 ， 因为，所以，所以，所以， 综上，，即的范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 3.1.1椭圆及其标准方程 课程标准 学习目标 ①了解圆锥曲线的实际背景。 ②了解圆锥 曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 ③掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程。 ④会根据相关的条件求椭圆的标准方程。 ⑤会求与椭圆有关的量。 1.通过本节课的学习，要求掌握椭圆的定义（相关的量的掌握）及椭圆的标准方程（满足的条件），会求与椭圆有关的几何量 知识点01：椭圆的定义 1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明： 若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 2、定义的集合语言表述 集合. 【即学即练1】（2024高二·全国·专题练习）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点P的轨迹为（    ） A．线段 B．直线 C．椭圆 D．圆 知识点02：椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 【即学即练2】（多选）（23-24高二下·江西·期中）已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为10，短半轴长为4，则椭圆的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 特别说明： 1、两种椭圆，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 2、给出椭圆方程(，,),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大;椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑. 题型01椭圆的定义及辨析 【典例1】（2024高二上·全国·专题练习）已知为两定点，，动点满足，则动点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 【典例2】（多选）（23-24高二上·广西·阶段练习）设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是（    ） A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线 【典例3】（多选）（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）下列是真命题的是（    ） A．已知定点，则满足的点的轨迹为椭圆 B．已知定点，则满足的点的轨迹为线段 C．到定点距离相等的点的轨迹为椭圆 D．若点到定点的距离的和等于点到定点的距离的和，则点的轨迹为椭圆 【变式1】（23-24高二上·重庆渝中·期中）设F1，F2为定点，|F1F2|＝10，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是（    ） A．椭圆 B．圆 C．不存在 D．线段 【变式2】（23-24高二下·安徽·阶段练习）如果动点满足，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【变式3】（多选）（23-24高二上·吉林松原·期中）下列说法正确的是（    ） A．已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆 B．已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆 C．已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆 D．已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆 题型02利用椭圆定义求方程 【典例1】（23-24高二上·北京顺义·期中）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高二上·天津·期末）已知B(，0)是圆A：内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为 . 【变式1】（23-24高二上·广东广州·期中）方程的化简结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）椭圆M的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆M于点A，B.若的周长为20，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知的底边长为，其中点，，其他两边，上的中线之和为，则三角形重心的轨迹方程为 ． 题型03椭圆上点到焦点距离（含最值）问题 【典例1】（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（   ） A．6 B．3 C．4 D．2 【典例2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的左焦点为为上任意一点，则的最大值为（    ） A．5 B．9 C．10 D．18 【典例3】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，设是椭圆上的两个动点，且，则当取得最大值时，的周长为 ． 【变式1】（2024·四川泸州·二模）已知点P在椭圆C：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2】（23-24高二上·河南三门峡·阶段练习）已知P是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若右顶点坐标为，且椭圆的离心率为，则椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式3】（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）已知为椭圆的左焦点，P为椭圆上半部分上任意一点，A(1，1)为椭圆内一点，则的最小值为 ． 题型04椭圆上点到焦点和定点距离的和差最值 【典例1】（23-24高二上·全国·期中）已知椭圆的左焦点为，为上的动点，点，则的最大值为（   ） A． B． C．3 D． 【典例2】（23-24高二上·福建宁德·期末）已知是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例3】（23-24高二上·全国·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 【典例4】（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）已知，，动点满足，若，则的范围为 ． 【变式1】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知点 在椭圆 上，点 ，则 的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 【变式2】（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知点，，点P为椭圆上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二上·江苏·阶段练习）已知点为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C． D． 【变式4】（23-24高三上·山东临沂·期末）已知F是椭圆C：的左焦点，点P为该椭圆上一动点，若在椭圆内部，则的最大值为 ． 题型05判断方程是否表示椭圆 【典例1】（23-24高二下·北京·期末）椭圆的焦距为4，则的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【典例2】（多选）（23-24高三上·云南楚雄·期末）已知椭圆：，则（    ） A．的长轴长为 B．当时，的焦点在轴上 C．的焦距可能为4 D．的短轴长与长轴长的平方和为定值 【典例3】（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）对于方程，若该方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为 ；椭圆的焦点为、，椭圆上的点P满足，则 ． 【变式1】（23-24高二上·天津和平·期中）曲线与的关系是（    ） A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有不等的焦距，相同的焦点 C．有不等的焦距，不同的焦点 D．有相等的焦距，不同的焦点 【变式2】（23-24高二上·安徽芜湖·期中）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（    ） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 【变式3】（多选）（23-24高二上·山东青岛·期中）已知曲线．下列结论正确的有（    ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是椭圆，其焦点在轴上 C．若，则是圆，其半径为 D．若，，则是两条直线 题型06求椭圆方程 【典例1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，真线与轴的交点为，过右焦点作于点，且的中点在椭圆上，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二下·上海黄浦·期中）若椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点则该椭圆的标准方程为 ． 【典例3】（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，则的方程为 . 【变式1】（2024高二下·上海·专题练习）长轴的长是4，焦距是2，中心在原点的椭圆的标准方程是 【变式2】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）中心位于坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆的上、下焦点分别为，右顶点为，若的长轴长为，，则的标准方程为 ． 【变式3】（2024·河北唐山·一模）已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，过的直线交E于A，B两点，是线段的中点，且，则E的方程为 ． 题型07根据椭圆方程求参数 【典例1】（2024·河南·模拟预测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则（    ） A． B． C． D．或 【典例2】（2024高二上·全国·专题练习）已知方程＝1. (1)若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (2)若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围. 【变式1】（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 ． 【变式2】（2024高二上·全国·专题练习）已知曲线，则“”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆” 的条件. 题型08椭圆中的轨迹方程问题 【典例1】（2024·全国·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知周长为16的△ABC中，点A（－3，0），B（3，0），则点C的轨迹方程是（　　） A．1 B．1 C．1（y≠0） D．1（y≠0） 【典例3】（2024·广东江门·二模）已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 【变式1】（23-24高二下·浙江·期中）在平面直角坐标系中，已知两点，，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·湖北黄冈·阶段练习）已知三角形的周长为，且，，则顶点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）已知定点 和一动点 ，若 ，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型09椭圆中焦点三角形面积问题 【典例1】（23-24高二下·天津·阶段练习）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【典例2】（23-24高二上·江西九江·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高二下·上海·阶段练习）该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【典例4】（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）设椭圆的左右焦点为，椭圆上点满足，则的面积为 . 【变式1】（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知点为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，设线段的中点为，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·四川德阳·期末）设、是椭圆：的两个焦点，点P在C上，若为直角三角形，则的面积为（    ） A． B． C．或1 D．1或 【变式3】（23-24高三下·广东深圳·期中）已知分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上一点且，则的面积为 . 【变式4】（2024·全国·模拟预测）已知是椭圆的左､右焦点，在上，是坐标原点，，则的面积为 . 题型10椭圆中焦点三角形其他问题 【典例1】（23-24高二上·上海青浦·期末）设椭圆的左右焦点为，，点P在该椭圆上，则使得为等腰三角形的点P的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【典例2】（多选）（23-24高二上·山西太原·期末）椭圆的方程为，，是椭圆的两个焦点，点为椭圆上一点且在第一象限.若是等腰三角形，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．点到轴的距离为 D． 【典例3】（23-24高二上·天津·阶段练习）已知椭圆的两个焦点，，点在椭圆上，且，则 ． 【典例4】（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则 ． 【变式1】（23-24高二上·山西吕梁·期中）已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（23-24高二上·河南·阶段练习）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在上，且，，则的值可能为（    ） A． B．2 C． D． 【变式3】（23-24高二下·上海静安·阶段练习）已知点P在焦点为、的椭圆上，若，则的值为 ． 【变式4】（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆，若在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，满足，则 . A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（2024·湖北荆州·三模）已知椭圆C：的一个焦点为，则k的值为（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 2．（2024·河北保定·三模）已知是椭圆：上一点，，分别为的左、右焦点，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 3．（23-24高二下·广西·阶段练习）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆C于A，B两点，则的周长为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 5．（23-24高二上·河北·阶段练习）已知椭圆：，的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 6．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点为是椭圆上一动点，直线经过的定点为，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．6 7．（23-24高三下·贵州·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，点在直线上运动，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．13 D．15 8．（23-24高三下·山西晋城·开学考试）已知分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，则的最大值为（   ） A．20 B．16 C．64 D．24 二、多选题 9．（2023高二上·江苏·专题练习）已知椭圆的标准方程为，并且焦距为6，则实数m的值可以为（    ） A．4 B． C．6 D． 10．（23-24高二上·山东·期中）已知是椭圆的两个焦点，点在上，，则（    ） A．的周长为6 B．的面积为 C．内切圆的半径为 D． 三、填空题 11．（2024高二下·上海·专题练习）设、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且满足，则 ． 12．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）设为曲线上的任意两点，则的最大值为 . 四、解答题 13．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)经过和点． 14．（23-24高二上·广东惠州·期中）已知点是椭圆上的一点，和分别为左右焦点，焦距为6，且过． (1)求椭圆的标准方程； (2)若动直线过与椭圆交于两点，求的周长． B能力提升 1．（2024·安徽池州·二模）已知实数满足，若的最大值为4，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江西吉安·阶段练习）已知是椭圆的左､右焦点，为上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 3．（2024高三·全国·专题练习）设分别是椭圆的左、右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为，若直线在轴上的截距为2，且，则椭圆的方程为 4．（2024·河北衡水·一模）已知椭圆过和两点.分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上的点（不在轴上），过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求的范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$