专题01三角形基本性质6大压轴题-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（浙教版）

专题01 三角形的基本性质压轴题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、三角形的三边关系 3 类型二、三角形内角和定理应用 3 类型三、三角形的高相关计算 4 类型四、根据三角形中线求面积 5 类型五、三角形角平分线相关角度计算 6 类型六、三角形的折叠问题 7 压轴能力测评 8 一、三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 二、三角形的内角和：三角形的内角和为180°． 注意：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 三、三角形的分类 按角分类： 注意： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 四、三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边. 要点： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形． （3）证明线段之间的不等关系． 五、三角形的三条重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 类型一、三角形的三边关系 例1．一款可折叠晾衣架的示意图如图所示，支架（连接处的长度忽略计），则点，之间的距离可以是（     ） A． B． C． D． 变式1-1．已知的三边长a，b，c是都不相等的正整数，且满足，则的最大边c的值有（  ） A．4个 B．5个 C．7个 D．9个 变式1-2．如图，用、、、四条钢条固定成一个铁框，相邻两钢条的夹角均可调整，不计螺丝大小，重叠部分．若、、、，则所固定成的铁框中，两个顶点的距离最大值是（    ） A．14 B．16 C．13 D．11 类型二、三角形内角和定理应用 例2．如图1，将一条两边互相平行的长方形纸带沿折叠，设度． 图1                                图2 （1）若，则 度． （2）将图1纸带继续沿折叠成图2，则 度．（用含的代数式表示） 变式2-1．如图，已知交于点，且，则 ． 变式2-2．如图，和是分别沿着边AB、AC翻折180°形成的．DC的延长线交AE于点O，交BE的延长线于点F．若，，则的度数为 . 类型三、三角形的高相关计算 例3．如图，、分别是的高和角平分线，F是延长线上的一点，过点F作交于点G、交于点H，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式3-1．如图，在中，D是的中点，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为1，则的面积为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 变式3-2．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有 ．（只填序号） 类型四、根据三角形中线求面积 例4．如图，、分别是边、上的点，，，、相交于点．若四边形的面积为10，则的面积为（    ）    A．18 B．20 C．22 D．24 变式4-1．如图，在△ABC中，D是AB中点，E是BC边上一点，且BE＝4EC，CD与AE交于点F，连接BF．若四边形BEFD的面积是14，则△ABC的面积是 （    ） A．28 B．32 C．30 D．29 变式4-2．如图，已知的面积为12，D、E、F分别是的边、、的中点，、、交于点G，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 类型五、三角形角平分线相关角度计算 例5．如图，在中，，是角平分线，是边上的高，延长与外角的平分线交于点．以下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式5-1．如图，在中，的三等分线、与的三等分线、分别交于点D、E，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 变式5-2．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点，下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 类型六、三角形的折叠问题 例6．如图，在中，，，是直线上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当的三边与的三边有一组边垂直时， ． 变式6-1．如图，将纸片沿折叠，点落在点处，恰好满足平分平分，若，则度数为 ． 变式6-2．综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“折叠”为主题开展数学活动． (1)观察发现：如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为：______； (2)探究迁移：如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，其他条件不变．请写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：如图3，四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成图3的形状，点落在点处，点落在点处，若，，请直接写出的度数 1．如图，已知，P为下方一点，G，H分别为，上的点，，（，且，均为锐角），与的角平分线交于点F，平分，交直线于点E，下列结论：①；②；③若，则．其中正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．②③ C．③ D．② 2．在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处，①如图1，当点落在边上时，；②如图2，当点落在内部时，；③如图3，当点落在上方时，；④当时，或，以上结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．周长为，各边长互不相等且都是整数的三角形共有 个． 4．如图，在中，点是边上的点，且，点是边上的点，且，与相交于点，若四边形的面积是，则的面积为 ． 5．如图，三角形，点D在上且，点E在上且，与交点F，点G为的中点，连接，，若和的面积的和为19，则四边形的面积 ． 6．如图1，点D在边上，我们知道若，则；反之亦然．如图2，是的中线，点F在边上，相交于点O，若，则 ． 7．如图，直线，点为直线上一点，连接，的角平分线交于点，点是射线上的一个动点，连接的角平分线交于点，当时，令，用含的式子表示为 ．    8．已知：直线与直线平行，点N、点E在直线上，点H、点M在直线上，，直线交直线于点P． (1)如图1，求证：． (2)如图2，以点N为旋转中心顺时针旋转直线交直线于点G，以点M为旋转中心顺时针旋转直线交直线于点F，，当时，求的度数． (3)在（2）的条件下，如图3，直线交直线于点R，直线交直线于点S，的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点K，若，当点N在线段上移动时，求的度数． 9．综合与探究    (1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数． (3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示． 10．【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，我们知道，三角形的3 条高所在直线交于同一点． （1）①如图1， 中， 则的三条高所在的直线交于点 ；②如图2， 中， 已知两条高，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出 的第三条高．(不写画法，保留作图痕迹)． 【综合应用】 （2）如图3，在 中，平分，过点B作边上的高线交于点E． ①若 则 ； ②请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，如图4，点M是上一点，则有 ．如图5，中，点M是上一点且 点N是的中点，若的面积是m，请直接写出四边形的面积 ．（用含m的代数式表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形的基本性质压轴题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、三角形的三边关系 3 类型二、三角形内角和定理应用 4 类型三、三角形的高相关计算 7 类型四、根据三角形中线求面积 10 类型五、三角形角平分线相关角度计算 13 类型六、三角形的折叠问题 16 压轴能力测评 21 一、三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 二、三角形的内角和：三角形的内角和为180°． 注意：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 三、三角形的分类 按角分类： 注意： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 四、三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边. 要点： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形． （3）证明线段之间的不等关系． 五、三角形的三条重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 类型一、三角形的三边关系 例1．一款可折叠晾衣架的示意图如图所示，支架（连接处的长度忽略计），则点，之间的距离可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意一边小于其它两边之和是解题的关键．先根据三角形的三边关系确定线段的取值范围，进而完成解答． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴A选项符合题意． 故选：A． 变式1-1．已知的三边长a，b，c是都不相等的正整数，且满足，则的最大边c的值有（  ） A．4个 B．5个 C．7个 D．9个 【答案】A 【分析】此题主要考查了因式分解方法的应用和三角形三边关系，首先根据，应用因式分解的方法，判断出，求出、的值各是多少；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出的最大边的值是取值范围即可． 【详解】解：， ， ， ，， ，， ，， ， 的最大边的值可能是7、8、9、10．共4个． 故选A． 变式1-2．如图，用、、、四条钢条固定成一个铁框，相邻两钢条的夹角均可调整，不计螺丝大小，重叠部分．若、、、，则所固定成的铁框中，两个顶点的距离最大值是（    ） A．14 B．16 C．13 D．11 【答案】C 【分析】本题实际考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形铁框的组合方法是解答的关键．若两个顶点的距离最大，则此时这个铁框的形状变化为三角形，可根据三条钢条的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可． 【详解】解：已知、、、， 选、、作为三角形，则三边长为、、，，不能构成三角形，此种情况不成立； 选、、作为三角形，则三边长为、、，，能构成三角形，此时两个顶点的距离最大为； 选、、作为三角形，则三边长为、、，，不能构成三角形，此种情况不成立； 选、、作为三角形，则三边长为、、，，构成三角形，此时两个顶点的距离最大为； 故选：C． 类型二、三角形内角和定理应用 例2．如图1，将一条两边互相平行的长方形纸带沿折叠，设度． 图1                                图2 （1）若，则 度． （2）将图1纸带继续沿折叠成图2，则 度．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】（1）由平行线的性质得，，折叠和三角形的外角得'， ，最后计算出 ； （2）由折叠和平角的定义求出 ，再次折叠经计算求出 ． 【详解】解：（1）如图1所示， ， ，， 又'， '， 又'， ， 又 ， ， 故答案为：； （2）如图2所示， ， ， 又 ， ， 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了平行线的性质，折叠问题，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，平角的定义以及角的和差等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是折叠前后的变及不变的问题，二次折叠角的前后大小等量关系． 变式2-1．如图，已知交于点，且，则 ． 【答案】64° 【分析】根据三角形内角和定理即可求出答案； 【详解】解：：∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠COB=180°，∠AOD=∠COB ∴∠A+∠D=∠C+∠B， ∴∠D=∠C+∠B-∠A=64°； 故答案为：64°； 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 变式2-2．如图，和是分别沿着边AB、AC翻折180°形成的．DC的延长线交AE于点O，交BE的延长线于点F．若，，则的度数为 . 【答案】30° 【分析】根据∠BCA:∠ABC:∠BAC=28: 5: 3,三角形的内角和定理分别求得∠BCA,∠ABC, ∠BAC的度数，然后根据折叠的性质求出∠D、∠DAE、∠BEA的度数，在△AOD中，根据三角形的内角和定理求出∠AOD的度数，继而可求得∠EOF的度数，最后根据三角形的外角定理求出∠EFC的度数. 【详解】∵∠BCA：∠ABC：∠BAC=28：5：3， ∴设∠BCA为28x，∠ABC为5x，∠BAC为3x， 则28x+5x+3x=180°， 解得：x=5°， 则∠BCA=140°，∠ABC=25°，∠BAC=15°， 由折叠的性质可得：∠D=25°，∠DAE=3∠BAC=45°，∠BEA=140°， 在△AOD中，∠AOD=180°-∠DAE-∠D=110°， ∴∠EOF=∠AOD=110°， ∴∠EFC=∠BEA-∠EOF=140°-110°=30°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、外角和定理，熟练掌握三角形的定理是解题关键. 类型三、三角形的高相关计算 例3．如图，、分别是的高和角平分线，F是延长线上的一点，过点F作交于点G、交于点H，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的计算及三角形外角的性质，解题的关键是掌握角度之间关系的证明方法． 根据等角的余角相等证明结论①；根据角平分线的定义和三角形的外角证明结论②，根据直角三角形的两锐角互余再结合②的结论可得结论③，根据三角形的外角和等角的余角相等可以证明结论④． 【详解】解：∵是的高，， ∴， ∴，故①正确； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高，， ∴，故④正确； 故选D 变式3-1．如图，在中，D是的中点，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为1，则的面积为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形面积的有关计算，连接，先根据，求出，设，得出， ，，即可求出结果． 【详解】解：连接， ， ， ∴， 设， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴， ． 故选：C． 变式3-2．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有 ．（只填序号） 【答案】②③④ 【分析】此题考查了三角形的高、中线、角平分线等相关线段的性质，根据相关性质和角之间的关系逐项进行判断即可 ． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 故④正确，符合题意； ∵是角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故②正确，符合题意； ∵， ∴， 故③正确，符合题意； 由已知条件不能确定， ∴与的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意； 根据已知条件无法证明，故①错误，不符合题意； 故答案为：②③④． 类型四、根据三角形中线求面积 例4．如图，、分别是边、上的点，，，、相交于点．若四边形的面积为10，则的面积为（    ）    A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】D 【分析】本题考查三角形的中线，连接，利用中线平分面积结合同高三角形的面积比等于底边比，设，列出方程进行求解即可． 【详解】解：连接，    ∵，， ∴， 设，则：， ∵四边形的面积为10， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 故选D． 变式4-1．如图，在△ABC中，D是AB中点，E是BC边上一点，且BE＝4EC，CD与AE交于点F，连接BF．若四边形BEFD的面积是14，则△ABC的面积是 （    ） A．28 B．32 C．30 D．29 【答案】C 【分析】根据三角形的高相等时，三角形面积之比等于底边边长之比，来计算．设△EFC的面积为a，△AFC的面积为b，则△AEC的面积为a+b，根据BE=4EC，D为AB中点，找到相关等量关系，列出关于a、b的二元一次方程组，解方程即可求解． 【详解】设△EFC的面积为a，△AFC的面积为b，则△AEC的面积为a+b， ∵BE=4EC， ∴根据三角形的高相等时，三角形面积之比等于底边边长之比， 有：，， ∴， ∵D为AB中点， ∴，， ∵，， ∴，即， ∵四边形BEFD面积为14， ∴， ∴，解得， ∵△ABC的面积为， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组在几何问题中的应用，根据三角形的高相等时，三角形面积之比等于底边边长之比，确定等量关系是解答本题的关键． 变式4-2．如图，已知的面积为12，D、E、F分别是的边、、的中点，、、交于点G，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】此题考查三角形的面积，涉及中线平分三角形的面积，得，，结合，得，即可作答． 【详解】解：∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， 又∵点D是的中点， ∴， 同理， ∴图中阴影部分的面积为， 故选B． 类型五、三角形角平分线相关角度计算 例5．如图，在中，，是角平分线，是边上的高，延长与外角的平分线交于点．以下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线与高的含义，三角形的外角的性质，灵活运用三角形的外角的性质解决问题是关键． 由三角形的角平分线的含义可判断①，由三角形的高的含义可判断②，证明，，，，从而可得出，可判断③，由，，可得 ，从而可判断④，从而可得答案． 【详解】解：是角平分线， ，故①正确； 是边上的高， ，故②正确； 是角平分线，平分， ，， ，， ， ，故③正确； ，， ，故④正确； ∴正确的有①②③④共4个， 故选：D． 变式5-1．如图，在中，的三等分线、与的三等分线、分别交于点D、E，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的内角和定理，角平分线的定义； 根据三角形内角和定理求出，再根据三等分线求出可解答． 【详解】解：∵， 的三等分线、与的三等分线、分别交于点D、E，， ，， ∴ ∵在中，°， ∴， 故选：B． 变式5-2．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点，下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合可判定④． 【详解】解： ，的平分线交于点， ，， ， ， ， ， ，故①正确， 平分， ， ，， ，故②正确； ，，， ， 平分，平分， ，， ， ， ，故③错误； ， ， ， ．故④正确， 综上正确的有：①②④， 故选：C． 类型六、三角形的折叠问题 例6．如图，在中，，，是直线上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当的三边与的三边有一组边垂直时， ． 【答案】30或45或60或75 【分析】本题主要考查了三角形折叠中的角度问题，分当点在线段上时，当点D在线段延长线上，两种情况当的三边与的三边有一组边垂直时，画出对应的图形，根据三角形内角和定理和折叠的性质求解即可． 【详解】解：当点在线段上且时，如图， ∴    由折叠可知：， ∵， ∴； 当点在线段上且时， 由折叠的性质可得， ∴； 当点D在线段延长线上且时，则， 由折叠的性质可得， ∴； 当点在线段延长线上且时，如图， ∴， ∵， ∴；      当点在线段延长线上且时，如图所示， 同理可得； 当点在线段延长线上且时，如图所示， ∴， ∵， ∴； ∴由折叠的性质可得； 综上所述，的度数为或或或； 故答案为：30或45或60或75． 变式6-1．如图，将纸片沿折叠，点落在点处，恰好满足平分平分，若，则度数为 ． 【答案】 【分析】连接，过作，如图所示，利用角平分线的判定得到平分，利用角平分线性质及三角形内角和定理得出相应角度，进而求得；再根据折叠可知，得出，由等腰三角形性质得出，最后利用外角性质即可得到答案． 【详解】解：连接，过作，如图所示： ∵平分，平分， ， ∴平分，则， ∵平分，平分， ∴， ， ， ∴，则， ∵将纸片沿折叠，点落在点处， ∴， ∴， ， ∴， 是的一个外角， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于是解题的关键． 变式6-2．综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“折叠”为主题开展数学活动． (1)观察发现：如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为：______； (2)探究迁移：如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，其他条件不变．请写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：如图3，四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成图3的形状，点落在点处，点落在点处，若，，请直接写出的度数 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （2）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点，则对折后与重合，由（2）的结论可得：，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：结论：， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ． （2）， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点， 则对折后与重合， 由（2）的结论可得：，而，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形综合，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，轴对称的性质，熟记轴对称的性质并进行解题是关键． 1．如图，已知，P为下方一点，G，H分别为，上的点，，（，且，均为锐角），与的角平分线交于点F，平分，交直线于点E，下列结论：①；②；③若，则．其中正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．②③ C．③ D．② 【答案】A 【分析】①设与相交于点，与交于点，由得，再由三角形的外角定理得，由此出，据此可对结论①进行判断； ②由得，再由三角形的外角定理得，进而得，再证，则，据此可对结论②进行判断； ③先求出，，然后根据已知条件得，据此可求出，进而可求出的度数，于是可对结论③进行判断． 【详解】解：①设与相交于点，与交于点，如图所示： 与的角平分线交于点，平分，，， ，，， ， ， ， ， ， 结论①正确； ②， ， 又 ， ， 即：， ， ， 即：， ， ， 整理得：， 结论②正确； ③，， ， 由②可知：， ， 又， ， ， ， 结论③正确． 综上所述：正确的结论是①②③． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，平角的定义，三角形的内角和定理和三角形的外角定理等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；三角形的内角和等于；三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 2．在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处，①如图1，当点落在边上时，；②如图2，当点落在内部时，；③如图3，当点落在上方时，；④当时，或，以上结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识，正确画出图象． 根据题意可得，①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据 即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可； 【详解】根据题意可得，， ①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④正确； 故选：D． 3．周长为，各边长互不相等且都是整数的三角形共有 个． 【答案】7 【分析】不妨设三角形三边为a、b、c，且，由三角形三边关系定理及题设条件可确定c的取值范围，以此作为解题的突破口． 【详解】解：设三角形三边为a、b、c，且， ∵，, ∴即， ∴， 即， ∴， ∴， 又∵c为整数， ∴c为9，，． 则①当c为9时，有1个三角形，分别是：9，8，7； ②当c为时，有2个三角形，分别是：，9，5；，8，6； ③当c为时，有4个三角形，分别是：，，3；，9，4；，8，5；，7，6． ∴各边长互不相等且都是整数的三角形共有7个． 故答案为：7． 【点睛】此题主要考查学生对三角形三边关系定理的理解及运用，难度中等．注意写出具体三角形的三边时，结合已知条件做到不重复不遗漏． 4．如图，在中，点是边上的点，且，点是边上的点，且，与相交于点，若四边形的面积是，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，二元一次方程组；连接，如图所示：设，，可得，，，，再建立方程组，解方程组求得a、b的值，进而即可求得的面积． 【详解】解：连接，如图所示：    设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴ ∵ ∴，即 ∴ ∴， ∵四边形的面积是 ∴ ∴， 解得， ∴． 故答案为． 5．如图，三角形，点D在上且，点E在上且，与交点F，点G为的中点，连接，，若和的面积的和为19，则四边形的面积 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查三角形的面积公式求解，设，．可可得出，由已知条件得出结合等高的三角形面积比为底边边长之比得出，进而得出，联立方程组解出x，y的值，再由已知条件得出，最后代入求值即可求得答案． 【详解】解：设， ∴， ∵，即 ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点A，B到的高为：，， ， ∴， ∵， 同理可得：， ∴， ∴ ∴ 解得：， ， 故答案为：16． 6．如图1，点D在边上，我们知道若，则；反之亦然．如图2，是的中线，点F在边上，相交于点O，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查三角形中线、三角形的面积，当两个三角形同底时，面积比等于高之比；当两个三角形同高时，面积比等于底之比．设，则，由可得，，设，则，于是，，利用列出方程，求得，则． 【详解】解：如图，连接， 是的中线， ，， 设， ， ， ，， 设，则， ， ， ， ， ， ． 7．如图，直线，点为直线上一点，连接，的角平分线交于点，点是射线上的一个动点，连接的角平分线交于点，当时，令，用含的式子表示为 ．    【答案】 【分析】分点在内部与外部两种情况，根据三角形内角和定理以及平行线的性质，画出图形，即可求解． 【详解】如图所示，点在内部时，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴ ∵平分 ∴ 则 ， 在中，，， ∴， ∴， 如图所示，当点在的外部时，连接，作的邻补角的角平分线交于点，则      ∵，，，故此情形不存在， 综上所述， 故答案为： 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键． 8．已知：直线与直线平行，点N、点E在直线上，点H、点M在直线上，，直线交直线于点P． (1)如图1，求证：． (2)如图2，以点N为旋转中心顺时针旋转直线交直线于点G，以点M为旋转中心顺时针旋转直线交直线于点F，，当时，求的度数． (3)在（2）的条件下，如图3，直线交直线于点R，直线交直线于点S，的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点K，若，当点N在线段上移动时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）如图1，过点P作，则，由，可得，则，由，可得； （2）设，，则，，，，由，可得，由，可得，即，计算求解即可； （3）由题意知，，，，，由题意知，分①当点S在下方，②当点S在上方两种情况求解作答即可． 【详解】（1）证明：如图1，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：设，，则，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， ∴； （3）解：由题意知，，，，， 由题意知，分①当点S在下方，②当点S在上方两种情况求解； ①当点S在下方时，如图2， ∵， ∴，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， 如图2，过点K作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点S在上方时，如图3， 同理①可得： 过点K作，则：． ∴， ∴； 综上所述，或． 9．综合与探究    (1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数． (3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示． 【答案】(1)，理由见解析； (2) (3) 【分析】（1）由折叠的性质得出，，由平角的定义及三角形内角和定理可得出答案； （2）由（1）可知，，求出，则可得出答案； （3）由（2）可知，，求出，由周角的定义求出，则可得出答案． 【详解】（1）． 理由：由折叠得：，， ， ， ； （2）由（1）可知，， ， ， ， ， ， ； （3）由（2）可知，， ， ，， ， 又 ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 10．【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，我们知道，三角形的3 条高所在直线交于同一点． （1）①如图1， 中， 则的三条高所在的直线交于点 ；②如图2， 中， 已知两条高，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出 的第三条高．(不写画法，保留作图痕迹)． 【综合应用】 （2）如图3，在 中，平分，过点B作边上的高线交于点E． ①若 则 ； ②请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，如图4，点M是上一点，则有 ．如图5，中，点M是上一点且 点N是的中点，若的面积是m，请直接写出四边形的面积 ．（用含m的代数式表示） 【答案】（1）①；②作图见解析部分；（2）①；②；（3）． 【分析】本题是四边形综合题目，考查了四边形面积的计算、三角形的高、三角形的中线、三角形内角和定理、三角形的面积等知识；本题综合性强，熟练掌握三角形的三条高交于一点和三角形面积关系是解题的关键． （1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论； ②延长、交于点，连接，延长交于点，则为的第三条高； （2）①由三角形内角和定理和角平分线定义得，再由直角三角形的性质得，即可求解； ②由三角形内角和定理和角平分线定义求解即可； （3）连接，由中线的性质得，同理，设，则，再求出，，然后由面积关系求出，即可解决问题． 【详解】解：（1）①直角三角形三条高的交点为直角顶点，， 的三条高所在直线交于点， 故答案为：； ②如图2，延长、交于点，连接，延长交于点，则线段为的第三条高； （2）①，， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②与，之间的数量关系为：，理由如下： ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 即； （3）连接，如图5所示： 是的中点， ， ， 同理：， 设， 的面积是， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， 即：， 解得：， ． 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$