专题06 三角函数 (讲义+练习)-备战2025年高考数学一轮复习《重难点题型•高分突破》（上海专用）

专题06 三角函数(练习) 一、填空、单选题 1．下列说法中正确的是（    ） A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等 C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角 2．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，且终边经过点，则 . 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知一个扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的弧长为 cm. 5．母线长为、底面半径为的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为 ． 6．已知角的终边经过点，则的值不可能是（    ） A． B．0 C． D． 7．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为 . 8．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴．若是角终边上一点，且，则 ． 9．已知角的终边经过点，且，则 ． 10．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点（）在角终边上，且，则的值可以是 .（写一个即可） 11．已知，且为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 12．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．已知，则（    ） A． B． C． D． 14．已知，则的值为 ． 15．已知，则（    ） A． B．2 C． D． 16．已知，则的值为 ． 17．若，且，则当取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 18．若，且点与点关于x轴对称，则 . 19．已知，且，则 ． 20．若函数的最小值为1，则实数 ． 21．已知，，且，，则 ． 22．若，则 ． 23．已知，则 . 24．已知则的值为 . 25．已知，则的值是 . 26．已知，且，则 . 27．若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围是 . 28．若方程在内有解，则a的取值范围是 ． 29．已知函数的部分图象如图所示，且，，则 ． 30．已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为 . 31．若关于x的方程在区间上至少有两个不同的实根，则实数a的取值范围是 ． 32．将函数图象向右平移个单位，得到的图象关于直线对称，则的最小值为 . 33．已知函数的最小正周期为，则方程在上的解集为 . 34．若函数在内存在最小值但无最大值，则的范围是 35．将函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，得到的图像，若，且，则的最大值为 ． 36．已知函数在区间上的值域均为，则实数的取值范围是 ． 37．若存在实数及正整数使得在内恰有2024个零点，则满足条件的正整数的值有 个． 38．已知函数，若对任意实数，，方程有解，方程也有解，则的值的集合为 . 二、解答题 39．已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式与单调增区间； (2)若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，写出图象的对称中心的坐标，并求当时，的最值. 40．已知函数. (1)求函数的最小值及取得最小值时相应的的值； (2)若在上有四个不同的根，求的取值范围及四个根之和. 41．如图所示，是一块边长为7米的正方形铁皮，其中是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用．工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在BC与CD上的长方形铁皮，其中P是上一点．设，长方形的面积为S平方米． （1）求S关于的函数解析式； （2）设，求S关于t的表达式以及S的最大值． 42．已知函数，满足． (1)求实数a的值，以及函数的最小正周期（无需证明）； (2)求在区间上的零点个数； (3)是否存在正整数n，使得在区间上恰有2022个零点，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由． 43．已知函数，.若对于给定的非零常数，存在非零常数﹐使得对于恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，周期为. (1)已知函数是上周期为1的“2级类周期函数”，且当时，，求的值﹔ (2)已知函数是上周期为1的“级类周期函数”，且当时，.若函数是上的单调递增函数，求实数的取值范围； (3)是否存在非零实数，使得函数是上周期为的“级类周期函数”？若存在，求出实数和的值；若不存在，请说明理由. ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 三角函数(练习) 一、填空、单选题 1．下列说法中正确的是（    ） A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等 C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角 【答案】A 【分析】利用角的定义一一判定即可. 【解析】锐角是指大于小于的角，故其在第一象限，即A正确； 选项B．终边相等的角必相等，两角可以相差整数倍，故错误； 选项C．小于的角不一定在第一象限，也可以为负角，故错误； 选项D．根据任意角的定义，第二象限角可以为负角，第一象限角可以为正角，此时第二象限角小于第一象限角，故错误. 故选：A 2．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，且终边经过点，则 . 【答案】/ 【分析】根据终边上的点及三角函数的定义求即可. 【解析】由题设及正切函数的定义知：. 故答案为： 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角的范围及集合的关系即可判断. 【解析】当时，， 当时，， 所以. 故选：A 4．已知一个扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的弧长为 cm. 【答案】 【分析】直接利用弧长公式即可求解. 【解析】因为一个扇形的弧所对的圆心角为，所以该扇形的弧长为， 故答案为： 5．母线长为、底面半径为的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为 ． 【答案】/ 【分析】设圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为，根据底面周长等于侧面展开图的弧长计算可得. 【解析】设圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为， 又母线，底面半径 则，即，解得. 故答案为： 6．已知角的终边经过点，则的值不可能是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】由定义可得，计算可求. 【解析】由定义，， 当，合题意； 当，化简得，由于横坐标，角的终边在一、四象限， 所以． 故选：D． 7．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】由题意可求，，利用任意角的三角函数的定义即可求解． 【解析】因为点的坐标为，可得， 所以， 可得，， 所以点的坐标为， 故答案为：. 8．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴．若是角终边上一点，且，则 ． 【答案】 【分析】根据三角函数定义式列方程，解方程即可. 【解析】由题设知， 即，且， 即，且， 解得， 故答案为：. 9．已知角的终边经过点，且，则 ． 【答案】 【分析】由题意结合三角函数的定义求出点坐标，再求出即可求解 【解析】因为角的终边经过点，且， 所以， 解得或， 因为点的纵坐标为，且， 所以角的终边落在第三象限， 所以，即， 所以， 所以. 故答案为： 10．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点（）在角终边上，且，则的值可以是 .（写一个即可） 【答案】（，，均可） 【分析】 由求得的取值范围，结合三角函数的定义进而可得解. 【解析】，即，解得， 又，故的值可为、、、、， 则，即的值可以是或或. 故答案为：（，，均可）. 11．已知，且为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数平方关系计算可得. 【解析】因为, 所以， 因为为第二象限角， 所以. 故选：C. 12．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对平方，得到的值，然后对化简求值即可. 【解析】因为，所以， 所以， 所以， 故选：A. 13．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数的基本关系求解. 【解析】从可得，，所以， 因为， 故选：A. 14．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】由同角三角函数的基本关系式化简求值即可. 【解析】， 因为，所以. 故答案为：. 15．已知，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用已知的三角函数值，利用换元法，结合三角函数的诱导公式，可得答案. 【解析】令，则， 从而 . 故选：A. 16．已知，则的值为 ． 【答案】18 【分析】利用诱导公式化简已知条件和所求的式子可得答案. 【解析】由，可得， ∴ ． 故答案为：18. 17．若，且，则当取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件等式、平方关系结合基本不等式即可得解. 【解析】若，且，则， 则， 注意到，其中， 所以，等号成立当且仅当， 所以， 等号成立当且仅当，即， 所以当取最大值时，的值为. 故选：B. 18．若，且点与点关于x轴对称，则 . 【答案】 【分析】根据题意在单位圆中画出满足题意的情况，即可得到为，即可得到其余弦值. 【解析】法一：由题意得，即， 所以，则，， 时，，而，解得 故, 故答案为：. 法二：因为与均在单位圆上, 在第二象限,在第三象限,如下图所示： 则, 因为关于轴对称，所以,解得, 而，解得 故, 故答案为：. 19．已知，且，则 ． 【答案】 【分析】由两角和的正切公式计算. 【解析】，且， 则. 故答案为： 20．若函数的最小值为1，则实数 ． 【答案】3 【分析】利用辅助角公式与正弦函数的性质得到关于的方程，解之即可得解. 【解析】因为，其中，， 所以，解得． 故答案为：3． 21．已知，，且，，则 ． 【答案】 【分析】由二倍角的正切公式求出，最后根据两角差的正切公式计算可得. 【解析】因为，，且，， 所以， ∴. 故答案为：1 22．若，则 ． 【答案】1012 【分析】利用二倍角的正切公式求解. 【解析】因为，所以，所以． 故答案为：1012. 23．已知，则 . 【答案】 【分析】利用半角公式即可求解. 【解析】因为，且， 所以， 故答案为：. 24．已知则的值为 . 【答案】 【分析】应用三角函数的恒等变换公式对变形求得，再由求得，可得结论． 【解析】， 所以， ， 所以． 故答案为：． 25．已知，则的值是 . 【答案】/0.64 【分析】利用二倍角的正、余弦公式即可得到答案. 【解析】由题得，则， 两边同时平方可得，故. 故答案为：. 26．已知，且，则 . 【答案】 【分析】运用降幂公式，结合两角和的余弦公式、同角的三角函数关系式进行求解即可. 【解析】由 因为，所以， 因此， 所以. 故答案为：. 27．若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据正切型函数的单调性可得，即可求解. 【解析】在上为严格增函数，则， 由于，则,故， 因此，解得， 故答案为： 28．若方程在内有解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，则问题转化为方程在上有解，再利用一元二次方程的根的分布与系数的关系即可得出答案. 【解析】方程，整理可得， 因为，则，设， 则问题转化为方程 在 上有解． 又方程对应的二次函数 的对称轴为 ，    故有 ，即，解得， 所以a的取值范围是. 故答案为：. 29．已知函数的部分图象如图所示，且，，则 ． 【答案】 【分析】根据图中信息可得，进而，根据可得或，由，分类讨论，即可求解. 【解析】由题意，知，最小正周期①．注意到②． 结合①②，解得． 将点代入，得． 因为，所以或． 依题意，得．当时，，取，得，满足题意； 当时，，不存在使成立的整数，舍去． 故答案为：． 30．已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用正弦函数的性质及条件可求得ω的表达式，再根据函数在上单调可知－＝≤＝，求得ω≤12，经验证ω＝11不满足题意，ω＝9满足条件，得解. 【解析】因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴， 所以－＝＋，即＝T＝· (k∈Z)， 所以ω＝2k＋1(k∈Z)， 又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，解得ω≤12， ω＝11时f(x)＝sin在上单调递增，在上单调递减，不成立， ω＝9时满足条件，由此得ω的最大值为9. 故答案为：9 31．若关于x的方程在区间上至少有两个不同的实根，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将利用同角三角函数的基本关系、两角和得正弦公式、二倍角公式化简方程得及有一个实根，再研究方程在上至少有一个实根的情况，令，讨论函数的值域，从而结合题意得到实数a的取值范围. 【解析】因为， . 所以由得， 即. 当时，无解，即. 下面讨论方程，在上至少有一个实根的情况： 因为原方程在区间上至少有两个不同的实根，所以，得且方程，在上至少有一个实根. 令，则. 当时，，方程不成立； 当时. 令，易知在上单调递减，得， 在上也单调递减，得， 所以，使得方程在上至少有一个实根要满足，在上至少有一个实根要满足. 综上所述，方程在区间上至少有两个不同的实根，则实数a的取值范围是. 故答案为：. 32．将函数图象向右平移个单位，得到的图象关于直线对称，则的最小值为 . 【答案】 【分析】化简，根据函数图象变换规律得平移后的函数解析式，再结合余弦函数的对称性可得的表达式，由此求得的最小值． 【解析】， 的图象向右平移个单位，得到函数的图象， 由题意的图象关于直线对称， 所以，所以， 又，则当时，. 故答案为：. 33．已知函数的最小正周期为，则方程在上的解集为 . 【答案】 【分析】由题意得，求出的值后，得题述方程等价于，从而或，由此解三角函数方程即可得解. 【解析】因为函数的最小正周期为，所以，解得， 从而方程即，即，所以或， 而在上的解集为，在上的解集为， 从而方程在上的解集为. 故答案为： . 34．若函数在内存在最小值但无最大值，则的范围是 【答案】 【分析】化简得，由求得范围，根据条件与函数图象即可求解． 【解析】函数，， 所以当时，， 又在内存在最小值但无最大值， 结合图象可得， 解得. 故答案为： 35．将函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，得到的图像，若，且，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】首先求出平移后的解析式为，根据其值域得到，则，再结合的范围得到最大值. 【解析】将函数的图象向右平移个单位长度, 再向上平移1个单位长度, 得到的图象， ，则， 故函数的最大值为2,最小值为0，若, 则,或(舍去). 故有,即. 又,.要使取得最大值, 则应有, 故取得最大值为， 故答案为：. 36．已知函数在区间上的值域均为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当时，，当时，，在结合正弦函数图像可得到，求出即可. 【解析】当时，，当时，. 因为函数在区间上的值域均为， 而，，所以. 又因为，, 所以，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 37．若存在实数及正整数使得在内恰有2024个零点，则满足条件的正整数的值有 个． 【答案】5 【分析】利用换元思想将问题转化为方程在实数范围内一定有两个异号的根，根据方程与函数的应用进行讨论分析. 【解析】由题意知， ， 令，，此时， 而，，， 则上述方程在实数范围内一定有两个异号的根， 当时，， 一个周期内有两个零点，则或； 当时，， 一个周期内有三个零点，，则需要个周期， 即； 当时，此时，解得， 若，此时， 则一个周期内有四个零点， 则需要个周期， 即； 若，此时，， 则一个周期内有三个零点，， 个周期恰好个零点，个周期是个零点， 个周期则个零点，此时不符题意， 若，此时， 一个周期内有两个零点， 则或. 综上所述，这样的正整数有个， 分别是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数与方程的应用，通过将三角函数方程换元，得到关于的二次方程，根据二次方程根的分布分类讨论得到的范围，然后根据数形结合的思想结合正弦函数的图像进行求解是解决本题的关键. 38．已知函数，若对任意实数，，方程有解，方程也有解，则的值的集合为 . 【答案】 【分析】根据题意，不妨设，分类讨论当，，三种情况下，结合方程有解以及余弦函数的图象和性质，从而求出和的值，即可得出的值的集合. 【解析】解：由题可知，不妨设， 对于，对任意实数，，方程有解， 当时，方程可化为有解， 所以恒成立，所以； 当时，同上； 当时，方程可化为有解，所以， 综上得：； 对于，对任意实数，，方程也有解， 当时，方程可化为有解，所以； 当时，同上； 当时，方程可化为有解， 所以恒成立，所以， 所以的值的集合为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程的综合问题，考查余弦函数的图象和性质，通过设，以及分类讨论与的大小情况，并将方程有解转化为恒成立问题是解题的关键，考查学生的分类讨论思想和逻辑分析能力. 二、解答题 39．已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式与单调增区间； (2)若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，写出图象的对称中心的坐标，并求当时，的最值. 【答案】(1)， (2)对称中心坐标为，， 【分析】（1）利用函数图象列出，解得，，结合函数的周期，求解，利用函数的最大值求解，然后得到函数的解析式，利用正弦函数的单调性求解函数的单调增区间即可； （2）根据三角函数的变换规则求出解析式，根据正弦函数的性质求出对称中心坐标，通过的范围，求出的范围，结合正弦函数性质计算可得． 【解析】（1）由图象可知，解得， 又由于，可得，又，所以， 由图象知，，又因为，则， 所以，则，所以． 由，，解得，． 函数的单调递增区间是，． （2）将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到： ， 令，解得， 所以的对称中心坐标为， 因为，所以， 所以当，即时； 当，即时. 40．已知函数. (1)求函数的最小值及取得最小值时相应的的值； (2)若在上有四个不同的根，求的取值范围及四个根之和. 【答案】(1)函数的最小值，此时的值为 (2)答案见解析 【分析】（1）利用三角恒等变换整理得，结合正弦函数性质运算求解； （2）以为整体，结合正弦函数分析运算. 【解析】（1）∵ ， 即， 令，解得， 故函数的最小值，此时的值为. （2）由（1）可知：， ∵，则，， 故，且， 结合正弦函数可得：若在上有四个不同的根，则的取值范围为， 设在上的四个不同的根由小到大依次为， 当时，则， 整理得，故； 当时，则， 整理得，故； 综上所述：当时，四个根之和为； 当时，四个根之和为. 41．如图所示，是一块边长为7米的正方形铁皮，其中是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用．工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在BC与CD上的长方形铁皮，其中P是上一点．设，长方形的面积为S平方米． （1）求S关于的函数解析式； （2）设，求S关于t的表达式以及S的最大值． 【答案】（1）;（2）．　　　　　　　　 【分析】（1）延长交于，延长交于，由是正方形，是矩形，可知，由，可得，，,从而可得长方形PQCR的面积关于的函数解析式;(2)设，可得利用换元法转化为t的函数,再利用配方法,即可求得结论. 【解析】（1）延长交于，延长交于， 由是正方形，是矩形，可知， 由，可得，， ∴，， 　 ∴ 故S关于的函数解析式为 ． （2）由，可得 ，即， ∴．　 又由，可得， 故， ∴S关于t的表达式为（）． 又由， 可知当时，取最大值， 故的最大值为． 【点睛】本题主要考查三角函数的应用以及二次函数配方法求最值，考查了建模能力，属于难题.　 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 42．已知函数，满足． (1)求实数a的值，以及函数的最小正周期（无需证明）； (2)求在区间上的零点个数； (3)是否存在正整数n，使得在区间上恰有2022个零点，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)4个； (3)存在，2021. 【分析】（1）根据代入即可求解的值，结合三角函数性质确定周期为； （2）利用换元法设，将原方程转换为关于的一元二次方程，解出，进而可得零点个数； （3）根据的最小正周期为，且内有4个零点，可解得． 【解析】（1），又， 解得，所以， 函数的最小正周期为. 理由为：因为， ， 所以，所以函数为周期函数，周期为， 当时，， 设则 ， 所以，其中当且仅当时，， 当时， 设，则， 于是， 所以， 所以在只有时，， 故函数的最小正周期为. （2）当时， 设则 ， 令，可得或， 或， 又， 或或或，其中， 所以函数在区间上的零点个数为个； （3）当时，． 设，则， 于是，令， 解得或，故在没有实根． 结合（2）可得，在上有4个零点， 而， 所以函数在恰有2022个零点. 即存在，使得在区间上恰有2022个零点. 43．已知函数，.若对于给定的非零常数，存在非零常数﹐使得对于恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，周期为. (1)已知函数是上周期为1的“2级类周期函数”，且当时，，求的值﹔ (2)已知函数是上周期为1的“级类周期函数”，且当时，.若函数是上的单调递增函数，求实数的取值范围； (3)是否存在非零实数，使得函数是上周期为的“级类周期函数”？若存在，求出实数和的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)3 (2) (3)存在，或 【分析】（1）由题意知，结合条件即求； （2）由题可得当时，，再结合函数的单调性可求； （3）结合条件及三角函数的性质即求. 【解析】（1）由题意知对恒成立， 故． （2）由题意知对恒成立． 对于任意自然数，当时， ． 由于在上单调递增，故在上单调递增， 因此对于任意自然数均有，解得． 进一步，对于任意自然数均有， 化简得，又，解得， 综上知实数的取值范围是． （3）若存在，则对恒成立． 注意，故函数的值域为，函数的值域为， 因此，． 当时，有对恒成立，故； 当时，有对恒成立，故． 综上可知或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 三角函数(讲义) Ⅰ、三角函数的概念 诱导公式 一、角的概念 1.角的定义 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的 图形.旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边，射线 的端点叫做角的顶点. 2.角的分类 任意角包括：正角、负角、零角. 正角：一条射线按逆时针方向旋转形成的角. 负角：一条射线按顺时针方向旋转形成的角. 零角：一条射线没有进行任何旋转形成的角. 温馨提示：对于角的形成过程，既要有旋转量，又要有旋转方向。 二、终边相同的角 所有与角a 终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k 360°,k∈Z}, 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 温馨提示： 1.相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍； 2.终边在一条直线上的角之间相差180°的整数倍； 3.终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍. 三、象限角与轴线角 1.象限角、轴线角的概念 (1)象限角 在平面直角坐标系中，如果角的顶点在原点，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么,角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. (2)轴线角 如果角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限，称这个角为轴线角， 2.象限角的集合表示 锐角为{α|0⁰<a<90°}, 小于90°的角不等同于锐角，锐角不等同于第一象限的角. 3.轴线角的集合表示 (1)终边在x 轴上的角{a|a= k·180°,k∈Z}. (2)终边在y 轴上的角{a|a=k·180 °+90°,k∈Z). (3)终边在坐标轴上的角{αlα=k·90°,k∈Z}. (4)终边在x 轴非负半轴上的角{ala=k·360°,k∈Z}. (5)终边在x 轴非正半轴上的角{a|a=k·360°+180°,k∈Z}, (6)终边在y 轴非负半轴上的角{αla=k·360°+90°,k∈Z). (7)终边在y 轴非正半轴上的角{αla=k·360°+270 °,k∈Z}. 四、角度制与弧度制的概念 1.角度制 角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的 这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. 2.弧度制 (1)1弧度的角 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)弧度制 用+弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.用符号rad表示，读作弧度. 温馨提示：无论是以弧度还是以度为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值. (3)弧度数公式 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l, 那么,角α的弧度数的绝对值 ( · )是 五、角度与弧度的换算 角度与弧度的换算公式 360⁰=2π rad,180°=π rad. 六、弧长公式、扇形面积公式 1.弧长公式 角度制：为圆心角的角度数，R 为扇形的半径). 弧度制：l=aR(a为圆心角的弧度，0<a<2π,R为扇形的半径). 2.扇形面积公式 角度制：(n为圆心角的角度数，R 为扇形的半径). 弧度制：(a为圆心角的弧度，0<a<2π,R为扇形的半径，l为扇形的弧长). 温馨提示：涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示. 七、任意角的三角函数 (1)定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，． (2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，， 三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ ＋ － ＋ － 记忆口诀:三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦． (3)三角函数线 当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0; 当角α的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0,正切值不存在. 八、同角三角函数基本关系 (1)平方关系：． (2)商数关系：； 九、三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限，说明： （1）先将诱导三角函数式中的角统一写作； （2） 无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负； （3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可． 温馨提示： 1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化． 2． Ⅱ、三角恒等变换 一、两角和与差的余弦、正弦、正切公式 1．cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ 2．cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ 3．sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ 4．sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ 5．tan(α－β)＝ 6．tan(α＋β)＝ 二、二倍角公式 1．基本公式 (1)sin 2α＝2sinαcosα； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝． 2．公式变形 (1)降幂公式：cos2α＝；sin2α＝；sin αcos α＝sin 2α； (2)升幂公式：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；1＋sin α＝2；1－sin α＝2． (3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β) 三、辅助角公式、半角公式 (1)辅助角公式 asin x＋bcos x＝， 令cos φ＝，sin φ＝，则有asin x＋bcos x＝(cos φsin x＋sin φcos x)＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝，φ为辅助角． (2)半角公式 sin ＝±， cos ＝±， tan ＝±， tan ＝＝ 拓展：万能公式： 设tan ＝t，则sin α＝，cos α＝，tan α＝． 四、积化和差与和差化积公式 1．积化和差公式 2．和差化积公式 sin α＋sin β＝2sin cos sin α－sin β＝2cos sin cos α＋cos β＝2cos cos cos α－cos β＝－2sin sin Ⅲ、三角函数的图像与性质 一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图:“五点法”作图原理： 1.正弦函数与余弦函数的图像画法 在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． 在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点 x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x x≠kπ＋} 值域 [－1，1] [－1，1] R 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 三、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 1.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点 x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 常用结论： 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”. 2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度. 四、周期函数 1.周期函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T, 使得对每一个x ∈D, 都有x+T∈D, 且f(x+T)=f(x), 那么函数f(x) 就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期. 2.最小正周期 如果在周期函数f(x) 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期. 3.正弦、余弦函数的周期 正弦函数(y=sinx )和余弦函数(y=cosx) 都是周期函数，周期为2kπ(k∈Z且 k≠0), 最小正周期是2π. 4. 函数y=Asin(x+φ) 及 y=Acos(x+φ)的周期函数 y=Asin(x+φ) 及函数y=Acos(x+φ) (其 中A,,φ 为常数，且A≠0,>0,x∈R), 令X=wx+φ, 因为函数y=Asinx及y=Acosx(x∈R)的周期都是2π，所以自变量x至少要增加到, 函数值才能重复出现，即 是使等式 Asin[w(x+T)+φ]=Asin(wx+φ),Acos[w(x+T)+φ]=Acos(wx+φ)成立的最小正数，从而函数 y=Asin(wx+φ)及函数y=Acos(wx+φ) (其中A,w,φ为常数，且A≠0,w>0,z∈R)的最小正周期 温馨提示：求三角函数最小正周期的方法：a.定义法；b.公式法:;c.图像法 五、三角函数模型在生活中的应用 现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动、水中浮标的上下浮动、琴弦的振动，等等.这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动，在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asin(wx+φ),x∈[0,+∞]表示，其中A>0,w>0.描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关： 六、三角函数模型应用的步骤 (1)审题：理解题意，认真领悟自然语言和图形语言中的数学本质，分清已知与知，画出示意图： (2)建模：根据审题所得到的信息，把实际问题抽象为数学问题，根据已知条件上求解目标，建立数学模型，如三角函数式、三角不等式或三角方程等： (3)求解：利用所学三角函数知识，求得数学模型的解； (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解； (5)还原：将所得的结论转译成实际问题的答案. 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